實(shí)驗(yàn)二 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析

1、精選文檔實(shí)驗(yàn)二 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、掌握連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的物理意義和分析方法；2、觀察截短傅里葉級(jí)數(shù)而產(chǎn)生的“Gibbs現(xiàn)象”，了解其特點(diǎn)以及產(chǎn)生的原因；3、掌握連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的分析方法及其物理意義；4、掌握各種典型的連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的頻譜特征以及傅里葉變換的主要性質(zhì)；5、學(xué)習(xí)掌握利用Matlab語(yǔ)言編寫計(jì)算CTFS、CTFT和DTFT的仿真程序，并能利用這些程序?qū)σ恍┑湫托盘?hào)進(jìn)行頻譜分析，驗(yàn)證CTFT、DTFT的若干重要性質(zhì)?；疽螅赫莆詹⑸羁汤砀道锶~變換的物理意義，掌握信號(hào)的傅里葉變換的計(jì)算方法，掌握利用Matlab編程完成相關(guān)的傅里葉變換的計(jì)算。二、

2、原理說明1、連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)CTFS分析任何一個(gè)周期為T1的正弦周期信號(hào)，只要滿足狄利克利條件，就可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)。三角傅里葉級(jí)數(shù)為： 2.1或： 2.2其中，稱為信號(hào)的基本頻率（Fundamental frequency），分別是信號(hào)的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，為合并同頻率項(xiàng)之后各正弦諧波分量的幅度和初相位，它們都是頻率的函數(shù)，繪制出它們與之間的圖像，稱為信號(hào)的頻譜圖（簡(jiǎn)稱“頻譜”），圖像為幅度譜，圖像為相位譜。三角形式傅里葉級(jí)數(shù)表明，如果一個(gè)周期信號(hào)x(t)，滿足狄里克利條件，就可以被看作是由很多不同頻率的互為諧波關(guān)系（harmonically related）

3、的正弦信號(hào)所組成，其中每一個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)稱為正弦諧波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude）為。也可以反過來理解三角傅里葉級(jí)數(shù)：用無限多個(gè)正弦諧波分量可以合成一個(gè)任意的非正弦周期信號(hào)。指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為： 2.3其中，為指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，按如下公式計(jì)算： 2.4指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)告訴我們，如果一個(gè)周期信號(hào)x(t)，滿足狄里克利條件，那么，它就可以被看作是由很多不同頻率的互為諧波關(guān)系（harmonically related）的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)所組成，其中每一個(gè)不同頻率的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)稱為基本頻率分量，其復(fù)幅度（complex amplit

4、ude）為。這里“復(fù)幅度（complex amplitude）”指的是通常是復(fù)數(shù)。上面的傅里葉級(jí)數(shù)的合成式說明，我們可以用無窮多個(gè)不同頻率的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)來合成任意一個(gè)周期信號(hào)。然而，用計(jì)算機(jī)（或任何其它設(shè)備）合成一個(gè)周期信號(hào)，顯然不可能做到用無限多個(gè)諧波來合成，只能取這些有限個(gè)諧波分量來近似合成。假設(shè)諧波項(xiàng)數(shù)為N，則上面的和成式為： 2.5顯然，N越大，所選項(xiàng)數(shù)越多，有限項(xiàng)級(jí)數(shù)合成的結(jié)果越逼近原信號(hào)x(t)。本實(shí)驗(yàn)可以比較直觀地了解傅里葉級(jí)數(shù)的物理意義，并觀察到級(jí)數(shù)中各頻率分量對(duì)波形的影響包括“Gibbs”現(xiàn)象：即信號(hào)在不連續(xù)點(diǎn)附近存在一個(gè)幅度大約為9%的過沖，且所選諧波次數(shù)越多，過沖點(diǎn)越向

5、不連續(xù)點(diǎn)靠近。這一現(xiàn)象在觀察周期矩形波信號(hào)和周期鋸齒波信號(hào)時(shí)可以看得很清楚。2、連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉變換-CTFT 傅里葉變換在信號(hào)分析中具有非常重要的意義，它主要是用來進(jìn)行信號(hào)的頻譜分析的。傅里葉變換和其逆變換定義如下： 2.6 2.7 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換主要用來描述連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的頻譜。按照教材中的說法，任意非周期信號(hào)，如果滿足狄里克利條件，那么，它可以被看作是由無窮多個(gè)不同頻率（這些頻率都是非常的接近）的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)ejwt的線性組合構(gòu)成的，每個(gè)頻率所對(duì)應(yīng)的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)ejwt稱為頻率分量（frequency component），每個(gè)頻率的幅度為對(duì)應(yīng)頻率的|X(jw)|之值，其相

6、位為對(duì)應(yīng)頻率的X(jw)的相位。X(jw)通常為復(fù)函數(shù)，可以按照復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示方法表示為：X(jw)=| X(jw)|ejÐ X(jw)其中，| X(jw)|稱為x(t)的幅度譜，而ÐX(jw)則稱為x(t)的相位譜。 給定一個(gè)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)x(t)，它的頻譜也是連續(xù)且非周期的。對(duì)于連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，也可以用傅里葉變換來表示其頻譜，其特點(diǎn)是，連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換由沖激序列構(gòu)成的，是離散的這是連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換的基本特征。4.1 傅里葉級(jí)數(shù)的Matlab計(jì)算設(shè)周期信號(hào)x(t)的基本周期為T1，且滿足狄里克利條件，則其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)可由式2.4計(jì)算得到

7、。式2.4重寫如下：基本頻率為： 對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)，我們往往只需對(duì)其在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行分析即可，通常選擇主周期（Principle period）。假定x1(t)是x(t)中的主周期，則計(jì)算機(jī)不能計(jì)算無窮多個(gè)系數(shù)，所以我們假設(shè)需要計(jì)算的諧波次數(shù)為N，則總的系數(shù)個(gè)數(shù)為2N+1個(gè)。在確定了時(shí)間范圍和時(shí)間變化的步長(zhǎng)即T1和dt之后，對(duì)某一個(gè)系數(shù)，上述系數(shù)的積分公式可以近似為： 對(duì)于全部需要的2N+1個(gè)系數(shù)，上面的計(jì)算可以按照矩陣運(yùn)算實(shí)現(xiàn)。Matlab實(shí)現(xiàn)系數(shù)計(jì)算的程序如下：dt = 0.01; T = 2; t = -T/2:dt:T/2; w0 = 2*pi/T;x1 = input(Type

8、in the periodic signal x(t) over one period x1(t)=);N = input(Type in the number N=); k = -N:N; L = 2*N+1; ak = x1*exp(-j*k*w0*t)*dt/T;需要強(qiáng)調(diào)的是，時(shí)間變量的變化步長(zhǎng)dt的大小對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的計(jì)算精度的影響非常大，dt越小，精度越高，但是，計(jì)算機(jī)計(jì)算所花的時(shí)間越長(zhǎng)。5、用Matlab實(shí)現(xiàn)CTFT及其逆變換的計(jì)算5.1 用Matlab實(shí)現(xiàn)CTFT的計(jì)算Matlab進(jìn)行傅里葉變換有兩種方法，一種利用符號(hào)運(yùn)算的方法計(jì)算，另一種是數(shù)值計(jì)算，本實(shí)驗(yàn)要求采用數(shù)值計(jì)算的方

9、法來進(jìn)行傅里葉變換的計(jì)算。嚴(yán)格來說，用數(shù)值計(jì)算的方法計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換需要有個(gè)限定條件，即信號(hào)是時(shí)限信號(hào)（Time limited signal），也就是當(dāng)時(shí)間|t|大于某個(gè)給定時(shí)間時(shí)其值衰減為零或接近于零，這個(gè)條件與前面提到的為什么不能用無限多個(gè)諧波分量來合成周期信號(hào)的道理是一樣的。計(jì)算機(jī)只能處理有限大小和有限數(shù)量的數(shù)。采用數(shù)值計(jì)算算法的理論依據(jù)是： 若信號(hào)為時(shí)限信號(hào)，當(dāng)時(shí)間間隔T取得足夠小時(shí)，上式可演變?yōu)椋荷鲜接肕atlab表示為： X=x*exp(j*t*w)*T其中X為信號(hào)x(t)的傅里葉變換，w為頻率，T為時(shí)間步長(zhǎng)。相應(yīng)的Matlab程序：T = 0.01; dw = 0.

10、1; %時(shí)間和頻率變化的步長(zhǎng)t = -10:T:10;w = -4*pi:dw:4*pi;X(jw)可以按照下面的矩陣運(yùn)算來進(jìn)行：X=x*exp(-j*t*w)*T; %傅里葉變換X1=abs(X); %計(jì)算幅度譜phai=angle(X); %計(jì)算相位譜為了使計(jì)算結(jié)果能夠直觀地表現(xiàn)出來，還需要用繪圖函數(shù)將時(shí)間信號(hào)x(t)，信號(hào)的幅度譜|X(jw)|和相位譜Ð X(jw)分別以圖形的方式表現(xiàn)出來，并對(duì)圖形加以適當(dāng)?shù)臉?biāo)注。四、實(shí)驗(yàn)步驟及內(nèi)容6、編寫程序，繪制下面的信號(hào)的波形圖： 其中，w0 = 0.5，要求將一個(gè)圖形窗口分割成四個(gè)子圖，分別繪制cos(w0t)、cos(3w0t)、co

11、s(5w0t) 和x(t) 的波形圖，給圖形加title，網(wǎng)格線和x坐標(biāo)標(biāo)簽。dt=0.002;%定義時(shí)間間隔t=-2:dt:2;%設(shè)置時(shí)間起始和截止w0=0.5*pi;%題目要求，定義wox1=cos(w0*t);%輸入信號(hào)x1subplot(221);%將信號(hào)1的圖形放在兩行兩列中的第一個(gè)plot(t,x1),grid on;%輸出信號(hào)1的圖形，并加網(wǎng)格x2=cos(3*w0*t);%輸入信號(hào)x2subplot(222);%將信號(hào)2的圖形放在兩行兩列中的第二個(gè)plot(t,x2),grid on;%輸出信號(hào)2的圖形，并加網(wǎng)格x3=cos(5*w0*t);%輸入信號(hào)3subplot(223)

12、;%將信號(hào)3的圖形放在兩行兩列中的第三個(gè)plot(t,x3),grid on;%輸出信號(hào)3的圖形，并加網(wǎng)格ak=0;%設(shè)傅里葉系數(shù)的初始值為0for n=1:9%循環(huán)計(jì)算9次傅里葉系數(shù)ak=ak+(-1).(n+1).*(1/(2*n-1).*cos(2*n-1).*w0*t);%計(jì)算傅里葉系數(shù)endsubplot(224);%將該圖形放在兩行兩列中的第四個(gè)plot(t,ak),grid on;%輸入該圖形，以t為橫坐標(biāo)，ak為縱坐標(biāo)，并加網(wǎng)格7、給定如下兩個(gè)周期信號(hào)：編寫程序，計(jì)算x1(t)和x2(t)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，分別寫出ak從-10到10共21個(gè)系數(shù)；仿照程序Program2_2，

13、計(jì)算并繪制出原始信號(hào)x1(t)和x2(t)的波形圖，畫出用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)合成的y1(t)和y2(t)的波形圖，以及x1(t) 和x2(t)的幅度頻譜和相位頻譜的譜線圖。反復(fù)執(zhí)行該程序，輸入不同的N值，觀察合成的信號(hào)波形中，是否會(huì)產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象？為什么？clear,close allT=2;dt=0.00001; %定義周期T=2，時(shí)間間隔dt為0.00001，t=-T/2:dt:T/2; %時(shí)間軸的起始和截止x1=u(t+0.2)-u(t-0.2);%輸入信號(hào)1x=0;%給x附初值為0t1=-2*T:dt:2*T;%定義t1時(shí)間軸的起始和截止for m=-2:2 x=x+u(t1+0.2-m*

14、T)-u(t1-0.2-m*T);%定期延長(zhǎng)x1(t)形成一個(gè)周期性的信號(hào)endsubplot(221)%將該圖形放在兩行兩列的第一個(gè)plot(t1,x)%以t1為橫坐標(biāo)，x為縱坐標(biāo)畫圖axis(-2*T,2*T,-0.2,1.2)%圖形的橫坐標(biāo)從-2T到2T，縱坐標(biāo)從-0.2到1.2title('x(t)')%命名x（t）xlabel('Time t')%軸命名Time tw0=2*pi/T;%定義頻率w0N=10;%諧波組件的數(shù)量為10L=2*N+1;for k=-N:N; ak(N+1+k)=x1*exp(-j*k*w0*t')*dt/T;%計(jì)算傅

15、里葉系數(shù)的值endphi=angle(ak);%計(jì)算ak的階段值y=0;for q=1:L; y=y+ak(q)*exp(j*(q-1-N)*2*pi*t1/T);%分析周期性信號(hào)y從有限傅里葉級(jí)數(shù)(t)end;subplot(222)%將圖形放在兩行兩列中的第二位plot(t1,y)%以t1為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)畫圖axis(-2*T,2*T,-0.2,1.2)%圖形的橫坐標(biāo)從-2T到2T，縱坐標(biāo)從-0.2到1.2title('有限項(xiàng)級(jí)數(shù)合成后的信號(hào)')%命名有限項(xiàng)級(jí)數(shù)合成后的信號(hào)xlabel('Time t')%橫軸命名Time tk=-N:N;subplot

16、(223)stem(k,abs(ak)axis(-N,N,0,1)%限定橫縱坐標(biāo)范圍title('abs(ak)')%命名xlabel('Frequency index k')%橫軸命名subplot(224)stem(k,phi)%作圖axis(-N,N,-pi,pi)%圖形的橫坐標(biāo)從-N到N，縱坐標(biāo)從-PI到PItitle('phi')%命名phixlabel('Frequency index k')%橫軸命名'Frequency index k'T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2

17、;%定義周期，時(shí)間間隔，時(shí)間軸長(zhǎng)度x1=(1-t).*(u(t)-u(t-1)+(t+1).*(u(t+1)-u(t); x = 0;%輸入信號(hào)x1for m = -1:1 x = x +(1-t+2*m).*(u(t-2*m)-u(t-1-2*m)+(t+1-2*m).*(u(t+1-2*m)-u(t-2*m); %使信號(hào)周期化endw0 = 2*pi/T;%定義w0N = input('Type in the number of the harmonic components N = :');%輸入N值L = 2*N+1;%定義Lfor k = -N:1:N;%定義區(qū)間ak

18、(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;%做傅里葉變換endphi = angle(ak); %計(jì)算相位譜y=0;for q = 1:L; y = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T);%周期化end;subplot(221)%將圖形放在兩行兩列的第一位plot(t,x), title('The original signal x(t)'), axis(-2,2,-0.2,1.2),%以t為橫坐標(biāo)x為縱坐標(biāo)畫圖，并命名和確定橫縱軸的長(zhǎng)度subplot(223), plot(t,y), title

19、('The synthesis signal y(t)'), axis(-2,2,-0.2,1.2), xlabel('Time t'),subplot(222)k=-N:N; stem(k,abs(ak),'k.'), title('The amplitude |ak| of x(t)'), axis(-N,N,-0.1,0.6)subplot(224)stem(k,phi,'r.'), title('The phase phi(k) of x(t)'), axis(-N,N,-2,2), xla

20、bel('Index k')clear,close allT=2;dt=0.001;t=-T/2:dt:T/2;%定義周期，時(shí)間，時(shí)間間隔w=0.5*pi;%定義頻率wN=10;%輸入諧波組件的數(shù)量L = 2*N+1;%x1=cos(pi/2)*t).*(u(t+1)-u(t-1);%輸入信號(hào)x1subplot(241)%將圖形放在兩行兩列的第一位plot(t,x1)%以t為橫坐標(biāo)，x1為縱坐標(biāo)畫圖for k=-N:1:N% ak(N+1+k)=(1/T)*x1*exp(-j*k*w*t')*dt;%計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)endphi = angle(ak);%計(jì)算ak的階段值

21、y=0;%for q = 1:L; % y = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T);%分析周期性信號(hào)y從有限傅里葉級(jí)數(shù)(t)endsubplot(242)%將圖形放在兩行兩列的第二位plot(t,y)%以t為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)畫圖subplot(243),%將圖形放在兩行兩列的第三位k=-N:N; stem(k,abs(ak),'k.')%作圖subplot(244)%將圖形放在兩行兩列的第四位stem(k,phi,'r.')%作圖t=-2:0.01:2;%定義時(shí)間軸長(zhǎng)度w=-4*pi:0.1:4*pi;%定義頻率w的長(zhǎng)度及間隔X=x1*exp(-j*t'*w)*T;%x1的傅里葉變換x1=(t+2).*(u(t+2)-u(t+1)+1.*(u(t+1)-u(t-1)+(-t+2).*(u(t-1)-u(t-2)%輸入信號(hào)x1X2=abs(X);%計(jì)算幅度