數(shù)模使用教程

1、LINGOLINGO 使用LINGO 是用來(lái)求解線性和非線性優(yōu)化問(wèn)題的簡(jiǎn)易工具。LINGO 內(nèi)置了一種建立最優(yōu)化模型的語(yǔ)言，可以簡(jiǎn)便地表達(dá)大規(guī)模問(wèn)題，利用 LINGO 高效的求解器可快速求解并分析結(jié)果。§1LINGO 快速入門(mén)當(dāng)你在 windows 下開(kāi)始運(yùn)行 LINGO 系統(tǒng)時(shí)，會(huì)得到類似下面的一個(gè)窗口：外層是主框架窗口，包含了所有菜單命令和工具條，其它所有的窗口將被包含在主窗口之下。在主窗口內(nèi)的標(biāo)題為 LINGO M LINGO1 的窗口是 LINGO 的默認(rèn)模型窗口，建立的模型都都要在該窗口內(nèi)編碼實(shí)現(xiàn)。下面舉兩個(gè)例子。例 1.1 如何在 LINGO 中求解如下的 LP 問(wèn)題：m

2、in2x1 + 3x2s.t.x1 + x2 ³ 350³ 100x12x1 + x2 £ 600x1 , x2 ³ 0在模型窗口中輸入如下代碼： min=2*x1+3*x2; x1+x2>=350;x1>=100; 2*x1+x2<=600;然后點(diǎn)擊工具條上的按鈕即可。共 53 頁(yè) 1LINGO例 1.2 使用 LINGO 軟件計(jì)算 6 個(gè)發(fā)點(diǎn) 8 個(gè)收點(diǎn)的最小費(fèi)用下表。問(wèn)題。產(chǎn)銷運(yùn)價(jià)如使用 LINGO 軟件，編制程序如下：:m!6 發(fā)點(diǎn) 8 收點(diǎn)sets:問(wèn)題;warehouses/wh1.wh6/: capacity; vendo

3、rs/v1.v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume;endsets!目標(biāo)函數(shù);min=sum(links: cost*volume);!需求約束; for(vendors(J):sum(warehouses(I): volume(I,J)=demand(J);!產(chǎn)量約束; for(warehouses(I):sum(vendors(J): volume(I,J)<=capacity(I);!這里是數(shù)據(jù); data:capacity=60 55 51 43 41 52;demand=35 3722 324 2 98 5 84

4、1 32 43 38;52cost=6452 6 79 5 322 77 2 68 1 4153;25enddata end3 9 55 2 2然后點(diǎn)擊工具條上的按鈕即可。為了能夠使用 LINGO 的強(qiáng)大功能，接著第二節(jié)的學(xué)習(xí)吧。共 53 頁(yè) 2單位銷地運(yùn)價(jià)產(chǎn)地B1B2B3B4B5B6B7B8產(chǎn)量AA24953858255A35219743351A47673927143A52395726541A65522814352銷量3537223241324338LINGO§2LINGO 中的集對(duì)實(shí)際問(wèn)題建模的時(shí)候，總會(huì)遇到一群或多群相的對(duì)象，比如工廠、消費(fèi)者群體、交通工具和雇工等等。LINGO

5、把這些相的對(duì)象聚集（sets）。一旦把對(duì)象聚集，就可以利用集來(lái)最大限度的發(fā)揮 LINGO 建模語(yǔ)言的優(yōu)勢(shì)?，F(xiàn)在深入介紹如何創(chuàng)建集，并用數(shù)據(jù)初始化集的屬性。學(xué)完本節(jié)后，你對(duì)基于建模技術(shù)的集如何引入模型會(huì)有一個(gè)基本的理解。2.1 為什么使用集集是 LINGO 建模語(yǔ)言的基礎(chǔ)，是程序設(shè)計(jì)最強(qiáng)的基本構(gòu)件。借助于集，能夠用一個(gè)單一的、長(zhǎng)的、簡(jiǎn)明的復(fù)合公式表示一系列相似的約束，從而可以快速方便地表達(dá)規(guī)模較大的模型。2.2 什么是集集是一群相的對(duì)象，這些對(duì)象也稱為集的成員。一個(gè)集可能是一系列、卡車或雇員。每個(gè)集成員可能有一個(gè)或多個(gè)與之有關(guān)聯(lián)的特征，我們把這些特征稱為屬性。屬性值可以預(yù)先給定，也可以是未知的，

6、有待于 LINGO 求解。例如，集中的每個(gè)可以有一個(gè)價(jià)格屬性；卡車集中的每輛卡車可以有一個(gè)牽引力屬性；雇員集中的每位雇員可以有一個(gè)薪水屬性，也可以有一個(gè)生日屬性等等。LINGO 有兩種類型的集：原始集(primitive set)和派生集(derived set)。一個(gè)原始集是由一些最基本的對(duì)象組成的。一個(gè)派生集是用一個(gè)或多個(gè)其它集來(lái)定義的，也就是說(shuō)，它的成員來(lái)自于其它已存在的集。2.3 模型的集部分集部分是 LINGO 模型的一個(gè)可選部分。在 LINGO 模型中使用集之前，必須在集部分事先定義。集部分以關(guān)鍵字“sets:”開(kāi)始，以“endsets”結(jié)束。一個(gè)模型可以沒(méi)有集部分，或有一個(gè)簡(jiǎn)單的

7、集部分，或有多個(gè)集部分。一個(gè)集部分可以放置于模型的任何地方，但是一個(gè)集及其屬性在模型約束中被2.3.1 定義原始集之前必須定義了它們。為了定義一個(gè)原始集，必須詳細(xì)：·集的名字·可選，集的成員·可選，集成員的屬性定義一個(gè)原始集，用下面的語(yǔ)法：setname/member_list/:attribute_list;注意：用“”表示該部分內(nèi)容可選。下同，不再贅述。Setname 是你選擇的來(lái)標(biāo)記集的名字，最好具有較強(qiáng)的可讀性。集名字必須嚴(yán)格符合標(biāo)準(zhǔn)命名規(guī)則：以拉丁字母或下劃線（_）為首字符，其后由拉丁字母（AZ）、下劃線、阿拉伯?dāng)?shù)字（0，1，9）組成的總長(zhǎng)度不超過(guò) 32

8、 個(gè)字符的字符串，且不區(qū)分大小寫(xiě)。注意：該命名規(guī)則同樣適用于集成員名和屬性名等名。Member_list 是集成員列表。如果集成員放在集定義中，那么對(duì)它們可采取顯式羅列和隱式羅列兩種方式。如果集成員不放在集定義中，那么可以在隨后的數(shù)據(jù)部分定義它們。 當(dāng)顯式羅列成員時(shí)，必須為每個(gè)成員輸入一個(gè)不同的名字，中間用空格或逗號(hào)擱開(kāi)， 混合使用。例 2.1 可以定義一個(gè)名為 students 的原始集，它具有成員 John、Jill、Rose 和 Mike， 屬性有 sex 和 age：sets:students/John Jill, Rose Mike/: sex, age; endsets 當(dāng)隱式羅列

9、成員時(shí)，不必羅列出每個(gè)集成員?？刹捎萌缦抡Z(yǔ)法：共 53 頁(yè) 3LINGOsetname/member1.memberN/: attribute_list;這里的 member1 是集的第一個(gè)成員名，memberN 是集的最末一個(gè)成員名。LINGO 將自動(dòng)產(chǎn)生中間的所有成員名。LINGO 也接受一些特定的首成員名和末成員名，用于創(chuàng)建一些特殊的集。列表如下： 集成員不放在集定義中，而在隨后的數(shù)據(jù)部分來(lái)定義。例 2.2!集部分; sets:students:sex,age; endsets!數(shù)據(jù)部分; data:students,sex,age= John 1 16Jill 0Rose 0Mike

10、1141713;enddata注意：開(kāi)頭用感嘆號(hào)（!），末尾用分號(hào)（;）表示注釋，可跨多行。在集部分只定義了一個(gè)集 students，并未指定成員。在數(shù)據(jù)部分羅列了集成員 John、Jill、Rose 和 Mike，并對(duì)屬性 sex 和 age 分別給出了值。集成員無(wú)論用何種字符標(biāo)記,它的索引都是從 1 開(kāi)始連續(xù)計(jì)數(shù)。在 attribute_ list 可以指定一個(gè)或多個(gè)集成員的屬性，屬性之間必須用逗號(hào)隔開(kāi)?？梢园鸭⒓蓡T和集屬性同 C 語(yǔ)言中的結(jié)構(gòu)體作個(gè)類比。如下圖：集集成員集屬性結(jié)構(gòu)體結(jié)構(gòu)體的域結(jié)構(gòu)體實(shí)例LINGO 內(nèi)置的建模語(yǔ)言是一種描述性語(yǔ)言，用它可以描述現(xiàn)實(shí)世界中的一些問(wèn)題，然后再

11、借助于 LINGO 求解器求解。因此，集屬性的值一旦在模型中被確定，就不可能再更改。在LINGO 中，只有在初始部分中給出的集屬性值在以后的求解中可更改。這與前面并不初始部分是 LINGO 求解器的需要，并不是描述問(wèn)題所必須的。2.3.2 定義派生集為了定義一個(gè)派生集，必須詳細(xì)：·集的名字·父集的名字·可選，集成員·可選，集成員的屬性可用下面的語(yǔ)法定義一個(gè)派生集： setname(parent_set_list)/member_list/:attribute_list;，setname 是集的名字。parent_set_list 是已定義的集的列表，多個(gè)

12、時(shí)必須用逗號(hào)隔開(kāi)。如果沒(méi)有指定成員列表，那么 LINGO 會(huì)自動(dòng)創(chuàng)建父集成員的所有組合作為派生集的成員。派生集的父集既可以是原始集，也可以是其它的派生集。共 53 頁(yè) 4隱式成員列表格式示例所產(chǎn)生集成員1.n1.51,2,3,4,5StringM.StringNCar2.car14Car2,Car3,Car4,Car14DayM.DayNMon.FriMon,Tue,Wed,Thu,FriMonthM.MonthNOct.JanOct,Nov,Dec,JanMonthYearM.MonthYearNOct2001.Jan2002Oct2001,Nov2001,Dec2001,Jan2002LI

13、NGO例 2.3sets:product/A B/; machine/M N/; week/1.2/;allowed(product,machine,week):x; endsetsLINGO 生成了三個(gè)父集的所有組合共八組作為 allowed 集的成員。列表如下：編號(hào)1成員(A,M,1)23456782345678(A,M,2)(A,N,1)(A,N,2)(B,M,1)(B,M,2)(B,N,1)(B,N,2)，這樣的派生集成為稠密集。成員列表被忽略時(shí)，派生集成員由父集成員所有的組合如果限制派生集的成員，使它成為父集成員所有組合的集合的一個(gè)子集，這樣的派生集成為稀疏集。同原始集一樣，派生集成

14、員的也可以放在數(shù)據(jù)部分。一個(gè)派生集的成員列表有兩種方式生成：顯式羅列；設(shè)置成員資格過(guò)濾器。當(dāng)采用方式時(shí)，必須顯式羅列出所有要包含在派生集中的成員，并且羅列的每個(gè)成員必須屬于稠密集。使用前面的例子， 顯式羅列派生集的成員：allowed(product,machine,week)/A M 1,A N 2,B N 1/;如果需要生成一個(gè)大的、稀疏的集，那么顯式羅列就很討厭。幸運(yùn)地是許多稀疏集的成員都滿足一些條件以和非成員相區(qū)分。我們可以把這些邏輯條件看作過(guò)濾器，在 LINGO 生成派生集的成員時(shí)把使邏輯條件為例 2.4sets:成員從稠密集中過(guò)濾掉。!學(xué)生集：屬性 sex，1 表示，0 表示女性；

15、屬性 age. ;students/John,Jill,Rose,Mike/:sex,age;!男學(xué)生和女學(xué)生的集：友好程度屬性 friend，0，1之間的數(shù)。 ;linkmf(students,students)|sex(&1) #eq# 1 #and# sex(&2) #eq# 0: friend;!男學(xué)生和女學(xué)生的友好程度大于 0.5 的集; linkmf2(linkmf) | friend(&1,&2) #ge# 0.5 : x;endsets data:sex,age = 1;friend = 0.3 0.5 0.6; enddata用豎線（|）來(lái)標(biāo)記

16、一個(gè)成員資格過(guò)濾器的開(kāi)始。#eq#是邏輯運(yùn)算符，用來(lái)是否“相等”，可參考§4. &1 可看作派生集的第 1 個(gè)原始父集的索引，它取遍該原始父集的所有成員；&2 可看作派生集的第 2 個(gè)原始父集的索引，它取遍該原始父集的所有成員；&3，&4， ，以此類推。注意如果派生集 B 的父集是另外的派生集 A，那么上面所說(shuō)的原始父集是集 A 向前回溯到最終的原始集，其順序保持不變，并且派生集 A 的過(guò)濾器對(duì)派生集B 仍然有效。因此，派生集的索引個(gè)數(shù)是最終原始父集的個(gè)數(shù)，索引的取值是從原始父集到當(dāng)前派生集所作限制的總和。總的來(lái)說(shuō)，LINGO 可識(shí)別的集只有兩種類型：

17、原始集和派生集。共 53 頁(yè) 5LINGO在一個(gè)模型中，原始集是基本的對(duì)象，不能再被拆分成更小的組分。原始集可以由顯式羅列和隱式羅列兩種方式來(lái)定義。當(dāng)用顯式羅列方式時(shí)，需在集成員列表中逐個(gè)輸入每個(gè)成員。當(dāng)用隱式羅列方式時(shí)，只需在集成員列表中輸入首成員和末成員，而中間的成員由 LINGO 產(chǎn)生。另一方面，派生集是由其它的集來(lái)創(chuàng)建。這些集被稱為該派生集的父集（原始集或其它的派生集）。一個(gè)派生集既可以是稀疏的，也可以是稠密的。稠密集包含了父集成員的所有組合（有時(shí)也稱為父集的笛卡爾乘積）。稀疏集僅包含了父集的笛卡爾乘積的一個(gè)子集，可通過(guò)顯式羅列和成員資格過(guò)濾器這兩種方式來(lái)定義。顯式羅列方法就是逐個(gè)羅列

18、稀疏集的成員。成員資格過(guò)濾器方法通過(guò)使用稀疏集成員必須滿足的邏輯條件從稠密集成員中過(guò)濾出稀疏集的成員。不同集類型的關(guān)系見(jiàn)下圖。集派生集原始集稀疏集稠密集顯式羅列過(guò)濾器LINGO 集類型§3模型的數(shù)據(jù)部分和初始部分在處理模型的數(shù)據(jù)時(shí)，需要為集指派一些成員并且在 LINGO 求解模型之前為集的某些屬性指定值。為此，LINGO 為用戶提供了兩個(gè)可選部分：輸入集成員和數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)部分（Data Section）和為決策變量設(shè)置初始值的初始部分（Init Section）。3.1 模型的數(shù)據(jù)部分3.1.1 數(shù)據(jù)部分入門(mén)數(shù)據(jù)部分提供了模型相對(duì)靜止部分和數(shù)據(jù)分離的可能性。顯然，這對(duì)模型的維護(hù)和維數(shù)的

19、縮放非常便利。數(shù)據(jù)部分以關(guān)鍵字“data:”開(kāi)始，以關(guān)鍵字“enddata”結(jié)束。在這里，可以指定集成員、集的屬性。其語(yǔ)法如下：object_list = value_list;對(duì)象列（object_list）包含要指定值的屬性名、要設(shè)置集成員的集名，用逗號(hào)或空格隔開(kāi)。一個(gè)對(duì)象列中至多有一個(gè)集名，而屬性名可以有任意多。如果對(duì)象列中有多個(gè)屬性名， 那么它們的類型必須一致。如果對(duì)象列中有一個(gè)集名，那么對(duì)象列中所有的屬性的類型就是這個(gè)集。數(shù)值列（value_list）包含要分配給對(duì)象列中的對(duì)象的值，用逗號(hào)或空格隔開(kāi)。注意屬性值的個(gè)數(shù)必須等于集成員的個(gè)數(shù)。看下面的例子。例 3.1共 53 頁(yè) 6LIN

20、GOsets:set1/A,B,C/: X,Y; endsetsdata:X=1,2,3;Y=4,5,6;enddata在集 set1 中定義了兩個(gè)屬性 X 和 Y。X 的三個(gè)值是 1、2 和 3，Y 的三個(gè)值是 4、5 和 6。也可采用如下例子中的復(fù)合數(shù)據(jù)例 3.2sets:set1/A,B,C/: X,Y; endsetsdata:X,Y=1 42 53 6;enddata（data statement）實(shí)現(xiàn)同樣的功能?？吹竭@個(gè)例子，可能會(huì)認(rèn)為 X 被指定了 1、4 和 2 三個(gè)值，因?yàn)樗鼈兪菙?shù)值列中前三個(gè)，而正確的是 1、2 和 3。假設(shè)對(duì)象列有 n 個(gè)對(duì)象，LINGO 在為對(duì)象指定值時(shí)

21、，首先在 n個(gè)對(duì)象的第 1 個(gè)索引處依次分配數(shù)值列中的前 n 個(gè)對(duì)象，然后在 n 個(gè)對(duì)象的第 2 個(gè)索引處依次分配數(shù)值列中緊接著的n 個(gè)對(duì)象， ，以此類推。模型的所有數(shù)據(jù)屬性值和集成員被單獨(dú)放在數(shù)據(jù)部分，這可能是最規(guī)范的數(shù)據(jù)輸入方式。3.1.2 參數(shù)在數(shù)據(jù)部分也可以指定一些標(biāo)量變量（scalar variables）。當(dāng)一個(gè)標(biāo)量變量在數(shù)據(jù)部分確定時(shí)，稱之為參數(shù)?？匆焕?，假設(shè)模型中用利率 8.5%作為一個(gè)參數(shù)，就可以象下面一樣輸入一個(gè)利率作為參數(shù)。例 3.3data:interest_rate = .085; enddata也可以同時(shí)指定多個(gè)參數(shù)。例 3.4data:interest_rate,

22、inflation_rate = .085 .03; enddata3.1.3 實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理在某些情況，對(duì)于模型中的某些數(shù)據(jù)并不是定值。譬如模型中有一個(gè)通貨膨脹率的參數(shù)， 我們想在 2%至 6%范圍內(nèi)，對(duì)不同的值求解模型，來(lái)觀察模型的結(jié)果對(duì)通貨膨脹的依賴有多么敏感。我們把這種情況稱為實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理（what if analysis）。LINGO 有一個(gè)特征可方便地做到這件事。在本該放數(shù)的地方輸入一個(gè)問(wèn)號(hào)（?）。例 3.5data:interest_rate,inflation_rate = .085 ?; enddata每一次求解模型時(shí)，LINGO 都會(huì)提示為參數(shù) inflation_rate

23、輸入一個(gè)值。在 WINDOWS 操作系統(tǒng)下，將會(huì)接收到一個(gè)類似下面的框：共 53 頁(yè) 7LINGO直接輸入一個(gè)值再點(diǎn)擊 OK 按鈕，LINGO 就會(huì)把輸入的值指定給 inflation_rate，然后繼續(xù)求解模型。除了參數(shù)之外，也可以實(shí)時(shí)輸入集的屬性值，但不3.1.4 指定屬性為一個(gè)值實(shí)時(shí)輸入集成員名?？梢栽跀?shù)據(jù)子。例 3.6sets:的右邊輸入一個(gè)值來(lái)把所有的成員的該屬性指定為一個(gè)值?？聪旅娴睦齞ays /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs; endsetsdata:needs = 20; enddataLINGO 將用 20 指定 days 集的所有成員的 needs

24、屬性。對(duì)于多個(gè)屬性的情形，見(jiàn)下例。例 3.7sets:days /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs,cost; endsetsdata:needs cost = 20 100; enddata3.1.5 數(shù)據(jù)部分的未知數(shù)值有時(shí)只想為一個(gè)集的部分成員的某個(gè)屬性指定值，而讓其余成員的該屬性保持未知，以便讓 LINGO 去求出它們的最優(yōu)值。在數(shù)據(jù) 中輸入兩個(gè)相連的逗號(hào)表示該位置對(duì)應(yīng)的集成員的屬性值未知。兩個(gè)逗號(hào)間可以有空格。例 3.8sets:years/1.5/: capacity; endsetsdata:capacity = ,34,20,; enddata屬性 capa

25、city 的第 2 個(gè)和第 3 個(gè)值分別為 34 和 20，其余的未知。3.2 模型的初始部分初始部分是 LINGO 提供的另一個(gè)可選部分。在初始部分中， 可以輸入初始（initialization statement），和數(shù)據(jù)部分中的數(shù)據(jù)相同。對(duì)實(shí)際問(wèn)題的建模時(shí)，初始部分并不起到描述模型的作用，在初始部分輸入的值僅被 LINGO 求解器當(dāng)作初始點(diǎn)來(lái)用， 并且僅僅對(duì)非線性模型有用。和數(shù)據(jù)部分指定變量的值不同，LINGO 求解器可以自由改變初始部分初始化的變量的值。一個(gè)初始部分以“init:”開(kāi)始，以“endinit”結(jié)束。初始部分的初始規(guī)則和數(shù)據(jù)部分的數(shù)據(jù)規(guī)則相同。也就是說(shuō)，我們可以在的左邊同

26、時(shí)初始化多個(gè)集屬性，可以把集屬性初始化為一個(gè)值，可以用問(wèn)號(hào)實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理，還可以用逗號(hào)指定未知數(shù)值。例 3.9共 53 頁(yè) 8LINGOinit:X, Y = 0, .1;endinit Y=log(X); X2+Y2<=1;好的初始點(diǎn)會(huì)減少模型的求解時(shí)間。在這一節(jié)中，我們僅帶大家接觸了一些基本的數(shù)據(jù)輸入和初始化概念，不過(guò)現(xiàn)在你應(yīng)該可以輕松的為的模型加入原始數(shù)據(jù)和初始部分啦。§4LINGO 函數(shù)有了前幾節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)，再加上本節(jié)的內(nèi)容，你就能夠借助于 LINGO 建立并求解復(fù)雜的優(yōu)化模型了。LINGO 有 9 種類型的函數(shù)：1 12 23 34 45 56 67 78 8基本運(yùn)

27、算符：包括算術(shù)運(yùn)算符、邏輯運(yùn)算符和關(guān)系運(yùn)算符數(shù)學(xué)函數(shù)：三角函數(shù)和常規(guī)的數(shù)學(xué)函數(shù)金融函數(shù)：LINGO 提供的兩種金融函數(shù)概率函數(shù)：LINGO 提供了大量概率相關(guān)的函數(shù)變量界定函數(shù)：這類函數(shù)用來(lái)定義變量的取值范圍集操作函數(shù)：這類函數(shù)為對(duì)集的操作提供幫助集循環(huán)函數(shù)：遍歷集的元素，執(zhí)行一定的操作的函數(shù)數(shù)據(jù)輸入輸出函數(shù)：這類函數(shù)模型和外部數(shù)據(jù)源相，進(jìn)行數(shù)據(jù)的輸入輸出9 9 輔助函數(shù)：各種雜類函數(shù)4.1 基本運(yùn)算符這些運(yùn)算符是非常基本的，甚至可以不認(rèn)為它們是一類函數(shù)。事實(shí)上，在 LINGO 中它們是非常重要的。4.1.1 算術(shù)運(yùn)算符算術(shù)運(yùn)算符是數(shù)值進(jìn)行操作的。LINGO 提供了 5 種二元運(yùn)算符：乘方乘除

28、加減LINGO 唯一的一元算術(shù)運(yùn)算符是取反函數(shù)“”。這些運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)由高到底為：高 （取反）低 運(yùn)算符的運(yùn)算次序?yàn)閺淖蟮接野磧?yōu)先級(jí)高低來(lái)執(zhí)行。運(yùn)算的次序可以用圓括號(hào)“（）”來(lái)改變。例 4.1 算術(shù)運(yùn)算符示例。253，(24)5 等等。4.1.2 邏輯運(yùn)算符在 LINGO 中，邏輯運(yùn)算符主要用于集循環(huán)函數(shù)的條件表達(dá)式中，來(lái)成員被包含，哪些被排斥。在創(chuàng)建稀疏集時(shí)用在成員資格過(guò)濾器中。在函數(shù)中哪些集共 53 頁(yè) 9LINGOLINGO 具有種邏輯運(yùn)算符：#not# #eq# #ne# #gt# #ge# #lt# #le# #and# #or#該操作數(shù)的邏輯值，not是一個(gè)一元運(yùn)算符若兩個(gè)運(yùn)算數(shù)相

29、等，則為 true；否則為 flase若兩個(gè)運(yùn)算符不相等，則為 true；否則為 flase若左邊的運(yùn)算符嚴(yán)格大于右邊的運(yùn)算符，則為 true；否則為 flase 若左邊的運(yùn)算符大于或等于右邊的運(yùn)算符，則為 true；否則為 flase 若左邊的運(yùn)算符嚴(yán)格小于右邊的運(yùn)算符，則為 true；否則為 flase 若左邊的運(yùn)算符小于或等于右邊的運(yùn)算符，則為 true；否則為 flase 僅當(dāng)兩個(gè)參數(shù)都為 true 時(shí)，結(jié)果為 true；否則為 flase僅當(dāng)兩個(gè)參數(shù)都為 false 時(shí)，結(jié)果為 false；否則為 true這些運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)由高到低為： 高 #not#eq# #ne# #gt# #g

30、e# #lt# #le# 低 #and# #or#例 4.2 邏輯運(yùn)算符示例2 #gt# 3 #and# 4 #gt# 2，其結(jié)果為假（0）。4.1.3 關(guān)系運(yùn)算符在 LINGO 中，關(guān)系運(yùn)算符主要是被用在模型中，來(lái)指定一個(gè)表達(dá)式的左邊是否等于、小于等于、或者大于等于右邊，形成模型的一個(gè)約束條件。關(guān)系運(yùn)算符與邏輯運(yùn)算符#eq#、#le#、#ge#截然不同，前者是模型中該關(guān)系運(yùn)算符所指定關(guān)系的為真描述，而后者僅僅關(guān)系是否被滿足：滿足為真，不滿足為假。一個(gè)該LINGO 有三種關(guān)系運(yùn)算符：“=”、“<=”和“>=”。LINGO 中還能用“<”表示小于等于關(guān)系，“>”表示大于等

31、于關(guān)系。LINGO 并不支持嚴(yán)格小于和嚴(yán)格大于關(guān)系運(yùn)算符。然而，如果需要嚴(yán)格小于和嚴(yán)格大于關(guān)系，比如讓 A 嚴(yán)格小于 B：A<B，那么可以把它變成如下的小于等于表達(dá)式：A+<=B，這里是一個(gè)小的正數(shù)，它的值依賴于模型中 A 小于 B 多少才算不等。下面給出以上三類操作符的優(yōu)先級(jí)：高#not#* #eq# #and#<= =（取反）#ne# #gt# #ge# #lt# #le# #or#>=低4.2數(shù)學(xué)函數(shù)LINGO 提供了大量的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)：abs(x) sin(x) cos(x) tan(x) exp(x) log(x) lgm(x) sign(x)floor(x)

32、返回 x 的絕對(duì)值返回 x 的正弦值，x 采用弧度制返回 x 的余弦值返回 x 的正切值返回常數(shù) e 的 x 次方返回 x 的自然對(duì)數(shù)返回 x 的 gamma 函數(shù)的自然對(duì)數(shù)如果 x<0 返回-1；否則，返回 1返回 x 的整數(shù)部分。當(dāng) x>=0 時(shí)，返回不超過(guò) x 的最大整數(shù)；當(dāng) x<0 時(shí)，返回不低于 x 的最大整數(shù)。smax(x1,x2,xn)smin(x1,x2,xn)返回 x1，x2，xn 中的最大值返回 x1，x2，xn 中的最小值共 53 頁(yè) 10LINGO例 4.3 給定一個(gè)直角三角形，求包含該三角形的最小正方形。解：。CE = a sin x,AD = b

33、cos x,DE = a cos x + bsin x,求最小的正方形就相當(dāng)于求如下的最優(yōu)化問(wèn)題：min maxCE, AD, DECE0£ x£p2LINGO 代碼如下：m sets:object/1.3/: f; endsetsdata:BADa, b = enddataf(1) =f(2) =f(3) =3, 4; !兩個(gè)直角邊長(zhǎng)，修改很方便;a *b *a *sin(x);cos(x);cos(x) + b * sin(x);min = smax(f(1),f(2),f(3); bnd(0,x,1.57);end在上面的代碼中用到了函數(shù)bnd，見(jiàn) 4.5 節(jié)。4.3

34、 金融函數(shù)目前 LINGO 提供了兩個(gè)金融函數(shù)。1fpa(I,n)返回如下情形的凈現(xiàn)值：時(shí)段利率為 I，連續(xù)n 個(gè)時(shí)段支付，每個(gè)時(shí)段支付費(fèi)用。若每個(gè)時(shí)段支付x 為的費(fèi)用，則凈現(xiàn)值可用x 乘以fpa(I,n)算得。fpa 的計(jì)算公式 1= 1 - (1 + I )-nnåk=1 (1 + I )kI。凈現(xiàn)值就是在一定時(shí)期內(nèi)為了獲得一定在該時(shí)期初所支付的實(shí)際費(fèi)用。例 4.4買(mǎi)房問(wèn)題金額 50000 元，年利率 5.31%，采取分期付款方式（每年年末還固定金額，直至還清）。問(wèn)擬LINGO 代碼如下：50000 = x * fpa(.0531,10);是 x=6573.069 元。2fpl(

35、I,n)10 年，每年需償還多少元？返回如下情形的凈現(xiàn)值： 計(jì)算公式為時(shí)段利率為 I，第 n 個(gè)時(shí)段支付費(fèi)用。fpl(I,n)的(1 + I )-n 。細(xì)心的讀者可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)間的關(guān)系： fpa(I , n) = å fpl (I , k)k =1n。4.4 概率函數(shù)1pbn(p,n,x) 二項(xiàng)分布的累2pcx(n,x)布函數(shù)。當(dāng) n 和（或）x 不是整數(shù)時(shí)，用線性插值法進(jìn)行計(jì)算。自由度為 n 的2 分布的累布函數(shù)。共 53 頁(yè) 11axbLINGO3peb(a,x)當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為 a，服務(wù)系統(tǒng)有 x 個(gè)服務(wù)器且無(wú)窮排隊(duì)時(shí)的 Erlang 繁忙概率。4pel(a,x)當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為

36、a，服務(wù)系統(tǒng)有 x 個(gè)服務(wù)器且不5pfd(n,d,x)排隊(duì)時(shí)的 Erlang 繁忙概率。自由度為 n 和 d 的 F 分布的累6pfs(a,x,c)布函數(shù)。當(dāng)負(fù)荷上限為 a，顧客數(shù)為 c，平行服務(wù)器數(shù)量為 x 時(shí)，有限源的 Poisson 服務(wù)系統(tǒng)的等待或返修顧客數(shù)的期望值。a 是顧客數(shù)乘以平均服務(wù)時(shí)間，再除以平均返修時(shí)間。當(dāng) c 和（或）x 不是整數(shù)時(shí)，采用線性插值進(jìn)行計(jì)算。7phg(pop,g,n,x)超幾何（Hypergeometric）分布的累布函數(shù)。pop 表示總數(shù)，g 是正品數(shù)。從所有中任意取出n（npop）件。pop，g，n 和 x 都可以是非整數(shù)，這時(shí)采用線性插值進(jìn)行計(jì)算。8.

37、 ppl(a,x)Poisson 分布的線性損失函數(shù)，即返回 max(0,z-x)的期望值，其中隨為 a 的 Poisson 分布。9. pps(a,x)量z 服從均值均值為 a 的 Poisson 分布的累10psl(x)布函數(shù)。當(dāng)x 不是整數(shù)時(shí)，采用線性插值進(jìn)行計(jì)算。正態(tài)線性損失函數(shù)，即返回 max(0,z-x)的期望值，其中隨量 z 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。11psn(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累12ptd(n,x)布函數(shù)。自由度為 n 的 t 分布的累13qrand(seed)布函數(shù)。產(chǎn)生服從(0,1)區(qū)間的擬隨機(jī)數(shù)。qrand 只在模型的數(shù)據(jù)部分使用，它將用擬隨機(jī)數(shù)填滿集屬性。通常，一個(gè) m

38、15;n 的二維表，m 表示運(yùn)行實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，n 表示每次實(shí)驗(yàn)所需的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)。在行內(nèi)，隨機(jī)數(shù)是機(jī)數(shù)是用“分層取樣”的方法產(chǎn)生的。例 4.5分布的；在行間，隨機(jī)數(shù)是非常均勻的。這些隨m data:M=4; N=2; seed=1234567;enddata sets:rows/1.M/; cols/1.N/; table(rows,cols): x;endsets data:X=qrand(seed); enddataend如果沒(méi)有為函數(shù)指定14rand(seed)，那么 LINGO 將用系統(tǒng)時(shí)間構(gòu)造。返回 0 和 1 間的偽隨機(jī)數(shù)，依賴于指定的意如果 seed 不變，那么產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)也不變。

39、典型用法是 U(I+1)=rand(U(I)。注例 4.6 利用rand 產(chǎn)生 15 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)和自由度為 2 的 t 分布的隨機(jī)數(shù)。:m共 53 頁(yè) 12LINGO!產(chǎn)生一列正態(tài)分布和 t 分布的隨機(jī)數(shù); sets:series/1.15/: u, znorm, zt; endsets!第一個(gè)均勻分布隨機(jī)數(shù)是任意的; u( 1) = rand( .1234);!產(chǎn)生其余的均勻分布的隨機(jī)數(shù); for(series( I)| I #GT# 1:u( I) = rand( u( I - 1);for( series( I):!正態(tài)分布隨機(jī)數(shù);psn( znorm( I) = u( I)

40、;!和自由度為 2 的 t 分布隨機(jī)數(shù); ptd( 2, zt( I) = u( I);!ZNORM 和 ZT 可以是負(fù)數(shù);free( znorm( I); free( zt( I););end4.5 變量界定函數(shù)變量界定函數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)變量取值范圍的附加限制，共 4 種：bin(x) bnd(L,x,U) free(x) gin(x)限制 x 為 0 或 1 限制 LxU取消對(duì)變量 x 的默認(rèn)下界為 0 的限制，即 x 可以取任意實(shí)數(shù)限制 x 為整數(shù)在默認(rèn)情況下，LINGO 規(guī)定變量是非負(fù)的，也就是說(shuō)下界為 0，上界為+。free 取消了默認(rèn)的下界為 0 的限制，使變量也可以取負(fù)值。bnd 用于設(shè)

41、定一個(gè)變量的上下界,它也可以取消默認(rèn)下界為 0 的約束。4.6 集操作函數(shù)LINGO 提供了幾個(gè)函數(shù)幫助處理集。1in(set_name,primitive_index_1 ,primitive_index_2,)如果元素在指定集中，返回 1；否則返回 0。例 4.7 全集為 I，B 是I 的一個(gè)子集，C 是 B 的補(bǔ)集。sets:I/x1.x4/; B(I)/x2/;C(I)|#not#in(B,&1):; endsets2index(set_name, primitive_set_element)該函數(shù)返回在集 set_name 中原始集成員 primitive_set_eleme

42、nt 的索引。如果 set_name 被忽略，那么 LINGO 將返回與 primitive_set_element 匹配的第一個(gè)原始集成員的索引。如果找不到，則產(chǎn)生一個(gè)錯(cuò)誤。例 4.8 如何確定集成員(B,Y)屬于派生集 S3。sets:S1/A B C/; S2/X Y Z/;S3(S1,S2)/A X, A Z, B Y, C X/;共 53 頁(yè) 13LINGOendsetsX=in(S3,index(S1,B),index(S2,Y);看下面的例子，表明有時(shí)為index 指定集是必要的。例 4.9sets:girls/debble,sue,alice/; boys/bob,joe,su

43、e,fred/;endsets I1=index(sue); I2=index(boys,sue);I1 的值是 2，I2 的值是 3。我們建議在使用index 函數(shù)時(shí)最好指定集。3wrap(index,limit)該函數(shù)返回 j=index-k*limit，其中 k 是一個(gè)整數(shù)，取適當(dāng)值保證 j 落在區(qū)間1，limit內(nèi)。該函數(shù)相當(dāng)于index 模 limit 再加 1。該函數(shù)在循環(huán)、多階段計(jì)劃編制中特別有用。4size(set_name)該函數(shù)返回集 set_name 的成員個(gè)數(shù)。在模型中明確給出集大小時(shí)最好使用該函數(shù)。它的使用使模型更加數(shù)據(jù)中立，集大小改變時(shí)也更易維護(hù)。4.7 集循環(huán)函數(shù)

44、集循環(huán)函數(shù)遍歷整個(gè)集進(jìn)行操作。其語(yǔ)法為function(setname(set_index_list)|conditional_qualifier:expression_list);function 相應(yīng)于下面羅列的四個(gè)集循環(huán)函數(shù)之一；setname 是要遍歷的集；set_ index_list 是集索引列表；conditional_qualifier 是用來(lái)限制集循環(huán)函數(shù)的范圍，當(dāng)集循環(huán)函數(shù)遍歷集的每個(gè)成員時(shí)，LINGO 都要對(duì) conditional_qualifier 進(jìn)行評(píng)價(jià)，若結(jié)果為真， 則對(duì)該成員執(zhí)行function 操作，否則跳過(guò)，繼續(xù)執(zhí)行下一次循環(huán)。expression_lis

45、t 是被應(yīng)用到每個(gè)集成員的表達(dá)式列表，當(dāng)用的是for 函數(shù)時(shí)，expression_list 可以包含多個(gè)表達(dá)式，其間用逗號(hào)隔開(kāi)。這些表達(dá)式將被作為約束加到模型中。當(dāng)使用其余的三個(gè)集循環(huán)函數(shù)時(shí)， expression_list 只能有一個(gè)表達(dá)式。 如果省略 set_index_list ， 那么在expression_list 中1for的所有屬性的類型都是 setname 集。該函數(shù)用來(lái)產(chǎn)生對(duì)集成員的約束。基于建模語(yǔ)言的標(biāo)量需要顯式輸入每個(gè)約束，不過(guò)for 函數(shù)只輸入一個(gè)約束，然后 LINGO 自動(dòng)產(chǎn)生每個(gè)集成員的約束。例 4.10 產(chǎn)生序列1,4,9,16,25m sets:number/

46、1.5/:x; endsetsfor(number(I): x(I)=I2); end2sum該函數(shù)返回遍歷指定的集成員的一個(gè)表達(dá)式的和。 例 4.11 求向量5，1，3，4，6，10前 5 個(gè)數(shù)的和。m data:N=6;enddata sets:number/1.N/:x; endsetsdata:x = 5 1 3 4 6 10;共 53 頁(yè) 14LINGOenddatas=sum(number(I) | I #le# 5: x); end3min 和max返回指定的集成員的一個(gè)表達(dá)式的最小值或最大值。例 4.12 求向量5，1，3，4，6，10前 5 個(gè)數(shù)的最小值，后 3 個(gè)數(shù)的最大值

47、。m data:N=6;enddata sets:number/1.N/:x; endsetsdata:x = 5 1 3 4 6 10;enddataminv=min(number(I) | I #le# 5: x); maxv=max(number(I) | I #ge# N-2: x);end下面看一個(gè)稍微復(fù)雜一點(diǎn)兒的例子。例 4.13 職員時(shí)序安排模型 一項(xiàng)工作一周 7 天都需要有人（比如護(hù)士工作），每天（周一至周日）所需的最少職員數(shù)為 20、16、13、16、19、14 和 12，并要求每個(gè)職員一周連續(xù)工作 5 天，試求每周所需最少職員數(shù)，并給出安排。注意這里我們考慮穩(wěn)定后的情況。m

48、 sets:days/mon.sun/: required,start; endsetsdata:!每天所需的最少職員數(shù);required = 20 16 13 16 19 14 12; enddata!最小化每周所需職員數(shù); min=sum(days: start); for(days(J):sum(days(I) | I #le# 5: start(wrap(J+I+2,7) >= required(J);end計(jì)算的部分結(jié)果為Global optimal solution found at Objective value:iteration:022.00000VariableVal

49、ue 20.0000016.0000013.0000016.0000019.0000014.0000012.000008.0000002.0000000.0000006.000000Reduced Cost0.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.33333330.000000REQUIRED( REQUIRED( REQUIRED( REQUIRED( REQUIRED( REQUIRED( REQUIRED(START( START( START( START(MON) TUE) WE

50、D) THU) FRI) SAT) SUN) MON) TUE) WED) THU)共 53 頁(yè)15LINGOSTART( START( START(FRI) SAT) SUN)3.0000003.0000000.0000000.0000000.0000000.000000從而解決方案是：每周最少需要 22 個(gè)職員，周一安排 8 人，周二安排 2 人，周三無(wú)需安排人，周四安排 6 人，周五和周六都安排 3 人，周日無(wú)需安排人。4.8 輸入和輸出函數(shù)輸入和輸出函數(shù)可以把模型和外部數(shù)據(jù)比如文本文件、數(shù)據(jù)庫(kù)和電子表格等連接起來(lái)。1file 函數(shù)該函數(shù)用從外部文件中輸入數(shù)據(jù)，可以放在模型中任何地方。該

51、函數(shù)的語(yǔ)法格式為file(filename)。這里 filename 是文件名，可以采用相對(duì)路徑和絕對(duì)路徑兩種表示方式。file 函數(shù)對(duì)同一文件的兩種表示方式的處理和對(duì)兩個(gè)不同的文件處理是一樣的，這一點(diǎn)必須注意。例 4.14 以例 1.2 來(lái)講解file 函數(shù)的用法。注意到在例 1.2 的編碼中有兩處涉及到數(shù)據(jù)。第一個(gè)地方是集部分的 6 個(gè) warehouses 集成員和 8 個(gè) vendors 集成員；第二個(gè)地方是數(shù)據(jù)部分的 capacity，demand 和 cost 數(shù)據(jù)。為了使數(shù)據(jù)和我們的模型完全，我們把它們移到外部的文本文件中。修改模型代碼以便于用file 函數(shù)把數(shù)據(jù)從文本文件中拖到

52、模型中來(lái)。修改后（修改處代碼黑體加粗）的模型代碼如下：m:!6 發(fā)點(diǎn) 8 收點(diǎn)sets:問(wèn)題;warehouses/ file('1_2.txt') /: capacity; vendors/ file('1_2.txt') /: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume;endsets!目標(biāo)函數(shù);min=sum(links: cost*volume);!需求約束; for(vendors(J):sum(warehouses(I): volume(I,J)=demand(J);!產(chǎn)量約束; for(wareh

53、ouses(I):sum(vendors(J): volume(I,J)<=capacity(I);!這里是數(shù)據(jù); data:capacity = file('1_2.txt') ; demand = file('1_2.txt') ; cost = file('1_2.txt') ;enddata end模型的所有數(shù)據(jù)來(lái)自于 1_2.txt 文件。其內(nèi)容如下：!warehouses 成員;WH1 WH2 WH3 WH4 WH5 WH6 !vendors 成員;V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 !產(chǎn)量;60 55 51 43 41 52 共 53 頁(yè) 16LINGO!銷量;35 3722 32 41 32 43 38 ! 645費(fèi)用矩陣;292657348255892221764153253592把5278結(jié)束標(biāo)記（）之間的數(shù)據(jù)文件部分稱為。如果數(shù)據(jù)文件中沒(méi)有結(jié)束標(biāo)記，那么整個(gè)文件被看作單個(gè)直接放在模型里是一樣的。注意到除了結(jié)束標(biāo)記外，模型的文本和數(shù)據(jù)同它們我們來(lái)看一下