高數(shù)第一章08W

1、任家錄：高等數(shù) 學考研復習及試題分類第一篇高等數(shù)學預備概述一、研究對象：二、研究方法：三、內容框架：函 數(shù)極 限6任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復習及必做試題導數(shù)中值定理導數(shù)應用函數(shù)微一元微分學（研究對象）分微分偏導數(shù)偏導數(shù)應用微微學多元微分學分積全微分不定積分方分積一元積分學程學定積分分重積分（微積分派生）極限學多元積分學 曲線積分曲面積分（研究方法）無窮級數(shù)（極限派生）第一章函數(shù)極限連續(xù) 1.1 函數(shù)一 、考綱要求：1 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應用問題的函數(shù)關系式2了解函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性3理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念4掌握基本初等函數(shù)的性質

2、及其圖形，了解初等函數(shù)的概念二 、考點概述與解讀：（一）函數(shù)的概念1、定義：稱映射 f : DR 為一個函數(shù)（其中 DRn ）。注 1：此定義涵蓋了微積分中的所有函數(shù)的概念：1o 當 n1時，為一元函數(shù)2o 當 n 2 時，為多元函數(shù)； 3o 當 DN 時，為數(shù)列注 2：函數(shù)為一個特殊的映射，應深刻領會映射定義中的三層含義（原象的任意性，象的存在性，象的唯一性）2、函數(shù)的二要素：1 定義域； 2對應法則注 1：二要素的用途： 1 函數(shù)與符號無關； 2 用于判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)。注 2：定義域是集合， 不要寫成不等式 （最好將其寫成區(qū)間或區(qū)間的并） 。7任家錄：高等數(shù) 學考研復習及試題分類

3、3、函數(shù)的表示法：列表法；1解析法； 23 圖像法注： 函數(shù)與曲線并非一一對應（二）常見的函數(shù)形式1、顯函數(shù)： yf ( x)注：分段函數(shù)是顯函數(shù) （并且是一個函數(shù)， 而不是多個函數(shù)）2、隱函數(shù)： F ( x, y)0yf ( x)注 1：相關結論（隱函數(shù)存在定理）：設 F ( X , y) 在點 P0 ( X 0 , y0 ) 的某領域具有連續(xù)偏導數(shù)， 且 f ( X 0 , y0 )0 ，F(xiàn) y ( X 0 , y0 )0 ，則方程 F ( X , y)0在 P0的某領域內恒能確定唯一的一個具有連續(xù)導數(shù)（或偏導數(shù)）的函數(shù)yf ( X ) ，使之滿足 y0f ( X 0 )注 2：相關方法（

4、隱函數(shù)求導法）：在方程兩邊求導數(shù)（或偏導數(shù)）。3、復合函數(shù)： yf (u) ，u(x)yf ( x) ，注： 并非在意兩個函數(shù)能復合出一個復合函數(shù)，能復合充要條件是D fR，具體判斷時，可以u( x) 強行代入 yf (u) 得到 yf (x) ，再看其定義域是否為空集， 若空，則不能復合； 若非空，則可以復合。4、反函數(shù)： yf (x) 的逆映射 （即 yf (x)xf 1( y)yf 1 (x) ）注：并非任意一個函數(shù)都有反函數(shù)，當且僅當yf ( x) 一一對應時才有反函數(shù)。相關結論 （反函數(shù)存在定理） ：若 yf ( x) 連續(xù)，單增（減） ，則其反函數(shù)存在，且連續(xù)、單增（減）。結論：

5、yf ( x) 與反函數(shù) yf1 ( x) 在 oxy 坐標系中的圖像關于y x 對稱。注：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；反三角函數(shù)不是三角函數(shù)的反函數(shù)，5、極限函數(shù)： f ( x)lim F (x, t)（其結果只與x 有關而與 t 無關）。x注：在研究極限函數(shù)時， 應分清誰是極限變量誰是函數(shù)的自變量。6、導函數(shù)： yf (x)相關結論：可導的奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，可導的偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)。1有限區(qū)間上可導的無界函數(shù)的導函數(shù)一定是無界函數(shù)。2注： Df Df （在做題過程中， 一定要注意避免導函數(shù)定義域的擴大） 。7、積分函數(shù)： F ( x)( x)2 ( x)f ( x,t )dtaf

6、(t) dt；G( x)1 ( x)相關結論：f ( x) a,bxf (t) dt 在 a,b若在a上連續(xù)1上可積，則8任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復習及必做試題若 f ( x) 在 a, b 連續(xù)，則 F (x)xf (t )dt 在區(qū)間 a, b 中可導，且a2dxf ( x)（使用條件： 10f (t) 中不含有 x ，20f (t) 連續(xù)）f (t)dtdxa( x) 在 a,b 可導，則 d推論：若 f ( x) 在 a,b 上連續(xù)，( x)f ( x) (x)f (t)dtdx a8、和函數(shù)： S( x)f n ( x)n 1注：和函數(shù)的定義域未必是存在域，一般應等于其收斂域。9、參數(shù)方

7、程：x(t )，（ t 為參數(shù)）y(t)相關方法（參數(shù)方程求導法） ：dy(t )dt(t)dx (t)dt(t)用途： 多用與計算曲線、曲面積分。10、極坐標方程：rr ()（ 或() ）xr cosrx 2y 2結論（直角坐標系與極坐標的關系）；：yyrnisa r c t a nfxydxyf rrx相關結論 （計算二重積分） ：dr( ,)(cos ,sin)DD注：滿足下列兩個條件之一時，一般應考慮用極坐標計算二重積分：被積函數(shù)只與 x 2y 2（或 y / x ）有關。1 積分區(qū)域是圓域 （或圓域的一部分） ； 2（三）一元函數(shù)的幾何性質1、單調性： 1 若x, x2(a,b) ，

8、當 x1x時，有 f ( x)f ( x)（或 f ( x )f ( x) ），121212則稱f ( x) 在 (a,b) 上單調遞增（或單調遞減） 。2 若x1 , x2(a, b) ，當 x1x2 時，有 f ( x1)f (x2 ) （或 f ( x1 )f (x2 ) ）則稱 f ( x) 在 (a,b) 上單調不減（或單調不增）判定方法：1 作差與 0 比較（或作商與1比較）； 2使用下述相關結論相關結論： 10可導函數(shù) f ( x) 單調不減（不增）的充要條件是f ( x)0（ f ( x)0 ）20可導函數(shù) f ( x) 單調遞增（遞減）的充要條件是：f (x)0（ f (x)

9、0 ）且使 f ( x)0的 x 為孤立點。若存在常數(shù) M ，使 f ( x)M，（ xD ），則稱 f ( x) 有上界2、有界性： 19任家錄：高等數(shù) 學考研復習及試題分類若存在常數(shù)m，使 f ( x) M ，（ x D ），則稱 f ( x) 有下界2若 f (x) 既有上界又有下界， 則稱 f ( x) 有界3結論： f ( x) 有界的充要條件為：常數(shù) M ，使 f ( x)M相關結論： 10閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界 （有界性定理）20函數(shù)有極限局部有界30有界是可積的必要條件3、奇偶性： 若f (x)f ( x) ，則稱 f (x) 為奇函數(shù)；若f (x) f (x) ，則稱 f

10、 ( x) 為偶函數(shù)。注：奇函數(shù)（偶函數(shù)）的定義域必須關于原點對稱y 軸對稱結論： 1 奇函數(shù)圖像關于原點對稱，偶函數(shù)圖像關于2 奇函數(shù)與偶函數(shù)乘積為奇函數(shù)；奇函數(shù)與奇函數(shù)， 偶函數(shù)與偶函數(shù)的乘積為偶函數(shù)a,a) 上有定義的任一函數(shù)， 一定可表示為一個奇函數(shù)與偶函數(shù)之和。3 在 (注： f ( x)f (x) 為奇函數(shù)；f ( x)f (x) 為偶函數(shù)相關結論： 10若 f (x) 為可積的奇函數(shù)， 則af (x)dx 0a20若 f ( x) 為可積的偶函數(shù)， 則aaf ( x)dx 2f (x)dxa030aaf ( x)dx若 f ( x) 為一般的可積函數(shù)， 則 f (x)dx f (

11、 x)a04、周期性： 若T0 ，使 f ( xT )f ( x) ，則稱 f ( x) 是以 T 為周期的周期函數(shù)。結論： 若 T 為 f ( x) 的周期，那么 kT 也是 f ( x) 的周期（ k 0 ）注： 周期函數(shù)未必有最小正周期相關結論： 10可導的周期函數(shù)的導函數(shù)仍然是周期函數(shù)，且周期不變，20a TTf ( x)dx若 f ( x) 以 T 為周期的連續(xù)函數(shù)， 則f ( x)dxa05、漸近性：10水平漸近線： 若 limf ( x)c1 ，則 y c1 ，此為 f ( x) 的一條水平漸近線。x若 limf ( x)c2 ，則稱 yc2 為 f ( x) 的一條水平漸近線x

12、注： 同一函數(shù)的水平漸近線最多有2 條20垂直漸近線： 若 lim f ( x)，則稱 xx0 是 f (x) 的一條垂直漸近線x x0若 limf ( x)，則稱 xx0 為 f (x) 的一條垂直漸近線x x0注：垂直漸近線可能有無窮多條，求垂直漸近線實質上是考查f ( x) 的無窮間斷點。10任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復習及必做試題30 斜漸近線：1若 limf ( x)a ，（ a0 ）且 lim f ( x) axb ，xxx則 yaxb 是 f ( x) 的一條斜漸近線；2若 limf ( x)a ，（ a0 ）且 lim f ( x)axb ，xxx則 yaxb 是 f ( x) 的一

13、條斜漸近線；注：斜漸近線最多有兩條；并且如果在（或）方向有水平漸近線，那么在該方向就不會有斜漸近線。 （即： 同一函數(shù)的水平漸近線和斜漸近線最多有2 條）6、凹凸性： 若曲線 yf ( x) 上任意一點的切線都在該曲線的下（上）方，則稱 yf (x)是凹（凸）曲線相關結論： 若 f ( x)0 ，（ x( a, b) ），則 f ( x) 在 (a, b) 為凹（下凹 /上凸）的；若 f ( x)0 ，（ x( a, b) ），則 f ( x) 在 (a, b)為凸（上凹 /下凸）的。（四）初等函數(shù)及其性質：1、基本初等函數(shù)及其性質：（ 1）常函數(shù)：yc ， D(,)性質： 10不增不減；2

14、0 有界； f ( x)ccM ；30偶函數(shù)； 40 是周期函數(shù)；50只有一條水平漸近線y c ；60沒有凹凸性（ 2）冪函數(shù)：yx（R ）注： 10定義域與有關，2 0性質一般也與有關（ 3）指數(shù)函數(shù)： ya x（ a0 且 a1 ）（ xR ）（ y0 ）（ 4）對數(shù)函數(shù)： ylog ax（ a0 且 a1 ）（ x0 ）（ yR ）（ 5）三角函數(shù)： 10正弦函數(shù)： ysin x ； 20余弦函數(shù)： y cos x ；30正切函數(shù)： ytan x ， 40余切函數(shù)： ycot x ；50正割函數(shù)： ysecx60 余割函數(shù)： ycscx（ 6）反三角函數(shù)： 10反正弦函數(shù) yarcsin

15、 x ，2, ；220 反余弦函數(shù)：30 反正切函數(shù)：yarccosx ， 0,yarctan x ， (,)2240 反余切函數(shù)：yarc cot x ， (0,)注 1：反三角函數(shù)不是三角函數(shù)的反函數(shù)（例：yarcsin x 不是 ysin x 的反函數(shù)）注 2：必須嚴格屬于上述六類函數(shù)之一， 才是屬于基本初等函數(shù) x11任家錄：高等數(shù) 學考研復習及試題分類2、初等函數(shù)及其性質：由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和復合運算得到的，并能用一個式子表達的函數(shù)為初等函數(shù)。注： 10 分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是20 基本初等運算經過無窮次四則運算和復合運算得到的函數(shù)可能是初等函數(shù)也xnx是初

16、等函數(shù)，xn可能不是（例：e不是初等函數(shù)）n 0 n!n 0相關結論： 初等函數(shù)在定義域內是連續(xù)函數(shù)（即間斷點一定不在定義域內）（五）常見的經濟函數(shù)1、需求函數(shù)：2、供給函數(shù)：3、收益函數(shù)：4、成本函數(shù)：5、利潤函數(shù)：6、平均收益：Q Q( P) （ Q 為需求量， P 為價格 ）Q Q( P) （ Q 為供給量， P 為價格 ）RR(Q)P Q（ R 為收益， Q 為產量， P 為價格）CC(Q)C0 C1(Q)（ C0C (0) 為固定成本， C1 (Q) 為可變成本）LL(Q) R(Q)C(Q)RR(Q)； 7、平均成本： CC(Q)L(Q)QQ； 8、平均利潤： LQ（六）常見的物理函

17、數(shù)1、牛頓第二定律：F m a ；2、功： WF s、液體側壓力： Pg h s ；、引力： fG m1 m234r 2三 、實用題型及例題歸類：題型一關于函數(shù)符號的使用1 . 90-1設函數(shù) f ( x)1,x1= _1_ 0,x, 則 f f ( x)12 . 01-11,x1則 f f f (x)(B)設 f (x)x,等于0,1（ A ）0； （ B ）1； （ C） f ( x)1,x10,x10,x1（ D） f (x)x11,3 . 92-3x2 ,x0,，則(D)設 f (x)x, x0.x2(A)x2 ,x 0,(B)(x 2x), x0,f ( x)x), x0.f ( x

18、)x0.( x2x 2 ,12任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復習及必做試題(C)f ( x)x 2 ,x0,(D)f (x)x2x, x0,x2x, x0.x2 ,x0.4 . 97-2設 g( x)2x,x0f ( x)x2 ,x0則 g f (x)(D)x2,x,x,x00(A)2x 2x0(B)2x2x02xx02xx0(C)2x2x0(D)2x 2x02xx02xx05 . 88-1 、 2、 3已知 f ( x)x2( x)1 x 及( x)0， 求( x) 并寫出它的e， f定義域。 【 答： ( x)ln(1x) ；(，0】6 . 92-5設 f (x)sin x, f ( x) 1x 2

19、 , 則 ( x)arcsin(1x 2 )；其定義域為2， 27.95-3設 f (x 21)ln【 答：2ln( x1) xc8.00-2ln 1設 f ln xx9.02-3 、 4設 f (sin 2x)【 答：21x arcsinx2，且 f ( x)ln x ，求(x)dxx22】x, 計算fx dx .【 答： x(1 ex ) ln(1 ex ) c 】x，求xsin x1f ( x)dx.xx2xc】10 . 03-2 已知 yx是微分方程 yy( x ) 的解，則( x ) 的表達式為（ A ）ln xxyyy 2y 2x 2x2（A ）（ B）（ C）（ D）x 2x 2

20、y 2y211 . 武鋼院 1980xx1 cos x。設 f (sin ) cos x1 ，則 f (cos )2212. 合肥工大 1981 設 f (x1 )x21，求 f ( x) 。 【 答： x22xx213. 奧賽 1984 設 af ( x) bf (1)c , (a 2b2 ) 求 f (x) ，并證明 f ( x)xx】為奇函數(shù)。13任家錄：高等數(shù) 學考研復習及試題分類【 答：1acbbcxa 22x14 . 上交大 1985設 f ( x) 在 (則 f (1985) =1 ?！?) 有定義且f ( x)0 ，f ( xy)f (x) f ( y) .15 .ycos x

21、 ( x - ,0 )的反函數(shù)為yarccos(x)16 .04-2設函數(shù) f (x) 在（,）上有定義 , 在區(qū)間 0,2 上 , f (x)x( x24) ，若對任意的 x 都滿足 f ( x) k f ( x2) ,其中 k 為常數(shù) .寫出 f (x) 在 2,0 上的表達式 ;【 答 ： f ( x)kx( x2)( x4)】12x2 , x1,17 .96-3設函數(shù)f ( x)x3 ,1 x2, 寫出 f ( x) 的反函數(shù) g(x) 的表達式；12 x16,x2.1x ,x12【 答 ： g(x)3 x ,1 x 8】x 1612,x8題型二關于函數(shù)的幾何特性1.87-3f (x)

22、x sin x ecos x ,-x是（ D）（ A ）有界函數(shù)（ B ）單調函數(shù)（ C）周期函數(shù)（D ）偶函數(shù)2.90-4 、5 設函數(shù) f ( x)xtgxesin x ，則 f ( x) 是（ B）（ A ）偶函數(shù)(B)無界函數(shù)(C) 周期函數(shù)(D) 單調函數(shù)3.04-3 、4 函數(shù) f ( x)| x | sin( x2)2 在下列哪個區(qū)間內有界(A)1)( x2)x( x(A)( 1,0).(B)(0 , 1).(C) (1 , 2).(D)(2 , 3).4.05-3 、4 以下四個命題中， 正確的是(C)(A) 若 f ( x) 在 (0，1)內連續(xù)，則 f (x) 在 (0，1

23、) 內有界(B) 若 f (x) 在 (0，1)內連續(xù)，則 f ( x) 在 (0，1)內有界(C) 若 f ( x) 在 (0，1)內有界，則 f (x) 在 (0，1)內有界(D) 若 f (x) 在 (0， 1)內有界，則f ( x) 在 (0， 1)內有界5.99-1 、2、3、4 設 f (x) 是連續(xù)函數(shù)， F(x) 是 f (x) 的原函數(shù)， 則(A)(A)當 f (x)是奇函數(shù)時， F(x)必是偶函數(shù)14任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復習及必做試題(B) 當 f (x) 是偶函數(shù)時， F(x) 必是奇函數(shù)(C) 當 f (x) 是是周期函數(shù)時， F(x) 必是周期函數(shù)(D) 當 f (x

24、) 是單調增函數(shù)時， F(x) 必是單調增函數(shù)。6.05-1 、2設 F (x) 是連續(xù)函數(shù)f ( x) 的一個原函數(shù)， MN 表示 “ M 的充分必要條件是 N ”，則必有(A)(A) F ( x) 是偶函數(shù)f (x) 是奇函數(shù)(B) F (x) 是奇函數(shù)f ( x) 是偶函數(shù) .(C) F ( x) 是周期函數(shù)f (x) 是周期函數(shù)(D) F (x) 是單調函數(shù)f (x) 是單調函數(shù)7.02-2 、3設函數(shù) f (x)連續(xù)，則下列函數(shù)中必為偶函數(shù)的是（ D）xxxx（ A ） f (t 2 )dt （ B） f 2 (t)dt （C） t f(t ) f ( t )dt（D ） t f (

25、t )f ( t )dt000006-2 設 f ( x) 奇函數(shù)，除 x0 外處處連續(xù) , x0 是其第一類間斷點xt dt 是 B 8.,則 f0(A)連續(xù)的奇函數(shù) .（ B ）連續(xù)的偶函數(shù) .(C)在 x0間斷的奇函數(shù) .(D) 在 x0間斷的偶函數(shù)9.01-1 、2設函數(shù) f (x)在定義域內可導， y = f (x) 的圖形如圖所示，則導函數(shù) y = f (x) 的圖形為（ D ）10. 03-1 、2 設函數(shù)f ( x) 在 (,) 內連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則 f (x) 有（ C）(A) 一個極小值點和兩個極大值點(B) 兩個極小值點和一個極大值點(C) 兩個極小值點和兩

26、個極大值點(D) 三個極小值點和一個極大值點11. 00-1 、2設 ?(x)? g(x) 是恒大于零的可導函數(shù), 且f (x) g( x)f ( x) g ( x)0 , 則當 a x b 時 , 有(A)(A)f ( x) g(b)f (b) g (x)(B)f ( x) g(a)f (a) g(x)15任家錄：高等數(shù) 學考研復習及試題分類(C)f ( x) g( x)f (b) g(b)(D)f ( x) g( x)f (a)g (a)12. 01-2 已知函數(shù)f (x) 在區(qū)間（ 1-， 1+）內具有二階導數(shù)，f ( x) 嚴格單調減少，且 f (1)f (1)1，則（ A ）(A)

27、在（ 1-， 1）和（ 1， 1+）內均有 f (x) x ；(C) 在（ 1-， 1）內， f (x) x ；(D) 在（ 1-，1）內，f (x) x ，在（ 1，1+）內，f (x) f (0) .(D)對任意的 x( ,0) 有 f (x) f (0)14.設 f ( x) 是以 3 為周期的奇函數(shù)，且f (1) 2，則 f (10) =-215.清華 1982設奇函數(shù) f (x) 滿足 f (1)a, f (x 2)f ( x)f ( 2) 。（ 1）試用 a 表示 f (2)和 f (5)；（ 2）問 a 為何值時， f ( x) 以 2 為周期【 答 ：（ 1） f (2)2a，

28、 f (5)5a；（ 2） a 0 】x216（.08-1）設函數(shù) f xln2t dt ，則 fx 的零點個數(shù)為 （B ）0A 0B 1C2D317.函數(shù) fx, yarctan x 在點0,1 處的梯度等于 （ A）yAiBiCjDj題型三利用初等函數(shù)判斷連續(xù)性1.87-4下列函數(shù)在其定義域內連續(xù)的是(A)（ A ）f (x) lg xs i nx（ B ） f (x)sin xx0cosxx0x1x010（ C） f ( x)0x0（ D） f (x)xxx1x00 x02. 98-3、4設函數(shù) f (x)1x( B)lim2n ,討論函數(shù) f (x) 的間斷點 ,其結論為n1x(A)不

29、存在間斷點 .(B) 存在間斷點 x = 1(C)存在間斷點 x = 0(D) 存在間斷點 x = -116任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復習及必做試題3.04-2 設 f (x)lim ( n21)x , 則 f ( x) 的間斷點為 x0nnx14.下列函數(shù)為初等函數(shù)的是（ D）（ A ） y sgn x（ B） yD (x)（C） y x（ D） y xx 1.2 極限一 、考綱要求：1理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關系 .2掌握極限的性質及四則運算法則3掌握極限存在的兩個準則， 并會利用它們求極限， 掌握利用兩個重要極限求極限的方法4理解無窮小量

30、、 無窮大量的概念， 掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限二 、考點概述與解讀：（一）極限的概念1、簡述：在自變量的某一些變化過程中，函數(shù) ( 包括數(shù)列 ) 變化的最終趨勢叫函數(shù)的極限注 1：不能離開自變量的變化過程談函數(shù)的極限注 2：極限是函數(shù)的極限， 沒有函數(shù)就沒有談極限2、定義：定義 1： 對于數(shù)列 an，設 A 為一個常數(shù)，若0 ， N ，使當 nN 時，有an A，則稱 在 n時， an 以 A 為極限，記作 lim anAn定義 2： 對于函數(shù) yf ( x) ，設 A 為一個常數(shù)，若0，X ，使 xX 時，有 f (x)A，則稱 limf ( x) Ax定義 3： 對于

31、函數(shù) yf ( x) ，設 A 為一個常數(shù)，若0，X1 使當 xX1 時，有 f (x)A，則稱 limf ( x) Ax定義 4： 對于函數(shù) yf ( x) ，設 A 為一個常數(shù)，若0，X 2 使 xX2 時，有 f (x)A，則稱 limf ( x) Ax定義 5： 對于函數(shù) yf (x) ， A 為一個常數(shù)，0，使當 0xx0時，有f ( x)A，則稱 lim f (x) Ax x017任家錄：高等數(shù) 學考研復習及試題分類定義6：對于函數(shù) f ( x) ， A 為一個常數(shù)，0，當 x( x0 , x0) 時，有 f ( x)A，則稱 lim f ( x)Ax x0定義7：對于函數(shù) f (

32、 x) ， A 為一個常數(shù)，0，當 x( x0, x0 ) 時，有 f ( x)A，則稱 lim f ( x)Ax x0結論： lim f ( x)A 成立的充要條件是： lim f ( x)A 且 lim f (x) Axxx注： xx0 的意思是， x 與 x0 很近（要多近有多近） ，但不等于 x03、極限的幾何意義： （以 limf ( x) A 為例）在 x0 附近的 y 值全部落在寬為 2的帶內x x04、與極限相關的內容：漸近線、 連續(xù)、 導數(shù)、微分、 定積分、 偏導數(shù)、 全微分、多元微分、 方向導數(shù)、二重積分、曲線 /曲面積分，無窮級數(shù)、廣義積分（二）極限的性質1、唯一性定理：若 lim f ( x) 存在，則其極限值唯一（自變量的變化過程不可變）x2、局部有界性定理： 若 limf ( x) 存在，則 f ( x) 在局部有界x3、局部保號性定理：若 f (x)0 在局部成立，且 lim f (x) 存在，則 lim f ( x)0lim( )