幾何概型復(fù)習(xí)課件(總結(jié))

1、 要點梳理要點梳理1.1.幾何概型幾何概型 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_ _(_ _(_或或_)_)成比例成比例, ,則稱這樣的概率模型為幾何則稱這樣的概率模型為幾何 概率模型概率模型, ,簡稱為簡稱為_._. 2. 2.幾何概型中幾何概型中, ,事件事件A A的概率計算公式的概率計算公式 P P( (A A)= .)= .幾何概型幾何概型)()(面面積積或或體體積積的的區(qū)區(qū)域域長長度度試試驗驗的的全全部部結(jié)結(jié)果果所所構(gòu)構(gòu)成成面面積積或或體體積積的的區(qū)區(qū)域域長長度度構(gòu)構(gòu)成成事事件件A長長度度 面積面積體積體積幾何概型幾何概型基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)

2、知識 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)3.3.要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點: : (1) (1)無限性：在一次試驗中無限性：在一次試驗中, ,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限 多個；多個； (2)(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. .4.4.幾何概型的試驗中幾何概型的試驗中, ,事件事件A A的概率的概率P P( (A A) )只與子區(qū)域只與子區(qū)域A A 的幾何度量的幾何度量( (長度、面積或體積長度、面積或體積) )成正比成正比, ,而與而與A A的位的位 置和形狀無關(guān)置和形狀無關(guān). .5.5.求試

3、驗中幾何概型的概率求試驗中幾何概型的概率, ,關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)關(guān)鍵是求得事件所占區(qū) 域和整個區(qū)域域和整個區(qū)域 的幾何度量的幾何度量, ,然后代入公式即可求然后代入公式即可求 解解. .1“概率為概率為1的事件一定是必然事件，概率為的事件一定是必然事件，概率為0的事件一的事件一定是不可能事件定是不可能事件”，這個說法正確嗎？，這個說法正確嗎？【提示提示】不正確如果隨機事件所在區(qū)域是一個單點，不正確如果隨機事件所在區(qū)域是一個單點，由于單點的長度、面積、體積均為由于單點的長度、面積、體積均為0，則它的概率為，則它的概率為0，事件可能發(fā)生，所以概率為事件可能發(fā)生，所以概率為0的事件不一定是不可能事

4、件；的事件不一定是不可能事件；如果一個隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則如果一個隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則它的概率為它的概率為1，但它不是必然事件，但它不是必然事件2古典概型與幾何概型有哪些異同點？古典概型與幾何概型有哪些異同點？【提示提示】古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，而幾何都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，而幾何概型的基本事件有無限個概型的基本事件有無限個題型一題型一 與長度有關(guān)的幾何概型與長度有關(guān)的幾何概型【例例1 1】有一段長為有一段長為1010米的木棍米的木

5、棍, ,現(xiàn)要截成兩段現(xiàn)要截成兩段, ,每段每段 不小于不小于3 3米的概率有多大？米的概率有多大？ 從每一個位置剪斷都是一個基本事件從每一個位置剪斷都是一個基本事件, ,基基 本事件有無限多個本事件有無限多個. .但在每一處剪斷的可能性相等但在每一處剪斷的可能性相等, , 故是幾何概型故是幾何概型. . 思維啟迪思維啟迪題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解解 記記“剪得兩段都不小于剪得兩段都不小于3 3米米”為事件為事件A A, ,從木棍的從木棍的 兩端各度量出兩端各度量出3 3米米, ,這樣中間就有這樣中間就有10-3-3=4(10-3-3=4(米米).).在中在中間的間的4 4米長的木棍處

6、剪都能滿足條件米長的木棍處剪都能滿足條件, ,所以所以 從該題可以看出從該題可以看出, ,我們將每個事件理解為我們將每個事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點, ,該區(qū)域中每該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣一點被取到的機會都一樣. .而一個隨機事件的發(fā)生則而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點, ,這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解. . . 4 . 0104103310)(AP探究提高探究提高知能遷移知能遷移1 1 平面上有一組平行線平面上有一

7、組平行線, ,且相鄰平行線間且相鄰平行線間 的距離為的距離為3 cm,3 cm,把一枚半徑為把一枚半徑為1 cm1 cm的硬幣任意平拋在的硬幣任意平拋在 這個平面上這個平面上, ,則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率 是是 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如圖所示如圖所示, ,這是長度型幾何概型問題這是長度型幾何概型問題, ,當硬幣當硬幣 中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相 碰碰, ,故所求概率為故所求概率為41312132.31PB題型二題型二 與面積與面積(或體積或

8、體積)有關(guān)的幾何概型有關(guān)的幾何概型 在邊長為在邊長為2 2的正的正ABCABC內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點P P, , 則使點則使點P P到三個頂點的距離至少有一個小于到三個頂點的距離至少有一個小于1 1的概率的概率 是是_._. 解析解析 以以A A、B B、C C為圓心為圓心, ,以以1 1為半為半 徑作圓徑作圓, ,與與ABCABC交出三個扇形交出三個扇形, , 當當P P落在其內(nèi)時符合要求落在其內(nèi)時符合要求. .63243)1321(322P63題型三題型三 與角度有關(guān)的幾何概型與角度有關(guān)的幾何概型 【例例3 3】在在RtRtABCABC中中,A A=30=30, ,過直角頂點過直角頂點C C

9、作射作射 線線CMCM交線段交線段ABAB于于M M, ,求使求使| |AMAM|ACAC| |的概率的概率. . 如圖所示如圖所示, ,因為過一因為過一 點作射線是均勻的點作射線是均勻的, ,因而應(yīng)把在因而應(yīng)把在 ACBACB內(nèi)作射線內(nèi)作射線CMCM看做是等可能看做是等可能 的的, ,基本事件是射線基本事件是射線CMCM落在落在ACBACB內(nèi)任一處內(nèi)任一處, ,使使 | |AMAM|ACAC| |的概率只與的概率只與BCCBCC的大小有關(guān)的大小有關(guān), ,這符合這符合 幾何概型的條件幾何概型的條件. . 思維啟迪思維啟迪解解 設(shè)事件設(shè)事件D D為為“作射線作射線CMCM, ,使使| |AMAM

10、|ACAC|”. |”. 在在ABAB上取點上取點C C使使| |ACAC|=|=|ACAC|,|,因為因為ACCACC是等是等腰三角形腰三角形, ,所以所以 幾何概型的關(guān)鍵是選擇幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測度測度”, ,如本例如本例以角度為以角度為“測度測度”. .因為射線因為射線CMCM落在落在ACBACB內(nèi)的任意內(nèi)的任意位置是等可能的位置是等可能的. .若以長度為若以長度為“測度測度”, ,就是錯誤的就是錯誤的, ,因為因為M M在在ABAB上的落點不是等可能的上的落點不是等可能的. . 探究提高探究提高, 75230180CAC.619015)(,90,157590DPA知能遷移知能遷移3

11、 3 在圓心角為在圓心角為9090的扇形的扇形AOBAOB中中, ,以圓心以圓心O O 為起點作射線為起點作射線OCOC, ,求使得求使得AOCAOC和和BOCBOC都不小于都不小于 3030的概率的概率. . 解解 如圖所示如圖所示, ,把圓弧把圓弧ABAB三等分三等分, ,則則 AOFAOF=BOEBOE=30=30, ,記記A A為為“在扇在扇 形形AOBAOB內(nèi)作一射線內(nèi)作一射線OCOC, ,使使AOCAOC和和 BOCBOC都不小于都不小于3030”,”,要使要使AOCAOC和和BOCBOC都不小都不小 于于3030, ,則則OCOC就落在就落在EOFEOF內(nèi)內(nèi), ,.319030)

12、(AP題型四題型四 可化為幾何概型的概率問題可化為幾何概型的概率問題 【例例4 4】甲、乙兩人約定在甲、乙兩人約定在6 6時到時到7 7時之間在某處會面時之間在某處會面, , 并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘, ,過時即可離去過時即可離去. . 求兩人能會面的概率求兩人能會面的概率. . 在平面直角坐標系內(nèi)用在平面直角坐標系內(nèi)用x x軸表示甲到達軸表示甲到達 約會地點的時間約會地點的時間, ,y y軸表示乙到達約會地點的時間軸表示乙到達約會地點的時間, ,用用 0 0分到分到6060分表示分表示6 6時到時到7 7時的時間段時的時間段, ,則橫軸則橫軸0 0到到60

13、60與縱與縱 軸軸0 0到到6060的正方形中任一點的坐標的正方形中任一點的坐標( (x x, ,y y) )就表示甲、就表示甲、 乙兩人分別在乙兩人分別在6 6時到時到7 7時時間段內(nèi)到達的時間時時間段內(nèi)到達的時間. .而能會而能會 面的時間由面的時間由| |x x- -y y|15|15所對應(yīng)的圖中陰影部分表示所對應(yīng)的圖中陰影部分表示. .思維啟迪思維啟迪解解 以以x x軸和軸和y y軸分別表示甲、乙軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間兩人到達約定地點的時間, ,則兩人則兩人能夠會面的充要條件是能夠會面的充要條件是| |x x- -y y|15.|15.在如圖所示平面直角坐標系下在如圖所

14、示平面直角坐標系下, ,( (x x, ,y y) )的所有可能結(jié)果是邊長為的所有可能結(jié)果是邊長為6060的正方形區(qū)域的正方形區(qū)域, ,而事而事件件A A“兩人能夠會面兩人能夠會面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示表示. .由幾何概型的概率公式得：由幾何概型的概率公式得：所以所以, ,兩人能會面的概率是兩人能會面的概率是.167600302526003604560)(222SSAPA.167探究提高探究提高 (1)(1)甲、乙兩人都是在甲、乙兩人都是在6 6 7 7時內(nèi)的任意時時內(nèi)的任意時 刻到達會面地點刻到達會面地點, ,故每一對結(jié)果對應(yīng)兩個時間故每一對結(jié)果對應(yīng)兩個時

15、間, ,分別用分別用 x x, ,y y軸上的數(shù)表示軸上的數(shù)表示, ,則每一個結(jié)果則每一個結(jié)果( (x x, ,y y) )就對應(yīng)于圖中就對應(yīng)于圖中正方形內(nèi)的任一點正方形內(nèi)的任一點. .(2)(2)找出事件找出事件A A發(fā)生的條件發(fā)生的條件, ,并把它在圖中的區(qū)域找出并把它在圖中的區(qū)域找出來來, ,分別計算面積即可分別計算面積即可. .(3)(3)本題的難點是把兩個時間分別用本題的難點是把兩個時間分別用x x, ,y y兩個坐標表兩個坐標表示示, ,構(gòu)成平面內(nèi)的點構(gòu)成平面內(nèi)的點( (x x, ,y y),),從而把時間是一段長度問從而把時間是一段長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題題轉(zhuǎn)化為平面

16、圖形的二維面積問題, ,進而轉(zhuǎn)化成面積進而轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型的問題型幾何概型的問題. . 1.1.幾何概型也是一種概率模型幾何概型也是一種概率模型, ,它與古典概型的區(qū)別它與古典概型的區(qū)別 是試驗的可能結(jié)果不是有限個是試驗的可能結(jié)果不是有限個. .它的特點是試驗結(jié)果它的特點是試驗結(jié)果 在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布, ,所以隨機事件的概率大小與所以隨機事件的概率大小與 隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān), ,只與該區(qū)域的大只與該區(qū)域的大 小有關(guān)小有關(guān). .2.2.幾何概型的幾何概型的“約會問題約會問題”已經(jīng)是程序化的方法與技已經(jīng)是程序化的方法與技 巧巧,

17、,必須熟練掌握必須熟練掌握. . 方法與技巧方法與技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高幾何概型具有無限性和等可能性兩個特點幾何概型具有無限性和等可能性兩個特點. .無限性是無限性是指在一次試驗中指在一次試驗中, ,基本事件的個數(shù)可以是無限的；等基本事件的個數(shù)可以是無限的；等可能性是指每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的可能性是指每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的. .因此因此, ,用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的是相同的, ,同屬于同屬于“比例解法比例解法”, ,即隨機事件即隨機事件A A的概率的概率可以用可以用“事件事件A A包含的基本

18、事件所占的圖形長度包含的基本事件所占的圖形長度( (面積面積或體積或體積)”)”與與“試驗的基本事件所占總長度試驗的基本事件所占總長度( (面積或體面積或體積積)”)”之比來表示之比來表示. . 失誤與防范失誤與防范 一、選擇題一、選擇題1.1.在長為在長為12 cm12 cm的線段的線段ABAB上任取一點上任取一點M M, ,并以線段并以線段AM AM 為邊作正方形為邊作正方形, ,則這個正方形的面積介于則這個正方形的面積介于36 cm36 cm2 2與與 81 cm81 cm2 2之間的概率為之間的概率為 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 面積為面積

19、為36 cm36 cm2 2時時, ,邊長邊長AMAM=6,=6, 面積為面積為81 cm81 cm2 2時時, ,邊長邊長AMAM=9,=9,4131274154.411231269PA定時檢測定時檢測2.2.在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點P P, ,則點則點P P落在單落在單 位圓位圓x x2 2+ +y y2 2=1=1內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 區(qū)域為區(qū)域為ABCABC內(nèi)部內(nèi)部( (含邊界含邊界),),則概率為則概率為, 0, 02, 02yyxyx.4222212ABCSSP半圓D28643.3.在面積為在面積為S

20、 S的的ABCABC的邊的邊ABAB上任取一點上任取一點P P, ,則則PBC PBC 的面積大于的面積大于 的概率是的概率是 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由由ABCABC, ,PBCPBC有公共底邊有公共底邊BCBC, ,所以只需所以只需P P位位 于線段于線段BABA靠近靠近B B的四分之一分點的四分之一分點E E與與A A之間之間, ,這是一個這是一個 幾何概型幾何概型, ,4S41214332.43ABAEPC4.4.已知正三棱錐已知正三棱錐S SABCABC的底面邊長為的底面邊長為4,4,高為高為3,3,在正在正 三棱錐內(nèi)任取一點三棱錐內(nèi)

21、任取一點P P, ,使得使得V VP PABCABC V VS SABCABC的概率的概率 是是 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 當當P P在三棱錐的中截面及下底面構(gòu)成的正三在三棱錐的中截面及下底面構(gòu)成的正三 棱臺內(nèi)時符合要求棱臺內(nèi)時符合要求, ,由幾何概型知由幾何概型知, ,2187432141.87811PA5.5.(2009(2009遼寧遼寧) )ABCDABCD為長方形為長方形, ,ABAB=2,=2,BCBC=1,=1,O O為為AB AB 的中點的中點, ,在長方形在長方形ABCDABCD內(nèi)隨機取一點內(nèi)隨機取一點, ,取到的點到取到的點到O

22、 O 的距離大于的距離大于1 1的概率為的概率為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如圖如圖, ,要使圖中點到要使圖中點到O O的的 距離大于距離大于1,1,則該點需取在圖中陰則該點需取在圖中陰 影部分影部分, ,故概率為故概率為4.41222P41881B6.6.(2009(2009山東山東) )在區(qū)間在區(qū)間 上隨機取一個上隨機取一個 數(shù)數(shù)x x,cos ,cos x x的值介于的值介于0 0到到 之間的概率為之間的概率為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 2,22312132.,),(),(cos,31322323

23、3221022 Pxxx由幾何概型知由幾何概型知的長度為的長度為又已知區(qū)間又已知區(qū)間其區(qū)間長度為其區(qū)間長度為A21二、填空題二、填空題 7.7.(2008(2008江蘇江蘇) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中中, ,設(shè)設(shè)D D是橫是橫 坐標與縱坐標的絕對值均不大于坐標與縱坐標的絕對值均不大于2 2的點構(gòu)成的區(qū)域的點構(gòu)成的區(qū)域, , E E是到原點的距離不大于是到原點的距離不大于1 1的點構(gòu)成的區(qū)域的點構(gòu)成的區(qū)域, ,向向D D中隨中隨 機投一點機投一點, ,則落入則落入E E中的概率為中的概率為_._. 解析解析 如圖所示如圖所示, ,區(qū)域區(qū)域D D表示邊長表示邊長 為為4 4

24、的正方形的內(nèi)部的正方形的內(nèi)部( (含邊界含邊界),),區(qū)區(qū) 域域E E表示單位圓及其內(nèi)部表示單位圓及其內(nèi)部, ,.164412P因此168.8.已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)= )= 若若a a是從區(qū)間是從區(qū)間00，22上任取上任取 的一個數(shù)的一個數(shù), ,b b是從區(qū)間是從區(qū)間0,20,2上任取的一個數(shù)上任取的一個數(shù), ,則此函則此函 數(shù)在數(shù)在1,+)1,+)遞增的概率為遞增的概率為_._. 解析解析 令令t t= =axax2 2- -bxbx+1,+1,函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )在在1,+)1,+)上遞增上遞增, ,根根 據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,

25、,則則t t= =axax2 2- -bxbx+1+1須在須在 1,+)1,+)上遞增上遞增, , ,122 bxax.2, 12baab即 由題意得由題意得 畫出圖示得畫出圖示得 陰影部分面積陰影部分面積. . 概率為概率為 答案答案 ,22020baba.4322122122P439.9.(2009(2009福建福建) )點點A A為周長等于為周長等于3 3的圓周上的一個定的圓周上的一個定 點點. .若在該圓周上隨機取一點若在該圓周上隨機取一點B B, ,則劣弧則劣弧 的長度小的長度小 于于1 1的概率為的概率為_._. 解析解析 圓周上使弧圓周上使弧 的長度為的長度為1 1的點的點M M

26、有兩個有兩個, ,設(shè)設(shè) 為為M M1 1, ,M M2 2, ,則過則過A A的圓弧的圓弧 的長度為的長度為2,2,B B點落在點落在 優(yōu)弧優(yōu)弧 上就能使劣弧上就能使劣弧 的長度小于的長度小于1,1,所以劣弧所以劣弧 的長度小于的長度小于1 1的概率為的概率為.3232三、解答題三、解答題10.10.如圖所示如圖所示, ,在單位圓在單位圓O O的某一直徑上隨機的取一點的某一直徑上隨機的取一點 Q Q，求過點，求過點Q Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過且與該直徑垂直的弦長長度不超過1 1的的 概率概率. .解解 弦長不超過弦長不超過1,1,即即| |OQOQ| | 而而Q Q點在直徑點在直徑AB

27、 AB 上是隨機的上是隨機的, ,事件事件A A=弦長超過弦長超過1.1.由幾何概型的概率公式得由幾何概型的概率公式得 弦長不超過弦長不超過1 1的概率為的概率為 答答 所求弦長不超過所求弦長不超過1 1的概率為的概率為 ,23.232223)(AP.231)(1AP.23111.11.投擲一個質(zhì)地均勻的、每個面上標有一個數(shù)字的投擲一個質(zhì)地均勻的、每個面上標有一個數(shù)字的 正方體玩具正方體玩具, ,它的六個面中它的六個面中, ,有兩個面標的數(shù)字是有兩個面標的數(shù)字是0,0, 兩個面標的數(shù)字是兩個面標的數(shù)字是2,2,兩個面標的數(shù)字是兩個面標的數(shù)字是4,4,將此玩具將此玩具 連續(xù)拋擲兩次連續(xù)拋擲兩次,

28、 ,以兩次朝上一面的數(shù)字分別作為點以兩次朝上一面的數(shù)字分別作為點P P 的橫坐標和縱坐標的橫坐標和縱坐標. . (1) (1)求點求點P P落在區(qū)域落在區(qū)域C C：x x2 2+ +y y2 21010內(nèi)的概率；內(nèi)的概率； (2)(2)若以落在區(qū)域若以落在區(qū)域C C上的所有點為頂點作面積最大的上的所有點為頂點作面積最大的 多邊形區(qū)域多邊形區(qū)域M M, ,在區(qū)域在區(qū)域C C上隨機撒一粒豆子上隨機撒一粒豆子, ,求豆子落求豆子落 在區(qū)域在區(qū)域M M上的概率上的概率. . 解解 (1)(1)以以0 0、2 2、4 4為橫、縱坐標為橫、縱坐標 的點的點P P共有共有(0,0)(0,0)、(0,2)(0,2)、(0,4)(0,4)、(2,0)(2,0)、(