高數(shù)課件10-4

1、下頁(yè)返回上頁(yè)最后高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第第十十章章 重積分重積分下頁(yè)返回上頁(yè)最后下頁(yè)返回上頁(yè)最后 若要計(jì)算的某個(gè)量若要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域?qū)τ陂]區(qū)域D具有可加性具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)相應(yīng)地分成許多部分量，且地分成許多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在閉區(qū)域在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域 時(shí)，時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為相應(yīng)地部分量可近似地表示為 的形式，的形式，其中其中 在在 D 內(nèi)這個(gè)內(nèi)這個(gè) 稱為所求量稱為所求量U的的元素元素，記為，記為 ，所求量的積分表達(dá)式為，所求量

2、的積分表達(dá)式為 d d dyxf),( dyxf),( DdyxfU ),(一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中. .dU下頁(yè)返回上頁(yè)最后設(shè)曲面設(shè)曲面S的方程為：的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠?Dd 設(shè)設(shè)小小區(qū)區(qū)域域,),( dyx 點(diǎn)點(diǎn).),(,(的切平面的切平面上過(guò)上過(guò)為為yxfyxMS . sAdAdsSzd則有則有，為為；截切平面；截切平面為為柱面，截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準(zhǔn)線，母線平行邊界為準(zhǔn)線，母線平行以以如圖，如圖， d),(yxMdAxyzs o 二、

3、曲面的面積二、曲面的面積下頁(yè)返回上頁(yè)最后,）面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域（面面積積在在為為xoydAd,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyAxyDyzxz 22)()(1為為法法向向量量1 ,22yxff ,DdAA ddA下頁(yè)返回上頁(yè)最后設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .122dzdxAzxDxyzy 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;122dydzAyzDzxyx 同理可

4、得同理可得下頁(yè)返回上頁(yè)最后例例 1 1 求求球球面面2222azyx ，含含在在圓圓柱柱體體axyx 22內(nèi)內(nèi)部部的的那那部部分分面面積積.由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx下頁(yè)返回上頁(yè)最后面面積積dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa yzxzyxDxy下頁(yè)返回上頁(yè)最后例例 2 2 求求由由曲曲面面azyx 22和和222yxaz )0( a所所圍圍立立體體的的表表面面積積.解解解方程組解方程組,2

5、2222 yxazazyx得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域?yàn)槠矫嫔系耐队坝驗(yàn)閤y,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 下頁(yè)返回上頁(yè)最后 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a下頁(yè)返回上頁(yè)最后例例3.3. 求由拋物線求由拋物線 z=x2 上從上從 x=1 到到 x=2 的一段的一段繞繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積

6、軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.解解： : z=x2+y2Dxy: 1x2+y222222441)()(1yxyzxz xyDyxyxAdd)( 4122 xyDrrr dd412z=x2201xyzDxy下頁(yè)返回上頁(yè)最后 xyDrrr dd412rrr d41d21220 )41 (d418122212rr 21232)41 (324r )551717(6 下頁(yè)返回上頁(yè)最后三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn), ),(kkkzyx其質(zhì)量分別, ),2, 1(nkmk由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo),11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設(shè)物體占有空間域 ,

7、),(zyx有連續(xù)密度函數(shù)則 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心 下頁(yè)返回上頁(yè)最后將 分成 n 小塊, ),(kkk將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小區(qū)域的最大直徑,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第 k 塊上任取一點(diǎn)下頁(yè)返回上頁(yè)最后同理可得同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數(shù)時(shí)當(dāng)zyx則得形心坐標(biāo)：,dddVzyx

8、xx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd下頁(yè)返回上頁(yè)最后解解先求區(qū)域先求區(qū)域 D的面積的面積 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy下頁(yè)返回上頁(yè)最后 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)為為 ),(65 a.由于區(qū)域關(guān)于直線由于區(qū)域關(guān)于直線ax 對(duì)稱對(duì)稱 ，下頁(yè)返回上頁(yè)最后四、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

9、量下頁(yè)返回上頁(yè)最后,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量x薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量yyxoIII 下頁(yè)返回上頁(yè)最后解解設(shè)設(shè)三三角角形形的的兩兩直直角角邊邊分分別別在在x軸軸和和y軸軸上上，如如圖圖aboyx對(duì)對(duì)y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為,2dxdyxIDy 下頁(yè)返回上頁(yè)最后 babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同同理理：對(duì)對(duì)x軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為dxdyyIDx 2 .1213 ab 下頁(yè)返回上頁(yè)最后)sinsincossin(222222rr解解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸,:22

10、22azyx則zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球體的質(zhì)量334aM dsin03rrad04例6.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球 所占域?yàn)?用球坐標(biāo)) 下頁(yè)返回上頁(yè)最后解解先先求求形形心心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系如如圖圖oyx, hbA 區(qū)域面積區(qū)域面積 因因?yàn)闉榫鼐匦涡伟灏寰鶆騽?由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)2bx ，2hy .hb下頁(yè)返回上頁(yè)最后將將坐坐標(biāo)標(biāo)系系平平移移如如圖圖oyxhbuvo 對(duì)對(duì)u軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

11、 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 對(duì)對(duì)v軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量 DvdudvuI2 .123 hb 下頁(yè)返回上頁(yè)最后薄片對(duì)薄片對(duì)軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力z,zyxFFFF cosdFdFx 五、物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力五、物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力rxrdyxG2),(*1 oyzxF的的引引力力方方向向?yàn)闉樘幪帉?duì)對(duì)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)M)y,x(,ayxS 下頁(yè)返回上頁(yè)最后,)(),(23222 dayxxyxGFDx ,)(),(23222 dayxyyxGFDy .)(),(23222 dayxyxaGFDz 同理同理為引力常數(shù)為引力常數(shù)G下頁(yè)返回上頁(yè)最后解解由積分區(qū)域

12、的對(duì)稱性知由積分區(qū)域的對(duì)稱性知, 0 yxFF dayxyxaGFDz 23)(),(222 dayxaGD 23)(1222oyzxF例例7下頁(yè)返回上頁(yè)最后drrardaGR 0222023)(1 .11222 aaRGa 所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aaRGa 下頁(yè)返回上頁(yè)最后例例8.8. 計(jì)算由橢圓拋物面計(jì)算由橢圓拋物面z=x2+2y2及拋物柱及拋物柱面面z=2 x2所圍立體體積所圍立體體積.解：解： z=x2+2y2 z=2 x2 x2+y2=1D: x2+y21 DdzzV )(12 Dyxyxxd)d2()(2222Dxyz下頁(yè)返回上頁(yè)最后 Dyxyxd)d1(2

13、22 10220d)1(d2rrr 1042424rr 下頁(yè)返回上頁(yè)最后 axaaxaxadx2020dz2 axxaa0d22a 24aA DdAA1聯(lián)立聯(lián)立x2+y2=ax，x2+y2+z2=a2(a0)所圍成。所圍成。和和由由知知00,22zxaxazDxyydAzxdzd)()(122 zyxL22xaxadzdx 例例9.9. 求柱面求柱面x2+y2=ax含在球面含在球面x2+y2+z2=a2(a0)內(nèi)內(nèi)部的那部分面積部的那部分面積.解解：A=4A1下頁(yè)返回上頁(yè)最后12y xy1xO例例1010求拋物線求拋物線 所圍成的均勻薄片對(duì)于直線所圍成的均勻薄片對(duì)于直線y=-1y=-1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

14、量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。12 yxy和和直直線線解解21(1)yDIyd 21121(1)xdxydy12318(1) 3xdx21336871375105下頁(yè)返回上頁(yè)最后例10. 求半徑求半徑 R 的均勻球的均勻球2222Rzyx對(duì)位于)(), 0 , 0(0RaaM的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 利用對(duì)稱性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr點(diǎn)zDazyxyx23222)(ddRxyzo0MazD,azyxSF下頁(yè)返回上頁(yè)最后RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRa

15、zrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 為球的質(zhì)量下頁(yè)返回上頁(yè)最后幾何應(yīng)用：曲面的面積幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）六、小結(jié)六、小結(jié)下頁(yè)返回上頁(yè)最后思考題思考題.)0(cos,cos之之間間的的均均勻勻薄薄片片的的重重心心求求位位于于兩兩圓圓babrar 下頁(yè)返回上頁(yè)最后ab xyo薄片關(guān)于薄片關(guān)于 軸對(duì)稱軸對(duì)稱x, 0 y則則 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考題解答思考題解答下頁(yè)返回上頁(yè)最后練練 習(xí)習(xí) 題題下頁(yè)返回上頁(yè)最后五、求面密度為常量五、求面密度為常量 的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片: : 0,222221 zyRxyR對(duì)位于對(duì)位于z軸上點(diǎn)軸上點(diǎn) )0)(, 0 , 0(0 aaM處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F. .六