直線與圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及例題

1、直線和圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線1,如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線1重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線1與X軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0;（2）傾斜角的范圍0,。如（1）直線xcosM3y20的傾斜角的范圍是（答：0,U5,）；66傾斜角的取值范圍是0°&<180°.傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示.傾斜角是90。的直線沒有斜率.（2）過點(diǎn)P（v3,1）,Q（0,m）的直線的傾斜角的范圍_,2_,那么m值的范圍是33（答

2、：m2或m4）2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的余率k,即k=tan（W90°）;傾斜角為90°的直線沒有斜率；（2）斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)（%，h）、P2（X2,y2）的直線的斜率為ky-y2X1X2;（3）直線的方跑X1x2,一r向量a（1,k）,直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？（4）應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線：kABkBC。如（1）兩條直線鐘率相等是這兩條直線平行的條件（答：既不充分也不必要）；（2）實(shí)數(shù)X,y滿足3x2y50（1x3）,則上的最大值、最小x值分另I為（答：2,1）33、直線的方程：（1）點(diǎn)斜式：已知直

3、線過點(diǎn)（X0,y0）斜率為k,則直線方程為yy0k（xx0），它不包括垂直于x軸的直線。直線的斜率k0時(shí)，直線方程為yy1；當(dāng)直線的斜率k不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式求它的方程，這時(shí)的直線方程為xXi.（2）斜截式：已知直線在y軸上的截距為b和斜率k,則直線方程為ykxb,它不包括垂直于x軸的直線。（3）兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過F（x1,y1）>P2（x2,y2）兩點(diǎn)，則直線方程為yy1XX1,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。若要包含傾斜角為00或900的y2y1X2X1直線，兩點(diǎn)式應(yīng)變?yōu)椋▂y1）（x2X1）（xX1）（y2y1）的形式.（4）截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a,b,則直線方程

4、為-21,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線ab和過原點(diǎn)的直線。（5）一般式：任何直線均可寫成AxByC0（A,B不同日寸為0）的形式。如（1）經(jīng)過點(diǎn)（2,1）且方向向量為v=（1,J3）的直線的點(diǎn)斜式方程是（答：y1向x2）；（2）直線阿2）x（2m1）y（3m4）0,不管m怎樣變化恒過點(diǎn)（答：（1,2）;（3）若曲線ya|x|與yxa（a0）有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是（答：a1）提醒：（1）直線方程的各種形式都有局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率

5、為1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)。如過點(diǎn)A（1,4）,且縱橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有一條（答：3）4.設(shè)直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距b,常設(shè)其方程為ykxb；（2）知直線橫截距x0,常設(shè)其方程為xmyx0（它不適用于斜率為0的直線）；（3）知直線過點(diǎn)（x0,y0）,當(dāng)斜率k存在時(shí)，常設(shè)其方程為yk（xx°）y°,當(dāng)斜率k不存在時(shí)，則其方程為xx0；（4）與直線l:AxByC0平行的直線可表示為AxByC10；（5）與直線l:AxByC0垂直的直線可表示為BxAyC10.提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用

6、待定系數(shù)法求解。5、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離：1|AXoBy。C（1）點(diǎn)P（x0,y0）到直線AxByC0的距離d0：;,A2B2（2）兩平行線|1小* ByC1 0,l2 : Ax By CC1 C20間的距離為d ) 01A2 B'6、直線|1：AxB1yC10與直線l2：A2xB2yC20的位置關(guān)系：（1）平行AB2A2B10（斜率）且B1C2B2cl0（在y軸上截距）；（2）相交A1B2A2B10;（3）重合A1B2A2B10且B1c2B2cl0。AB1C1A1B1A1B1C1提醒：（1）、,僅是兩直線平行、相交、重A2B2C2A2B2A2B2C2合的充分不必要條件！

7、為什么？（2）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線11:A1xByC10與直線l2：A2XB2yC20垂直AA2BB20。如（1）設(shè)直線l1:xmy60和l2：（m2）x3y2m0,當(dāng)m=時(shí)l1/l2；當(dāng)m=時(shí)1112；當(dāng)m時(shí)I1與12相交；當(dāng)m=時(shí)I1與I2重合（答：11;m3且m1;3）；（2）已知直線l的萬程為3x4y120,則與l平行，且過點(diǎn)（一1,3）的直線方程是（答：3x4y90）;（3）兩條直線axy40與xy20相交于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（答：1a2）；（4）設(shè)a,b,c分別是AB

8、C中/A、/B、/C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線sinAgxayc0與bxsinBgysinC0的位置關(guān)系是(答：垂直)；(5)已知點(diǎn)P(xi,y1)是直線l:f(x,y)0上一點(diǎn)，P2(x2,y2)是直線l外一點(diǎn)，則方程f(x,y)f(x1，yi)f(X2,y2)=0所表示的直線與l的關(guān)系是(答：平行)；(6)直線l過點(diǎn)(1,0),且被兩平行直線3xy60和3xy30所截得的線段長(zhǎng)為9,則直線l的方程是(答：4x3y40和x1)7、特殊情況下的兩直線平行與垂直：當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率時(shí)：(1)當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí)，兩直線的傾斜角都為90°,互相平行；(2)當(dāng)另一條直線的斜率

9、為0時(shí)，一條直線的傾斜角為90°,另一條直線的傾斜角為0°,兩直線互相垂直.8、對(duì)稱(中心對(duì)稱和軸對(duì)稱)問題一一代入法：如(1)已知點(diǎn)M(a,b)與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線xy0對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(答：(b,a)；(3)點(diǎn)A(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(2,7),則l的方程是(答：y=3x+3)；(4)已知一束光線通過點(diǎn)A(3,5),經(jīng)直線l:3x4y+4=0反射。如果反射光線通過點(diǎn)B(2,15),則反射光線所在直線的方程是(答：18x+y510);(5)已知AABC頂點(diǎn)A(3,-1),AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-5

10、9=0,/B的平分線所在的方程為x-4y+10=0,求BC邊所在的直線方程(答：2x9y650);(6)直線2xy4=0上有一點(diǎn)P,它與兩定點(diǎn)A(4,1)、B(3,4)的距離之差最大，則P的坐標(biāo)是(答：(5,6);(7)已知Ax軸，Bl:yx,C(2,1),VABC周長(zhǎng)的最小值為(答：而)。提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對(duì)稱求解。9.(1)直線過定點(diǎn)。如直線(3m+4x+(5-2m)y+7m-6=0,不論mB何值恒過定點(diǎn)(-1,2)(2)直線系方程(1)與已知直線Ax+By+C=0平行的直線的設(shè)法：Ax+By+m=0(mwC)(2)與已知直線Ax+By+C=0垂直的直線的設(shè)法

11、：Bx-Ay+m=0(3)經(jīng)過直線:：Ax+B1y+G=0,l2:Ax+B2y+C2=0交點(diǎn)的直線設(shè)法：A1x+B1y+C1+入(A2x+B2y+C2)=0(入為參數(shù)，不包括12)(3)關(guān)于對(duì)稱(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(中點(diǎn)坐標(biāo)公式)(2)線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，或代入法，兩條直線平行)(3)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)的連線被線垂直平分，中點(diǎn)在對(duì)稱軸上、kk'=-1二個(gè)方程)(4)線關(guān)于線對(duì)稱(求交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱)10、圓的方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：xa2yb2r2。圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2+E2-4F0),特別提醒：只有當(dāng)2222D+E4F0時(shí)，萬程xyDxEyF

12、；%D2E24F的圓（二元二次方程Ax2Bxy條件是什么？（AC0,且B0且D2E2,一 一 D E0才表不圓心為（一,一）,半徑為 222Cy Dx Ey F 0表不圓的充要4AF 0）;圓的參數(shù)方程：xarcos（為參數(shù)），其中圓心為（a,b）,半徑為ro圓的ybrsin參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：x2y2r2xrcos,yrsin;x2y2txrcos,yrsin（0r拈。Ax1,y1,Bx2,y2為直徑端點(diǎn)的圓方程xx1xx2yy1yy20如（1）圓C與圓（x1）2y21關(guān)于直線yx對(duì)稱，則圓C的方程為（答：x2（y1）21）；（2）圓心在直線2xy3上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)

13、方程是（答：（x3）2（y3）29或（x1）2（y1）21）;（3）已知P（1,J3）是圓yrsos（為參數(shù)，02）上的點(diǎn)，則圓的普通方程為,2P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為，過P點(diǎn)的圓的切線方程是（答：x2y2=4;；3xJ3y40）;（4）如果直線l將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是（答：0,2）;（5）方程x2+y2-x+y+k=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（2）；（6）M（x,y）|y3sos（為參數(shù)，0），N（x,y）|yxb,若MN，則b的取值范圍是（答：一3,3匹）一一,、一.一22211、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)Mx0,y0及圓C：x-aybr

14、2r0,(1)點(diǎn)M在圓C外CM|rx0a2y0b2r2；(2)點(diǎn)M在圓C內(nèi)CMrx0a2y0b2r2；(3)點(diǎn)M在圓C上CMrx0a2y0b2r2。如點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓(x-1)2+y2=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是12、直線與圓的位置關(guān)系：直線l : AxBy C 0和圓C：x a 2 y b 2 r2|a|r0有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個(gè)方面來判斷：（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：0相交；0相離；0相切;（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為d,則dr相交；dr相離；dr相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用

15、幾何方法較簡(jiǎn)捷。如（1）圓2x22y21與直線xsiny10（R,k,222.kz）的位置關(guān)系為（答：相離）；（2）若直線axby30與圓xy4x10切于點(diǎn)P(1,2),則ab的值(答：2)；(3)直線x2y0被曲線x2y26x2y150所截得的弦長(zhǎng)等于(答：4斯)；(4)一束光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是(答：4);(5)已知M(a,b)(ab0)是圓O:x2y2r2內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以M為中點(diǎn)的弦所在直線m和直線2l:axbyr,則A.m/l,且l與圓相交B.lm,且l與圓相交C.m/l,且l與圓相離D.lm,且l與圓相離(答：C)；(6)

16、已知圓C：x2(y1)25,直線L：mxy1m0。求證：對(duì)mR,直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若ABJ17,求L的傾斜角；求直線L中，截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線方程.(答：60°或120°最長(zhǎng)：y1,最短：x1)13、圓與圓的位置關(guān)系(用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷)：已知兩圓的圓心分別為。1,。2,半徑分別為1/2,則(1)當(dāng)IO1O212時(shí)，兩圓外離；(2)當(dāng)|。1。212時(shí)，兩圓外切；(3)當(dāng)12<|。1。212時(shí)，兩圓相交；(4)當(dāng)|。1。212|時(shí)，兩圓內(nèi)切；(5)當(dāng)0|。1。212|時(shí)，兩圓內(nèi)含。如雙曲線b2A A2為直

17、徑的兩圓位置關(guān)系為(答：內(nèi)切)1的左焦點(diǎn)為F1,頂點(diǎn)為A、隧,P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別以線段PR、14、圓的切線與弦長(zhǎng)：切線：過圓x2y2R2上一點(diǎn)P(x0,y。)圓的切線方程是：x/yy。R2,過圓222.(xa)2(yb)2R2上一點(diǎn)P(x0,y°)圓的切線方程是2(xa)(x0a)(ya)(y0a)R,一般地，如何求圓的切線萬程？(抓住圓心到直線的距離等于半徑)；從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法(抓住圓心到直線的距離等于半徑)來求；過兩切點(diǎn)的直線(即“切點(diǎn)弦”)方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知

18、圓的公共弦就是過兩切點(diǎn)的直線方程；切線長(zhǎng)：過圓x2y2DxEyF0(xa)2(yb)2R2)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引圓的切線的長(zhǎng)為y2Dx0Ey0F(J(x0a)2(y°b)2R2)；如設(shè)A為圓(x1)2y21上動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點(diǎn)的軌跡方程為(答：(x1)2y22);1(2)弦長(zhǎng)問題：圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算：(垂徑定理)常用弦心距d,半弦長(zhǎng)a及圓的21O半徑所構(gòu)成的直角二角形來解：d(-a)；過兩圓C1:f(x,y)0、2C2：g(x,y)0交點(diǎn)的圓(公共弦)系為f(x,y)g(x,y)0,當(dāng)1時(shí)，方程f(x,y)g(x,y)0為兩圓公共弦所在直線方程.。15.解

19、決直線與圓的關(guān)系問題時(shí)，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等)!16.圓的切線和圓系方程1 .過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓x2y22,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過此點(diǎn)的切線方程為Xox+yoy=r2(課本命題).圓x2y2r2,圓外一點(diǎn)為(Xo,y0),則過此點(diǎn)的兩條切線與圓相切，切點(diǎn)弦方程為x°xy°yr2。2 .圓系方程：設(shè)圓C1：x2y2D1xE1yF10和圓C2：x2y2D2xE2yF20.若兩圓相交，則過交點(diǎn)的圓系方程為2222xyDixEiyF1+入(xyD?xE2yF2)=0(入為參數(shù)，圓系

20、中不包括圓C2,入=-1為兩圓的公共弦所在直線方程).設(shè)圓C：x2y2DxEyF0與直線l：Ax+By+C=Q若直線與圓相交，則過交點(diǎn)的圓系方程為x2y2DxEyF+入(Ax+By+C)=0(入為參數(shù)).，一一1，一例題1經(jīng)過點(diǎn)R2,n)和Q235)的直線的斜率等于2,則m的值是(B)A.4B.3C.1或3D.1或4變：求經(jīng)過點(diǎn)A(2,sin),B(cos,1)的直線l的斜率k的取值范圍2 .已知直線l過P(1,2),且與以A(-2,3)、B(3,0)為端點(diǎn)的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍.1點(diǎn)評(píng)：要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，研究斜率與傾斜角之間的關(guān)系！答案：一8,-2U5,+00)3 .已知坐標(biāo)平面

21、內(nèi)三點(diǎn)A(-1,1),B(1,1),C(2,g+1),若D為ABC的邊AB上一©CD斜率k的變化范圍.1答案：一00,-2U5,+OO)1 .求a為何值時(shí)，直線l1：(a+2)x+(1a)y1=0與直線l2：(a1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直？答案：a=-12 .求過點(diǎn)P(1,1),且與直線l2：2x+3y+1=0垂直的直線方程.答案：3x-2y-5=0.例2.求過定點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.例3.已知ABC勺頂點(diǎn)A(1,1),線段BC的中點(diǎn)為口3,3).2(1)求BC邊上的中線所在直線的方程；(2)若邊BC所在直線在兩坐標(biāo)軸上的截距和是9,求BC所在

22、直線的方程.例4.方程(m22m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6滿足下列條件，請(qǐng)根據(jù)條件分別確定實(shí)數(shù)m的值.(1)方程能夠表示一條直線；(答案：m1)(2)方程表示一條斜率為1的直線.(答案：m2)例5.直線l的方程為(a2)y=(3a1)x1(aCR).(1)求證：直線l必過定點(diǎn)；(答案：(1,3)55(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(答案：5x+5y4=0)(3)若直線l不過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(答案：分斜率存在與不存在)例1:求點(diǎn)A(-2,3)到直線l:3x+4y+3=0的距離d=例2：已知點(diǎn)(a,2)到直線l:x-y+1=0的距離為2,則a=。(a<0)例3:求直線y=2x+3關(guān)于直線l:y=x+1對(duì)稱的直線方程。類型一：圓的方程例1求過兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2)且圓心在直線y0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2,4)與圓的關(guān)系.變式1：求過兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2)且被直線y0平分的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式2：求過兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2)且圓上所有的點(diǎn)均關(guān)于直線y0對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、