高等數(shù)學A第7章多元函數(shù)積分學13-16(第一類曲面積分)

1、中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設組中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設組高等數(shù)學高等數(shù)學A A7.2.4 7.2.4 第一類曲面積分第一類曲面積分 7.2.4 7.2.4 第一類曲面積分第一類曲面積分一、對面積的曲面積分的引例與概念一、對面積的曲面積分的引例與概念 二、對面積的曲面積分的性質二、對面積的曲面積分的性質 三、對面積的曲面積分的計算法三、對面積的曲面積分的計算法 直接計算法直接計算法 習例習例1-4對稱性簡化計算法對稱性簡化計算法習例習例5-6四、對面積的曲面積分的應用四、對面積的曲面積分的應用 應用公式應用公式習例習例7-10五、小結五、小結第一類曲面積分第一類曲面積分o

2、xyz一、對面積的曲面積分的引例與概念一、對面積的曲面積分的引例與概念引例引例: 設曲面形構件具有連續(xù)面密度設曲面形構件具有連續(xù)面密度 求質量求質量 M. ( , , ),x y z 類似于求平面薄板質量的思想類似于求平面薄板質量的思想, (,)kkkkS nk 10lim M (,)kkk 采用采用“分割分割, 近似近似, 求和求和, 求極限求極限”的方的方法法,可得可得其中其中, 表示表示 n 小塊曲面的直徑的小塊曲面的直徑的最大值最大值 (曲面的直徑曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者為其上任意兩點間距離的最大者). 類似的，類似的，求溫度非均勻分布的曲面上的熱量、電荷非均勻分布的曲面

3、求溫度非均勻分布的曲面上的熱量、電荷非均勻分布的曲面殼上的電量等問題，也會遇到上述類型的和式極限，殼上的電量等問題，也會遇到上述類型的和式極限，因此，有必要研因此，有必要研究這一類型的和式極限，為此，引入對面積的曲面積分的概念究這一類型的和式極限，為此，引入對面積的曲面積分的概念.( , , )dMx y zS 定義定義: 設設 為光滑曲面為光滑曲面,“乘積乘積和式極限和式極限” (,)kkkkfS 1nk 0lim 都存在都存在,的的曲面積分曲面積分( , , )f x y z dS 其中其中 f (x, y, z) 叫做被積叫做被積據(jù)此定義據(jù)此定義, 曲面形構件的質量為曲面形構件的質量為曲

4、面面積為曲面面積為dSS f (x, y, z) 是定義在是定義在 上的一上的一 個有界個有界函數(shù)函數(shù),記作記作或或第一類曲面積分第一類曲面積分.若對若對 做做任意分割任意分割和局部區(qū)域和局部區(qū)域任意取點任意取點, 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面在曲面 上上對面積對面積函數(shù)函數(shù), 叫做積分曲面叫做積分曲面.注意注意.),( ,),( )1(存存在在積積分分對對面面積積的的曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時時在在光光滑滑曲曲面面當當 dSzyxfzyxf.),( )2( dSzyxm 曲面型構件的質量曲面型構件的質量.),(,)3( dSzyxf則記為則記為為封閉曲面為封閉

5、曲面若若. 0 )4( iS第一類曲面積分與曲面的方向無關第一類曲面積分與曲面的方向無關! 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質類似對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質類似.二、對面積的曲面積分的性質二、對面積的曲面積分的性質.),(),(),(),()1( dSzyxgdSzyxfdSzyxgzyxf).(),(),( )2(為常數(shù)為常數(shù)kdSzyxfkdSzyxkf .),(),(),()3(21 dSzyxfdSzyxfdSzyxf).(21 . )4( dSS1. 直接計算法直接計算法 定理定理1. ,),(),(: )1(xyDyxyxzz 設設有有光光滑滑曲曲面面 ,),()2

6、(上上連連續(xù)續(xù)在在 zyxf.1),(,),( 22 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf則則證明證明 oxyz d cosddS 1, yxzzn dzzdSyx221 故結論成立故結論成立.dS n 三、對面積的曲面積分的計算法三、對面積的曲面積分的計算法 按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：說明說明:( , ), ( , )yzxx y zy zD ( , ), ( , )xzyy x zx zD 或或有類似的公式有類似的公式.如果曲面方程為如果曲面方程為22 , ( , ), 1;xzxzDf x y x z zyy dxdz dSzyxf),(2

7、2 ( , ), , 1.yzyzDf x y zy zxx dydz dSzyxf),(對面積的曲面積分的計算方法是對面積的曲面積分的計算方法是-將其化為投影將其化為投影域上的二重積分計算域上的二重積分計算.2222d1 , (0)Sxyzazzhha 例例求求是是被被平平面面所所截截得得的的上上面面那那部部分分曲曲面面. .例例2 計算曲面積分計算曲面積分 ,其中其中 是曲面是曲面 被平面被平面 所截下的帶錐頂?shù)哪遣糠炙叵碌膸уF頂?shù)哪遣糠? 22()xydS 223()zxy 3z 例例3 計算計算 ,其中其中 如圖所示為封閉曲面如圖所示為封閉曲面. xyzdS 222dSIxyz 例例

8、4 計算計算 ,其中其中 是介于平面是介于平面 之間的圓柱面之間的圓柱面 . 0,zzH222xyR yxD解解222:,( , )x yx yDzaxy2222:xyDxyah 221xyzz222aaxy dSz 20da 222212ln()20ahaar 2ln.aah 222x yDd xd yaxya 22220dahr rar oxzyha2222d1 , (0)Sxyzazzhha 例例求求是是被被平平面面所所截截得得的的上上面面那那部部分分曲曲面面. .思考思考:如果如果 是球面是球面 被平面被平面2222xyza z =hd( )Sz d( )Sz 04lnhaa hhox

9、zy所截得的上、下兩部分曲面，則所截得的上、下兩部分曲面，則例例2 計算曲面積分計算曲面積分 ,其中其中 是曲面是曲面 被平面被平面 所截下的帶錐頂?shù)哪遣糠炙叵碌膸уF頂?shù)哪遣糠? 22()xydS 223()zxy 3z 解解22:3()zxy22:3(0)xyDxyz 223xxzxy 223yyzxy 2212xydSzz dxdydxdy 22,()xydS 所所以以2212xydSzz dxdydxdy 222()xyDdxyxdy 233002dr dr 9 . 思考思考:22223()3()=zxyzxSyd 是是錐錐面面和和平平面面所所圍圍成成封封閉閉曲曲面面, 則, 則？1z

10、yx例例3 計算計算 ,其中其中 如圖所示為封閉曲面如圖所示為封閉曲面. xyzdS 解解1234 123, 其中為三個坐標面4:1xyz123,( , , )0f x y z 在在三三個個坐坐標標面面上上 被被積積函函數(shù)數(shù)4xyzdSxyzdS4:1,:01xyzxy Dxy 2213xxdSzz dxdydxdy4zdx zdSxySy 3.120 2213xxdSzz dxdydxdy11003(1)xdxxyxy dy 1zyx4:1,:01xyzxy Dxy 解解 yzox; ,0:RyRhzDyz ,:221yRx ,22yRyxy , 0 zx,122222yRRxxzy ,:2

11、22yRx ,122222yRRxxzy 222dSIxyz 例例4 計算計算 ,其中其中 是介于平面是介于平面 之間的圓柱面之間的圓柱面 . 0,zzH222xyR yzDdydzyRRzR22221 2122222211dSzyxdSzyxI yzDdydzyRRzR22221 yzDdydzyRRzR222212 hRRdzzRdyyRR02222112.arctan2Rh 2. 利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算 (1) ,xoy當 關于面對稱 ),(),( 0),(),( ),(2),(2zyxfzyxfzyxfzyxfdSzyxfdSzyxf(2) ,yoz當 關于面對稱 ),(

12、),( 0),(),( ),(2),(2zyxfzyxfzyxfzyxfdSzyxfdSzyxf(3) ,zox當 關于面對稱 ),(),( 0),(),( ),(2),(2zyxfzyxfzyxfzyxfdSzyxfdSzyxf22225 (), .Ixyyzzx dSxyza 例例計計算算為為球球面面22,1 .Ixyz dSzxyz 例例6 求6 求其其中中 是是被被割割下下的的部部分分解解球面關于三個坐標面對稱球面關于三個坐標面對稱, , , 的的奇奇函函數(shù)數(shù)是是關關于于且且zyxzxyzxy dSzxyzxyI)( zxdSyzdSxydS. 0000 22225 (), .Ixyy

13、zzx dSxyza 例例計計算算為為球球面面22,1 .Ixyz dSzxyz 例例6 求6 求其其中中 是是被被割割下下的的部部分分解解xyz0, 0, 1:22 yxyxDxy且且,:221yxz ,2xzx ,2yzy ),(4112222yxzzyx ,22面對稱面對稱面與面與關于關于拋物面拋物面zoxyozyxz , 的偶函數(shù)的偶函數(shù)與與是關于是關于而而yxzxyxyz 14xyzdSIdxdyyxyxxyxyD)(41)(42222 drdrrxyD2541cossin4 10252041cossin4drrrd .42015125 ,),()1(的的面面密密度度時時表表示示當當

14、 zyx ;),( dSzyxm ;,1),()2( dSSzyxf面面積積時時當當 )3(曲面構件的重心坐標曲面構件的重心坐標 . , dSdSzzdSdSyydSdSxx 曲面構件的轉動慣量曲面構件的轉動慣量)4( ,)( ,)(2222 dSzxIdSzyIyx .)( ,)(22222 dSzyxIdSyxIoz 四、對面積的曲面積分的應用四、對面積的曲面積分的應用 例例10 求半徑為求半徑為R R 的均勻半球殼的均勻半球殼 的重心的重心. .例例7 曲面曲面 將球面將球面 分成三部分，求此三部分的面積之比分成三部分，求此三部分的面積之比.2213zxy22225xyz 例例8 求橢圓

15、柱面求橢圓柱面 位于位于xoy面上方及平面面上方及平面 下方那部分柱面下方那部分柱面 的側面積的側面積S.22159xy zy 例例9 已知曲面已知曲面殼殼 的面密度的面密度 求此曲面殼在平面求此曲面殼在平面z = 1 以上部分以上部分 的質量的質量M.223()zxy 22xyz 例例7 曲面曲面 將球面將球面 分成三部分，求此三部分的面積之比分成三部分，求此三部分的面積之比.2213zxy22225xyz 解解3422:25zxy 229xy 2216xy1A3A22525dSdxdyxy 11122525xyDAdSdxdyxy 2320051025rddrr 33322525xyDAd

16、Sdxdyxy 2420052025rddrr 22134570AAA 123:1:7:2AAA oyxzL解解:5cos ,3sin(0)L xtytt 取取dSS dLz s 20354cosdcostt sd159ln5.4zddSzs 2203sin5sin9cosdtttt dLy s 2222222ln()22uaau duauuauC 例例8 求橢圓柱面求橢圓柱面 位于位于xoy面上方及平面面上方及平面 下方那部分柱面下方那部分柱面 的側面積的側面積S.22159xy zy 解解 在在 xoy 面上的投影為面上的投影為 22:2 ,x yDxy 故故dMS 222003d14drrr 22201614d(14)8rr 22314()d dx yDxyx y 13 . 223,xyz 22144,dSxy dxdy 223()zxy 代代入入曲曲面面方方程程例例9 已知曲面已知曲面殼殼 的面密度的面密度 求此曲面殼在平面求此曲面殼在平面z = 1 以上部分以上部分 的質量的質量M.223()zxy 22xyz 解解 設設 的方程為的方程為利用對稱性可知重心的坐標利用對稱性可知重心的坐標0,xy而而 z 222zRxy222RdSdxdyRxy dS dz