實驗二 連續(xù)時間信號的頻域分析

1、精選文檔實驗二 連續(xù)時間信號的頻域分析一、實驗?zāi)康?、掌握連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)的物理意義和分析方法；2、觀察截短傅里葉級數(shù)而產(chǎn)生的“Gibbs現(xiàn)象”，了解其特點(diǎn)以及產(chǎn)生的原因；3、掌握連續(xù)時間傅里葉變換的分析方法及其物理意義；4、掌握各種典型的連續(xù)時間非周期信號的頻譜特征以及傅里葉變換的主要性質(zhì)；5、學(xué)習(xí)掌握利用Matlab語言編寫計算CTFS、CTFT和DTFT的仿真程序，并能利用這些程序?qū)σ恍┑湫托盘栠M(jìn)行頻譜分析，驗證CTFT、DTFT的若干重要性質(zhì)。基本要求：掌握并深刻理傅里葉變換的物理意義，掌握信號的傅里葉變換的計算方法，掌握利用Matlab編程完成相關(guān)的傅里葉變換的計算。二、

2、原理說明1、連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)CTFS分析任何一個周期為T1的正弦周期信號，只要滿足狄利克利條件，就可以展開成傅里葉級數(shù)。三角傅里葉級數(shù)為： 2.1或： 2.2其中，稱為信號的基本頻率（Fundamental frequency），分別是信號的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，為合并同頻率項之后各正弦諧波分量的幅度和初相位，它們都是頻率的函數(shù)，繪制出它們與之間的圖像，稱為信號的頻譜圖（簡稱“頻譜”），圖像為幅度譜，圖像為相位譜。三角形式傅里葉級數(shù)表明，如果一個周期信號x(t)，滿足狄里克利條件，就可以被看作是由很多不同頻率的互為諧波關(guān)系（harmonically related）

3、的正弦信號所組成，其中每一個不同頻率的正弦信號稱為正弦諧波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude）為。也可以反過來理解三角傅里葉級數(shù)：用無限多個正弦諧波分量可以合成一個任意的非正弦周期信號。指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為： 2.3其中，為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，按如下公式計算： 2.4指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)告訴我們，如果一個周期信號x(t)，滿足狄里克利條件，那么，它就可以被看作是由很多不同頻率的互為諧波關(guān)系（harmonically related）的周期復(fù)指數(shù)信號所組成，其中每一個不同頻率的周期復(fù)指數(shù)信號稱為基本頻率分量，其復(fù)幅度（complex amplit

4、ude）為。這里“復(fù)幅度（complex amplitude）”指的是通常是復(fù)數(shù)。上面的傅里葉級數(shù)的合成式說明，我們可以用無窮多個不同頻率的周期復(fù)指數(shù)信號來合成任意一個周期信號。然而，用計算機(jī)（或任何其它設(shè)備）合成一個周期信號，顯然不可能做到用無限多個諧波來合成，只能取這些有限個諧波分量來近似合成。假設(shè)諧波項數(shù)為N，則上面的和成式為： 2.5顯然，N越大，所選項數(shù)越多，有限項級數(shù)合成的結(jié)果越逼近原信號x(t)。本實驗可以比較直觀地了解傅里葉級數(shù)的物理意義，并觀察到級數(shù)中各頻率分量對波形的影響包括“Gibbs”現(xiàn)象：即信號在不連續(xù)點(diǎn)附近存在一個幅度大約為9%的過沖，且所選諧波次數(shù)越多，過沖點(diǎn)越向

5、不連續(xù)點(diǎn)靠近。這一現(xiàn)象在觀察周期矩形波信號和周期鋸齒波信號時可以看得很清楚。2、連續(xù)時間信號傅里葉變換-CTFT 傅里葉變換在信號分析中具有非常重要的意義，它主要是用來進(jìn)行信號的頻譜分析的。傅里葉變換和其逆變換定義如下： 2.6 2.7 連續(xù)時間傅里葉變換主要用來描述連續(xù)時間非周期信號的頻譜。按照教材中的說法，任意非周期信號，如果滿足狄里克利條件，那么，它可以被看作是由無窮多個不同頻率（這些頻率都是非常的接近）的周期復(fù)指數(shù)信號ejwt的線性組合構(gòu)成的，每個頻率所對應(yīng)的周期復(fù)指數(shù)信號ejwt稱為頻率分量（frequency component），每個頻率的幅度為對應(yīng)頻率的|X(jw)|之值，其相

6、位為對應(yīng)頻率的X(jw)的相位。X(jw)通常為復(fù)函數(shù)，可以按照復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示方法表示為：X(jw)=| X(jw)|ejÐ X(jw)其中，| X(jw)|稱為x(t)的幅度譜，而ÐX(jw)則稱為x(t)的相位譜。 給定一個連續(xù)時間非周期信號x(t)，它的頻譜也是連續(xù)且非周期的。對于連續(xù)時間周期信號，也可以用傅里葉變換來表示其頻譜，其特點(diǎn)是，連續(xù)時間周期信號的傅里葉變換由沖激序列構(gòu)成的，是離散的這是連續(xù)時間周期信號的傅里葉變換的基本特征。4.1 傅里葉級數(shù)的Matlab計算設(shè)周期信號x(t)的基本周期為T1，且滿足狄里克利條件，則其傅里葉級數(shù)的系數(shù)可由式2.4計算得到

7、。式2.4重寫如下：基本頻率為： 對周期信號進(jìn)行分析時，我們往往只需對其在一個周期內(nèi)進(jìn)行分析即可，通常選擇主周期（Principle period）。假定x1(t)是x(t)中的主周期，則計算機(jī)不能計算無窮多個系數(shù)，所以我們假設(shè)需要計算的諧波次數(shù)為N，則總的系數(shù)個數(shù)為2N+1個。在確定了時間范圍和時間變化的步長即T1和dt之后，對某一個系數(shù)，上述系數(shù)的積分公式可以近似為： 對于全部需要的2N+1個系數(shù)，上面的計算可以按照矩陣運(yùn)算實現(xiàn)。Matlab實現(xiàn)系數(shù)計算的程序如下：dt = 0.01; T = 2; t = -T/2:dt:T/2; w0 = 2*pi/T;x1 = input(Type

8、in the periodic signal x(t) over one period x1(t)=);N = input(Type in the number N=); k = -N:N; L = 2*N+1; ak = x1*exp(-j*k*w0*t)*dt/T;需要強(qiáng)調(diào)的是，時間變量的變化步長dt的大小對傅里葉級數(shù)系數(shù)的計算精度的影響非常大，dt越小，精度越高，但是，計算機(jī)計算所花的時間越長。5、用Matlab實現(xiàn)CTFT及其逆變換的計算5.1 用Matlab實現(xiàn)CTFT的計算Matlab進(jìn)行傅里葉變換有兩種方法，一種利用符號運(yùn)算的方法計算，另一種是數(shù)值計算，本實驗要求采用數(shù)值計算的方

9、法來進(jìn)行傅里葉變換的計算。嚴(yán)格來說，用數(shù)值計算的方法計算連續(xù)時間信號的傅里葉變換需要有個限定條件，即信號是時限信號（Time limited signal），也就是當(dāng)時間|t|大于某個給定時間時其值衰減為零或接近于零，這個條件與前面提到的為什么不能用無限多個諧波分量來合成周期信號的道理是一樣的。計算機(jī)只能處理有限大小和有限數(shù)量的數(shù)。采用數(shù)值計算算法的理論依據(jù)是： 若信號為時限信號，當(dāng)時間間隔T取得足夠小時，上式可演變?yōu)椋荷鲜接肕atlab表示為： X=x*exp(j*t*w)*T其中X為信號x(t)的傅里葉變換，w為頻率，T為時間步長。相應(yīng)的Matlab程序：T = 0.01; dw = 0.

10、1; %時間和頻率變化的步長t = -10:T:10;w = -4*pi:dw:4*pi;X(jw)可以按照下面的矩陣運(yùn)算來進(jìn)行：X=x*exp(-j*t*w)*T; %傅里葉變換X1=abs(X); %計算幅度譜phai=angle(X); %計算相位譜為了使計算結(jié)果能夠直觀地表現(xiàn)出來，還需要用繪圖函數(shù)將時間信號x(t)，信號的幅度譜|X(jw)|和相位譜Ð X(jw)分別以圖形的方式表現(xiàn)出來，并對圖形加以適當(dāng)?shù)臉?biāo)注。四、實驗步驟及內(nèi)容6、編寫程序，繪制下面的信號的波形圖： 其中，w0 = 0.5，要求將一個圖形窗口分割成四個子圖，分別繪制cos(w0t)、cos(3w0t)、co

11、s(5w0t) 和x(t) 的波形圖，給圖形加title，網(wǎng)格線和x坐標(biāo)標(biāo)簽。dt=0.002;%定義時間間隔t=-2:dt:2;%設(shè)置時間起始和截止w0=0.5*pi;%題目要求，定義wox1=cos(w0*t);%輸入信號x1subplot(221);%將信號1的圖形放在兩行兩列中的第一個plot(t,x1),grid on;%輸出信號1的圖形，并加網(wǎng)格x2=cos(3*w0*t);%輸入信號x2subplot(222);%將信號2的圖形放在兩行兩列中的第二個plot(t,x2),grid on;%輸出信號2的圖形，并加網(wǎng)格x3=cos(5*w0*t);%輸入信號3subplot(223)

12、;%將信號3的圖形放在兩行兩列中的第三個plot(t,x3),grid on;%輸出信號3的圖形，并加網(wǎng)格ak=0;%設(shè)傅里葉系數(shù)的初始值為0for n=1:9%循環(huán)計算9次傅里葉系數(shù)ak=ak+(-1).(n+1).*(1/(2*n-1).*cos(2*n-1).*w0*t);%計算傅里葉系數(shù)endsubplot(224);%將該圖形放在兩行兩列中的第四個plot(t,ak),grid on;%輸入該圖形，以t為橫坐標(biāo)，ak為縱坐標(biāo)，并加網(wǎng)格7、給定如下兩個周期信號：編寫程序，計算x1(t)和x2(t)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，分別寫出ak從-10到10共21個系數(shù)；仿照程序Program2_2，

13、計算并繪制出原始信號x1(t)和x2(t)的波形圖，畫出用有限項級數(shù)合成的y1(t)和y2(t)的波形圖，以及x1(t) 和x2(t)的幅度頻譜和相位頻譜的譜線圖。反復(fù)執(zhí)行該程序，輸入不同的N值，觀察合成的信號波形中，是否會產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象？為什么？clear,close allT=2;dt=0.00001; %定義周期T=2，時間間隔dt為0.00001，t=-T/2:dt:T/2; %時間軸的起始和截止x1=u(t+0.2)-u(t-0.2);%輸入信號1x=0;%給x附初值為0t1=-2*T:dt:2*T;%定義t1時間軸的起始和截止for m=-2:2 x=x+u(t1+0.2-m*

14、T)-u(t1-0.2-m*T);%定期延長x1(t)形成一個周期性的信號endsubplot(221)%將該圖形放在兩行兩列的第一個plot(t1,x)%以t1為橫坐標(biāo)，x為縱坐標(biāo)畫圖axis(-2*T,2*T,-0.2,1.2)%圖形的橫坐標(biāo)從-2T到2T，縱坐標(biāo)從-0.2到1.2title('x(t)')%命名x（t）xlabel('Time t')%軸命名Time tw0=2*pi/T;%定義頻率w0N=10;%諧波組件的數(shù)量為10L=2*N+1;for k=-N:N; ak(N+1+k)=x1*exp(-j*k*w0*t')*dt/T;%計算傅

15、里葉系數(shù)的值endphi=angle(ak);%計算ak的階段值y=0;for q=1:L; y=y+ak(q)*exp(j*(q-1-N)*2*pi*t1/T);%分析周期性信號y從有限傅里葉級數(shù)(t)end;subplot(222)%將圖形放在兩行兩列中的第二位plot(t1,y)%以t1為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)畫圖axis(-2*T,2*T,-0.2,1.2)%圖形的橫坐標(biāo)從-2T到2T，縱坐標(biāo)從-0.2到1.2title('有限項級數(shù)合成后的信號')%命名有限項級數(shù)合成后的信號xlabel('Time t')%橫軸命名Time tk=-N:N;subplot

16、(223)stem(k,abs(ak)axis(-N,N,0,1)%限定橫縱坐標(biāo)范圍title('abs(ak)')%命名xlabel('Frequency index k')%橫軸命名subplot(224)stem(k,phi)%作圖axis(-N,N,-pi,pi)%圖形的橫坐標(biāo)從-N到N，縱坐標(biāo)從-PI到PItitle('phi')%命名phixlabel('Frequency index k')%橫軸命名'Frequency index k'T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2

17、;%定義周期，時間間隔，時間軸長度x1=(1-t).*(u(t)-u(t-1)+(t+1).*(u(t+1)-u(t); x = 0;%輸入信號x1for m = -1:1 x = x +(1-t+2*m).*(u(t-2*m)-u(t-1-2*m)+(t+1-2*m).*(u(t+1-2*m)-u(t-2*m); %使信號周期化endw0 = 2*pi/T;%定義w0N = input('Type in the number of the harmonic components N = :');%輸入N值L = 2*N+1;%定義Lfor k = -N:1:N;%定義區(qū)間ak

18、(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;%做傅里葉變換endphi = angle(ak); %計算相位譜y=0;for q = 1:L; y = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T);%周期化end;subplot(221)%將圖形放在兩行兩列的第一位plot(t,x), title('The original signal x(t)'), axis(-2,2,-0.2,1.2),%以t為橫坐標(biāo)x為縱坐標(biāo)畫圖，并命名和確定橫縱軸的長度subplot(223), plot(t,y), title

19、('The synthesis signal y(t)'), axis(-2,2,-0.2,1.2), xlabel('Time t'),subplot(222)k=-N:N; stem(k,abs(ak),'k.'), title('The amplitude |ak| of x(t)'), axis(-N,N,-0.1,0.6)subplot(224)stem(k,phi,'r.'), title('The phase phi(k) of x(t)'), axis(-N,N,-2,2), xla

20、bel('Index k')clear,close allT=2;dt=0.001;t=-T/2:dt:T/2;%定義周期，時間，時間間隔w=0.5*pi;%定義頻率wN=10;%輸入諧波組件的數(shù)量L = 2*N+1;%x1=cos(pi/2)*t).*(u(t+1)-u(t-1);%輸入信號x1subplot(241)%將圖形放在兩行兩列的第一位plot(t,x1)%以t為橫坐標(biāo)，x1為縱坐標(biāo)畫圖for k=-N:1:N% ak(N+1+k)=(1/T)*x1*exp(-j*k*w*t')*dt;%計算傅里葉級數(shù)endphi = angle(ak);%計算ak的階段值

21、y=0;%for q = 1:L; % y = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T);%分析周期性信號y從有限傅里葉級數(shù)(t)endsubplot(242)%將圖形放在兩行兩列的第二位plot(t,y)%以t為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)畫圖subplot(243),%將圖形放在兩行兩列的第三位k=-N:N; stem(k,abs(ak),'k.')%作圖subplot(244)%將圖形放在兩行兩列的第四位stem(k,phi,'r.')%作圖t=-2:0.01:2;%定義時間軸長度w=-4*pi:0.1:4*pi;%定義頻率w的長度及間隔X=x1*exp(-j*t'*w)*T;%x1的傅里葉變換x1=(t+2).*(u(t+2)-u(t+1)+1.*(u(t+1)-u(t-1)+(-t+2).*(u(t-1)-u(t-2)%輸入信號x1X2=abs(X);%計算幅度