數學實驗的理論研究與實踐

1、第27卷第3期2007年3月課程教材教法C URRI C U LUM,TE ACHI NGM ATE RI A L A N DMETH O DVol.27,No.3March ,2007數學實驗的理論研究與實踐3邵光華1,卞忠運2(1.曲阜師范大學數學科學學院,山東曲阜273165; 2.曲阜師范(兗州校區(qū),山東兗州273150摘要:中學數學教育應重視數學實驗,應將數學實驗作為課程內容的一部分來設計.作為課程內容的數學實驗,目的是以實驗為載體,展示數學的探索發(fā)現(xiàn)過程,使學生親歷這個過程,從中發(fā)現(xiàn)數學、體驗數學、理解數學、運用數學,培養(yǎng)創(chuàng)新意識和探索精神。作為課程內容的數學實驗應體現(xiàn)活動化、操作

2、化特征,注意返璞歸真,在注意揭示數學概念定理的形成和發(fā)展過程以及展示數學問題的解決過程的同時,注意與基本的數學思想、數學方法掛鉤,有機地和數學知識教學相互結合、相互促進。關鍵詞:數學實驗;數學課程;數學軟件;幾何畫板;教學案例中圖分類號:G63316文獻標識碼:A 文章編號:100020186(200703200392053教育部課程教材研究所“基礎教育課程教材研究基金資助項目”重點課題成果(批準號:Kc2005-G003;全國教育科學“十一五”規(guī)劃教育部重點課題(批準號:D HA060137階段性成果。收稿日期:2005208222;修回日期:2006209202作者簡介:邵光華(1964,

3、山東單縣人,曲阜師范大學數學科學學院教授,博士,碩士生導師,主要研究方向為課程與教學論、教師教育、數學學習心理;卞忠運(1970,山東兗州人,曲阜師范(兗州校區(qū)講師,教育碩士,主要研究數學教學論與現(xiàn)代教育技術應用。一、數學實驗的含義及其課程觀從上世紀90年代初期起,隨著計算機和一些數學軟件的逐漸普及,數學教育界開始重視數學實驗的教學與研究。時至今日,我們將數學實驗界定為:為獲得某種數學理論、探求或驗證某個數學猜想、解決某類數學問題,運用一定的物質技術手段,經由數學思維活動的參與,在典型的環(huán)境中或特定的條件下進行的一種數學實踐活動。數學實驗可區(qū)分為傳統(tǒng)數學實驗和現(xiàn)代數學實驗兩大類。傳統(tǒng)數學實驗是

4、指運用手工的方法如利用實物模型、實物教具等進行操作的演示性模型實驗,或使用紙筆通過具體或特殊數學例子進行的思想性實驗;現(xiàn)代的數學實驗是指以計算機(器為工具的實驗,具體而言,就是利用計算機或TI 圖形計算器這些先進的現(xiàn)代技術工具和數學軟件為實驗手段,以圖形演示、數值計算、符號變換等作為實驗內容,以數學理論作為實驗原理,以實例分析、模擬仿真、歸納發(fā)現(xiàn)等作為主要實驗形式,旨在探索數學現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)數學規(guī)律、驗證數學結論或輔助做數學、學數學、用數學的數學學習與研究的實踐活動。不難看出,現(xiàn)代數學實驗是傳統(tǒng)數學實驗的技術改造。新的數學課程觀認為,數學課程的目的在于培養(yǎng)聰明才智而不是積累記憶,在于培養(yǎng)知識探索者

5、而不是博學之士,真正重要的事情不是要學生記住一些數學技巧,而是要發(fā)展思維,引導探索,提高學生探索問題和解決問題的能力,樹立創(chuàng)新意識。數學課堂既要充分體現(xiàn)數學內容形式化、抽象化的一面,又要重視數學發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造過程中具體化、經驗化的一面。學習數學不再只是學習演繹和證明,被動地接受課本上的或教師敘述的現(xiàn)成的結論,還要學習數學過程;不再只是學習經過千錘百煉的純粹的形式證明,還要學習形式證明之前的一系列帶有實驗、猜想性質的思考探究過程。所以,數學的探索過程應該成為數學課程的內容。而承載數學探索過程的最好載體當屬數學實驗,因為借助計算機和數學軟件,如幾何畫板(對解決有關圖形變換及計算有獨到之處、Mathem

6、atica(可以進行矩陣、向量運算,還可繪制二維和三維圖形,只要給出一個函數解析式,立刻就可看到它的圖像、Matlab(以數值計算見長或TI圖形計算器(可以直觀地繪制各種圖形,并進行動態(tài)演示、軌跡跟蹤,能為數學思想提供可視化的圖像,使組織和分析數據容易實現(xiàn),計算更有效和準確,數學探索發(fā)現(xiàn)過程能夠以數學實驗的形式被“教育形態(tài)化”。這樣,學生可以從自己的數學現(xiàn)實出發(fā),在教師的幫助下,通過數學實驗,自己動手、動腦再現(xiàn)數學發(fā)現(xiàn)過程,通過提出猜想、檢驗猜想、獲得經驗,逐步建構并發(fā)展自己的數學認知結構,形成良好的創(chuàng)新思維品質。不過,目前人們還只是把數學實驗作為一種教學模式、教學手段來研究,把用實驗的方式教

7、授數學作為對傳統(tǒng)教學方式的有益補充。這種觀點下,數學實驗的目標就是輔助教學,使數學知識容易獲取,而難以實現(xiàn)培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新能力的目的。只有將數學實驗作為課程內容的一部分,數學實驗才有其獨立的教學目標,這個目標就是培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新能力,數學實驗才能發(fā)揮它應有的作用。因此,數學實驗應納入到數學課程內容體系來考慮,而不應只是作為一種教學手段,即數學實驗應該由輔助教學模式、手段層面上升到課程層面上來研究,進行數學與技術的真正整合。事實上,在國內外大學數學系的專業(yè)課程設置中,“數學實驗”已成為一門重要課程。在國際上頗有影響力、在英國曾被廣泛使用的數學教科書SMP教材的最大特點就是,在每一新內容學習之

8、前,先利用實驗性、討論性材料做準備,然后通過具體的實驗活動直觀地、經驗性地介紹數學知識。所以,中學數學課程內容中適當增加數學實驗內容應該說是必要的和可行的。新數學課程標準指出:“使用現(xiàn)代信息技術的原則是有利于對數學的本質的理解。教材可以在處理某些內容時,提倡使用計算器或計算機,幫助學生理解數學概念、探索數學結論?！边@為數學實驗進入數學課堂提供了契機和空間。新數學課程標準中設置的函數、微積分、矩陣向量、數據處理、算法分析、數學建模、概率統(tǒng)計、線性規(guī)劃、數學建模等內容,為數學實驗提供了豐富的素材,同時這些內容借助數學實驗又會變得相對容易。如算法優(yōu)劣的比較可以作為實驗的素材,統(tǒng)計中數據處理、方程的近

9、似求解等都是數學實驗的好內容。2004年人教版新高中數學教材中已經出現(xiàn)了一些作為閱讀材料或實習作業(yè)的實驗課題,邁出了數學實驗進入教學實踐可喜的一步。二、作為課程內容的數學實驗的特征分析數學課程中設置數學實驗,目的很明確,就是以實驗為載體,展示數學的探索發(fā)現(xiàn)過程,使學生親歷這個過程,從中發(fā)現(xiàn)數學、體驗數學、理解數學、運用數學,既獲得數學知識,又養(yǎng)成探索能力、非邏輯思維能力。作為課程內容的數學實驗,應體現(xiàn)活動化、操作化特征,重視學生在數學實驗活動中的主體地位,使學生處于積極自主地動腦動手、探索驗證、討論交流實踐活動中。作為課程內容的數學實驗,應體現(xiàn)返璞歸真的現(xiàn)代數學教育理念,注意構建這樣一種問題情

10、境,使學生在其中能夠自由地探索,在操作、觀察、討論、交流、歸納、猜想、分析和整理的過程中,理解數學問題的提出、數學概念的形成、數學結論的獲得與驗證,以及數學知識的應用,通過情境的變換去發(fā)現(xiàn)問題、探索規(guī)律、驗證結論。作為課程內容的數學實驗,應充分體現(xiàn)數學實驗的價值。(1有助于增進對數學的理解。數學實驗應為抽象的數學思維提供直觀的思維背景,使靜態(tài)的數學結構表現(xiàn)為時空的動態(tài)過程,使抽象的內容直觀化、具體化,為學生進行數學論證提供感性的、直覺的材料,使學生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的探索性的數學活動中去,把更多的時間花在實質性的數學思考上,幫助學生更好地理解數學過程、數學本質,便于學生理解和掌握數學

11、的概念和方法。(2有助于學生體驗數學過程,增強創(chuàng)新能力。數學實驗的目的是要引導學生進入自己“做數學”、體驗數學的境界,親身體驗數學創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的過程。在傳統(tǒng)數學課程內容設計中,數學家發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維軌跡往往被掩蓋,以致學生學習過程中常常會問,當初的數學家是怎樣想到這個問題的?他們是怎樣發(fā)現(xiàn)證明方法的?數學實驗應通過對知識的形成過程和對問題的觀察、發(fā)現(xiàn)、解決、引申、變化等過程的模擬和實驗,讓學生在自主探索實踐中體驗到那條被掩蓋了的思維軌跡。(3有助于數學學習興趣的激發(fā)。實驗過程本身是一個科學研究、探索真理的過程,是學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流和反思的過程,數學實驗應讓學生真正從一個

12、旁觀者和聽眾變成一個參與者,真正激發(fā)起學生的求知欲與好奇心。(4作為課程內容的數學實驗,既要注意揭示數學概念、定理的形成和發(fā)展過程,展示數學問題的解決過程,又要與基本的數學思想、數學方法掛鉤,有機地和數學知識教學相互結合、相互促進,在實驗中發(fā)現(xiàn)、探索數學規(guī)律,在理論學習中進一步研究、證明這個規(guī)律。數學實驗不能只局限于將抽象化為形象的演示,它應能很好地引導學生由直觀現(xiàn)象去歸納、探索數學知識或通過數學可視化去驗證數學結論,經歷重新建構數學的過程,達到學好數學和應用數學解決問題的目的。數學實驗應為學生提供獲得以下技能和經驗的機會:觀察、探索、形成頓悟和直覺,作出預測,檢驗假設,控制變量,模擬。數學實

13、驗應充分體現(xiàn)利用實驗手段和歸納方法進行數學教育的思想:從若干實例出發(fā)在計算機上進行實驗發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律提出猜想驗證猜想。三、數學實驗的分類按照組織形式和地點的不同,數學實驗可分為隨堂實驗、實驗室實驗和課外實驗等。隨堂實驗就是穿插在數學課堂教學中的實驗,如根據教學的需要,在數學課程中某一數學主題學習內容前,設置一個與引入主題內容有關的實驗情景,在課堂上教師利用數學軟件或課件,借助多媒體演示,在較短時間內完成的實驗,或由學生利用圖形計算器等便捷工具自行探索的實驗。隨堂實驗的顯著特征是內容短小,直接為隨后的數學主題服務,通過觀察可獲得猜想,一般具有啟發(fā)性、歸納性、直觀性。實驗室實驗指的是圍繞一個數學主

14、題組織的較大實驗,內容較豐富、內涵較深刻。它的顯著特征是具有探索性、過程性。一般需要制定實驗計劃,在多媒體實驗室或計算機房利用數學軟件進行操作實驗,要求學生觀察現(xiàn)象或記錄數據,分組討論實驗中所出現(xiàn)的現(xiàn)象或進行數據分析處理,得出一個結論,并給出合理的數學解釋,最后寫出完整的實驗報告,就實驗中發(fā)現(xiàn)的問題盡量作出嚴格的證明。課外實驗相當于通常的數學教材中的課外閱讀材料提供實驗材料讓學生課外有興趣去實驗探索,或者作為課外作業(yè)。根據實驗的目的,數學實驗又可分為驗證性實驗和探究性實驗。驗證性實驗是通過實驗操作和觀察、記錄、分析等手段檢驗一個數學判斷或結論真?zhèn)蔚膶嶒灐＝處煆男轮R的生長點出發(fā),推導出新的結論

15、時,由于結論的抽象性和推理的復雜性,學生在心理上對新知識的接受有障礙,新知識不能很好地內化到學生已有的知識結構中去,通過實驗來驗證,可使新知識具體化,增進學生對新知識的認可和理解。探究性實驗是通過實驗來探索、回答一個對學生來說尚不知道答案的數學問題,一般也不提供實驗素材,只提供實驗的課題,它實際上給學生提供了一個通過探究來學習數學知識的親身實踐的途徑,強調在探究過程中獲得數學知識和數學理解。這兩種實驗的區(qū)別在于:(1驗證性實驗一般伴隨概念原理的分析、討論,耗時一般較少,實驗后通常不安排討論;探究性實驗則安排在概念原理之前,為發(fā)現(xiàn)、提出概念原理埋下種子,實驗后一般要進行小組或班級討論,討論分析觀

16、察到的現(xiàn)象、收集到的數據和對數據進行解釋,提出假說,用時一般較多。(2驗證性實驗一般用于驗證所給結論,實驗在一定程度上是結論的附庸;探究性實驗一般開始于一個有刺激性和探索性的問題,實驗的過程受未知的探索結果的吸引或為了理解觀察的事實或解決問題產生的好奇心所驅動,學生的興趣和積極性一般比較高,有利于培養(yǎng)學生的數學情感和數學態(tài)度。(3驗證性實驗中,教師往往是主宰者、評論者;探究性實驗中,教師往往是咨詢者、服務者和提問者,在討論和辯論時教師可以有意持不同意見,以引導和促進學生去思考。教師和學生在探究性實驗中都會遇到更多的挑戰(zhàn)。四、數學實驗的教學不同的實驗類型有著不同的教學方式,不拘一格。如驗證性實驗

17、通常采用“告訴驗證應用”的教學模式,在實驗中所有的學生都做同樣的事情,學生被告知如何操作,觀察什么,記錄什么,如何得出結論,這是一種比較固化的操作模式。而探究性實驗教學模式一般分為引導探究和開放探究兩種教學模式。引導探究式教學一般由教師提出問題,學生提出假說,引導學生朝著教師預先設計的方向提出實驗程序,預測可能的結果,學生進行實驗,獲得實驗數據,分析解釋實驗數據,并得出結論。這種模式允許學生在假說提出上和數據解釋上去創(chuàng)造。教師的引導并不是刻意地引導出一個唯一的結果,而是讓學生在探究過程中理解數學、獲得知識。開放探究式教學一般由教師或學生提出問題,學生設計實驗程序并實施實驗方案,收集處理和分析數

18、據、得出結論,并將其應用于新的情景加以檢驗。這種模式強調探索和創(chuàng)造,學生以一種近似數學家發(fā)現(xiàn)數學問題的方式進行數學發(fā)現(xiàn)學習,不再強調獲得正確的結論,而是強調過程和對結論的解釋。為了更好地說明數學實驗教學,下面給出一個在實驗室中進行的探究性實驗教學案例。實驗課題利用幾何畫板探求數列和函數的關系。課題背景數列是一種離散函數,可以看作是以正整數集(或正整數集的有限子集為定義域的函數當自變量由小到大依次取值時所對應的一系列函數值,而數列的通項公式就是相應函數的解析式。利用函數思想解決數列問題是一種常規(guī)而重要的方法。在“數列”單元教學中,可以利用幾何畫板設計數學實驗,讓學生自己動手、動腦,自主探索數列和

19、函數的關系,體驗利用函數思想解決數列問題的優(yōu)勢。實驗目標數學實驗目標包括知識目標、能力目標、情感目標。(1知識目標:通過對函數y=f(x的圖像和由數列a n=f(n生成的點A1(1,a1,A2(2,a2,A3(3,a3, A4(4,a4,之間的關系理解函數與數列之間的關系,探索并獲得利用函數知識解決有關數列問題的思想和方法。(2能力目標:培養(yǎng)學生動手動腦的實踐能力,觀察、分析、抽象、概括等數學思維能力,培養(yǎng)學生利用計算機技術理解數學和解決數學問題的能力。(3情感目標:使學生體驗成功的樂趣。實驗準備包括實驗工具和材料(如應用軟件、學生用圖形計算器,根據學生的基本情況合理分組,等等。(1給每臺計算

20、機加裝幾何畫板。 (2讓學生復習幾何畫板的有關用法,如由坐標構造點,繪制函數圖像等。(3四人一組,每組一臺計算機。實驗過程在教師的指導下,學生在規(guī)定的時間內按照事先安排的組織形式對實驗材料進行操作和實驗。對實驗現(xiàn)象或數據要認真觀察或記錄,努力發(fā)現(xiàn)與所研究的問題有關的現(xiàn)象或數據中反映出來的規(guī)律。本實驗通過三個問題的實驗探究達到實驗課題目的。問題1:任給一數列的通項公式,例如a n =f (n =n 2-2,探求數列的各項與函數y =x 2-2的關系。教師導引:(1在坐標系中構造出點A 1(1,a 1,A 2(2,a 2,A 3(3,a 3,A 4(4,a 4,。(2做出函數y =x 2-2的圖像

21、,觀察上述各點和函數圖像的關系。(3讓學生隨意更改數列的通項a n =f (n ,探求點(1,a 1,(2,a 2,(3,a 3,(4,a 4,和對應的函數y =f (x 的圖像的關系。小組討論:數列a n =f (n 和函數y =f (x 之間的關系應該怎樣描述。問題2:已知數列的通項公式為a n =n 4-n 3-517-7,試探求這個數列從第幾項起的數值為正數,前多少項的和最小,即討論S n 何時有最小值。教師導引:(1如果直接計算a 1,a 2,a 3,a 4,等待你的將是復雜的運算。(2作出對應函數f (x =x 4-x 3-517-7的圖像,從圖像上觀察問題的結論。問題3:一個等差

22、數列a n ,其通項為a n =a 1+(n -1d =dn +a 1-d ,考察其單調性,并探求S n 是否有最值;如果S n 有最值,n 取何值時S n 能夠取到最值?教師導引:由數列通項公式可知其對應函數的解析式為y =f (x =d x +a 1-d (含有兩個參數d ,a 1,是一次函數,其圖像為一條直線。等差數列的前n 項和公式為S n =na 1+n (n -12d =d2n 2+(a 1-d2n ,對應的函數y =g (x =d 2x 2+(a 1-d2x 是二次函數,其圖像是拋物線。在同一坐標系中作出兩函數f (x ,g (x 的圖像,從圖像上探求所討論的問題。教師可以讓學生

23、自由探索,也可在課前用“幾何畫板”設計好教學課件(如圖樣式。如果是后者,實驗中只需讓學生拖動點A 1和D 到不同的位置而改變數列的首項和公差,記錄a 1和d 的值,觀察圖像的變化,將觀察結果填入下表,從中發(fā)現(xiàn)數列a n 的各項和S n 各項的變化規(guī)律?y =f (x 的單調性數列a n 的單調性數列a n 各項的變化規(guī)律S n 各項的變化規(guī)律函數y =g (x 的最值d >0d =a 1>0,d 1=a 1<0,a 1=d <0d =a 1>0,a 1=a 1<0,a 1=實驗結果基于實驗過程中出現(xiàn)的實驗現(xiàn)象的觀察或數據記錄及對數據分析處理結果,初步作出猜想

24、,并思考個中原因。各小組討論交流,通過交流最終得到大家認可的結論。教師可以給予適當的分析指導。(略結果論證為保證數學的嚴謹性,盡可能地對實驗結論加以理論證明,寫出完整的實驗報告。(略在上面的案例中,由教師提出問題,學生自己動手實驗操作,探討發(fā)現(xiàn)各種可能的情況。在這一過程中把有關函數的概念作為知識的生長點,使學生從原有的知識中自然“生長”出新的知識數列和函數的關系,這一知識的生長過程是一種主動的探索過程,不僅使新知識找到了牢固的附著點,而且使學生的數學認知結構在這一探索過程中得到發(fā)展。五、撰寫實驗報告跟一般科學實驗一樣,學生數學實驗也應有實驗報告撰寫環(huán)節(jié)。實驗報告是實驗進程中的最后一步,是實驗成

25、果的書面總結和反思。通過撰寫實驗報告,可以培養(yǎng)學生對現(xiàn)象的分析能力和實驗數據的處理能力。因此,學生實驗一般都應寫實驗報告。報告中書寫的句子和段落應完整,力求行文既清楚又具可讀性。報告可采用如下形式:項目內容實驗課題課題名稱引言描述出所要研究的問題,需要對所研究的問題提供一些背景和研究意義。實驗過程寫清楚實驗的步驟和各步驟中所用的思想和方法。所涉及的問題用數學語言怎樣描述。描寫在實驗中發(fā)生的現(xiàn)象,分析原因。實驗結果仔細組織所得數據,思考一下如何表示結果。盡可能有效地利用表格、圖表和圖片。盡可能清楚地描述各問題是怎樣完成的,同時要將不重要的細節(jié)略去。在必要的地方加上表、圖或示意圖,并給它們一個意義

26、明確的標題。實驗分析認真分析討論數據,解釋你的數據怎樣支持了你的猜想,在數據中你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律,提出你的猜想。你認為哪些規(guī)律反映了真實的現(xiàn)象,而不是偶然的。結論論證盡量用分析或理論方法全力支持你的實驗結果。對于數學實驗中得到的結果,借助從實驗中得到的啟示,用有關的理論進行嚴格的證明,或者給出合理的解釋。在數學課程設計與教學中,我們應把握數學教育的時代性,確立數學實驗的課程觀和教學觀,注重運用實驗、直覺、形象思維等形式揭示數學知識的形成過程,為學生提供豐富的數學實驗資源,創(chuàng)設數學實驗情境,使學生在這種情境中進行認知學習、發(fā)現(xiàn)學習,建構數學知識,使學生從數學實驗中體驗發(fā)現(xiàn)問題、探索問題和解決問題

27、的樂趣,加深對數學本質的認識,激發(fā)學習數學的熱情,發(fā)展創(chuàng)新能力。參考文獻:1李尚志,等.數學實驗M.北京:高等教育出版社,1999.2劉紹學.高中課程標準實驗教科書數學1(A版Z.北京:人民教育出版社,2004.3陶維林.用幾何畫板教平面解析幾何M.北京:清華大學出版社,2001.4潘懋德.計算機技術與中學數學教學M.北京:教育科學出版社,2001.5羅新兵.數學多媒體輔助教學:問題與對策J.中學數學教與學,2003,(5.6曹一鳴.數學實驗教學模式探究J.課程教材教法,2003,(1.7鄧景華.例談中學實驗課的功能J.河南教育學院學報(自然科學版,2001,(3.8錢正艷.讓實驗邁進數學課堂

28、J.湖南教育,2003,(12.9Colette Laborde,孫連舉,劉長明.法國數學教學中的技術整合J.數學教育學報,2002,(1.(責任編輯:李冰The Theoretical R esearch and Practice of Mathematics ExperimentsSHAO Guang2hua1B IAN Zho ng2yun2(1.College of M athematics S cience,Quf u N ormal Universit y,Quf u S handong273165,China;2.Quf u N ormal Universit y(Yan Zhou Dist rict,Yan Zhou S handong273150,ChinaAbstract:We should pay more attention to mat hematics experiment in secondary school mat hematics e