《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》答案

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一章 緒論1-1研究誤差的意義是什么？簡(jiǎn)述誤差理論的主要內(nèi)容。答： 研究誤差的意義為：(1)正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，以消除或減小誤差；(2)正確處理測(cè)量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，以便在一定條件下得到更接近于真值的數(shù)據(jù)；(3)正確組織實(shí)驗(yàn)過程，合理設(shè)計(jì)儀器或選用儀器和測(cè)量方法，以便在最經(jīng)濟(jì)條件下，得到理想的結(jié)果。 誤差理論的主要內(nèi)容：誤差定義、誤差來源及誤差分類等。1-2試述測(cè)量誤差的定義及分類，不同種類誤差的特點(diǎn)是什么？答：測(cè)量誤差就是測(cè)的值與被測(cè)量的真值之間的差；按照誤差的特點(diǎn)和性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、粗大誤差。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是在所處測(cè)量條件下

2、，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定，或遵循一定的規(guī)律變化（大小和符號(hào)都按一定規(guī)律變化）；隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是在所處測(cè)量條件下，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化； 粗大誤差的特點(diǎn)是可取性。1-3試述誤差的絕對(duì)值和絕對(duì)誤差有何異同，并舉例說明。答：(1)誤差的絕對(duì)值都是正數(shù)，只是說實(shí)際尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸差別的大小數(shù)量，不反映是“大了”還是“小了”，只是差別量；絕對(duì)誤差即可能是正值也可能是負(fù)值，指的是實(shí)際尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就測(cè)量而言,前者是指系統(tǒng)的誤差未定但標(biāo)準(zhǔn)值確定的，后者是指系統(tǒng)本身標(biāo)準(zhǔn)值未定15 測(cè)得某三角塊的三個(gè)角度之和為180o0002”,試求測(cè)量的

3、絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差解：絕對(duì)誤差等于：相對(duì)誤差等于：1-6在萬能測(cè)長儀上，測(cè)量某一被測(cè)件的長度為 50mm，已知其最大絕對(duì)誤差為 1m，試問該被測(cè)件的真實(shí)長度為多少？解： 絕對(duì)誤差測(cè)得值真值，即： LLL0 已知：L50，L1m0.001mm，測(cè)件的真實(shí)長度0LL500.00149.999（mm）1-7用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量某壓力得 100.2Pa，該壓力用更準(zhǔn)確的辦法測(cè)得為100.5Pa，問二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的誤差為多少？ 解：在實(shí)際檢定中，常把高一等級(jí)精度的儀器所測(cè)得的量值當(dāng)作實(shí)際值。故二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的誤差測(cè)得值實(shí)際值，即：100.2100.50.3（ Pa）1-8在測(cè)量某

4、一長度時(shí)，讀數(shù)值為2.31m，其最大絕對(duì)誤差為20，試求其最大相對(duì)誤差。1-9、解：由，得對(duì)進(jìn)行全微分，令，并令，代替，得從而的最大相對(duì)誤差為： =5.3625由，得，所以由，有1-10檢定2.5級(jí)（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點(diǎn)的示值誤差2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？ 該電壓表合格 1-11 為什么在使用微安表等各種表時(shí)，總希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用？答：當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，測(cè)量的最大相對(duì)誤差: 即:所以當(dāng)真值一定的情況下，所選用的儀表的量程越小，相對(duì)誤差越小，測(cè)量越準(zhǔn)確。因此我們選擇的量程應(yīng)靠近真值，所以在測(cè)量時(shí)應(yīng)盡量使指針靠近滿度范圍的三分

5、之二以上 1-12用兩種方法分別測(cè)量L1=50mm，L2=80mm。測(cè)得值各為50.004mm，80.006mm。試評(píng)定兩種方法測(cè)量精度的高低。 相對(duì)誤差L1:50mm L2:80mm 所以L2=80mm方法測(cè)量精度高。113 多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過0.lkm，優(yōu)秀射手能在距離50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為2cm的靶心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高?解：多級(jí)火箭的相對(duì)誤差為：射手的相對(duì)誤差為：多級(jí)火箭的射擊精度高。1-14若用兩種測(cè)量方法測(cè)量某零件的長度L1=110mm，其測(cè)量誤差分別為和；而用第三種測(cè)量方法測(cè)量另一零件的長度L2=150mm。其測(cè)量誤差為，試比較三

6、種測(cè)量方法精度的高低。相對(duì)誤差 第三種方法的測(cè)量精度最高第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理2-1試述標(biāo)準(zhǔn)差 、平均誤差和或然誤差的幾何意義。答：從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為一個(gè)從 N 維空間的一個(gè)點(diǎn)到一條直線的距離的函數(shù)；從幾何學(xué)的角度出發(fā)，平均誤差可以理解為 N條線段的平均長度；2-2試述單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 ，兩者物理意義及實(shí)際用途有何不同。2-3試分析求服從正態(tài)分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在中的概率2-4測(cè)量某物體重量共8次，測(cè)的數(shù)據(jù)(單位為g)為236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算

7、術(shù)平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差。2-5用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計(jì)算2-4，并比較2-6測(cè)量某電路電流共5次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mA）為168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差。 或然誤差：平均誤差：2-7在立式測(cè)長儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重量測(cè)量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mm）為20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確定測(cè)量結(jié)果。 正態(tài)分布 p=99%時(shí)， 測(cè)量結(jié)果：27 在立式測(cè)長儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位為mm)為200015

8、，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以99的置信概率確定測(cè)量結(jié)果。解：求算術(shù)平均值求單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差確定測(cè)量的極限誤差因n5 較小，算術(shù)平均值的極限誤差應(yīng)按t分布處理。 現(xiàn)自由度為：n14； 10.990.01， 查 t 分布表有：ta4.60 極限誤差為寫出最后測(cè)量結(jié)果2-9用某儀器測(cè)量工件尺寸，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，其標(biāo)準(zhǔn)差，若要求測(cè)量結(jié)果的置信限為，當(dāng)置信概率為99%時(shí)，試求必要的測(cè)量次數(shù)。正態(tài)分布 p=99%時(shí)， 210 用某儀器測(cè)量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差0.001mm，若要求測(cè)量的允許極限誤差為

9、7;0.0015mm，而置信概率P為0.95時(shí)，應(yīng)測(cè)量多少次？解：根據(jù)極限誤差的意義，有根據(jù)題目給定得已知條件，有查教材附錄表3有若n5，v4，0.05，有t2.78，若n4，v3，0.05，有t3.18，即要達(dá)題意要求，必須至少測(cè)量5次。2-12某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù)（單位為Pa）為102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其權(quán)各為1，3，5，7，8，6，4，2，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 2-13測(cè)量某角度共兩次，測(cè)得值為，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)

10、差。 2-14 甲、乙兩測(cè)量者用正弦尺對(duì)一錐體的錐角各重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)得值如下：試求其測(cè)量結(jié)果。甲： 乙： 2-15試證明n個(gè)相等精度測(cè)得值的平均值的權(quán)為n乘以任一個(gè)測(cè)量值的權(quán)。證明：解：因?yàn)閚個(gè)測(cè)量值屬于等精度測(cè)量，因此具有相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差：n個(gè)測(cè)量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：已知權(quán)與方差成反比，設(shè)單次測(cè)量的權(quán)為P1，算術(shù)平均值的權(quán)為P2，則2-16重力加速度的20次測(cè)量具有平均值為、標(biāo)準(zhǔn)差為。另外30次測(cè)量具有平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為。假設(shè)這兩組測(cè)量屬于同一正態(tài)總體。試求此50次測(cè)量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。 2-17對(duì)某量進(jìn)行10次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6

11、，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。 按貝塞爾公式 按別捷爾斯法 由 得 所以測(cè)量列中無系差存在。2-18對(duì)一線圈電感測(cè)量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后6次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下（單位為mH）： 50.82，50.83，50.87，50.89； 50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 試判斷前4次與后6次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差。 使用秩和檢驗(yàn)法： 排序：序號(hào)12345第一組第二組50.7550.7850.7850.8150.82序號(hào)678910第一組50.8250.8350.8750.8

12、9第二組50.85 T=5.5+7+9+10=31.5 查表 所以兩組間存在系差2-19對(duì)某量進(jìn)行10次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。 按貝塞爾公式 按別捷爾斯法 由 得 所以測(cè)量列中無系差存在。2-20對(duì)某量進(jìn)行12次測(cè)量，測(cè)的數(shù)據(jù)為20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，試用兩種方法判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。解：(1)殘余誤差校核法因?yàn)轱@著不為0，存在系統(tǒng)誤差。（

13、2）殘余誤差觀察法殘余誤差符號(hào)由負(fù)變正，數(shù)值由大到小，在變大，因此繪制殘余誤差曲線，可見存在線形系統(tǒng)誤差。（3） 所以不存在系統(tǒng)誤差。2-22第三章 誤差的合成與分配3-1相對(duì)測(cè)量時(shí)需用的量塊組做標(biāo)準(zhǔn)件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基本尺寸為，。經(jīng)測(cè)量，它們的尺寸偏差及其測(cè)量極限誤差分別為,。試求量塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正值及給相對(duì)測(cè)量帶來的測(cè)量誤差。修正值= = =0.4測(cè)量誤差: = = =3-2 為求長方體體積，直接測(cè)量其各邊長為，,已知測(cè)量的系統(tǒng)誤差為，測(cè)量的極限誤差為， 試求立方體的體積及其體積的極限誤差。 體積V系統(tǒng)誤差為：立方體體積實(shí)際大小為：測(cè)量體積最后結(jié)果表示為:33

14、長方體的邊長分別為1，2, 3測(cè)量時(shí)：標(biāo)準(zhǔn)差均為；標(biāo)準(zhǔn)差各為1、2、 3 。試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。解：長方體的體積計(jì)算公式為：體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為：現(xiàn)可求出：；若：則有：若： 則有：3-4 測(cè)量某電路的電流，電壓，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，求所耗功率及其標(biāo)準(zhǔn)差。 成線性關(guān)系 3-9測(cè)量某電路電阻R兩端的電壓U，按式I=U/R計(jì)算出電路電流，若需保證電流的誤差為0.04A，試求電阻R和電壓U的測(cè)量誤差為多少？解：在 I=U/R 式中，電流 I 與電壓 U 是線性關(guān)系，若需要保證電流誤差不大于0.04A，則要保證電壓的誤差也不大于0.04×R。312 按公式V=r2h求圓柱體體積，若已知r約為2cm，

15、h約為20cm，要使體積的相對(duì)誤差等于1，試問r和h測(cè)量時(shí)誤差應(yīng)為多少?解： 若不考慮測(cè)量誤差，圓柱體積為根據(jù)題意，體積測(cè)量的相對(duì)誤差為1，即測(cè)定體積的相對(duì)誤差為：即現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出測(cè)定r的誤差應(yīng)為：測(cè)定h的誤差應(yīng)為：3-14對(duì)某一質(zhì)量進(jìn)行4次重復(fù)測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位g)為428.6，429.2，426.5，430.8。已知測(cè)量的已定系統(tǒng)誤差測(cè)量的各極限誤差分量及其相應(yīng)的傳遞系數(shù)如下表所示。若各誤差均服從正態(tài)分布，試求該質(zhì)量的最可信賴值及其極限誤差。序號(hào)極限誤差g誤差傳遞系數(shù)隨機(jī)誤差未定系統(tǒng)誤差123456782.14.51.01.51.00.52.21.8111111.42.

16、21 最可信賴值 測(cè)量結(jié)果表示為:第四章 測(cè)量不確定度41 某圓球的半徑為r，若重復(fù)10次測(cè)量得r±r =(3.132±0.005)cm，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測(cè)量不確定度，置信概率P=99。解：求圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為： 0.0314cm確定包含因子。查t分布表t0.01（9）3.25，及K3.25故圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度為：UKu3.25×0.03140.102求圓球的體積的測(cè)量不確定度圓球體積為：其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：確定包含因子。查t分布表t0.01（9）3.25，及K

17、3.25最后確定的圓球的體積的測(cè)量不確定度為UKu3.25×0.6162.0024-2望遠(yuǎn)鏡的放大率D=f1/f2，已測(cè)得物鏡主焦距f1±1=（19.8±0.10）cm，目鏡的主焦距f2±2=（0.800±0.005）cm，求放大率測(cè)量中由f1、f2引起的不確定度分量和放大率D的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。4-3測(cè)量某電路電阻R兩端的電壓U，由公式I=U/R計(jì)算出電路電流I，若測(cè)得U±u=（16.50±0.05）V，R±R=（4.26±0.02）、相關(guān)系數(shù)UR=-0.36,試求電流I的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。4-4某校準(zhǔn)證書說明

18、，標(biāo)稱值10的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻R在20時(shí)為（P=99%），求該電阻器的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，并說明屬于哪一類評(píng)定的不確定度。由校準(zhǔn)證書說明給定 屬于B類評(píng)定的不確定度 R在10.000742-129，10.000742+129范圍內(nèi)概率為99%，不為100% 不屬于均勻分布，屬于正態(tài)分布 當(dāng)p=99%時(shí)， 4-5在光學(xué)計(jì)上用52.5mm的量塊組作為標(biāo)準(zhǔn)件測(cè)量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而成，其尺寸分別是：， ，量塊按“級(jí)”使用，經(jīng)查手冊(cè)得其研合誤差分別不超過、（取置信概率P=99.73%的正態(tài)分布），求該量塊組引起的測(cè)量不確定度。 第五章 線性參數(shù)的最小二乘法處理5-1測(cè)量方程為試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。誤差方程為列正規(guī)方程代入數(shù)據(jù)得解得 將x、y代入誤差方程式測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為求解不定乘數(shù) 解得 x、y的精度分別為 5-7不等精度測(cè)量的方程組如下：試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。列誤差方程正規(guī)方程為代入數(shù)據(jù)得解得 將x、y代入誤差方程可得則測(cè)量數(shù)據(jù)單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為求解不定乘數(shù) 解得 x、y的精度分別為 第六章 回歸分析6-1材料的抗剪強(qiáng)度與材料承受的正應(yīng)力有關(guān)。對(duì)某種材料試驗(yàn)的數(shù)據(jù)如下：正應(yīng)力 x/Pa26.825.428.923.627.723.9抗剪強(qiáng)度 y/Pa26.527.324.227.123.625.9正