函數(shù)與方程思想在數(shù)列中應(yīng)用

1、 . 典例42015·高考設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)當(dāng)d>1時，記cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意有，即解得或故或(2)由d>1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法形式結(jié)構(gòu)與函數(shù)(方程)類似，但要注意數(shù)列問題中n的取值圍為正整數(shù)，涉與的函數(shù)具有離散性特點，其一般解題步驟是：第一步：分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征第二步：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造“特征”函數(shù)(方程)，轉(zhuǎn)

2、化問題形式第三步：研究函數(shù)性質(zhì)結(jié)合解決問題的需要研究函數(shù)(方程)的相關(guān)性質(zhì)，主要涉與函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問題的研究第四步：回歸問題結(jié)合對函數(shù)(方程)相關(guān)性質(zhì)的研究，回歸問題針對訓(xùn)練42016·東城模擬已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式an；(2)在(1)的條件下，數(shù)列an的前n項和為Sn，設(shè)bn，若對任意的nN*，不等式bnk恒成立，數(shù)k的最小值解(1)因為a12，aa2·(a41)，又因為an是正項等差數(shù)列，故公差d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項公式

3、an2n.(2)因為Snn(n1)，bn，令f(x)2x(x1)，則f(x)2，當(dāng)x1時，f(x)>0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函數(shù)，故當(dāng)x1時，f(x)minf(1)3，即當(dāng)n1時，(bn)max，要使對任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則須使k(bn)max，所以實數(shù)k的最小值為.數(shù)列1等差數(shù)列通項公式：ana1(n1)d.2等差數(shù)列前n項和公式：Snna1.3等比數(shù)列通項公式：ana1·qn1.4等比數(shù)列前n項和公式：Sn.5等差中項公式：2anan1an1(nN*，n2)6等比中項公式：aan1an1(nN*，n2)7數(shù)列an的前n項和與通項an之間的關(guān)系：a

4、n.重要結(jié)論1通項公式的推廣：等差數(shù)列中，anam(nm)d；等比數(shù)列中，anam·qnm.2增減性：(1)等差數(shù)列中，若公差大于零，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若公差小于零，則數(shù)列為遞減數(shù)列(2)等比數(shù)列中，若a1>0且q>1或a1<0且0<q<1，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若a1>0且0<q<1或a1<0且q>1，則數(shù)列為遞減數(shù)列3等差數(shù)列an中，Sn為前n項和Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等差數(shù)列；等比數(shù)列bn 中，Tn為前n項和Tn，T2nTn，T3nT2n，一般仍成等比數(shù)列失分警示1忽視等比數(shù)列的條件：判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時

5、，忽視各項都不為零的條件2漏掉等比中項：正數(shù)a，b的等比中項是±，容易漏掉.3忽略對等比數(shù)列的公比的討論：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時應(yīng)首先討論公式q是否等于1.4anan1d或q中注意n的圍限制5易忽略公式anSnSn1成立的條件是n2.6證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列時，由數(shù)列的前n項和想當(dāng)然得到數(shù)列的通項公式，易出錯，必須用定義證明7等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負(fù)，而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q，又要考慮首項a1的正負(fù).考點數(shù)列的概念、表示方法與遞推公式典例示法題型1利用遞推關(guān)系求通項公式典例1(1)已知正項數(shù)列an滿足a11，(n2)a(n1)aanan10，則它的通項公

6、式為()AanBanCanDann解析由(n2)a(n1)aanan10，得(n2)an1(n1)an(an1an)0，又an>0，所以(n2)an1(n1)an，即，an1an，所以an···a1a1(n2)，所以an(n1適合)，于是所求通項公式為an.答案B(2)2015·高考設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項的和為_解析由a11，且an1ann1(nN*)得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n，則2，故數(shù)列前10項的和S1022.答案題型2利用an與Sn的關(guān)系求an典例22015·

7、全國卷Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an>0，a2an4Sn3.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an>0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tnb1b2bn.求數(shù)列通項公式的常見類型與方法(1)歸納猜想法：已知數(shù)列的前幾項，求數(shù)列的通項公式，可采用歸納猜想法(2)已知

8、Sn與an的關(guān)系，利用an求an.(3)累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1anf(n)，其中數(shù)列f(n)前n項和可求，這種類型的數(shù)列求通項公式時，常用累加法(疊加法)(4)累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1g(n)an，其中數(shù)列g(shù)(n)前n項可求積，此數(shù)列求通項公式一般采用累乘法(疊乘法)(5)構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如an1panq(p，q為常數(shù))可化為an1p(p1)的形式，利用是以p為公比的等比數(shù)列求解；遞推關(guān)系形如an1(p為非零常數(shù))可化為的形式考點等差、等比數(shù)列的運算典例示法題型1等差、等比數(shù)列的基本運算典例32015·全國卷已知等比數(shù)列an滿足a1，a3a54(a41)，則a2()A

9、2 B1C.D.解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1，a3a54(a41)，由題可知q1，則a1q2×a1q44(a1q31)，×q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2，故選C.答案C題型2等差、等比數(shù)列性質(zhì)的運算典例42016·全國卷設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_解析設(shè)an的公比為q，由a1a310，a2a45得a18，q，則a24，a32，a41，a5，所以a1a2ana1a2a3a464.答案641等差(比)數(shù)列基本運算中的關(guān)注點(1)基本量在等差(比)數(shù)列中，首項a1和公差d(公比q)是兩個基本

10、量(2)解題思路求公差d(公比q)：常用公式anam(nm)d(anamqnm)；列方程組：若條件與結(jié)論的聯(lián)系不明顯時，常把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元與整體計算，以減少計算量2等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點考點等差、等比數(shù)列的判斷與證明典例示法典例52014·全國卷已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解(1)證明：由題設(shè)，anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1.因為an10，所以an2an.(2)由題設(shè)，a11，a1a

11、2S11，可得a21，由(1)知，a31.若an為等差數(shù)列，則2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列在本例題(2)中是否存在，使得an為等比數(shù)列？并說明理由解由題設(shè)可知a11，a1a2S11，得a21，由(1)知a31，若an為等比數(shù)列，則aa1a3，即(1)21，解得0或3.當(dāng)0時，anan11，又a11，所以a21，a31，an(1)n1，所以數(shù)列an為首項為1，公比為1的等比數(shù)列；當(dāng)3時，a11，a22，a3

12、4，故可令an2n1，則anan122n1.Sn13·2n4，易得anan1與Sn1不恒相等，與已知條件矛盾綜上可知，存在0，使得an為等比數(shù)列1等差數(shù)列的判定方法(1)證明一個數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種利用等差數(shù)列的定義證明，即證明an1and(nN*)；利用等差中項證明，即證明an2an2an1(nN*)(2)解選擇、填空題時，亦可用通項或前n項和直接判斷通項法：若數(shù)列an的通項公式為n的一次函數(shù)，即anAnB，則an是等差數(shù)列前n項和法：若數(shù)列an的前n項和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常數(shù))，則an是等差數(shù)列2等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù))

13、或q(q為非零常數(shù)且n2)，則an是等比數(shù)列(2)中項公式法：若數(shù)列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(4)前n項和公式法：若數(shù)列an的前n項和Snk·qnk(k為常數(shù)且k0，q0,1)，則an是等比數(shù)列提醒：若判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，則只需說明前三項不是等差(等比)數(shù)列即可針對訓(xùn)練2016·統(tǒng)測在數(shù)列an中，a1，an12，設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項和是Sn.(1)證明數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求Sn；(2)比較an與S

14、n7的大小解(1)證明：bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列由a1，bn得b1，Sn3n.(2)由(1)知：bnn1n.由bn得an11.anSn73n6.當(dāng)n4時，y3n6是減函數(shù)，y也是減函數(shù)，當(dāng)n4時，anSn7a4S470.又a1S17<0，a2S27<0，a3S37<0，nN*，anSn70，anSn7.全國卷高考真題調(diào)研12016·全國卷已知等差數(shù)列an前9項的和為27，a108，則a100()A100 B99C98 D97答案C解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為an為等差數(shù)列，且S99a527，所以a53.又a10

15、8，解得5da10a55，所以d1，所以a100a595d98，選C.22015·全國卷已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7()A21 B42C63 D84答案B解析由于a1(1q2q4)21，a13，所以q4q260，所以q22(q23舍去)，所以a36，a512，a724，所以a3a5a742，故選B.32016·全國卷已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求.解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由

16、a10，0且1得an0，所以.因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.其它省市高考題借鑒42016·高考已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和若a16，a3a50，則S6_.答案6解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得解得所以S66a1×6×5d3615×(2)6.52015·高考設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，nN*，已知a11，a2，a3，且當(dāng)n2時，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列an的通項公式解(1)4Sn25Sn8Sn1Sn1

17、，n2時，4S45S28S3S1，4(a1a2a3a4)5(a1a2)8(a1a2a3)a1，4×5×8×11，解得a4.(2)證明：n2時，4Sn25Sn8Sn1Sn1，4(Sn2Sn1)2(Sn1Sn)2(Sn1Sn)(SnSn1)，(Sn2Sn1)(Sn1Sn)(Sn1Sn)(SnSn1)，an2an1.又a3a2，是首項為1，公比為的等比數(shù)列(3)由(2)知是首項為1，公比為的等比數(shù)列，an1ann1，兩邊同乘以2n1得，an1·2n1an·2n4.又a2·22a1·214，an·2n是首項為2，公差為4的

18、等差數(shù)列，an·2n24(n1)2(2n1)，an.一、選擇題12015·高考在等差數(shù)列an中，若a24，a42，則a6()A1 B0C1 D6答案B解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a4a22d，a24，a42，得242d，d1，a6a42d0.故選B.22016·四校聯(lián)考等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若公比q>1，a3a520，a2a664，則S5()A31 B36C42 D48答案A解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5a2a664，于是由且公比q>1，得a34，a516，所以解得所以S531，故選A.32016·統(tǒng)考設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和

19、，若3，則()A2 B.C.D1或2答案B解析設(shè)S2k，S43k，由數(shù)列an為等比數(shù)列，得S2，S4S2，S6S4為等比數(shù)列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，故選B.42015·高考已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn.若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則()Aa1d>0，dS4 >0 Ba1d<0，dS4<0Ca1d>0，dS4<0 Da1d<0，dS4>0答案B解析由aa3a8，得(a12d)(a17d)(a13d)2，整理得d(5d3a1)0，又d0，a1d，則a1dd2<0，又S44a16d

20、d，dS4d2<0，故選B.5正項等比數(shù)列an滿足：a3a22a1，若存在am，an，使得am·an16a，m，nN*，則的最小值為()A2 B16C.D.答案C解析設(shè)數(shù)列an的公比為q，a3a22a1q2q2q1(舍)或q2，ana1·2n1，am·an16aa·2mn216amn6，m，nN*，(m，n)可取的數(shù)值組合為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，計算可得，當(dāng)m2，n4時，取最小值.62016·質(zhì)量監(jiān)測設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1a21，nSn(n2)an為等差數(shù)列，則an()A.B.C.D.答案

21、A解析設(shè)bnnSn(n2)an，則b14，b28，bn為等差數(shù)列，所以bn4n，即nSn(n2)an4n，Snan4.當(dāng)n2時，SnSn1anan10，所以anan1，即2·，又因為1，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以n1(nN*)，an(nN*)，故選A.二、填空題72015·高考在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_.答案10解析利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3a7a4a62a5，從而a3a4a5a6a75a525，故a55，所以a2a82a510.82016·質(zhì)檢設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，an12Sn3，則S4_.答案66解析

22、依題an2Sn13(n2)，與原式作差得，an1an2an，n2，即an13an，n2，可見，數(shù)列an從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，a25，所以S4166.92016·統(tǒng)考在數(shù)列an中，an>0，a1，如果an1是1與的等比中項，那么a1的值是_答案解析由題意可得，a(2an1anan11)(2an1anan11)0，又an>0，2an1anan110，又2an0，an1an11，又可知an1，1，是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，(n1)n1an，a11.三、解答題102016·質(zhì)檢已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，且a33，S39.(1)求數(shù)

23、列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog2，且bn為遞增數(shù)列，若cn，求證：c1c2c3cn<1.解(1)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，則根據(jù)題意有3·9，從而2q2q10，解得q1或q.當(dāng)q1時，an3；當(dāng)q時，an3·n3.(2)證明：若an3，則bn0，與題意不符，故an3n3，此時a2n33·2n，bn2n，符合題意cn，從而c1c2c3cn1<1.11成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列bn中的b3，b4，b5.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)數(shù)列bn的前n項和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列解(1)設(shè)成等差數(shù)

24、列的三個正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3項為5，公比為2，由b3b1·22，即5b1·22，解得b1.所以bn是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，其通項公式為bn·2n15·2n3.(2)證明：數(shù)列bn的前n項和Sn5·2n2，即Sn5·2n2.所以S1，2.因此是以為首項，2為公比的等比數(shù)列122016·質(zhì)檢等差數(shù)列an的各項均為正數(shù)，a11，前n項和為Sn；數(shù)列bn為等比

25、數(shù)列，b11，且b2S26，b2S38.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)求.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，d>0，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.依題意有解得或(舍去)故ann，bn2n1.(2)由(1)知Sn12nn(n1)，2，22.第二講數(shù)列求和與綜合應(yīng)用重要公式與結(jié)論1分組求和法：分組求和法是解決通項公式可以寫成cnanbn形式的數(shù)列求和問題的方法，其中an與bn是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列2裂項相消法：將數(shù)列的通項分成兩個代數(shù)式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通過累加抵消中間若干項的求和方法形如(其中an是各項均不為0的等差數(shù)

26、列，c為常數(shù))的數(shù)列等3錯位相減法：形如an·bn(其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列)的數(shù)列求和，一般分三步：巧拆分；構(gòu)差式；求和4倒序求和法：距首尾兩端等距離的兩項和相等，可以用此法，一般步驟：求通項公式；定和值；倒序相加；求和；回顧反思附：(1)常見的拆項公式(其中nN*).若等差數(shù)列an的公差為d，則；.()(2)公式法求和：要熟練掌握一些常見數(shù)列的前n項和公式，如123n；135(2n1)n2；122232n2n(n1)(2n1)失分警示1公比為字母的等比數(shù)列求和時，注意公比是否為1的分類討論2錯位相減法求和時易漏掉減數(shù)式的最后一項3裂項相消法求和時易認(rèn)為只剩下首尾兩項4裂

27、項相消法求和時注意所裂式與原式的等價性考點數(shù)列求和問題典例示法題型1分組轉(zhuǎn)化求和典例1設(shè)數(shù)列an滿足a12，a2a48，且對任意nN*，函數(shù)f(x)(anan1an2)xan1cosxan2sinx滿足f0.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn2，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)由題設(shè)可得f(x)anan1an2an1sinxan2cosx.對任意nN*，fanan1an2an10，即an1anan2an1，故an為等差數(shù)列由a12，a2a48，解得an的公差d1，所以an21·(n1)n1.(2)因為bn222n2，所以Snb1b2bn(222)2(12n)2n2·

28、n23n1.題型2錯位相減法求和典例22015·高考設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)當(dāng)d>1時，記cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意有，即解得或故或(2)由d>1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn，可得Tn23，故Tn6.題型3裂項相消法求和典例32016·統(tǒng)考設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意正整數(shù)n都有6Sn12an.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlogan，求Tn.解(1)由6Sn12an，得6Sn11

29、2an1(n2)兩式相減得6an2an12an，即anan1(n2)，由6S16a112a1，得a1，數(shù)列an是等比數(shù)列，公比q，所以an·n12n1.(2)an2n1，bn2n1，從而.Tn.1分組求和的常見方法(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(2)根據(jù)正號、負(fù)號分組，此時數(shù)列的通項式中常會有(1)n等特征2裂項相消的規(guī)律(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差(2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多3錯位相減法的關(guān)注點(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對應(yīng)項相乘(an·bn)型數(shù)列求和(2)步驟：求和時先乘以數(shù)列bn的公比把兩個和的形式錯位相減整理結(jié)果形式考點數(shù)列與函數(shù)、

30、不等式的綜合問題典例示法題型1數(shù)列與函數(shù)的綜合典例42014·高考設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上(nN*)(1)若a12，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項和Sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，有2 a84×2 a72a72.解得da8a72.所以，Snna1d2nn(n1)n23n.(2)f(x)2xln 2，f(a2)2 a2ln 2，故函數(shù)f(x)2x在(a2，b2)處的切線方程為y2

31、a22 a2ln 2(xa2)，它在x軸上的截距為a2.由題意得，a22，解得a22.所以da2a11.從而ann，bn2n.所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以，Tn.題型2數(shù)列與不等式的綜合典例52016·模擬(利用單調(diào)性證明不等式)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a12，對任意nN*，都有2Sn(n1)an.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn<1.解(1)因為2Sn(n1)an，當(dāng)n2時，2Sn1nan1，兩式相減，得2an(n1)annan1，即(n1)annan1，所以當(dāng)n2時，所以.因為a12，所以an2n.(2)證明：因為

32、an2n，令bn，nN*，所以bn.所以Tnb1b2bn1.因為>0，所以1<1.因為f(n)在N*上是遞減函數(shù)，所以1在N*上是遞增的，所以當(dāng)n1時，Tn取最小值.所以Tn<1.典例62014·全國卷(利用放縮法證明不等式)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明是等比數(shù)列，并求an的通項公式；(2)證明<.證明(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列an，因此an的通項公式為an.(2)由(1)知.因為當(dāng)n1時，3n12×3n1，所以.于是1<.所以<.1數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的常見題

33、型(1)數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的圍、公式、求和方法對式子化簡變形(2)數(shù)列常與不等式結(jié)合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)圍等問題，需要熟練應(yīng)用不等式知識解決數(shù)列中的相關(guān)問題2解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，而不是某個區(qū)間上的連續(xù)實數(shù)，所以它的圖象是一群孤立的點(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時，應(yīng)注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是非常容易忽視的問題(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問題時，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)

34、造函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化考點數(shù)列的實際應(yīng)用典例示法典例7某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的一樣公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元(1)用d表示a1，a2，并寫出an1與an的關(guān)系式；(2)若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)解(1)由題意得a12000(150%)d3000d，a2a1(150%)da1d4500d

35、.an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1dd2an2ddn1a1d，整理得ann1(3000d)2dn1(30003d)2d.由題意，am4000，知m1(30003d)2d4000，解得d.故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時，經(jīng)過m(m3)年企業(yè)的剩余資金為4000萬元1數(shù)列實際應(yīng)用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，應(yīng)考慮是an與

36、an1的遞推關(guān)系，還是前n項和Sn與前n1項和Sn1之間的遞推關(guān)系2數(shù)列綜合應(yīng)用題的解題步驟(1)審題弄清題意，分析涉與哪些數(shù)學(xué)容，在每個數(shù)學(xué)容中，各是什么問題(2)分解把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟”，每個小題或每個小“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等(3)求解分別求解這些小題或這些小“步驟”，從而得到整個問題的解答具體解題步驟如下：針對訓(xùn)練某用養(yǎng)老儲備金制度公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d>0)，因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目a1，a2，是一個公差為d的等差數(shù)列與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采

37、用固定利率，而且計算復(fù)利這就是說，如果固定年利率為r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍1(1r)n1，第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額(1)寫出Tn與Tn1(n2)的遞推關(guān)系式；(2)求證：TnAnBn，其中An是一個等比數(shù)列，Bn是一個等差數(shù)列解(1)由題意知：n2時，TnTn1(1r)an，其中ana1(n1)d，TnTn1(1r)a1(n1)d，n2.(2)證明：Tna1(1r)n1a2(1r)n2an1·(1r)an，(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an2(1r)3an1(1r)2an(

38、1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)ana1(1r)nd·a1(n1)d·(1r)n，Tn(1r)n.令A(yù)n(1r)n，Bnn，則1r(定值)，Bn1Bn(定值)，即TnAnBn，其中An是一個等比數(shù)列，Bn是一個等差數(shù)列全國卷高考真題調(diào)研12015·全國卷設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.答案解析an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，1，是等差數(shù)列，且公差為1，而1，1(n1)×(1)n，Sn.22016·全國卷Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S728

39、.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1000項和解(1)設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以an的通項公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因為bn所以數(shù)列bn的前1000項和為1×902×9003×11893.其它省市高考題借鑒32016·高考設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_.答案1121解析由于解得a11.由an1Sn1Sn2Sn1得Sn13Sn1，所以S

40、n13，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以Sn×3n1，即Sn，所以S5121.42015·高考已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項和等于_答案2n1解析an為遞增的等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則q>1.a2a38，a1a48.又a1a49，a11，a48，q2.前n項和為2n1.52015·高考數(shù)列an滿足：a12a2nan4，nN*.(1)求a3的值；(2)求數(shù)列an的前n項和Tn；(3)令b1a1，bnan(n2)，證明：數(shù)列bn的前n項和Sn滿足Sn<22ln n.解(1)由題意，知3a3(a12a23a3)

41、(a12a2)4，a3.(2)由條件知，nan(a12a2nan)a12a2(n1)an1(n2)，nan，an.又a141時也符合此式，an(nN*)Tn1n12.(3)證明：依題意，得bnan，b1a1，b2a2，b3a3，Snb1b2bn(a1a2an)Tn<2×.記f(x)ln x1(x>1)，則f(x)>0，f(x)在(1，)上是增函數(shù)又f(1)0，即f(x)>0，又k2且kN*時，>1，fln1>0，即ln>，<ln，<ln，<ln，即有<lnlnlnln n，2×<22ln n，即Sn &

42、lt;22ln n.一、選擇題12016·測試在數(shù)列an中，若a12，且對任意正整數(shù)m，k，總有amkamak，則an的前n項和Sn()An(3n1) B.Cn(n1) D.答案C解析依題意得an1ana1，即有an1ana12，所以數(shù)列an是以2為首項、2為公差的等差數(shù)列，an22(n1)2n，Snn(n1)，選C.22016·質(zhì)檢正項等比數(shù)列an中的a1、a4031是函數(shù)f(x)x34x26x3的極值點，則log a2016()A1 B2C.D1答案A解析因為f(x)x28x6，且a1、a4031是方程x28x60的兩根，所以a1·a4031a6，即a2016

43、，所以loga20161，故選A.32016·一模已知數(shù)列an的通項公式為an(1)n(2n1)·cos1(nN*)，其前n項和為Sn，則S60()A30 B60C90 D120答案D解析由題意可得，當(dāng)n4k3(kN*)時，ana4k31；當(dāng)n4k2(kN*)時，ana4k268k；當(dāng)n4k1(kN*)時，ana4k11；當(dāng)n4k(kN*)時，ana4k8k.a4k3a4k2a4k1a4k8，S608×15120.故選D.4某年“十一”期間，十家重點公園舉行免費游園活動，公園免費開放一天，早晨6時30分有2人進(jìn)入公園，接下來的第一個30分鐘有4人進(jìn)去1人出來，第二

44、個30分鐘有8人進(jìn)去2人出來，第三個30分鐘有16人進(jìn)去3人出來，第四個30分鐘有32人進(jìn)去4人出來按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，到上午11時30分公園的人數(shù)是()A21147 B21257C21368 D21480答案B解析由題意，可知從早晨6時30分開始，接下來的每個30分鐘進(jìn)入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，出來的人數(shù)構(gòu)成以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，記第n個30分鐘進(jìn)入公園的人數(shù)為an，第n個30分鐘出來的人數(shù)為bn則an4×2n1，bnn，則上午11時30分公園的人數(shù)為S221257.5已知曲線C：y(x>0)與兩點A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2&g

45、t;x1>0.過A1，A2分別作x軸的垂線，交曲線C于B1，B2兩點，直線B1B2與x軸交于點A3(x3,0)，那么()Ax1，x2成等差數(shù)列 Bx1，x2成等比數(shù)列Cx1，x3，x2成等差數(shù)列 Dx1，x3，x2成等比數(shù)列答案A解析由題意，得B1，B2兩點的坐標(biāo)分別為，.所以直線B1B2的方程為y(xx1)，令y0，得xx1x2，所以x3x1x2，因此，x1，x2成等差數(shù)列62016·模擬設(shè)無窮數(shù)列an，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)(無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|anA|<成立，就稱數(shù)列an的極限為A.則四個無窮數(shù)列：(1)n×2

46、；1×22×223×23n×2n，其中極限為2的共有()A4個 B3個C2個 D1個答案D解析對于，|an2|(1)n×22|2×|(1)n1|，當(dāng)n是偶數(shù)時，|an2|0；當(dāng)n是奇數(shù)時，|an2|4，所以數(shù)列(1)n×2沒有極限，所以2不是數(shù)列(1)n×2的極限對于，|an2|>1，所以對于正數(shù)01，不存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an2|<0成立，即2不是數(shù)列的極限對于，|an2|，令<，得n>1log2，所以對于任意給定的正數(shù)(無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得n>N時，

47、恒有|an2|<成立，所以2是數(shù)列 的極限對于，當(dāng)n2時，|an2|1×22×223×23n×2n2|2×223×23n×2n>1，所以對于正數(shù)01，不存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an2|<0成立，即2不是數(shù)列1×22×223×23n×2n的極限綜上所述，極限為2的數(shù)列共有1個二、填空題72016·質(zhì)檢二已知正項數(shù)列an滿足a6aan1an，若a12，則數(shù)列an的前n項和為_答案3n1解析a6aan1an，(an13an)(an12an)0，an>0，an13an，an為等比數(shù)列，且公比為3，Sn3n1.82016·統(tǒng)考Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若2S4S22，則S6的最小值為_答案解析由題意得2(a1a1qa1q2a1q3)a1a1q2，整理，得(a1a1q)(12q2)2，即S2·(