(完整word版)等差等比數(shù)列的性質(zhì)總結(jié),推薦文檔

1、一、等差數(shù)列1. 等差數(shù)列的定義：anan 1d （ d為常數(shù)）（ n2 ）；2等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an a1(n1)ddna1d (nN * )， 首項(xiàng) : a1 ，公差 :d ，末項(xiàng) : an推廣：anam( nm)d 從而 danam ；nm3等差中項(xiàng)（1）如果 a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)即： Aab 或 2Aab2（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列an是等差數(shù)列2anan-1 an1 (n2)2an 1anan 24等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：Snn( a1an )na1n(n1) dd n2(a1 1 d)nAn 2Bn2222（其中 A、 B是常數(shù)，所以當(dāng)

2、d 0時， S 是關(guān)于 n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為 0）n特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2n1 時， an 1 是項(xiàng)數(shù)為2n+1 的等差數(shù)列的中間項(xiàng)S2n2n1a1a2 n 12n1 an 1 （項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）125等差數(shù)列的判定方法（1） 定義法：若 anan1d 或 an 1and ( 常數(shù) nN)an 是等差數(shù)列（2） 等差中項(xiàng)：數(shù)列an是等差數(shù)列2anan -1an 1 (n2)2an1anan2 數(shù)列 an是等差數(shù)列ankn b （其中 k, b 是常數(shù)）。（4）數(shù)列an是等差數(shù)列SAn2Bn,（其中 、 是常數(shù)）。nAB6等差數(shù)列的證明方法定義法：若 anan1

3、d 或 an 1and ( 常數(shù) nN)an 是等差數(shù)列7. 提醒：（ 1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n 和公式中，涉及到5 個元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 稱作為基本元素。只要已知這5 個元素中的任意3 個，便可求出其余2 個，即知3求 2。（ 2）設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng) ana1(n1)d 奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a2d , ad, a,ad ,a2d （公差為 d ）； 偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a3d, ad , a d, a3d , （ 注意；公差為2 d ）8. 等差數(shù)列的性質(zhì)：（ 1）當(dāng)公差 d0 時，d 是關(guān)于 n 的一次函數(shù)，且斜率為公差d

4、 ；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1( n1)ddna1前 n 和 Snna1n( n1) dd n2(a1d )n 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.222（2）若公差 d0 ，則為遞增等差數(shù)列，若公差d0 ，則為遞減等差數(shù)列，若公差d0 ，則為常數(shù)列。（3）當(dāng) mnpq 時, 則有 amanapaq ，特別地，當(dāng) mn 2 p 時，則有 aman2ap .注： a1 ana2an 1a3an 2，- 1 -（ 4）若 a、 b為等差數(shù)列，則ab ，abn都為等差數(shù)列nnn1n2(5) 若 an 是等差數(shù)列，則 Sn , S2 nSn , S3nS2n，也成等差數(shù)列（ 6）數(shù)列 an 為等差數(shù)列

5、 ,每隔 k(kN * )項(xiàng)取出一項(xiàng) ( am , am k , am 2k , am 3 k ,)仍為等差數(shù)列（ 7）設(shè)數(shù)列 an是等差數(shù)列， d 為公差， S奇 是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶 是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，Sn 是前 n 項(xiàng)的和1. 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n 時，S奇a1a3a5na1a2n1nana2 n 12S偶a2a4a6n a2a2 nnan 1a2n2S偶S奇nan 1nann an 1anS奇nananS偶nan 1an12、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1時，則S2 n1S奇S偶(2n1) an+1S奇(n 1)an+1S奇n 1S奇S偶an+1S偶 nan+1S偶n（其中 an+1 是項(xiàng)數(shù)為2n+1

6、的等差數(shù)列的中間項(xiàng)） （ 8）、 bn 的前 n 和分別為 An 、 Bn ，且Anf (n) ，Bn則 an(2n1)anA2n 1f (2 n1) .bn(2n1)bnB2n 1（ 9）等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sm n ，前 m 項(xiàng)和 Snm ，則前 m+n 項(xiàng)和 Sm nm n(10) 求 Sn 的最值法一：因等差數(shù)列前 n 項(xiàng)是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nN * 。法二：（ 1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n 項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng) a10，dan00，由可得 Sn 達(dá)到最大值 時的 n 值an 10（ 2） “首負(fù)”的遞增

7、等差數(shù)列中，前n 項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即 當(dāng) a10， dan00，由可得 Sn 達(dá)到 最小值 時的 n 值an 10或求 an 中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對Sn 取最大值（或最小值） 。若 Sp =p q稱軸最近的整數(shù)時，Sq 則其對稱軸為 n2注意：解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a1 和 d 的方程；巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量- 2 -二、等比數(shù)列1.等比數(shù)列的定義：anq q 0 n 2, 且 nN * ， q 稱為 公比a

8、n12.通項(xiàng)公式：ana1qn 1a1 qnA Bn a1 q 0, A B 0 ，首項(xiàng)： a1 ；公比： qq推廣： an amqn m從而得 qn manan，am或 q n mam3. 等比中項(xiàng)（ ）如果 a, A,b 成等比數(shù)列，那么A叫做 a 與b的等差中項(xiàng)即：A2ab 或 Aab1注意： 同號的 兩個數(shù) 才有 等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個 （兩個等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）（2）數(shù)列 an 是等比數(shù)列an2an 1 an 14. 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn 公式：(1) 當(dāng) q1 時，Snna1(2)a11qna1anq當(dāng) q 1時， Sn1q1qa1a1qnAA BnA'

9、 BnA '（ A, B, A ', B '為常數(shù)）1q 1q5.等比數(shù)列的判定方法（ 1）用定義：對任意的n,都有 an 1qan或 an 1q( q為常數(shù)， an 0) an 為等比數(shù)列an（ 2） 等比中項(xiàng)： an2an 1an 1 （ an1an 10） an 為等比數(shù)列（ 3） 通項(xiàng)公式： anA BnA B0 an 為等比數(shù)列（ 4） 前 n 項(xiàng)和公式：SnAA Bn或SnA' BnA' A,B, A',B'為常數(shù) an 為等比數(shù)列6. 等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若anq q 0 n2, 且 nN *或 an 1qan an

10、 為等比數(shù)列an 17. 注意n 和公式中，涉及到（ 1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前5 個元素： a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 q 稱作為基本元素。只要已知這5 個元素中的任意3 個，便可求出其余2個，即知 3 求 2。（ 2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)；an a1 qn 1如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，aa2（公比為 q ，中間項(xiàng)用 a 表示）；q2 , a,aq, aqq- 3 -8. 等比數(shù)列的性質(zhì)(1) 當(dāng) q 1 時等比數(shù)列通項(xiàng)公式ana1qn1a1 qnA BnA B0 是關(guān)于 n 的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)， 底數(shù)為公比 qqa1 1qnn前

11、 n 項(xiàng)和 Sna1a1qa1a1 qnA A BnA ' BnA ' ，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反1q1 q1 q1 q數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q(2) 對任何 m,nN * ,在等比數(shù)列 an 中,有 anamqn m ,特別的 ,當(dāng) m=1 時 ,便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 .因此 ,此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t N * ),則 anam asat .特別的 ,當(dāng) n+m=2k 時 ,得 an am ak2注： a1 an a2 an 1a3an 2(4) 列 an , bn 為等比數(shù)列 ,則數(shù)列 k , kan

12、, ank , k an bn an (k 為非零常數(shù) ) 均為等比數(shù)anbn列 .(5) 數(shù)列 an 為等比數(shù)列 ,每隔 k(kN * )項(xiàng)取出一項(xiàng) ( am , am k ,am 2k , am 3k ,)仍為等比數(shù)列(6) 如果 an 是各項(xiàng)均為正數(shù)的 等比數(shù)列 ,則數(shù)列 log a an 是等差數(shù)列(7)若 an 為等比數(shù)列 ,則數(shù)列 Sn ， S2nSn ， S3n S2 n ,，成等比數(shù)列(8)若 an 為等比數(shù)列 ,則數(shù)列 a1 a2an ,an 1an2a2n ,a2 n 1 a2 n 2a3n 成等比數(shù)列(9)當(dāng) q1 時，當(dāng) 0<q1時，a，則為遞增數(shù)列a，則 a為遞

13、減數(shù)列0 a 0 1，則 n為遞減數(shù)列 ,1，則n為遞增數(shù)列a1 0 an a1 0 an 當(dāng) q=1 時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）;當(dāng) q<0 時,該數(shù)列為擺動數(shù)列 .(10)在等比數(shù)列 an 中, 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為 2n (nN*)時, S奇1,.S偶q(11)若 an 是公比為 q 的等比數(shù)列 ,則 Sn mSn qnSm例 1、（1）設(shè) an是等差數(shù)列，且a1a4 a8a12a15 2 ，求 a3a13 及 S15 值。（ 2）等比數(shù)列an 中， a1an66， a2 an 1128n，求 n 和公比 q 。，前 n 項(xiàng)和 S =126（ 3）等比數(shù)列中， q=2， S99

14、=77，求 a3+a6+ +a99；（ 4）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列an 中，奇數(shù)項(xiàng)之和為 80，偶數(shù)項(xiàng)之和為 75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)。- 4 -解：（1 ）由已知可得a82，所以 a3a13 =2 a8415=15 a1a1515a830， S22 由題 n a1an128, a1an66，所以a12或a164an64an2a1an q126q2q12又 Snq,所以或1n6n63QS99a1 a4 L a97a2a6 L a98a3a6L a9911a6 L a99a3 a6 L a9944q21 a3q評注：分解重組，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)（a1a4La97 ）、（ a2a6La98 ）與（ a3a

15、6L a99 ）的關(guān)系，從而使問題獲得簡單的解法。S奇a1a2n 1 nn802n 164 設(shè)等差數(shù)列共 2n-1 項(xiàng) ,則a2a2n 2 ( n 1)n 1 75S偶2所以此數(shù)列共31 項(xiàng) .中間項(xiàng)S奇S偶80755評注：（ 1）在項(xiàng)數(shù)為2n1 項(xiàng)的等差數(shù)列 an 中， S奇 =(n+1) a中,S偶 =na中 ,S=(2 n+1) a中 ；2n +1（ 2）在項(xiàng)數(shù)為2n 項(xiàng)的等差數(shù)列 an 中 S奇 =nan ,S偶 =nan1 ,S2n +1=n(anan1 ) 變式：（ 1）若一個等差數(shù)列前3 項(xiàng)的和為 34，最后三項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390 ,則這個數(shù)列有13 項(xiàng)；（ 2）

16、已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列 ,且 an >0 , nN * , a3a52a4a6a5 a781，則a4 a69（ 3）等差數(shù)列前 m 項(xiàng)和是 30 ，前 2m 項(xiàng)和是 100，則它的前 3m 項(xiàng)和是 210 (4) 等差數(shù)列 an 和 bn的前 n 項(xiàng)之和之比為 (3n+1)： (2n+3),求 . a15 。（ = 88 ）b1561例 2、設(shè)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)之和為 Sn ，已知 a3=12，S12>0， S13<0，（ 1）求公差 d 的取值范圍。（ 2）指出 S1， S2， S3， Sn中哪一個值最大，并說明理由。解：（1 ） S1212a112 11 d0， S

17、1313a11213 d0 ，即2a111d0a16d，220由 a3a12d12 ,代入得：24d3 。760（ 2）解一：由S12a6a7， S1313a70 可知 a60 , a70 ，所以6S 最大。解二： Snd n2125dn ，由24d3可知，它的圖象是開口向下的拋物線上的一群離散的227點(diǎn)，根據(jù)圖象可知 S6最大。2d (5d 24) 2 ，由解三： Sndn5d2424d3得22d22d765d 2413 。又拋物線開口向下，所以S6 最大。2d2評注：求等差數(shù)列 Sn 最值有三法： 借助求和公式是關(guān)于n 的二次函數(shù)的特點(diǎn),用配方法求解 ;借助等差數(shù)列的性質(zhì)判斷 ,通過 ”轉(zhuǎn)

18、折項(xiàng) ”求解 ; 借助二次函數(shù)圖象求解。 （經(jīng)過原點(diǎn) ）變式 ： (1) 已知等差數(shù)列 an中， a10, S5123nS12 ，問 S， S ，S， S中哪一個值最大。- 5 -(2) 數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 1000，公比為1 的等比數(shù)列，數(shù)列b n 滿足110bk(lg a1lg a2Llg ak ) ( kN*)，k（ 1）求數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和的最大值； （ 2）求數(shù)列 |b n | 的前 n 項(xiàng)和 Sn 略解：（ 1）由題得 an104n ， lg an4n ， lgan 是首項(xiàng)為3，公差為1的 AP。 lg alg aLlg a3kk( k1)， bn13nn( n 1)7

19、n12k2n22bn0，得 6n7 ，數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和的最大值為 S6S721由2bn10（2）由（ 1）當(dāng) n7 時， b0 ，當(dāng)n7時， b0 ，nn37n1 n2 13 n當(dāng) n 7 時， Snb1b2L bn (2 )n244當(dāng) n7 時， Snb1 L b7b8L bn2S7Sn1 n213 n 211 n213 n44(n7) Sn441 n213 n21(n7)44例 3、 (1) 由正數(shù)組成的等比數(shù)列 an ，若前2n項(xiàng)之和等于它前2n 項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的11 倍，第 3 項(xiàng)與第 4項(xiàng)之和為第 2 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)之積的11 倍，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式a1 (1q2

20、n )11a1q(1 q2n )解：當(dāng) q 1 時，得 2na111na1 不成立， q1，1q1q2a1q2a1q311a1qa1q3由得 q1，代入得 a110 ， an( 1 ) n2 1010說明：用等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式時，一定要注意討論公比是否為1(2) 若數(shù)列 an 成等差數(shù)列，且 Smn, Snm(m n) ，求 Snm 解：（法一）基本量法（略） ；（法二）設(shè) SnAn2Bn ，則An2Bnm(1)Am2Bmn(2)(1) (2) 得： (n2m2 ) A(nm) Bmn ， Q mn ， (m n) AB1， Sn m(nm)2 A(nm) B(nm) 評注：法二抓住了等差

21、數(shù)列前n 項(xiàng)和的特征 SnAn 2Bn 。變式： 設(shè)數(shù)列 an 為等差數(shù)列， Sn 為數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，已知 S7=7， S15=75,Tn 為數(shù)列 Sn的前 n 項(xiàng)和，求 Tn。nS7a176 d 7解：法一：（基本量法）設(shè) an首項(xiàng)為 a721，公差為d，則15 14 dS15a175152a12 Sn2n(n1) ，Sn2n1n5n2d 1222- 6 - 此式為 n 的一次函數(shù)， Sn為等差數(shù)列，T n12annn 。44法二： anSA7 27B7為等差數(shù)列，設(shè)n27S =An +Bn，S15A15215B75A12125解之得：Snnn ，下略。B5222例 4、已知等差數(shù)

22、列 110,116,122,L ，（ 1）在區(qū)間 450,600 上，該數(shù)列有多少項(xiàng)？并求它們的和；（ 2）在區(qū)間 450,600 上，該數(shù)列有多少項(xiàng)能被 5 整除？并求它們的和 .解： an 110 6( n1)6n104，（ 1）由 4506n104600，得58 n82，又 nN *, 該數(shù)列在450,600上有 25 項(xiàng),其和 Sn1( a58a82 )25 131002（ 2） an1106(n1) ，要使 an 能被 5 整除，只要 n1能被 5 整除，即 n 15k ， n5k 1，585k 182 ， 12k16 ，在區(qū)間450,600 上該數(shù)列中能被5 整除的項(xiàng)共有5 項(xiàng)即第

23、61,66,71,76,81項(xiàng)，其和S5(a61a81 )2650 2等差、等比數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用復(fù)習(xí)參考題一、選擇題1.在正整數(shù) 100至 500 之間能被11 整除的個數(shù)為（）A.34B.35C.36D.372. an 是等差數(shù)列，且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,則 a3+a6+a9 的值是（）A.24B.27C.30D.332 f (n)n）3.設(shè)函數(shù) f(x)滿足 f(n+1)=2(n N* )且 f(1)=2, 則 f(20)為（A.95B.97C.105D.1924. 若 an 是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10, a2003a20040, a2003 .a20040 ，則使前

24、 n 項(xiàng)和Sn 0 成立的最大自然數(shù)n 是：（ ）A 4005B 4006C 4007D 4008n1n*,則 n(n 3)的最大值為（）5.等差數(shù)列 a 中，已知 a =6,a =0,公差 d NA.5B.6C.7D.86. 設(shè)命題甲 :ABC的一個內(nèi)角為 60o，命題乙 : ABC的三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列 .那么 ( )(A)甲是乙的充分不必要條件(B)甲是乙的必要不充分條件(C)甲是乙的充要條件(D)甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7.已知等差數(shù)列 an 的公差為正數(shù)，且a3·a7= 12,a4+a6= 4,則 S20 為（）A.180B. 180C.90D. 908. 現(xiàn)有 200 根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能的少，那么剩余鋼管的根數(shù)為（）A.9B.10C.19D.299.由公差為 d 的等差數(shù)列 a 、 a 、 a 重新組成的數(shù)列 a +a , a +a , a +a 是（）123142536A. 公差為 d 的等差數(shù)列B. 公差為2d 的等差數(shù)列- 7 -C.公差為 3d 的等差數(shù)列D.非等差數(shù)列10.在等差數(shù)列 a 中，若 S =18,S =24