級數(shù)求和的常用方法45312

1、四川師范大學本科畢業(yè)論文級數(shù)求和的常用方法學生姓名劉學江院系名稱數(shù)學與軟件科學學院專業(yè)名稱數(shù)學與應用數(shù)學班 級2008級01班學 號2008060122指導教師李紅梅完成時間2012年4月30日級數(shù)求和的常用方法學生姓名：劉學江 指導老師：李紅梅內(nèi)容摘要：級數(shù)在數(shù)值計算中有廣泛的運用，級數(shù)首先要考慮其收斂性，在收斂級數(shù)中尋求可求和的方法.但在國內(nèi)很多教材或其它數(shù)學書籍中沒有專門的板塊涉及級數(shù)求和的內(nèi)容，即使是國內(nèi)權(quán)威數(shù)學分析教材也只是作了級數(shù)逼近的工作.力求尋求級數(shù)求和的常用方法加以總結(jié)提煉，揭開級數(shù)和的神秘面紗.本文整體布局可分為部分：一、數(shù)項級數(shù)求和的常用方法二、函數(shù)項級數(shù)求和的常用方法.

2、由于級數(shù)的斂散性是分析級數(shù)求和的先導，但是本文重在于討論級數(shù)求和，所以級數(shù)斂散性內(nèi)容討論從簡，且本文涉及的級數(shù)均收斂.在借鑒國內(nèi)外優(yōu)秀數(shù)學書籍的基礎(chǔ)上，選取一些典型題目加以分析，使每一種方法盡可能以事實形式呈現(xiàn)出一種“方法技巧的實戰(zhàn)運用”景象，在實例中說明方法，用實例體會方法.關(guān)鍵詞：級數(shù)求和數(shù)項級數(shù)求和函數(shù)項級數(shù)求和Common Methods of Summing of SeriesAbstract:Series widely used in the numerical calculation,the series must first consider its convergence,c

3、overgent series for the summability method.In many textbooks or other mathematical books for the summation of our national content,even if the domestic authority of mathematical analysis textbooks just made a series approximation.Under the guidance of the teachers Honmei Li,and strike to seek the su

4、mmation of the commonly used method to sum up refining,opened the mystery of seriesThe overall of this article can be divided into two parts:several summation of commonly used methods,common methods summation for funtional sreies,series summations theory，The convergence and divergence of the series

5、is the summation anlysis of the pilot,but important point is to discuss the summation,so the convergence of the series discussion is simple in this text.Based on excellent books from home and abroad ,every method for series summation show the fact that “method of skill in actual use” scene as far as

6、 possible. Keywords:sum of series sum of numerial series sum of function series目錄1數(shù)項級數(shù)求和11.1等差級數(shù)求和11.2首尾相加法1 1.3等比級數(shù)求和1 1.4錯位相減法21.5蘊含型級數(shù)相消法21.6有理化法求級數(shù)和21.7方程式法31.8原級數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和31.9數(shù)項級數(shù)化為函數(shù)項級數(shù)求和31.10化數(shù)項級數(shù)為積分函數(shù)求原級數(shù)和41.11三角型數(shù)項級數(shù)轉(zhuǎn)化為復數(shù)系級數(shù)41.12構(gòu)造函數(shù)計算級數(shù)和51.13級數(shù)討論其子序列51.14裂項法求級數(shù)和61.15裂項+分拆組合法71.16夾逼法求解級數(shù)和72函

7、數(shù)項級數(shù)求和82.1方程式法82.2積分型級數(shù)求和82.3逐項求導求級數(shù)和92.4逐項積分求級數(shù)和92.5將原級數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級數(shù)102.6利用傅里葉級數(shù)求級數(shù)和102.7三角級數(shù)對應復數(shù)求級數(shù)和112.8利用三角公式化簡級數(shù)122.9針對2.7的延伸122.10添加項處理系數(shù)122.11應用留數(shù)定理計算級數(shù)和132.12利用Beta函數(shù)求級數(shù)和14參考文獻15級數(shù)求和的常用方法 級數(shù)要首先考慮斂散性，但本文以級數(shù)求和為中心，故涉及的級數(shù)均收斂且不過多討論級數(shù)斂散性問題. 由于無窮級數(shù)求和是個無窮問題，我們只能得到一個的極限和.加之級數(shù)能求和的本身就困難，故本文只做一些特殊情況的討論，而無級

8、數(shù)求和的一般通用方法，各種方法主要以例題形式給出，以期達到較高的事實性.1數(shù)項級數(shù)求和1.1等差級數(shù)求和等差級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公差，并運用公式可求和.，其中為首項，為公差證明：，+得：因為等差級數(shù)所以此證明可導出一個方法“首尾相加法”見1.2.1.2首尾相加法此類型級數(shù)將級數(shù)各項逆置后與原級數(shù)四則運算由首尾各項四則運算的結(jié)果相同，便化為一簡易級數(shù)求和.例1:求.解：，兩式相加得：，即：.1.3等比級數(shù)求和等比級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公比并運用公式可求和.當=1，；當1，其中為首項，為公比.證明：當=1，易得，當1，-得.可以導出一種方法“錯位相減”見下1.41

9、.4錯位相減法此方法通常適用于等差與等比級數(shù)混合型，通過乘以等比級數(shù)公比，再與原級數(shù)四則運算后化為等差或等比級數(shù)求和.例2：計算.解：，-得：，=3.1.5蘊含型級數(shù)相消法此類型級數(shù)本身各項之間有蘊含關(guān)系，通過觀察可知多項展開會相互之間相消部分項，從而化簡級數(shù)求和.例3：計算.解：將各項展開可得：，所以.1.6有理化法求級數(shù)和對于一些級數(shù)通項含有分式根式的級數(shù)，我們可以仿照數(shù)學中經(jīng)常使用的方法“有理化”處理，以期達到能使得級數(shù)通項化簡，最后整個級數(shù)都較容易求和.例4：計算.解：可以看出此級數(shù)含根式較多，因此嘗試運用有理化的方法去處理，即通項，對其分母有理化得：，則原級數(shù)可以采用本文中的1.5“

10、蘊含型級數(shù)相消法”，則可以快速求得級數(shù)和的極限為1.1.7方程式法此型級數(shù)通過一系列運算能建立級數(shù)和的方程式，通過解方程求解級數(shù)和.準確建立方程是關(guān)鍵問題，方程類型不固定，有類似與微分方程之類的，故要視具體情況建立方程，解方程也要準確，才能求出級數(shù)和.例5：計算，其中.解：記=兩邊同時乘以得即：解此方程得：.1.8原級數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和若下列條件成立1:（1）當時級數(shù)的通項（2）級數(shù)各項沒有破壞次序的情況而得新序列收斂于原級數(shù) .例6：計算.解：，應用歐拉公式，其中為歐拉常數(shù)，.1.9數(shù)項級數(shù)化為函數(shù)項級數(shù)求和數(shù)項級數(shù)化為相應函數(shù)項級數(shù)，再通過函數(shù)項級數(shù)求和，并賦予函數(shù)未知數(shù)相應未知數(shù)后記得相

11、應原級數(shù)的和.例7：求級數(shù)和.解：建立函數(shù)項級數(shù)由函數(shù)斂散性知識可知其收斂域為，將函數(shù)項級數(shù)逐項求導可得：=，由此可知滿足微分方程，且易知，解此常微分方程得：，令則可以求出原級數(shù)和：. 1.10化數(shù)項級數(shù)為積分函數(shù)求原級數(shù)和將原級數(shù)通過化簡，構(gòu)造積分極限式，從而轉(zhuǎn)化為積分求原級數(shù)和也不失為一種好方法，構(gòu)造積分式子是關(guān)鍵，一般原級數(shù)中通過四則運算將與積分中的分割相聯(lián)系從而構(gòu)造分割，建立級數(shù)與積分式子的橋梁.例8：計算，其中.解：記.1.11三角型數(shù)項級數(shù)轉(zhuǎn)化為復數(shù)系級數(shù)將三角型數(shù)項級數(shù)轉(zhuǎn)化為復數(shù)域上的級數(shù)，由于復數(shù)的實部對應于數(shù)項級數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求復數(shù)系級數(shù)進而求原級數(shù)和.例97：設，求.解：由

12、于，令為復數(shù)，其中，其中，得：而另一方面=+取實部對應原級數(shù)和即得：即：當，且時. 1.12構(gòu)造函數(shù)計算級數(shù)和將級數(shù)各項轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)式子化簡級數(shù)并求原級數(shù)和，關(guān)鍵在于各項的化簡函數(shù)是否基本統(tǒng)一，如何選擇函數(shù)式子才能有效化簡，將級數(shù)參數(shù)化為函數(shù)式子中的未知數(shù)，并無一般的通用函數(shù)，選擇函數(shù)視具體情況而定，下面我們先看一個例子感受這種方法，并從中體會這種方法.例107：請計算下面的級數(shù)式子：記，其中.解：構(gòu)造函數(shù)式子：,此函數(shù)在單調(diào)遞減.由于，令，滿足=0，.代入題目中的級數(shù)式子得：=.1.13級數(shù)討論其子序列引理1：數(shù)列收斂的充分必要條件是的任一子序列都收斂且有相同的極限.特別的：數(shù)列收斂于的充

13、分必要條件是兩個互補的子列,收斂于同一極限.推廣可得：定理1：若級數(shù)通項滿足當時，（收斂判別的必要條件），收斂于的充分必要條件是：部分和的一個子序列收斂于，其中滿足：是某個正整數(shù)=1，2，將級數(shù)分情況討論，化為多個子序列之和，利用原級數(shù)收斂則級數(shù)任意添加括號得到的級數(shù)和收斂于原級數(shù)和原理，通過求各個子序列之和求解原級數(shù)和，關(guān)鍵在于如何分解原級數(shù)為不同子序列，然而子序列相對于原級數(shù)來說易求些，這樣方法才行之有效，這和1.6的“原級數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和”是不同的.分情況討論在三角中討論角的大小我們已不陌生，下面我們就看一個這樣討論角的幅度的例題.例116：計算：.解：記，由級數(shù)斂散性知識可知，該級數(shù)

14、絕對收斂.按幅度角的討論將級數(shù)分解為：，.則：，所以：.1.14裂項法求級數(shù)和針對級數(shù)是分數(shù)形式，且滿足分母為多項乘積形式，且各項之間相差一個相同的整數(shù)，裂項后各項就獨立出來，而原來各項之間相差整數(shù)則裂項后新級數(shù)等價于求解某一個級數(shù)，其余新級數(shù)照此可求出，從而原級數(shù)和可以求出.裂項一般形式：，此處.例12：計算.解:記，針對同理采用裂項法記則=，所以=. 1.15裂項+分拆組合法將裂項與分拆組合法合用在一起，運用裂項法分拆級數(shù)，再將分拆重新組合級數(shù)，由新級數(shù)返回求原級數(shù)和.例13：計算.解：=.1.16夾逼法求解級數(shù)和在數(shù)學分析中運用夾逼法則求解極限，在求極限和中我們也可以借鑒此方法，運用兩個

15、級數(shù)逼近原級數(shù)，最后兩逼近級數(shù)和等于原級數(shù)和.例148：設為一給定的正整數(shù)，求.解：且時，且，所以，即2 函數(shù)項級數(shù)求和函數(shù)項級數(shù)和依據(jù)未知數(shù)的而定，因此在收斂域內(nèi)尋找一個新函數(shù)去刻畫級數(shù)和.2.1方程式法類似于數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)建立方程，通過方程求解求函數(shù)項級數(shù)和.例15：計算函數(shù)項級數(shù)解：由函數(shù)項級數(shù)收斂性知識可知題中函數(shù)項級數(shù)收斂半徑為，逐項求導得即：解此微分方程得：. 2.2積分型級數(shù)求和積分型級數(shù)求和顯然直接求和會帶來困難，通常積分也積不出來，所以要轉(zhuǎn)化，將積分式子化簡是個想法，通過變量替換等積分技術(shù)化簡積分式子，再求級數(shù)和，所以關(guān)鍵在于處理積分式子，下面我們看個例題.例16：計算

16、級數(shù).解：因為，作變量替換得：再根據(jù)：得：=.所以原級數(shù)=. 2.3逐項求導求級數(shù)和根據(jù)冪級數(shù)逐項求導收斂半徑不變原理，對原級數(shù)逐項求導后化為一些易求和的冪級數(shù)，再往回求積分，從而求原級數(shù)和.易知的級數(shù)往往是通過泰勒展式或者麥克勞林展式獲得的。泰勒定理1：若函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)存在階的連續(xù)導數(shù)，則=，這里是拉格朗日余項即.設在區(qū)間內(nèi)等于它的泰勒級數(shù)的和的充要條件：對一切滿足不等式的，有，上式右邊稱為在處的泰勒展開式.由泰勒展開式可知右邊是個級數(shù)，而在求解級數(shù)時我們可以逆向來看，已知以級數(shù)和像求的方向行進，找準各階對應的導數(shù)形式，并按泰勒級數(shù)的樣子提煉出.但在實際應用中在處的級數(shù)應用較多，稱為麥克勞

17、林級數(shù).而由泰勒級數(shù)的定義可以將一些基本初等函數(shù)推導出來，再有基本初等函數(shù)推導復合函數(shù)的級數(shù)和形式，反過來即是求級數(shù)和.這也不失為一種求級數(shù)和的選擇.這中方式在前面函數(shù)項級數(shù)求和的過程中已經(jīng)有所運用，在此總結(jié)是為了形成一種較為普遍的方法.即使是級數(shù)逐項求導積分法也是基于此理論基礎(chǔ)之上的.例17：求解.解：由萊布尼茨定理可以判斷此交錯級數(shù)收斂，且收斂區(qū)間為-1,1,將級數(shù)逐項求導可得：(利用易知麥克勞林展式)再積分回去便得到級數(shù)和.2.4逐項積分求級數(shù)和通過級數(shù)逐項積分收斂半徑不變原理，對原級數(shù)逐項積分后化為一些易求的冪級數(shù)，再往回求導，可求出原級數(shù)和.例18：計算.解：記，對其逐項積分得：=，

18、其中，所以=. 2.5將原級數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級數(shù)分解為已知在數(shù)學中是一種基本的技巧，通過轉(zhuǎn)化為我們所知道的知識解決原復雜問題在很多地方都是個不錯的想法，因此在解決級數(shù)和的問題時我們也引入這思想.我們已知在冪級數(shù)中已知的麥克勞林展式有好幾個，我們要將這幾個基本初等函數(shù)的展式牢記于心，還要學會利用拉格朗日展式的角度逆向思考級數(shù)求和的問題.我們簡單的引入一個問題來說明這種方式，主要是引入這種思想.例19：計算.解：記，利用的麥克勞林展式得：=. 2.6利用傅立葉級數(shù)求級數(shù)和通過構(gòu)造函數(shù)，并通過延拓的方式求此函數(shù)的傅立葉展式，再由收斂定理求解函數(shù)值即可求出原級數(shù)和，關(guān)鍵在于準確找出傅立葉函數(shù).例20：

19、計算.解：構(gòu)造傅立葉函數(shù)=,其中作偶延拓得: =,由此可知傅立葉系數(shù)為：，其中，（其中）.由狄利克雷收斂條件可知：，其中現(xiàn)在令得：，進而可得：.說明：有了以上結(jié)果數(shù)項級數(shù)的關(guān)于就可以套用公式了，如：利用2.6結(jié)果求解級數(shù)和，2.6的結(jié)果是一個很常用的級數(shù)和公式，因此我們可以直接拿來用.例21：計算，其中滿足.解：任意（0，1），記=，由魏爾斯特拉斯定理，因為級數(shù)收斂，所以題目中級數(shù)在（0，1）上一致收斂.，因為，所以帶入上面式子可得級數(shù)和為.2.7三角級數(shù)對應復數(shù)求級數(shù)和三角函數(shù)與復數(shù)有天然的對應關(guān)系，因此將其化歸到復數(shù)域上再利用復數(shù)域知識求解，從而獲得原級數(shù)的和.例227：計算.解：由復數(shù)域

20、上冪級數(shù)的麥克勞林展式可知：，及，由，對應實部得，其中，. 2.8利用三角公式化簡級數(shù)三角級數(shù)還可以利用三角公式化簡三角級數(shù)，化簡后的級數(shù)可能比原級數(shù)容易求解些，通常復雜級數(shù)求和都是要轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為能求和的方向.例23：計算.解：由三角函數(shù)的積化和差公式可知：原級數(shù)=，其中未知數(shù)滿足：. 2.9針對2.7的延伸在此對2.8的延伸，并不是意味著2.8是個通用的級數(shù)和式子，只是看見了另外的一個題可以運用2.8，在此列出是為了表明在求級數(shù)和的過程中一些復雜級數(shù)可以由另外一些級數(shù)求和的，因此遇見復雜級數(shù)求和的時候要多注意平常積累的例子，想想平時有沒有遇見類似的級數(shù)求和問題.例24：計算.解：令，由2.8

21、可知=其中未知數(shù)滿足，令，.有，由，當時，有，于是.2.10添加項處理系數(shù)例25：計算，其中.解：令，當時，=，其中，當:時，于是：.2.11應用留數(shù)定理計算級數(shù)和定理8：若函數(shù)滿足以下兩個條件：（1）在復平面具有孤立奇點，且這些孤立奇點不為整數(shù)及，除去上述奇點外在其它各處都解析；（2）.證明：研究圍道積分又由函數(shù)滿足留數(shù)定理的條件，則根據(jù)定理我們可以得到如下的等式： （1）由引理，csc()在上有界，即存在，使得|.于是，兩邊取極限得即：，所以，對（1）式取極限得到0=.所以.證明完畢.結(jié)論的應用：例268：求級數(shù)（不為0）的和.解：令，當不為零時，滿足定理的兩個條件，那么.即：，當趨近于零時，將上式變形可得：容易證得等式左邊的兩個級數(shù)是收斂的.故上式兩端取極限可得上述級數(shù)和,2.12利用函數(shù)求級數(shù)和定理16 設為自然數(shù)，為實數(shù)，且，則.定理2 6 設