初中數(shù)學(xué)--三角形專(zhuān)題知識(shí)總結(jié)與練習(xí)答案

1、專(zhuān)題八 三角形一目標(biāo)：1掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。2利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算、解答有關(guān)綜合題。3培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想的能力二重點(diǎn)、難點(diǎn)：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的根底知識(shí)、根本技能是本節(jié)的重點(diǎn)。難點(diǎn)是綜合應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題的能力。三知識(shí)要點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)1 三角形的邊、角關(guān)系三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊；三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；三角形三個(gè)外角的和等于360°；三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

2、。知識(shí)點(diǎn)2 三角形的主要線(xiàn)段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高；三角形三邊的垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等；三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)，三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識(shí)點(diǎn)3 等腰三角形等腰三角形的識(shí)別：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩角相等的三角形是等腰三角形等角對(duì)等邊；三邊相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角；等腰三角形的

3、頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合；等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，底邊的中垂線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸；等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°。知識(shí)點(diǎn)4 直角三角形直角三角形的識(shí)別：有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形；有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識(shí)點(diǎn)5 全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)6 相似三角形知識(shí)點(diǎn)7 銳角三角函數(shù)三角函數(shù) 0° 30

4、76; 45° 60° 90°sin01cos10tan01不存在cot不存在10例題精講例1. 1：等腰三角形的一邊長(zhǎng)為12，另一邊長(zhǎng)為5，求第三邊長(zhǎng)。2：等腰三角形中一內(nèi)角為80°，求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：1分兩種情況：假設(shè)腰長(zhǎng)為12，底邊長(zhǎng)為5，那么第三邊長(zhǎng)為12。假設(shè)腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為12，那么第三邊長(zhǎng)為5。但此時(shí)兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長(zhǎng)為12。2分兩種情況：假設(shè)頂角為80°，那么另兩個(gè)內(nèi)角均為底角分別是50°、50°。假設(shè)底角為80

5、°，那么另兩個(gè)內(nèi)角分別是80°、20°。因此這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角分別是50°、50°或80°、20°。說(shuō)明：此題運(yùn)用“分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，此題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2. ：如圖，ABC和ECD都是等腰三角形，ACBDCE90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，求證：1ACEBCD，2ADAEDE。分析：要證ACEBCD，已具備ACBC，CECD兩個(gè)條件，還需AEBD或ACEBCD，而ACEBCD顯然能證;要證ADAEDE，需條件DAE90°，因?yàn)锽AC45°，所以只需證CAEB4

6、5°，由ACEBCD能得證。證明：1DCEACB90°，DCEACDACBACD，即ACEBCD，ACBC，CECD，ACEBCD。2ACEBCD，CAEB45°，BACB45°，DAE90°，ADAEDE。例3. ：點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BPC150°，PB2，PC3，求PA的長(zhǎng)。分析：將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至BCD，即可證得BPD為等邊三角形，PCD為直角三角形。解：BCBA，將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，使BA與BC重合，得BCD，連結(jié)PD。BDBP2，PADC。BPD是等邊三角形。BP

7、D60°。DPCBPCBPD150°60°90°。DCPADC?！咀兪健考僭O(shè)點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA，PB2，PC3。能求出BPC的度數(shù)嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚒＠?. 如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ60°，且BQBP，連結(jié)CQ1觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論2假設(shè)PA：PB：PC3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC的形狀，并說(shuō)明理由解：1把ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到CBQ利用等邊三角形的性質(zhì)證ABPCBQ，得到APCQ2連接PQ，那么PBQ是等邊三角形PQPB，AP

8、CQ故CQ：PQ：PCPA：PB：PC3：4：5，PQC是直角三角形 點(diǎn)評(píng)：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明例5. 如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯即BCEF，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，那么ABCDFE_ 分析：ABC與DFE分布在兩個(gè)直角三角形中，假設(shè)說(shuō)明這兩個(gè)直角三角形全等那么問(wèn)題便會(huì)迎刃而解解答：在RtABC和RtDEF中，BCEF，ACDF，ABCDEF，ABCDEF，ABCDFE90°，因此填90° 點(diǎn)評(píng)：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來(lái)識(shí)別兩個(gè)直角三角形全等，并運(yùn)用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題

9、例6. ?中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例?規(guī)定：“小汽車(chē)在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí)一輛小汽車(chē)在一條城市街道上由西向東行駛?cè)缦铝袌D，在距離路邊25米處有“車(chē)速檢測(cè)儀O，測(cè)得該車(chē)從北偏西60°的A點(diǎn)行駛到北偏西30°的B點(diǎn)，所用時(shí)間為1.5秒1試求該車(chē)從A點(diǎn)到B的平均速度；2試說(shuō)明該車(chē)是否超過(guò)限速解析：1要求該車(chē)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度只需求出AB的距離，在OAC中，OC25米OAC90°60°30°，OA2CO50米 由勾股定理得CA25米 在OBC中，BOC30° BCOB。 2BC2BC2252 BC米 ABACBC25米

10、從A到B的速度為÷1.5米/秒 2米/秒69.3千米/時(shí) 69.3千米/時(shí)<70千米/時(shí) 該車(chē)沒(méi)有超過(guò)限速 點(diǎn)評(píng)：此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對(duì)的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用例7. 如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按以下要求作圖：在正方形網(wǎng)格的三條不同的實(shí)線(xiàn)上各取一個(gè)格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一實(shí)線(xiàn)上；連結(jié)三個(gè)格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的正方形網(wǎng)格中作出了RtABC請(qǐng)你按照同樣的要求，在右邊的兩個(gè)正方形網(wǎng)格中各畫(huà)出一個(gè)直角三角形，并使三個(gè)網(wǎng)格中的直角三角形互不全等 簡(jiǎn)析：此題的答案可以有很多種，關(guān)鍵是抓住有一直角這一特

11、征，可以根據(jù)勾股定理的逆定理“假設(shè)兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么三角形為直角三角形構(gòu)造出直角三角形，答案如以下列圖例8. 如下列圖，在ABC中，ABAC1，點(diǎn)D、E在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)BDx，CEy1如果BAC30°，DAE105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；2如果BAC的度數(shù)為，DAE的度數(shù)為，當(dāng)、滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系式時(shí)，1中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說(shuō)明理由解：1在ABC中，ABAC1，BAC30°，ABCACB75°，ABDACE105°又DAE105°，DABCAE75°又DABADBABC75°

12、，CAEADB，ADBEAC，y2當(dāng)、滿(mǎn)足 90°，y仍成立此時(shí)DABCAE，DABADB，CAEADB又ABDACE，ADBEAC，y點(diǎn)評(píng)：確定兩線(xiàn)段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線(xiàn)段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系例9. 如圖，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M1求證：EDMFBM；2假設(shè)DB9，求BM1證明：E是AB中點(diǎn)，AB2BE，AB2CD，CDEB，又ABCD，四邊形CBED是平行四邊形，CBDE，EDMFBM 2解：EDMFBM，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，DE2FB，DM2BM，BMDB3 例10. ABC中，ACB90º，C

13、DAB于D，ADBD23且CD6。求1AB；2AC。分析：設(shè)AD2k，BD3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知ABCACDCBD。通過(guò)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出其中k的大??；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計(jì)算出k的大小。解：設(shè)AD2k，BD3kk >0。ACB90º，CDAB。CD2ADBD，622k3k，k。AB。又AC2ADAB，AC。例11. ABC中，ACB90º，CHAB，HEBC，HFAC。求證：1HEF EHC；2HEFHBC。分析：從條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個(gè)條件，有公共邊EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EFCH

14、，HFEC。要證明三角形相似，從條件中得FHECHB90º，由全等三角形可知，HEFHCB，這樣就可以證明兩個(gè)三角形相似。證明：HEBC，HFAC，CEHCFH90º。又ACB90º，四邊形CEHF是矩形。EFCH，HFEC，F(xiàn)HE90º。又HEEH，HFE EHC。HEFHCB。FHECHB90º，HEFHBC。說(shuō)明：在這一題的分析過(guò)程中，走“兩頭湊比較快捷，從出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問(wèn)題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺(tái)階關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。例12. 兩個(gè)全等的含30º，60º角的三角

15、板ADE和ABC如下列圖放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC。試判斷EMC是什么樣的三角形，并說(shuō)明理由。分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題：嘗試去證明EMMC，要證線(xiàn)段相等可以尋找全等三角形來(lái)解決，然而圖中沒(méi)有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形。這時(shí)思考的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問(wèn)題：如何構(gòu)造一對(duì)全等三角形？根據(jù)點(diǎn)M是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半，得：MDMBMA。連結(jié)M A后，可以證明MDEMAC。答：EMC是等腰直角三角形。證明：連接AM，由題意得，DEA

16、C，ADAB，DAEBAC90º。DAB90º。DAB為等腰直角三角形。又MDMB，MAMDMB，AMDB，MADM AB45º。MDEMAC105º，DMA90º。MDEMAC。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90º，AMCEMA90º。MCEM。EMC是等腰直角三角形。說(shuō)明：構(gòu)造全等三角形是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對(duì)條件的充分認(rèn)識(shí)和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線(xiàn)的途徑。構(gòu)造過(guò)程中要不斷地轉(zhuǎn)化問(wèn)題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會(huì)轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能表達(dá)思維的靈活性。在問(wèn)題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一

17、個(gè)熱點(diǎn)。課后練習(xí)1. 如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，給出以下三個(gè)條件：EBODCO；BEOCDO；BECD1上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形用序號(hào)寫(xiě)出所有情形；2選擇第1小題中的一種情況，證明ABC是等腰三角形2. 1如圖，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD60º。求證：ACBD，APB60º。2如圖，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD，那么AC與BD間的等量關(guān)系式為_(kāi)；APB的大小為_(kāi)。3如圖，在AOB和COD中，OAkOB，OCkODk>1，AOBCOD，那么AC與BD間的等

18、量關(guān)系式為_(kāi)；APB的大小為_(kāi)。 3. 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形，請(qǐng)兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖1，乙設(shè)計(jì)的方案如圖2。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說(shuō)明理由。加工損耗忽略，計(jì)算結(jié)果可保存分?jǐn)?shù)4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為：3.5cm×3.5cm，放映的熒屏的規(guī)格為2m×2m，假設(shè)放映機(jī)的光源距膠片20cm時(shí)，問(wèn)熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿(mǎn)整個(gè)熒屏？5. 如圖，MON90º，等邊三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A是射線(xiàn)OM上的一定點(diǎn)，頂點(diǎn)B與點(diǎn)O

19、重合，頂點(diǎn)C在MON內(nèi)部。1當(dāng)頂點(diǎn)B在射線(xiàn)ON上移動(dòng)到B1時(shí)，連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形AB1C1保存作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明； 2設(shè)AB1與OC交于點(diǎn)Q，AC的延長(zhǎng)線(xiàn)與B1C1交于點(diǎn)D。求證：；3連結(jié)CC1，試猜想ACC1為多少度？并證明你的猜想。6. 如下列圖，設(shè)A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向600km的B處，正以每小時(shí)200km的速度沿北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心500km的范圍是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域 1A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？2假設(shè)A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)的影響有多長(zhǎng)時(shí)間？7. 1如圖，在RtABC中，C90°，AD是B

20、AC的角平分線(xiàn)，CAB60°，CD，BD2，求AC，AB的長(zhǎng)2“實(shí)驗(yàn)中學(xué)有一塊三角形狀的花園ABC，有人已經(jīng)測(cè)出A30°，AC40米，BC25米，你能求出這塊花園的面積嗎？3某片綠地形狀如下列圖，其中ABBC，CDAD，A60°，AB200m，CD100m，求AD、BC的長(zhǎng)8. 高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹(shù)AB，如下列圖 1某一時(shí)刻測(cè)得大樹(shù)AB，教學(xué)樓ED在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)分別是BC2.5米，DF7.5米，求大樹(shù)AB的高度； 2現(xiàn)有皮尺和高為h米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹(shù)AB高度的方案，要求： 在圖中，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的圖形長(zhǎng)度用字母m，n表示，角度用希臘字母

21、，表示； 根據(jù)你所畫(huà)出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹(shù)的高度并用字母表示9. 如下列圖，某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱?，該居民樓的一樓是?米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓當(dāng)冬季正午的陽(yáng)光與水平線(xiàn)的夾角為32°時(shí)1問(wèn)超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？2假設(shè)要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？結(jié)果保存整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32°，cos32°練習(xí)答案1. 解：1或 2求證ABC是等腰三角形證：先證EBODCO得OBOC，得DBCECBABCACB即ABC是等腰三角形2. 證明：AOB和COD為正三角形，OAOB，ODOC，AOB60º，COD60º。