高等數(shù)學課件數(shù)項級數(shù)及收斂準則

1、二、交錯級數(shù)及其收斂準則二、交錯級數(shù)及其收斂準則 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 第第2-32-3節(jié)節(jié)一、正項級數(shù)及其收斂準則一、正項級數(shù)及其收斂準則常數(shù)項級數(shù)的收斂準則常數(shù)項級數(shù)的收斂準則 第十一章 一、正項級數(shù)及其收斂準則一、正項級數(shù)及其收斂準則若,0nu1nnu定理定理 1. 正項級數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”,Zn,nnvku 都有定理定理2 (比較判別法比較判別法)設,1nnu1nn

2、v且存在,ZN對一切,Nn 有(1) 若級數(shù)1nnv則級數(shù)1nnu(2) 若級數(shù)1nnu則級數(shù)1nnv證證:設對一切和令nSn則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .nnvku 是兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨11,nnnnuv分別表示和級數(shù)的部分和 則有(1) 若級數(shù)1nnv則有nn lim因此對一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu則有(2) 若級數(shù)1nnu,limnnS因此,limnn這說明級數(shù)1nnv也發(fā)散 .knSnk也收斂 .發(fā)散,收斂, 級數(shù)例例1. 討論 p 級數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1)

3、 若, 1p因為對一切,Zn而調(diào)和級數(shù)11nn由比較判別法可知 p 級數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1, 1p因為當nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮級數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故級數(shù)收斂 , 由比較判別法知 p 級數(shù)收斂 .時,1) 1(11pn12) 若調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在,ZN對一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu證明級數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因為2) 1(1) 1(1nnn),2

4、, 1(11nn而級數(shù)111nn21kk發(fā)散根據(jù)比較判別法可知, 所給級數(shù)發(fā)散 .例例2.2.定理定理3. (比較判別法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當 l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當 l = ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu證證: 據(jù)極限定義, 0對,ZN存在lnnvu)(l設兩正項級數(shù)滿足(1) 當 0 l 時,時當Nn nnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知1nnu與1nnv同時收斂或同時發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當l = 時,ZN存在,時當Nn ,1nnvu即nn

5、vu 由定理2可知, 若1nnv發(fā)散 , 1;nnu則也收斂(1) 當0 l 時,(2) 當l = 0時,由定理2 知1nnv收斂 , 若1.nnu則也發(fā)散,nunv,limlvunnn是兩個正項級數(shù)正項級數(shù), (1) 當 時,l0兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;特別取,1pnnv 可得如下結(jié)論 :對正項級數(shù),nu,1pl0limnnulpn,1pl0發(fā)散nu(2) 當 且 收斂時,0lnv(3) 當 且 發(fā)散時, lnv也收斂 ;nu也發(fā)散 .nu收斂nu的斂散性. nnn1lim例例3. 判別級數(shù)11sinnn的斂散性 .解解: nlim1根據(jù)比較判別法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例4.

6、判別級數(shù)1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據(jù)比較判別法的極限形式知.11ln12收斂nnnn1sin2n211lnn sin1nn1)1ln(21n21nnnnuu1lim由定理定理4 . 比式判別法 ( Dalembert 判別法)設 nu為正項級數(shù), 且,lim1nnnuu則(1) 當1(2) 當1證證: (1),1時當11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收斂 ,.收斂nu時, 級數(shù)收斂 ;或時, 級數(shù)發(fā)散 .,ZN知存在,時當Nn k)(由比較判別法可知,1時或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此所以級數(shù)發(fā)散.Nn 當

7、時(2) 當nnuu11nuNu1lim1nnnuu說明說明: 當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如例如, , p 級數(shù):11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p級數(shù)收斂 ;, 1p級數(shù)發(fā)散 .從而 limn例例5. 討論級數(shù))0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)定理4可知:,10時當 x級數(shù)收斂 ;,1時當 x級數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散級數(shù)nn,1時當 x對任意給定的正數(shù) ,limnnnu定理定理5. 根式判別法 ( Cauchy判別法) 設 1nnu為正項級,limnnnu則;,1) 1(級數(shù)收斂時當 .,1)2(級數(shù)發(fā)

8、散時當 證明提示證明提示: ,ZN存在nnu有時當,Nn 即nnnu)()(分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確., )1(1111數(shù), 且時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如 , p 級數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n說明說明 :,1pnnu 但, 1p級數(shù)收斂 ;, 1p級數(shù)發(fā)散 .例例6. 證明級數(shù)11nnn收斂于S ,似代替和 S 時所產(chǎn)生的誤差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知該級數(shù)收斂 .令,nnSSr則所求誤差為21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估計以部分和

9、Sn 近 二二 、交錯級數(shù)及其收斂判別法、交錯級數(shù)及其收斂判別法 則各項符號正負相間的級數(shù)nnuuuu1321) 1(稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù) .定理定理6 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù); ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 且其和 ,1uS 其余項滿足.1nnur,2, 1,0nun設證證: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單調(diào)遞增有界數(shù)列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級數(shù)收斂于S,

10、 且,1uS :的余項nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判別法判別法判別下列級數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 定義定義: 對任意項級數(shù),1nnu若若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,

11、則稱原級111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu數(shù)1nnu為條件收斂 .均為絕對收斂.例如例如 ：絕對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂 .定理定理7. 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .證證: 設1nnunv),2,1(n根據(jù)比較判別法顯然,0nv1nnv收斂,收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂)(21nnuu 且nv,nu收斂 , 令例例7. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對收斂

12、 .(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對收斂.一般項級數(shù)斂散性總結(jié) 絕對收斂 收斂, 反之不真. 如果用比式判別法或根式判別法得出絕對值級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)一定發(fā)散. 所有判別法都有局限性, 不能用判別法判定時, 只能用部分和列是否收斂來判定.絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質(zhì).定理定理8. 絕對收斂級數(shù)不因改變項的位置而改變其和.(絕對收斂級數(shù)重排不影響其和.條件收斂級數(shù)重排影響其斂散性與和。) 111111111111( 1)1.234567811111

13、1 ( 1).224682 111113 .325742nnnnAnAnA 例：兩個級數(shù)相加，得1+其和分別為 定理定理9. ( 絕對收斂級數(shù)的乘法 ).S則對所有乘積 jivu1nnw按任意順序排列得到的級數(shù)也絕對收斂,設級數(shù)1nnv1nnu與都絕對收斂,S其和為級數(shù)乘積的排列方式：正方形級數(shù)乘積的排列方式：正方形級數(shù)乘積的排列方式：對角線（柯西乘積）級數(shù)乘積的排列方式：對角線（柯西乘積）1nijij nwu v 一般項：條件收斂級數(shù)柯西乘積不一定收斂條件收斂級數(shù)柯西乘積不一定收斂.11111111( 1)( 1)11111111( 1).112231111111.1nnnnnnnnnnnw

14、nnnnwnnnnnnw 例如，發(fā)散.發(fā)散.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 利用正項級數(shù)收斂判別法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比式判別法 limn1nunu根式判別法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較判別法用它法判別積分判別法部分和極限13. 任意項級數(shù)收斂判別法為收斂級數(shù)1nnu設Leibniz判別法:01nnuu0limnnu則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂1nnu稱思考與練習思考與練習設正項級數(shù)1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .備用題備用題;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判別級數(shù)的斂散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn發(fā)散 , 故原級數(shù)發(fā)散 .不是 p級