淺談三角形中的動點問題

1、4淺談三角形中的動點問題動點問題是一類靈活、有難度的數(shù)學問題，也是近些年來各市中考中常出現(xiàn)的考點。本文將以湘教版八年級全等三角形中一道習題為例，對變化出來的一系列動點問題從如下幾個方面進行探討和闡述。一.本文選題背景1、知識背景：本題用到的知識點是：全等三角形；2、思維方法背景：轉(zhuǎn)化思想；二.選擇母題的目的：動點問題歷來是中考的壓軸考點；要讓學生解決復雜的動點問題,必須讓學生在初二就形成動態(tài)問題的思考方式，遵循由易到難的原則，故選擇這道題作為母題；三、原題已知：如圖，ABC是等邊三角形、點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為邊作ADE,ADE是等邊三角形，連接CE;求證：BD=CE題

2、目分析：從數(shù)量上來看，BE與CE是應(yīng)該相等的；證明邊相等，可以考慮全等三角形的判定定理來證明BADAEAC,然后利用全等三角形的性質(zhì)來說明邊相等.證明：:AABC>ADE是等邊三角形AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=60又./DAC=/DAC./BAC-/DAC=/DAE-/DAC即/BAD=/EACABADEACBD=CE四、拓展與變式變式1:“正三角形”改為等腰三角形，是否BAD叁匕EAC成立那么BD與CE的結(jié)論成立嗎？探究BC=DC+CE是否成立.題目：在ABC中，AB=AC,點D是線段BC上一點（不與B、C重合），AD為一邊作ADE,使AD=AE,/DAE=/BAC,連

3、接CE.求證：BD=CE,并直接判斷結(jié)論BC=DC+CE是否成立；證明：=/DAE=/BAC ./DAE-/DAC=/BAC-/DAC即EACu/BAD又AB=AC,AD=AE.BADEAC .CE=BD.BC=DC+BD .BC=DC+CE變式2:將變式1的條件“點D是線段BC上一點（不與B、C重合）”修改為“點D在邊CB的延長線上或者在邊BC的延長線上”，是否BADEAC成立？并探究“BC、DC、CE”的數(shù)量關(guān)系。題目：在ABC中，AB=AC,點D是直線BC上一點（不與B、C重合），AD為一邊作ADE,使AD=AE,/DAE=/BAC,連接CE.（1）如圖2,當點D在邊BC的延長線上時，請

4、寫出BC、DC、CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（2）如圖3,當點D在邊CB的延長線上時，且點A、點E分別在直線BC的異側(cè)，其他條件不變，直接寫出BC、DC、CE之間存在的數(shù)量關(guān)系-（2）證明思路與（1）相似證明（1）BC=DC+CE/DAE=/BAC .DAE+.DAC=/BAC+.DAC即.EAC=/BAD又AB=AC,AD=AE.BADAEACCE=BDvBC=DC+BDBC=DC+CE變式3:變式1探究的是邊的數(shù)量關(guān)系，那能否根據(jù)BADAEAC成立，探究某些角的數(shù)量關(guān)系呢？題目：如圖：在ABC中，AB=AC,點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作AD

5、E,使AD=AE,/DAE=/BAC,連接CE。點D在線段BC上運動，如果/BAC=900,則/BCE=.證明：=/DAE=/BACDAE-DACBAC-DAC即EAC=BAD又=AB=AC,AD=AE.BADEACACE»ABCvZBAC=90°,ABCACB=90又BCE"ACEACBBCE=90變式4:變式3是利用BADWEAC,探究特殊情況下角的關(guān)系；那對于一般情況呢？當點D在線段CB上移動時，是否根據(jù)BADAEAC全等，某些角的數(shù)量關(guān)系還存在呢？題目：如圖在ABC中，AB=AC,點D是直線BC上一點(不與B、C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE,使

6、AD=AE,/DAE=/BAC,連接CE.設(shè)/BAC=a,/BCE=B,當點D在線段CB上移動，則a、B之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；證明：=/DAE=/BACDAE-DAC=/BAC-DAC即.EAC=/BAD又=AB=AC,AD=AE .BADEACACE=ABCVZBAC=a,.BAC.ABC.ACB=180.ABCACB=180-二又.BCE，=.ACE.ACB.P=180即a+P=180*變式5:將變式1條件的“點D是線段BC上一點(不與B、C重合)”修改為“點D在邊CB的延長線上或者在邊BC的延長線上”，能否利用BAD姿4EAC,判斷變式4的結(jié)論仍否成立.題目：如圖：在ABC

7、中，AB=AC,點D是直線BC上一點(不與B、C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE,使AD=AE,/DAE=/BAC,連接CE.設(shè)/BAC=a,/BCE=B當點D在直線BC上移動，則a,B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論結(jié)論：=180變式6:在變式4和變式5的基礎(chǔ)上，附加平行條件利用CADAEAB探究角的關(guān)系；題目：在ABC中，AB=AC,點D是直線BC上一點(不與B、C重合)，AD為一邊在AD的左側(cè)作ADE,使AD=AE,/DAE=/BAC,過點E作BC的平行線，交直線AB于點F,連接BE.(1)如圖1,若/DAE=/BAC=60°，則BEF是等邊三角形;(2)若/D

8、AE=/BAC*60°(i)如圖2,當點D在線段BC上移動，判斷BEF的形狀并證明；(ii)當點D在線段BC的延長線上移動，BEF是什么三角形？請直接寫出結(jié)論并畫出向?qū)?yīng)的圖形。AA備用圖C分析：變式6與以上的思路相似，在此故不做詳細說明五、解題反思：1、幾何動點問題含有豐富轉(zhuǎn)化、分類等數(shù)學思想，要求學生能夠利用所學過的三角形全等、三角形相似等知識來分析問題和解決問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住動中含靜的解題思想，動時則存在兩個三角形全等的函數(shù)關(guān)系，靜時則存在邊與角的數(shù)量關(guān)系；2、通過一系列變式訓練，建立數(shù)學模型解決問題，即“特殊一一般”的思維方法；3、讓學生練習任何一道題，絕不是單純的知識的重述，而應(yīng)是知識點的重新整合、深化、升華。我們應(yīng)該努力讓學生逐步走出“以題論題”的困境，達到“以題論法”的境界，從而實現(xiàn)“以題論道”學習模式；4、以上