高數二(定積分應用)

1、定積分的應用定積分的應用回顧求曲邊梯形面積的步驟：回顧求曲邊梯形面積的步驟：y = f (x) 0 ，在，在 a , b 上連續(xù)。上連續(xù)。(1) ：得小曲邊梯形得面積：得小曲邊梯形得面積 (i =1 , 2 , n)(2) ：(3) ：(4) ：iiixfA )( niiixfA1)( Ai 僅僅差差高高階階無無窮窮小小）與與iixfAi )( nibaiixdxfxfA10)()(lim ,badxxxA 表表示示任任一一小小區(qū)區(qū)間間用用上的小曲邊梯形面積，上的小曲邊梯形面積，x x+dx0 xyy = f (x)ab，則則xdxfA)( )()(dxoAdxxf 且且)0(dx上上無無限限

2、累累加加，在在把把,badA badAAA 又稱為又稱為，則小區(qū)間長為則小區(qū)間長為 d x ，,x取為左端點取為左端點把把 的的元元素素，為為所所求求量量稱稱Axdxf)(記作記作 ,，即即xdxfdA)( dA或或。.)(xdxfba dx 只要作出一小塊的面積，其無限的累加只要作出一小塊的面積，其無限的累加即為所求整個曲邊梯形的面積。即為所求整個曲邊梯形的面積。 把面積把面積 A 改為一般的所求量改為一般的所求量 I ，則有，則有,)(dxxfId baxdxfI.)(這就是這就是?，F在利用元素法討論：現在利用元素法討論：(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積(2) 旋轉體的體積旋轉體的體積

3、(3) 平行截面面積為已知的立體體積平行截面面積為已知的立體體積(4) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長等幾何問題等幾何問題 (2) 圖形由兩條連續(xù)曲線圖形由兩條連續(xù)曲線圍圍成成與與bxaxxgyxfy ,)(),()()()(xgxfa )(xf)(xgab,badxxx 取取xdxgxfAd)()( baxdxgxfA)()(0yx. x baxdxf)( baxdxg)(相相交交與與)()()(xgxfb)(xf)(xgcd cadcxdxgxfxdxfxgA)()()()(則則 bdxdxfxg)()( baxdxgxfA)()(即即xyab0與與圖形由連續(xù)曲線圖形由連續(xù)曲線)(),()3

4、(yxyx 圍成圍成dycy ,cd)(y y ，取取,dcdyyy ，小矩形的底長小矩形的底長yd，高高為為)()(yy ydyyAd)()( 此時取此時取 y 為積分變量為積分變量 dcydyyA)()( 0yxy . dcydyyA)()( 一一般般： 1 2 3求平面圖形面積的求平面圖形面積的:作圖，求出交點作圖，求出交點選擇積分變量，寫出面積元素選擇積分變量，寫出面積元素作定積分，并計算作定積分，并計算所圍圖形的面積。所圍圖形的面積。與與求由求由2, yeyeyxx212ln2ln xexe (1) 選選 x 為積分變量為積分變量求交點求交點 2yeyx 2yeyx)2 , 2(ln

5、)2 , 2ln( 02ln)2(dxeAx22ln4 (2) 選選 y 為積分變量為積分變量)2, 0(),1, 0(交交點點：，yxeyxln 21 )ln(lndyyyA例：例：0yxdxex 2ln0)2(yxeyxln . 22ln4 圍成的面積圍成的面積與與 求曲線求曲線 4 4 xyxy 20y x444解方程組：解方程組： xyxy得交點：得交點：(8, 4), (2,2) d) (yyyS 18 切切線線所所圍圍成成圖圖形形的的面面積積 和和點點( (3 3, ,0 0) )處處的的 與與其其在在點點 求求拋拋物物線線)(0, xxy。xyo3 3 xy 由由得兩切線的斜率為

6、得兩切線的斜率為 , k故兩切線為故兩切線為 , : xyl其交點的橫坐標為其交點的橫坐標為 x d)(xxxx 。 k xyl : d)34(342230 xxxxS =l1l2 連續(xù)。連續(xù)。給出，給出，)(),()()()(tttyttx 若曲邊由參數方程：若曲邊由參數方程：xdyAba 則則)()()()(tdt ，相相應應b )( ，a )( tdtt)()( 例：例：所所圍圍求求由由曲曲線線)20(sincos33 ayax圖形的面積。圖形的面積。0yx( ) 3203cossinadaA ?= 0由圖形的對稱性，由圖形的對稱性，,41AA 1A axdyA01 3sina da)s

7、in(cos32 2 0 da42202sincos3 da)sin(sin364202 ,323)651(22143322aa .832aA 由一平面圖形繞這平面內的一條由一平面圖形繞這平面內的一條直線旋轉一周而成的立體，此直線直線旋轉一周而成的立體，此直線 稱為對稱軸。稱為對稱軸。如：如： 圓柱、圓柱、圓錐、圓錐、圓臺、圓臺、圓球、圓球、 xf(x)ab 曲邊梯形：曲邊梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞繞 x軸旋轉軸旋轉xf(x)abx111111111 )(xA)( 2xf baxxf)d( 曲邊梯形：曲邊梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞繞 x 軸旋轉軸旋轉

8、 V =x=g(y)yx0cd曲邊梯形：曲邊梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞繞 y軸軸x=g(y)yx0cd曲邊梯形：曲邊梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞繞 y軸軸 x=g(y)yx0cd dcyyAVd)( )(yAy dcyygVd)(.)( 2yg 曲邊梯形：曲邊梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞繞 y軸軸xdxfxVba)(2 一般一般,所所圍圍與與bxaxxfyxfy ,)(),(21平面圖形繞平面圖形繞 x 軸旋轉而成的立體體積為：軸旋轉而成的立體體積為：.)()(2122xdxfxfVba 所所圍圍與與dycyygxygx ,)

9、(, )(21平面圖形繞平面圖形繞 y 軸旋轉而成的立體體積為：軸旋轉而成的立體體積為：.)()(2122ydygygVdc (上上)(下下)(右右)(左左)平平面面圖圖形形所所圍圍與與bxaxxfy ,)(繞繞 y 軸旋轉而成的立體體積為：軸旋轉而成的立體體積為：例：例：所所圍圍圖圖形形與與求求)0(3 xxyxy繞繞 x 軸與軸與 y 軸旋轉所得立體的體積。軸旋轉所得立體的體積。xy0y = x3y = x交點：交點： (0, 0), (1, 1)11(1) 繞繞 x 軸：軸：xdxxV)()( 23102 xdxx6102 .21473 (2) 繞繞 y 軸：軸：ydyyV)()( 21

10、023 10335)3153(yy .154 例例 求由拋物線求由拋物線 直線直線 所圍圖形所圍圖形分別繞分別繞X、Y軸旋轉而成的旋轉體體積軸旋轉而成的旋轉體體積12 xy0, 0, 2 xyy52解：解： 20dVVy 202dyx x 2022)1(dyy 2035325 yyy 15206 1VVx圓圓柱柱體體dxy512252y51) 1(20dxx 8 例例 求求 所圍圖形繞直線所圍圖形繞直線 旋轉一周的體積旋轉一周的體積2, 0,2 xyxy1 y 解解：12圓柱體圓柱體 1VVdxydV21)1( dxx22)1( y 20202211)1(dxxdVV 圓柱體體積圓柱體體積 2

11、 （救生圈形）（救生圈形）旋轉一周的體積旋轉一周的體積繞繞求圓域求圓域)0(222 abbxayx例例ab xb 解：解：21VVV aadybxV21)( x0 aadybya222 aadyxbV22)( xb x aadyyab222)( 21VVV aadyyab224 adyyab0228 2022cos8 tdtab222ab 例例 設曲線設曲線 (1) 過原點作該曲線的切線過原點作該曲線的切線; (2) 求由曲線、切線及求由曲線、切線及x軸所圍的平面圖形的面積軸所圍的平面圖形的面積A(3) 求該平面圖形繞求該平面圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體體積軸旋轉而成的旋轉體體積. xyln )

12、,(00yx解解：設設切切點點xxyxy01,1 切切線線為為 （切點在曲線上）（切點在曲線上）（切點在切線上）（切點在切線上）00000ln1xyxxyexx 001ln)1 ,(e切點切點12)()ln(10110edyeyedxxexdxexAye或 312)(ln0122edxxdxexVeex 100 xabf (x)yx0 曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ， 繞繞 y 軸軸xdxxabyx0)(2xxfdx 曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ， 繞繞 y 軸軸dV=2 x f (x)dxf (x)byxa 曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ， 繞繞 y 軸軸dV=2 x f

13、 (x)dxf (x)byx0a 曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞繞 y 軸軸dV=2 x f (x)dxf (x)00 xbxadx 曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ， 繞繞 y 軸軸dV=2 x f (x)dxf (x)Yx0bdx0yz. baxxxfVd)(a曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ， 繞繞 y 軸軸 dV=2 x f (x)dx例例旋旋轉轉而而成成的的旋旋轉轉體體體體積積直直線線軸軸圍圍成成的的平平面面圖圖形形繞繞和和求求第第一一象象限限內內由由曲曲線線13 yyyyx1xydyxydV)1(2 解：解： 10dVV 103)1(2dy

14、yyy 105325322 yyy 30225131212 xA(x)dV=A(x)dxx baxxAVd)(aVb同理同理: :若立體由曲面及若立體由曲面及垂直于垂直于y 軸的兩個平軸的兩個平面面y y = c , y =d 所圍，且垂直于所圍，且垂直于 y 軸的任一軸的任一截面為一已知的連續(xù)函數截面為一已知的連續(xù)函數 A(y)，,dcy 則立體的體積：則立體的體積：.)( dcydyAVydyAVd)( oyRxRR半徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圓柱楔。求其體積。得一圓柱楔。求其體積。oyRxxy22

15、xR RRxxRd)tan( tan R RRxxAVd)(RR )tan( xRy tan (x, y),截面積截面積A(x)半徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圓柱楔。求其體積。得一圓柱楔。求其體積。oyRxRR 半徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圓柱楔。求其體積。得一圓柱楔。求其體積。oyRxRR ABCD BC tan yRyDC222yR RyyRy022d tan2 tan R RyySV)d(截面積截面積S(y)

16、 (x, y)= 2x= ytan S(y)半徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圓柱楔。求其體積。得一圓柱楔。求其體積。 hRxoyR 求以半徑為求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂， 高為高為h的正劈錐體的體積。的正劈錐體的體積。 hRxoxA(x)A(x)yh xRhV = RRxxAd )( RRxxRhd hRdcos22022 hR Ry 求以半徑為求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂， 高為高

17、為h的正劈錐體的體積。的正劈錐體的體積。y設設 y = f (x) 在在 (a, b) 內有連續(xù)導數，內有連續(xù)導數，在曲線上取基點在曲線上取基點 M0(x0,y0),M(x, y) 為曲線上任一點，為曲線上任一點，xy0M0 .x0M .x記記 弧長弧長 l = M0M依依 x 增大的方向作增大的方向作為曲線的正向。為曲線的正向。(即即 M 在在 M0 右，右，l 0) l隨隨 x 的增大而增大的增大而增大, l= l(x) 是是 x 的的單調增加函數。單調增加函數。abxy0M0 .x0M .xxx s Mx y y = f (x)，由由xdysd21 222)(1)(xdxdydsd .)

18、()(22ydxd dysdP弧微分弧微分 d s 表示了表示了M點處切線段點處切線段MP 的長度。的長度。 當切線正向與曲線方向一致，且與當切線正向與曲線方向一致，且與 x 軸夾角為軸夾角為 ，則有則有,cos sdxd .sin sdyd ，.12xdydl 表示，表示，)()()( ttytx連連續(xù)續(xù)并并不不全全為為零零時時，且且)(),(tt .)()(22tdttld )()( 連續(xù)時，連續(xù)時，表示，且表示，且)( .)()(22 dld , ,設曲線的表達式為設曲線的表達式為 y = f (x) , 計算曲線計算曲線AB上相應于上相應于x 從從 a 到到 b 的一段弧長的一段弧長S

19、。xdyld21 即為即為.12xdyba a. ABdll表表示示，設設曲曲線線由由參參數數方方程程)()()( ttytx，連連續(xù)續(xù)，且且曲曲線線上上無無重重點點)(),(tt ,)()(2222tdttdydxsd 則則.)()(22tdtts 連連續(xù)續(xù)，且且，設設曲曲線線)()()( rrr .)()(22 drrs 例例.0)cos(sin),sin(cos的的一一段段弧弧到到相相應應于于計計算算圓圓的的漸漸開開線線 ttttaytttax解：解：,sin)(,cos)(tattytattx 曲線的表達式是參數形式曲線的表達式是參數形式,2222tayx atdtdl 0dll 022aatdt例例的周長的周長橢圓橢圓的弧長等于的弧長等于求證：曲線求證：曲線22)20(sin22 yxxxy 解：解：dxxdlxyxy2cos1,cos,sin 曲線曲線dtttdltytx22cossin2,sincos2 橢橢圓圓dtt2sin1 曲線長曲線長 2022cos1cos1dxxdxxl