圓與方程高考?xì)v年真題

1、圓與方程高考真題精選2009年考題1.（2009遼寧）已知圓C與直線xy=0 及xy4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為（ ）（A） (B) (C) (D) 【解析】選B.圓心在xy0上,排除C、D,再結(jié)合圖象,或者驗(yàn)證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑即可.2.（2009浙江）已知三角形的三邊長分別為，則它的邊與半徑為的圓的公共點(diǎn)個數(shù)最多為（ ）A B C D【解析】選B.由于3，4，5構(gòu)成直角三角形S，故其內(nèi)切圓半徑為r=,當(dāng)該圓運(yùn)動時，最多與直角三角形S的兩邊也有4個交點(diǎn)。3.（2009上海）.過圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，被圓分成四部分（如圖），若這四

2、部分圖形面積滿足則直線AB有（ ）（A） 0條 （B） 1條 （C） 2條 （D） 3條【解析】選B.由已知，得：，第II，IV部分的面積是定值，所以，為定值，即為定值，當(dāng)直線AB繞著圓心C移動時，只可能有一個位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B。4.（2009湖南）已知圓：+=1，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（ ）（A）+=1 （B）+=1（C）+=1 （D）+=1【解析】選B.設(shè)圓的圓心為（a，b），則依題意，有，解得：，對稱圓的半徑不變，為1，故選B.5.（2009陜西高考）過原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓學(xué)所截得的弦長為科網(wǎng)（A） （B）2 （C） （D）2 w.w.w.k.s.5.

3、u.c.o.m 【解析】選D.過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線方程為6.（2009重慶高考）直線與圓的位置關(guān)系為（ ）A相切 B相交但直線不過圓心 C直線過圓心D相離【解析】選B.圓心為、到直線，即的距離，而，選B。7.（2009重慶高考）圓心在軸上，半徑為1，且過點(diǎn)（1，2）的圓的方程為（ ）A B CD【解析】選A.方法1（直接法）：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知，解得，故圓的方程為。方法2（數(shù)形結(jié)合法）：由作圖根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離為1易知圓心為（0，2），故圓的方程為方法3（驗(yàn)證法）：將點(diǎn)（1，2）代入四個選擇支排除B，D，又由于圓心在軸上，排除C。8.（2009上海高考）過點(diǎn)與圓相交的所

4、有直線中，被圓截得的弦最長時的直線方程是 ( ) （A）. （B）. （C）. （D）.【解析】選C.點(diǎn)在圓內(nèi)，圓心為C（1，0），截得的弦最長時的直線為CP，方程是，即。9. （2009廣東高考）以點(diǎn)（2，）為圓心且與直線相切的圓的方程是 .【解析】將直線化為,圓的半徑,所以圓的方程 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案:10. （2009天津高考）若圓與圓（a>0）的公共弦的長為，則_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?！窘馕觥坑芍陌霃綖椋蓤D可知解之得答案:1.11.（2009全國）已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為 。【解析】設(shè)圓心到

5、的距離分別為,則.四邊形的面積答案:5.12.（2009全國）已知圓O：和點(diǎn)A（1，2），則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于 【解析】由題意可直接求出切線方程為y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和，所以所求面積為。答案: 13. （2009湖北高考）過原點(diǎn)O作圓x2+y26x8y20=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q，則線段PQ的長為 ?！窘馕觥靠傻脠A方程是又由圓的切線性質(zhì)及在三角形中運(yùn)用正弦定理得答案:414.（2009四川高考）若與相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是 .w 【解析】由題知，且，又，

6、所以，。答案:4.15.（2009福建高考）已知直線l:3x+4y-12=0與圓C: (為參數(shù) )試判斷他們的公共點(diǎn)個數(shù).【解析】圓的方程可化為.其圓心為,半徑為2.圓心到直線的距離故直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)為2.答案：216.（2009海南、寧夏高考）已知曲線C： （t為參數(shù)）， C：（為參數(shù)）。（1）化C，C的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（2）若C上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為，Q為C上的動點(diǎn)，求的中點(diǎn)到直線 （t為參數(shù)）距離的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（）為圓心是（，半徑是1的圓.為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓.（）當(dāng)時，

7、為直線從而當(dāng)時，17.（2009江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)?！窘馕觥勘拘☆}主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。(1)設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 化簡得：求直線的方程為：或，即或(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分

8、別為：，即：因?yàn)橹本€被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得圓心到直線與直線的距離相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故有：，化簡得：關(guān)于的方程有無窮多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。2008年考題1、（2008山東高考）若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）ABCD【解析】選B.設(shè)圓心為由已知得2、（2008廣東高考）經(jīng)過圓的圓心C，且與直線垂直的直線方程是（ ）Axy10Bxy10Cxy10Dxy10【解析】選C.易知點(diǎn)C為，而直線與垂直，我們設(shè)待求的直線的方程為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)

9、代入馬上就能求出參數(shù)的值為，故待求的直線的方程為（或由圖象快速排除得正確答案）。3、（2008山東高考）已知圓的方程為x2y26x8y0.設(shè)該圓過點(diǎn)（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（ ）A10B20C30D40【解析】選B。將方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，過點(diǎn)的最長弦（直徑）為最短弦為4、（2008全國）若直線1與圓有公共點(diǎn)，則（ ） A B C D【解析】選D.本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的判斷，由相切或相交得：，5、（2008安徽高考）若過點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（ ）A BCD【解析】選C.方法一：數(shù)形結(jié)合法（如圖） 另外，數(shù)形結(jié)合畫出

10、圖象也可以判斷C正確。方法二：利用距離與半徑的關(guān)系點(diǎn) 在圓外，因此斜率必存在。設(shè)直線方程為，即，直線與曲線有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離小于等于半徑 ，得.6、（2008上海高考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍成區(qū)域（含邊界），A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn)，若點(diǎn)、滿足且，則稱P優(yōu)于，如果中的點(diǎn)Q滿足：不存在中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q，那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣?。?） A B C D 【解析】選D.由題意知，若P優(yōu)于，則P在的左上方，當(dāng)Q在 上時，左上的點(diǎn)不在圓上， 不存在其它優(yōu)于Q的點(diǎn)， Q組成的集合是劣弧。7、（2008天津高考）已知圓的

11、圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則圓的方程為 【解析】本小題主要考查直線方程中的對稱問題，圓中有關(guān)弦長的計算兩方面的知識由已知可求圓心的坐標(biāo)為，所以，圓的方程為答案:8、（2008寧夏海南高考）已知直線和圓.（）求直線斜率的取值范圍；（）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓??？為什么？【解析】（），當(dāng)k0時，解得且k0又當(dāng)k0時，m0，方程有解，所以，綜上所述（）假設(shè)直線能將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)則ACB120°圓，圓心C（4，-2）到l的距離為1故有，整理得，無實(shí)數(shù)解因此直線不可能將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧9、（2008江蘇高考）

12、在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（）與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)記過三個交點(diǎn)的圓為圓（）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（）求圓的方程；（）圓是否經(jīng)過定點(diǎn)（與的取值無關(guān)）？證明你的結(jié)論【解析】（）令x=0，得拋物線于y軸的交點(diǎn)是（0，b）令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由題意b0且>0，解得b<1且b0（）設(shè)所求圓的一般方程為x2+ y2+Dx+Ey+F=0令y=0，得x2+Dx+F=0，這與x2+2x+b=0是同一個方程，故D=2，F(xiàn)=b令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一個根為b，代入得E=-b-1所以圓C的方程為x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0（）圓C必過定點(diǎn)（0，1），（-

13、2，1）證明如下：將（0，1）代入圓C的方程，得左邊= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右邊=0所以圓C必過定點(diǎn)（0，1）；同理可證圓C必過定點(diǎn)（-2，1）10、（2008北京高考）已知菱形的頂點(diǎn)在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1（）當(dāng)直線過點(diǎn)時，求直線的方程；（）當(dāng)時，求菱形面積的最大值【解析】（）由題意得直線的方程為因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以于是可設(shè)直線的方程為由得因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，所以所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為由四邊形為菱形可知，點(diǎn)在直線上， 所以，解得所以直線的方程為，即（）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以所以菱形的面積由（）可得，所以所以當(dāng)時

14、，菱形的面積取得最大值11、（2008湖北高考）如圖，在以點(diǎn)為圓心，為直徑的半圓中，是半圓弧上一點(diǎn)，曲線是滿足為定值的動點(diǎn)的軌跡，且曲線過點(diǎn).（）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線l與曲線相交于不同的兩點(diǎn)、.若的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.【解析】（）方法1：以O(shè)為原點(diǎn)，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得MA-MB=PA-PBAB4.曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線.設(shè)實(shí)半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2.曲線C的方程為.方

15、法2：同方法1建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線.設(shè)雙曲線的方程為0，b0）.則由解得a2=b2=2,曲線C的方程為 圖1 圖2()方法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. 直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）. 設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)(x2,y2)，則由式得x1+x2=,于是EF而原點(diǎn)O到直線l的距離d，SOEF=若OEF面積不小于2,即SOEF，則有 綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為-，-1)(-1,1) (1,

16、.方法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F， k（-，-1）（-1，1）（1，）.設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),則由式得x1-x2= 當(dāng)E、F在同一支上時（如圖1所示），SOEF當(dāng)E、F在不同支上時（如圖2所示）.SODE=綜上得SOEF于是由OD2及式，得SOEF=若OEF面積不小于2 綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為-，-1）（-1，1）（1，.2007年考題1、(2007安徽高考)若圓的圓心到直線的距離為,則a的值為(A)-2或2(B)(C)2或0(D)-2或0【解析】選C

17、.若圓的圓心(1，2)到直線的距離為， ， a=2或0，選C。2、（2007上海高考）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（） 【解析】選C.圓，圓心（1，0），半徑，關(guān)于直線對稱的圓半徑不變，排除A、B，兩圓圓心連線，線段的中點(diǎn)在直線上，C中圓的圓心為（3，2），驗(yàn)證適合，故選C。3、（2007湖北高考）已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（ ）A60條B66條C72條D78條【解析】選A.可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓上的整數(shù)點(diǎn)共有12個，分別為，前8個點(diǎn)中，過任意一點(diǎn)的圓的切線滿足，有8條；12個點(diǎn)中過任意兩點(diǎn)

18、，構(gòu)成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過原點(diǎn)（圓上點(diǎn)的對稱性），故滿足題設(shè)的直線有52條。綜上可知滿足題設(shè)的直線共有條，選A.4、（2007湖北高考）由直線y=x+1上的一點(diǎn)向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為A.1 B.2 C. D.3【解析】選C.切線長的最小值是當(dāng)直線y=x+1上的點(diǎn)與圓心距離最小時取得，圓心（3，0）到直線的距離為d=，圓的半徑為1，故切線長的最小值為，選C.5、（2007重慶高考）若直線與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且POQ120°（其中O為原點(diǎn)），則k的值為（A）（B）（C）（D）【解析】選A.如圖，直線過定點(diǎn)（0，1），

19、6、（2007廣東高考）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，直線l的參數(shù)方程為（參數(shù)tR），圓C的參數(shù)方程為（參數(shù)），則圓C的圓心坐標(biāo)為_，圓心到直線l的距離為_.【解析】直線的方程為x+y-6=0，d=;E答案:（0，2）；.7、（2007廣東高考）幾何證明選講選做題如圖所示，圓的直徑為，為圓周上一點(diǎn)。，過作圓的切線l，過作l的垂線，垂足為，則_；線段AE的長為_。【解析】根據(jù)弦切角等于夾弧所對的圓周角及直角三角形兩銳角互余，很容易得到答案，AE=EC=BC=3；答案:；3。8、（2007天津高考）已知兩圓和相交于兩點(diǎn)，則直線的方程是.【解析】兩圓方程作差得.答案:9、（2

20、007山東高考）與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.【解析】曲線化為，其圓心到直線的距離為所求的最小圓的圓心在直線上，其到直線的距離為，圓心坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)方程為。答案:10、（2007上海高考）已知圓的方程，為圓上任意一點(diǎn)（不包括原點(diǎn)）。直線的傾斜角為弧度，則的圖象大致為 【解析】 答案: 11、（2007湖南高考）圓心為且與直線相切的圓的方程是 【解析】半徑R=，所以圓的方程為答案:12、（2007江西高考）設(shè)有一組圓下列四個命題：存在一條定直線與所有的圓均相切存在一條定直線與所有的圓均相交存在一條定直線與所有的圓均不相交所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)其中真命題的代號是（寫出所有真命題的代號）【解析】圓心為（k-1，3k）半徑為，圓心在直線y=3（x+1）上，所以直線y=3（x+1）必與所有的圓相交，B正確；由C1、C2、C3的圖像可知A、C不正確；若存在圓