數(shù)學(xué)模型方法分析簡(jiǎn)述

1、精品文檔數(shù)學(xué)模型方法分析簡(jiǎn)述函數(shù)關(guān)系可以說是一種變量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型方法是處理科學(xué)理論問題的一 種經(jīng)典方法，也是處理各類實(shí)際問題的一般方法掌握數(shù)學(xué)模型方法是非常必要的在此，對(duì) 數(shù)學(xué)模型方法作一簡(jiǎn)述.數(shù)學(xué)模型方法(Mathematical Modeling)稱為MM方法.它是針對(duì)所考察的問題構(gòu)造出相應(yīng) 的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究，使問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法.一、數(shù)學(xué)模型的含義數(shù)學(xué)模型是針對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的， 根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，采用形式化語言，概括或近似地表述出來的一 種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).它或者能解釋特定對(duì)象的現(xiàn)實(shí)性

2、態(tài)，或者能預(yù)測(cè)對(duì)象的未來狀態(tài)，或者能提供處 理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制數(shù)學(xué)模型既源于現(xiàn)實(shí)又高于現(xiàn)實(shí)，不是實(shí)際原形，而是一種模擬， 在數(shù)值上可以作為公式應(yīng)用，可以推廣到與原物相近的一類問題，可以作為某事物的數(shù)學(xué)語言，可譯成算法語言，編寫程序進(jìn)入計(jì)算機(jī).二、數(shù)學(xué)模型的建立過程建立一個(gè)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，需要一定的洞察力和想像力，篩選、拋棄次要因素，突出 主要因素，做出適當(dāng)?shù)某橄蠛秃?jiǎn)化.全過程一般分為表述、求解、解釋、驗(yàn)證幾個(gè)階段，并且 通過這些階段完成從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型到現(xiàn)實(shí)對(duì)象的循環(huán)可用流程圖表示 如下：表述 根據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的和掌握的信息，將實(shí)際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言

3、確切地表述出來.這一個(gè)關(guān)鍵的過程，需要對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，甚至要做調(diào)查研究，查找資料，對(duì)問題進(jìn) 行簡(jiǎn)化、假設(shè)、數(shù)學(xué)抽象，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)表達(dá)式去表現(xiàn)客觀對(duì)象及其 關(guān)系如果現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不夠用時(shí)，可根據(jù)實(shí)際情況，大膽創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)概念和方法去表現(xiàn) 模型.求解 選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，求得?shù)學(xué)模型的解答解釋 數(shù)學(xué)解答翻譯回現(xiàn)實(shí)對(duì)象，給實(shí)際問題的解答.驗(yàn)證檢驗(yàn)解答的正確性.例如,哥尼斯堡一條普雷格爾河，這條河有兩個(gè)支流，在城中心匯合成大河，河中間有一小島，河上有七座橋，如圖1所示.18世紀(jì)哥尼斯堡的很多居民總想一次不重復(fù)地走過這七座橋， 再回到出發(fā)點(diǎn).可是試來試去總是辦不到， 于是有人寫信給

4、當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉于1736年，建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型解決了這個(gè)問題他把A、B、C、D這四塊陸地抽象為數(shù)學(xué)中的點(diǎn)，把七座橋抽象為七條線，如圖2所示.圖22所示的圖形不重復(fù)地一筆人們步行七橋問題，就相當(dāng)于圖2的一筆畫問題，即能否將圖畫出來，這樣抽象并不改變問題的實(shí)質(zhì).哥尼斯堡七橋問題是一個(gè)具體的實(shí)際問題，屬于數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)原型經(jīng)過理想化抽象所 得到的如圖2所示的一筆畫問題便是七橋問題的數(shù)學(xué)模型在一筆畫的模型里，只保留了橋與 地點(diǎn)的連接方式，而其他一切屬性則全部拋棄了.所以從總體上來說，數(shù)學(xué)模型只是近似地表 現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)原型中的某些屬性，而就所要解決的實(shí)際問題而言，它是更深刻、更正確、更全面地 反

5、映了現(xiàn)實(shí)，也正由此，對(duì)一筆畫問題經(jīng)過一定的分析和邏輯推理，得到此問題無解的結(jié)論之 后，可以返回到七橋問題，得出七橋問題的解答，不重復(fù)走過七座橋回到出發(fā)點(diǎn)是不可能的.數(shù)學(xué)模型，從廣義上講，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程式、各 種函數(shù)關(guān)系，以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等都可以叫做數(shù)學(xué)模型從狹義上講，只有那 些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系的結(jié)構(gòu)，才叫做數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué) 中,數(shù)學(xué)模型都作狹義解釋.而建立數(shù)學(xué)模型的目的，主要是為了解決具體的實(shí)際問題三、函數(shù)模型的建立研究數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而借鑒數(shù)學(xué)模型，對(duì)提高解決實(shí)際問題的能力，以及提 高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是十分

6、重要的.建立函數(shù)模型的步驟可分為：(1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示；(2) 根據(jù)所給條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)或物理知識(shí)，確定等量關(guān)系；具體寫出解析式y(tǒng) f(x)，并指明定義域.例1重力為P的物體置于地平面上，設(shè)有一與水平方向成角的拉力F，使物體由靜止 開始移動(dòng)，求物體開始移動(dòng)時(shí)拉力 F與角 之間的函 數(shù)模型(圖3).解 由物理知，當(dāng)水平拉力與摩擦力平衡時(shí), 物體開始移動(dòng)，而摩擦力是與正壓力 P F sin 比的(設(shè)摩擦系數(shù)為 ),故有F cos (P F sin ),PF(0° <<90° )cos sin建立函數(shù)模型是一個(gè)比較靈活的問題，無定法可

7、循，只 有多做些練習(xí)才能逐步掌握.例2在金融業(yè)務(wù)中有一種利息叫做單利. 設(shè)p是本金，r是計(jì)息的利率，c是計(jì)息期滿應(yīng) 付的利息，n是計(jì)息期數(shù)，I是n個(gè)計(jì)息期（即借期或存期）應(yīng)付的單利，A是本利和求本利和A與計(jì)息期數(shù)n的函數(shù)模型解計(jì)息期的利率計(jì)息期滿的利息一，即c r.本金p由此得c pr單利與計(jì)息數(shù)成正比，即n個(gè)計(jì)息期應(yīng)付的單利I為Icn,因?yàn)閏pr，所以Iprn ,本利和為Ap I，即Ap prn ,可得本利和與計(jì)息期數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即單利模型Ap(1 rn).四、數(shù)學(xué)建模方法數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程（見數(shù)學(xué)建模過程 流程圖）數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是

8、運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡(jiǎn)化建立 能近似刻畫并解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段.常用的數(shù)學(xué)建模方法如下：（一）機(jī)理分析法從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型的方法1. 比例分析法 一一 建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本、最常用的方法2. 代數(shù)方法一一求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符號(hào)、圖形）的主要方法3. 邏輯方法一一是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法，用以解決社會(huì)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際問 題，在決策論，對(duì)策論等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用4. 常微分方程一一解決兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立“瞬時(shí)變化率”的表達(dá)式.5. 偏微分方程一一解決因變量與兩個(gè)以上自變量之間的變化規(guī)律.（二）數(shù)

9、據(jù)分析法 從大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計(jì)方法建立數(shù)學(xué)模型的方法1. 回歸分析法一一用于對(duì)函數(shù)f（x）的一組觀測(cè)值（x,f（xj）（i 1,2丄n），確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法.2. 時(shí)序分析法一一處理的是動(dòng)態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法.（三）仿真和其他方法1. 計(jì)算機(jī)仿真（模擬）一一實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法，等效于抽樣試驗(yàn). 離散系統(tǒng)仿真一一有一組狀態(tài)變量. 連續(xù)系統(tǒng)仿真一一有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖.2. 因子試驗(yàn)法一一在系統(tǒng)上作局部試驗(yàn)，再根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu).3. 人工現(xiàn)實(shí)法一一基于對(duì)系統(tǒng)過去行為的了解和對(duì)未來希望達(dá)到的目標(biāo)，并考

10、慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化，人為地組成一個(gè)系統(tǒng).五、名師談數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 1全國人大常委會(huì)副委員長、著名數(shù)學(xué)家丁石孫 建模競(jìng)賽，我認(rèn)為是一個(gè)非常有意義的活動(dòng)很多人都知道，數(shù)學(xué)是非常重要的我們教 了幾十年的數(shù)學(xué)，曾經(jīng)花了很多力氣想使得大家能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的重要性，但是我們沒有找到 一個(gè)合適的方法我覺得，建模競(jìng)賽是一個(gè)很好的方法，使得更多的學(xué)生，包括他們有關(guān)的朋 友，能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的真正用處因?yàn)?，?shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生的培養(yǎng)，不只是數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式， 這其實(shí)是次要的，像剛才同學(xué)所說的，更重要的是培養(yǎng)同學(xué)一個(gè)正確的思想方法，而且依據(jù)自 己所學(xué)到的知識(shí)，能夠不斷創(chuàng)新，不斷地找出新的途徑這不是在課堂里死啃幾個(gè)定理就

11、能夠 解決的我們用什么辦法才能讓更多的人，更多的學(xué)生認(rèn)識(shí)到這個(gè)事情呢？我覺得，建模競(jìng)賽 是一個(gè)很好的方法2前教育部副部長周遠(yuǎn)清 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的特點(diǎn)是題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實(shí)際問題簡(jiǎn)化加工而成，對(duì)數(shù)學(xué)知 識(shí)要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造 精神由于競(jìng)賽是由三名大學(xué)生組成一隊(duì)，在三天時(shí)間內(nèi)分工合作，共同完成一篇論文，因而 也培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神加之競(jìng)賽評(píng)獎(jiǎng)以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文 字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)，因此，這項(xiàng)活動(dòng)的開展有利于對(duì)學(xué)生知識(shí)、能力和素質(zhì)的全面 培養(yǎng)，既豐富、活躍了廣大同學(xué)的課外生活，也為優(yōu)秀學(xué)生脫穎而出

12、創(chuàng)造了條件3中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事長、中科院院士曾慶存 同學(xué)們不要忘記，中華文化是博大精深的，很可能下個(gè)世紀(jì)是中西文化的合璧現(xiàn)在已經(jīng) 有很多苗頭， 光靠西方的演繹或者是還原論的東西解決不了問題， 說不定要借助于東方的文化， 正像萊布尼茨借助于中國的哲學(xué)一樣，還有控制論、系統(tǒng)論是借助于中國的思維希望同學(xué)們 看怎么樣能夠把中華文化的精華和西方的結(jié)合起來，我看我們大有前途下個(gè)世紀(jì)，有人說是 知識(shí)經(jīng)濟(jì)，是美國人提出來的，我們可以同意，也可以不同意但有一點(diǎn)，知識(shí)在經(jīng)濟(jì)或者社 會(huì)發(fā)展當(dāng)中所占的比例是越來越大 ,甚至?xí)饹Q定性的作用，而知識(shí)思維的方式，不管是定量的 或是定性的描述，都離不開數(shù)學(xué)我希望同學(xué)

13、們加把勁，把我國實(shí)現(xiàn)中等發(fā)達(dá)的過程更縮短一 點(diǎn)八、4 葉其孝、姜啟源教授談大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 數(shù)學(xué)建模：不僅僅是一項(xiàng)競(jìng)賽數(shù)學(xué)建模，專家給它下的定義是：“通過對(duì)實(shí)際問題的抽象、簡(jiǎn)化，確定變量和參數(shù)，并 應(yīng)用某些規(guī)律'建立起變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學(xué)問題（也可稱為一個(gè)數(shù)學(xué)模型），求解該 數(shù)學(xué)問題，解釋驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否用于解決問題多次循環(huán)、不斷深化的過程” 簡(jiǎn)而言之，就是建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實(shí)際問題的過程1985 年，美國率先舉辦了大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1992 年中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)開始組織全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 1994年起, 這項(xiàng)競(jìng)賽由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同

14、組織姜啟源教授介紹說，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是面向全國大學(xué)生的群眾性科技活動(dòng)參賽 者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、 建立和求解、計(jì)算機(jī)方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、 結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文（即答卷）競(jìng)賽題目一般來源于工程技術(shù)和管 理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡(jiǎn)化加工的實(shí)現(xiàn)問題，有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的規(guī)模逐年擴(kuò)大，參賽學(xué) 生也從幾百人增加到幾千人每年還有不少學(xué)生參加美國大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，成績優(yōu)秀， 在國際上產(chǎn)生了很大的影響為什么這樣的單項(xiàng)競(jìng)賽能夠產(chǎn)生如此的吸引力呢？開展這項(xiàng)競(jìng)賽 并開設(shè)相關(guān)的課程，對(duì)

15、高等院校的教學(xué)工作會(huì)起什么樣的作用？對(duì)大學(xué)生全面素質(zhì)的提高又有 什么樣的幫助？對(duì)記者的問題，葉其孝教授回答說，這種競(jìng)賽對(duì)參加者來說，是一種綜合的訓(xùn) 練，在相當(dāng)程度上模擬了大學(xué)生畢業(yè)以后的工作環(huán)境 參賽者不要求預(yù)先掌握深入的專門知識(shí)， 只需要學(xué)過普通高校的數(shù)學(xué)課程；更主要的是要靠參賽者自己動(dòng)腦子，自己查找文獻(xiàn)資料，同 隊(duì)成員討論研究，齊心協(xié)力完成答卷因此，它對(duì)學(xué)生的能力培養(yǎng)是多方面的葉教授將之歸 納為：應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)行分析、推理、證明和計(jì)算的能力；“雙向翻譯”（即用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際 問題，用普通人能理解的語言表達(dá)數(shù)學(xué)的結(jié)果）的能力；應(yīng)用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件的能力； 應(yīng)變能力（即獨(dú)立查找文獻(xiàn)，消化和應(yīng)

16、用的能力）；組織、協(xié)調(diào)、管理特別是及時(shí)妥協(xié)的能力； 交流表達(dá)的能力；寫作的能力；創(chuàng)造性、想像力、聯(lián)想力和洞察力它還可以培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的 意志，培養(yǎng)自律、“慎獨(dú)”的優(yōu)秀品質(zhì)，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系實(shí)際問題與數(shù)學(xué) 的橋梁，是各種應(yīng)用問題嚴(yán)密化、精確化、科學(xué)化的途徑，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索新真 理的工具數(shù)學(xué)模型具有解釋、判斷、預(yù)測(cè)等重要功能，它在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用會(huì)越來越廣泛其主要 原因是：（1）社會(huì)生活的各個(gè)方面正在日益數(shù)量化，人們對(duì)各種問題的要求愈來愈精確；（2）計(jì)算機(jī)的發(fā)展為精確化提供了條件；（3）很多無法實(shí)驗(yàn)或費(fèi)用很大的實(shí)驗(yàn)問題，用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究是一個(gè)有效途徑 很多像牛頓一樣偉大的科

17、學(xué)家都是建立和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的大師，他們將各個(gè)不同的科學(xué)領(lǐng) 域同數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，在不同的學(xué)科中取得了巨大的成就如力學(xué)中的牛頓定律，電磁學(xué) 中的麥克斯韋方程組，化學(xué)中的門捷列夫周期表，生物學(xué)中的孟德爾遺傳定律等都是經(jīng)典學(xué)科 中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的光輝范例目前在計(jì)算機(jī)的幫助下數(shù)學(xué)模型在生態(tài)、地質(zhì)、航空等方面有了 更加廣泛和深入的應(yīng)用因此，從某種意義上講，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)現(xiàn)代化高科技人才的重要途 徑數(shù)學(xué)建模課程可以培養(yǎng)和提高學(xué)生下列能力： （1）洞察能力許多提出的問題往往不是數(shù)學(xué)化的，這就是需要建模工作者善于從實(shí)際工 作提供的原形中抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)；（ 2）數(shù)學(xué)語言翻譯能力， 即把經(jīng)過一定抽象和簡(jiǎn)化的實(shí)際用

18、數(shù)學(xué)的語言表達(dá)出來，形成數(shù) 學(xué)模型，并對(duì)數(shù)學(xué)的方法和理論推導(dǎo)或計(jì)算得到的結(jié)果，能用大眾化的語言表達(dá)出來，在此基 礎(chǔ)上提出解決某一問題的方案或建議；（ 3）綜合應(yīng)用分析能力 用已學(xué)到的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行綜合應(yīng)用分析，并能學(xué)習(xí)一些新 的知識(shí)；（4）聯(lián)想能力對(duì)于不少的實(shí)際問題，看起來完全不同，但在一定的簡(jiǎn)化層次下，它們的 數(shù)學(xué)模型是相同的或相似的這正是數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的體現(xiàn)，這就是培養(yǎng)學(xué)生有廣泛的興趣， 多思考，勤奮踏實(shí)地工作，通過熟能生巧達(dá)到觸類旁通的境界；（5）各種當(dāng)代科技最新成果的使用能力目前主要是應(yīng)用計(jì)算機(jī)和相應(yīng)的各種軟件包，這 不僅能夠節(jié)省時(shí)間，得到直觀形象的結(jié)果，有利與用戶深入討論，而且能夠養(yǎng)成自覺應(yīng)用最新 科技成果的良好習(xí)慣由于數(shù)學(xué)建模是以解決實(shí)際問題和培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力為目的的， 它的教學(xué)內(nèi)容和方式是多種多樣的從教材來看，有的強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法，有的