向量在初等幾何中的應用

1、目錄向量在初等幾何中的應用 1摘要 1Vector Used In Elementary Geometry 2Abstract 21 緒論 32 向量的運算規(guī)律與定理和推論 32.1 向量加法運算規(guī)律 42.2 向量乘法運算規(guī)律 42.3 向量數(shù)性積 42.4 向量矢性積 43 向量在初等幾何中的應用實例 53.1 向量在處理平行問題時的應用 53.2 向量在求點的坐標的問題時的應用 63.3 向量在處理線面垂直問題時的應用 63.4 向量在處理等距問題時的應用 73.5 向量在求解和證明與角度有關問題時的應用 93.6 向量在證明正弦定理時的應用 9例 6. 證明正弦定理 103.7 向量在

2、解三角形中的應用 104 向量在幾何問題的研究中的作用 11參考文獻 12向量在初等幾何中的應用摘要向量是現(xiàn)代中學數(shù)學的重要組成部分，向量既具有代數(shù)形式又具有幾何形式，在中 學平時的練習和考試中，我們通過幾何知識很難解決的問題，往往可以運用向量的知識 將其轉化為數(shù)的形式，把抽象的幾何問題代數(shù)化，利用代數(shù)的計算更簡單，更直觀的解 決問題。向量的知識不但在某些解題過程中可以加以運用，而且在初等幾何中，只需要 利用向量最基本的一些原理， 我們就可以證明一些復雜的平面幾何甚至立體幾何問題以 及一些公式定理。本文對這些內(nèi)容展開討論。該論文有圖 6 幅，參考文獻 6 篇。關鍵詞： 向量 代數(shù)化 計算 證明

3、 初等幾何Vector Used In Elementary GeometryAbstractThe vector is an important part of modern mathematics in secondary schools.Vector is both algebraic and geometric forms. In the usual practice exams of secondary schools ,for the problems that are difficult to solve through geometric knowledge,we often

4、use the knowledge to convert it to the vector making geometry problems algebraic .We find it easier and more intuitive to solve the problem. Vector is not only applied in solving problem process , but also in elementary geometry.we can prove some complex geometry,three-dimensionalgeometry problems a

5、nd some formula theorem with some of the basic principles of vector. In this paper,We will discuss these contents.Key words: vector algebraic calculate proof Elementary Geometry1 緒論向量是一種既具有大小又有方向的量， 它是作為一種代數(shù)的方法來研究幾何的重要 工具，向量不但可以用來解決平面幾何中的問題， 還能應用于三維立體幾何問題的解決。 我們根據(jù)初中學過的相關知識知道了平面中兩直線平行的判定定理。那么，我們能不能 利

6、用向量的方法來判定直線之間的位置關系？在高二必修二的學習中， 我們學習了立體 幾何，那我們是不是也可以用向量的代數(shù)特征將這些抽象的問題代數(shù)化？或者，我們又 能否利用向量的知識來求解三角形中的未知量？我們是不是還能夠利用向量最基本的 知識原理來證明一些定理呢？以上種種問題，都是本文所要探討的。2 向量的運算規(guī)律與定理和推論2.1向量加法運算規(guī)律rrrr（1）abba（2）（a b） C a （b C）rrr（3）a0arrr（4）a （a）02.2向量乘法運算規(guī)律（1）1aa（2）（ a） （）ar rrr（3）（a b）ab2.3向量數(shù)性積r r記做a br r r rr ra b a b c

7、os （a,b）2.4向量矢性積記做a b，它的方向與a和b都垂直n si r b r arb)ra,三向量的混合積（a,b,c） 在右手直角坐標系o,i,j,k下用矢量的分量表示向量數(shù)性積、向量失性積及三向量的混 合積：若 a XYj Z1kb X2i Y,j Z2kC X勺Zskr r則 a b X1X2 Y% Z1Z2XiX2Xi YkX2均（a,b,c）X2 丫2Z2X3 丫3Z3定理1：設有向線段RP2的始點為R（Xi, Yi，Z），終點為P2（X2, 丫2, Z2，那么分有向 線段PiP2成定比 （1）的分點P的坐標是XiX2Y丫2乙 Z2 n推論：設R（Xi，Yi，Z）, P2（

8、X2, 丫2, Z2，那么線段PR的中點坐標是XiX2Yi 丫2定理定理定理2:兩向量a與b相互垂直的充要條件是乙 Z22 r r a b 03：兩向量a與b的共線的充要條件是a b 04：三向量a、b、c共面的充要條件是（a,b,c）3向量在初等幾何中的應用實例研究初等幾何的三種主要方法除了綜合法、解析法，還有一種就是本文所討論的向 量法。有關幾何中位置數(shù)量以及等等問題，向量的方法有其獨特的優(yōu)勢，利用向量的知 識使問題得到簡化的例子不勝枚舉。3.i向量在處理平行問題時的應用例i.證明：若一個四邊形的兩條對角線相互平分，則為平行四邊形Cuuu uuur分析：我們考慮利用向量的知識來解決這個問題

9、，首先由題意的AB和DC互相平umr umr uuur uuruuu uuur uuu uuu uuir uur分，我們就可以得到DO OB，AO OC，所以得到AB AO OB DO OC DC， uuu uuur所以我們可以得到AB和DC共線，而且由圖像就可以看出，兩直線不重合，因此就可 以得到兩直線平行的結論。由因為這兩個向量相等，相等向量的模相等，得到這個四邊 形的一組對邊既平行又相等，所以這個四邊形是平行四邊形。證：設四邊形ABCD的對角線ABI BD 0,且AC, BD互相平分,從上圖可以看出：uuuuuuruuuuuiruuuuuuABAOOBDOOCDC因此,uuu uuirA

10、B/DC，uuu 且ABuuirDC即四邊形ABCD為平行四邊形關于平面中兩直線平行的證明，我們在初中就給出了幾個定理，但是在這道題目中, 我們發(fā)現(xiàn)，如果利用三角形的全等來解決，似乎很麻煩，也很難想到思路。但是如果我 們利用向量的方法，不但思路變得很好找，而且解題過程也會變得十分簡單。3.2向量在求點的坐標的問題時的應用例2.已知三角形三頂點為(xi,yi,zi), (i 1,2,3)求RP2P3的重心(三角形三條中線交點)的坐標。分析：本題是對定理1的實際應用，我們知道，三角形的重心把這個三角形的中線 分成1:2的兩部分，而根據(jù)定理1，就可以快速求出這個三角形重心的坐標。解：設PP2P3的三

11、條中線分別為PM i (i 1,2,3),其中頂點P的對邊上的中點為uuruuuurMi(i 1,2,3),他們的公共點為G(x,y,z),因此有RG 2GM1 ,即重心G把中線分為1:2 的兩段。由中線可知，M1為的中點,所以根據(jù)公式有M(X22X3,y22y3,Z22Z3)再根據(jù)定理1可得xX12(X22X3)扣1X2X3)12yy2y3)z扣Z2Z3)所以PP2B之重心為G(% x23X3y1Jy2y33Z1JZ2Z3)3如果直接根據(jù)各線段間的數(shù)量關系來求解重心坐標，就需要先設出該坐標，再通過列出關系式，求解方程才能解決問題，而利用定理1的知識，我們很快就可以通過公式解出重心的坐標，不但

12、思路變得特別簡單，在計算方面也簡化了許多。3.3向量在處理線面垂直問題時的應用例3.證明：若空間內(nèi)一直線垂直于同一平面內(nèi)兩條相交直線，則該直線垂直于該平面 內(nèi)任意一條直線。分析：在同一平面中，任意一個向量c都可以用兩個不相交的向量a和b表示出來，即 c a b，根據(jù)題意，我們已經(jīng)有n和a互相垂直，同時n和b也互相垂直，就可以 得到n a 0且n b 0，因此n c n ( a b) (n a) (n b) 0，所以得到n和c也 是互相垂直的，因此結論得證。證：設一條直線n, n與平面 內(nèi)兩相交直線a與b都垂直，接下來，我們求證該直線n與平面 內(nèi)任意直線c垂直 在直線n a、b、c上分別任取四個

13、非零向量記為n、a、b、c 則由題意得：n a，r cr rr r因此 n a 0， n b 0假設cabr r r rrr rr r故 n c n ( ab)(n a)(n b) 0即n c，表示直線n垂直于直線c命題得證對于這類題目，我們可以利用高中所學的立體幾何的知識加以解決，但是在解決這道題的過程中我們發(fā)現(xiàn)需要找出5個條件才能得出直線垂直于平面的結論，然后由得到的這個結論來證明本題，這樣一來，這道題解決起來就會變得相當麻煩。但是如果我們 利用向量的方法，用這組相交的向量來表示該平面內(nèi)任意一個向量，這道題就會變得十 分簡單。3.4向量在處理等距問題時的應用例4.證明：三角形各邊的垂直平分

14、線共點且這點到各頂點等距。AUULT uuuruuuOF BC 0，其中 OE uuu uuuGC和CB的和，最后用 uult uultOG AC，從而先證得uuu uuuuuu uuuuuu uur分析：由中垂線可得OE AB 0、OF BC 0，所以有OE AB uuu uua uuuuuurLUUT可以分解成OG , GA和AE的和，而OF可以分解成OG , uuu uuur三條中垂線共點UULT_再由OG AC，得到OG GA 0， uuu其中OAUlUUULT分別將OA和OC平方，整理后可以得到uuuOAuuu所以有OA同理可證oUULTUULTUUUUULT UUU UULTOG

15、GA， OCUULTOGUULTOGUULT GC。uuurGCUUU2 OAUUT2OC，因此uuuOAUULTOCuuuOBuuuOBuuurOC，從而結論得證F面給出具體證明過程。這六個向量代入原式，計算可以證得 OG AC 0,也就是證：設如圖在 ABC中O為AB與BC邊垂直平分線交點，E、F、C分別為AB與BC、CA的中點。UUU UUUUULT UUIT則有 OE AB 0、OF BC 0 UULT uuu uuur uuu故 OE AB OF BC 0UTUuuuUULTujurUTU由于OEOAAEOGGAujuruuurUTUUULTuuurOFOCFCOGGC所以UUJr

16、UULT 1 uuuAE OG CB21 UUU uuur 1 UULT-BC OG - AC2 21 uuu-BC2UULTOG1 uuu-AB2UUU UULT UULT OE AB OFuuurUULTBC (OG1 uuu uuu uuur1CB)AB(OG1 uuu uuur1 AB) BCUULT UULT 1 UUU UTUOG AB CB AB2ujur uuu 1 uuu uju OG BC AB BC 2UJIT UUU UULT UTT ULUT OG(AB BC) OG ACUJIT UULTULUT得至U OG AC 0，即卩 OGULUTAC所以三角形的三條中垂線交

17、于同一點uult uiur 因為OG ACUULT UUU得到OG GA 0， UUU ULUT UUU又 OA OG GA，UULT UULTOG GC 0UULT UJIT UULTOC OG GCUUU2 UULT 2 UUJ2 UJIT uuu 所以 OAOG GA 2OG GAUULT 2OGUUU 2 GAULJT2 UULT2 ULTT2 UTLT UULTOCOG GC 2OG GCUULT 2 UUJ2OG GA,UUU2 故OAuuu2 因為OA uuu 得到OAUUU2OC uun OA uuur OC2 uuur2，OCUULT 2OC同理可證Uuu OAuuuOBUU

18、LULUUULT因此得到OAOB|OC綜上所述，三角形的三條中垂線共點，且該公共點到三角形三個頂點的距離相等。 對于本題的共點問題，如果運用幾何的方法，會變得十分的抽象，解釋起來也會相 當困難。而利用向量的知識，我們只要先將其中的向量按照結論所需的條件進行分解， 最后通過具體的計算，就可以得出結論，免去了繁雜的幾何證明和很多抽象的解釋。這 樣不但把抽象的幾何問題轉化成了簡單的計算題，而且在理解時也變得更加直觀。而對 于等距問題，運用三角形全等的知識當然也可以加以證明，但是能夠利用向量進行計算 證明也是體現(xiàn)了我們數(shù)學中解題思維的多樣性。3.5向量在求解和證明與角度有關問題時的應用例5：已知求:A

19、BC三點 A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)C .分析:要求的積,C的度數(shù)，我們利用向量的積與向量模的積之間的關系,ULL ULTBC CA再求出它們的模的積，最后根據(jù)UUL UUL cos (BC,CA)-UUT-ULT-BCCAuultuuu先求出AC和CB，求得C的余弦值,從而得到解：因為UUTCA所以BCULUBCC的度數(shù)。ULUBC 1, 1,0uuu1,0, 1，UULTCA = -1-1uuuIbcI x2CA 2+ -1 0+0-1 =1AB= -1 2+ -1 1+0=-3ULT UTT BC CA ULU ULT BC CAULT UUT因而 cos (B

20、C,CA)12.2 2-ULU UUT所以(BC,CA)-3再利用兩向量的積和它們的模本題中，我們先將所要求的角表示成兩向量的夾角， 的積之間的關系，很容易求出兩向量的夾角的余弦值，從而求出所要求的角的度數(shù)。利用向量的知識，本題通過三步簡單的計算就可以完成。3.6向量在證明正弦定理時的應用例6.證明正弦定理 分析：在證明正弦定理時，我們可以考慮利用向量的矢量積來求證F面給出具體的證明過程Bcuuu uuumur mur uuu uur顯然有 BC AC二（BA+ AC） AC二BAuuu ACsin A同理可得csin Casin Absin B所以得到為仁csin C可得 absi nC c

21、bsi nA所以定理得證正弦定理有很多種證明方法，但無論是轉化為直角三角形還是作外接圓，證明過程 都比較繁雜，但是利用向量的知識，我們只需利用向量積的知識就可以輕松解決，相比 較其他幾種證明方法，顯得更加簡潔直觀。3.7向量在解三角形中的應用例 7已知空間三點 A(1,2,3)，B(2, 1,5)，C(3,2, 5) 試求(1) ABC的面積；(2)三角形的AB邊上的高分析：我們可以先利用向量的矢量積求得平行四邊形的面積，從而求得umruuuuuu uuiruuu而對于求解三角形的高，因為 CH與AB垂直，所以AB CH = ABABC的面積。 通過計算可以求得解：uuir CH即所要求的高(

22、1 ) S ABCSYABCD2muuuurAB 1,3, 2 , AC1 uuu-AB22,0,UULTAC8所以24i12 j 6kILL CULT ijkAB AC 13 2UUU UULT | ,2 22 J_ 從而 AB AC J242 122 62 6/21 所以 Sabc 3 21。UULTCH因為 ABC的AB邊上的高CH即是YABCD的AB邊上的高，所以UULT UULTIabcuAc 又因為 AB J12 （ 3）2 22 皿lABl所以CHUUT UUUAB ACtUUAB36對于求解面積的問題，利用向量的矢量積可以直接解決，而對于求解高的問題利用 等式a b a b s

23、in （a,b），在垂直的條件下得到夾角的正弦值為1，從而可以快速求得高的長度。4向量在幾何問題的研究中的作用向量和復數(shù)是存在著聯(lián)系的。平面向量和復數(shù)都可以表示一個復平面上的點，但是 不同的是，向量還可以拓展到三維空間，這一點在與幾何（尤其是立體幾何）的解題過 程中的應用表現(xiàn)得更加突出。向量不僅僅在數(shù)學中具有舉足輕重的地位，在物理學中， 我們也早就接觸過向量的知識并且我們知道高中物理就對向量有著很高的要求，向量區(qū)別于我們以前學過的標量，它既具有大?。ù鷶?shù)特點），又具有方向（幾何特點），是 代數(shù)和幾何相結合的產(chǎn)物，具有“數(shù)形結合”的特點。我們在學習中通過各種解題方法 的對比可以發(fā)現(xiàn)，利用向量，很

24、多難題會迎刃而解。這實際上就是向量對抽象的幾何問 題進行了簡化的原因。與此同時，我們還知道，在中學數(shù)學課程中，幾何一直占據(jù)著很 重要的地位，有時候，我們用常規(guī)的幾何方法去解決一些復雜的題目時往往很難解決， 甚至是找不出一點思路，在這個時候，我們就可以嘗試著利用向量把形與數(shù)進行轉化， 把一道抽象的幾何題用代數(shù)的形式加以敘述，那么，思路就會很簡單了。甚至，我們可 以利用向量的知識來證明一些命題或者定理，例如文中 3.6 的定理證明。在我們處理平面幾何問題的時候， 向量有著它獨特的優(yōu)越性， 利用平面向量的知識， 不等式、三角、復數(shù)、物理、測量等某些復雜問題可以很容易的解決。很顯然，向量在 應用于平面幾何時，能夠將平面幾何許多問題代數(shù)化、程序化，從而