數(shù)列專題總復(fù)習(xí)知識點整理與經(jīng)典例題講解-高三數(shù)學(xué)

1、數(shù)列專題復(fù)習(xí)一、等差數(shù)列的有關(guān)概念：1、 等差數(shù)列的判斷方法：定義法an1_an=d(d為常數(shù))或an _an二an _an(n_ 2)。a + a + a如設(shè)an是等差數(shù)列，求證：以bn= -2n nN*為通項公式的數(shù)列bn為n等差數(shù)列。2、 等差數(shù)列的通項：an =a1 (n - 1)d 或 an =am (n-m)d。如 等差數(shù)列an中，a。=30, a?。=50，則通項a(答：2n 10)；(2)首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是 (答：8 :：d 乞3)33、等差數(shù)列的前n和：Sn=門佝an)，Sn二na,n(1)d。2 21 *315如(1)數(shù)列an

2、中，an = and(n 2,n N )，a.，前 n 項和 Sn ：2 2 2則 a-i = _, n =_ (答：a<)= 3 , n =10 )；2(2)已知數(shù)列an的前n項和Sn=12n-n，求數(shù)列|an |的前n項和Tn(答： 2*12n -n (n <6,n N )Tn =2* ) .n2 -12n 72(n 6,n N )a + b4、 等差中項：若a, A, b成等差數(shù)列，則 A叫做a與b的等差中項，且 A二。2提醒：(1)等差數(shù)列的通項公式及 前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及 Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可

3、求出其余2個，即知3求2。( 2)為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a-2d,a-d,a,a，d,a，2d(公差為d );偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a -3d,a -d,a d,a 3d，(公差為 2d )5、等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)公差d =0時，等差數(shù)列的通項公式 aa1 (n -1)d =dn - a1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d ；前n和Sn二nd 購 d = d n2 (印- d)n是關(guān)于n的二次2 2 2函數(shù)且常數(shù)項為0.2 / 13（2）若公差d . 0 ,則為遞增等差數(shù)列，若公差 d : 0，則為遞減等差數(shù)列，若公差 d = 0，則為常數(shù)列。（3）

4、 當(dāng)m n = p q時,則有am - an二ap - aq，特別地，當(dāng) m n = 2 p時，則有 am ' an = 2a p .如（1）等差數(shù)列an中，Sn =18,an +and +an/ =3,S3 =1，則 n =（答：27）；（4）若an、bn是等差數(shù)列，則kan、kan pbn （ k、p是非零常數(shù)）、*a ap nq（ P，q * N ）、Sn, S2n - Sn , S3n - S2n ,也成等差數(shù)列，而a 成等比數(shù)列；若 an 是等比數(shù)列，且an 0，則lg an是等差數(shù)列.如等差數(shù)列的前n項和為25,前2n項和為100,則它的前3n和為。（答：225）（5） 在

5、等差數(shù)列an中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶-務(wù)二nd ;項數(shù)為奇數(shù)2n-1時,S奇0禺=a中 , S2n=（2 n1）a 中（這里 a中即 an）; S 奇: S 偶=n:（ n -1 ）。女口（ 1）在等差數(shù)列中，Sn = 22,則a6 = （答：2）；（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列an中，奇數(shù)項和為 80,偶數(shù)項和為 75，求此數(shù)列的中 間項與項數(shù)（答：5; 31）.（6） 若等差數(shù)列an、bn的前n和分別為a、 Bn,且n）,則Bnan _ (2n -1)an bn (2 n -1)bnA2n 4B2n 4-f（2 n -1）.如設(shè)an與 bn是兩個等差數(shù)列,它們的前n項和分別為Sn和Tn，若

6、 蛍=竝匕，那么 （答:）Tn 4n -3bn8n -7（7） “首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。法由不等式組Jan 玉0fn十蘭0;法二：因等差數(shù)列前 n項是關(guān)于/0確定出前多少項為非負（或非正）弘+亠。丿n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nN*。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如（1）等差數(shù)列an中，印=25 ,気二乞，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大2 / 13值。（答：前13項和最大，最大值為 169）;（2）若a.是

7、等差數(shù)列，首項ai0,a2oo3a2oo40 ,a2003G2004：0,則使前 n 項和Sn 0成立的最大正整數(shù) n是 （答：4006）（3） 在等差數(shù)列鳥中，6?！皢J.0,且a.a |，Sn是其前n項和，則（） a、s1sihs10都小于0，31,32川都大于0B、 S,S2 山 Si9 都小于0， S20, S21 i 11都大于0C、 S11S|S5都小于 0，S6,Sz|l（都大于 0D、 S1, S2 I H S20 都小于 0, S21, S22 I I （都大于 0（答:B）（8）如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等

8、差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究an =bm.二、等比數(shù)列的有關(guān)概念：1、等比數(shù)列的判斷方法：定義法= q （q為常數(shù)），其中q = 0 Qn = 0或an如1 乩（n _2）。anan 1女叮1）一個等比數(shù)列 an共有2n T項，奇數(shù)項之積為100,偶數(shù)項之積為120,則an d5為（答：一）；（2）數(shù)列an中，Sn =4an j+1 （n 亠2）且 ai=1，若 bn 二 ani2an ，6求證：數(shù)列 bn是等比數(shù)列。2、等比數(shù)列的通項：an二a"，或可二amqnJm如等比數(shù)列an中，ai a 66，a?an4 =128，前n項和S! =

9、 126，求n和q .（答:3、等比數(shù)列的前n 和：當(dāng) q =1 時，Sn = nai ；當(dāng) q =1 時,S _ai（1-qn）i -qai a“q1 -q如（1）等比數(shù)列中，q = 2,S99=77,求a3a6a99（答：44）；10 n（2）送（送 C：）的值為 （答: 2046）;n M k特別提醒：等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式， 為此在求等比數(shù)列前 n項和時，首先要 判斷公比q是否為1再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時，要對q分q =1和q =1兩種情形討論求解。4、 等比中項：若a,A,b成等比數(shù)列，那么 A叫做a與b的等比中項。提醒：不是任何 兩數(shù)都有等

10、比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個_.ab。如已知兩個正數(shù)a,b(ab)的等差中項為 A,等比中項為B,則A與B的大小關(guān)系為 (答：A>B)提醒：(1)等比數(shù)列的通項公式及 前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2; ( 2)為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，-ar,a,a,aq,aq2(公比為q );但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為-a3 , ,aq,aq3，q qq q因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為q2。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)

11、成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求此四個數(shù)。(答：15, ,9, 3,1或0,4, 8,16)5. 等比數(shù)列的性質(zhì)：(1 )當(dāng)m n = p q時，則有 aa ajaq,特別地，當(dāng) m n =2 p時，則有 a_an _ ap .如(1)在等比數(shù)列an中，aO =124,a4a7 =-512，公比q是整數(shù)，則a10= (答：512)；(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a§日6 =9，則lg 3aOg 3曰勵3 0)a = (答：10)。*(2)若an是等比數(shù)列，則| an |、ap如( p,q N )、ka.成等比數(shù)列；

12、若an、bn成等比數(shù)列，則anbn、罟成等比數(shù)列；若an是等比數(shù)列，且公比q = -1 , 則數(shù)列Sn,S2n -Sn,San - Sa ，也是等比數(shù)列。當(dāng)q = -1，且n為偶數(shù)時，數(shù)列Sn, S2n - Sn ,S3n - S2n，是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.女口 ( 1 )已知a 0且a =1 ,設(shè)數(shù)列xn滿足lo gXnq = 1 lo g< n(nN*),且Xi * x2 * | | | * X100 =100，則 X101 '兒02 | | | ' X200 = .(答：100a)；(2)在等比數(shù)列an中，Sn為其前n項和，若S30=13So,SoS30=1

13、40,則S20的值為 (答：40)(3)若ai 0,q 1，則an為遞增數(shù)列；若 耳：0,q 1 ,則an為遞減數(shù)列；若ai 0,0 : q : 1 ，則 an為遞減數(shù)列；若印：0,0 : q < 1,則a*為遞增數(shù)列；若q ： 0， 則an為擺動數(shù)列；若q =1，則an為常數(shù)列.(4) 當(dāng) q=1 時，Sn qn H 二aqn b，這里 a b = 0,但 a = 0,b = 0,1 -q 1-q是等比數(shù)列前n項和公式的一個特征， 據(jù)此很容易根據(jù) &，判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列。如若an是等比數(shù)列，且S3n r，則r = (答：1)(5) Sm，n =Sm，qn = S.，qm

14、 如設(shè)等比數(shù)列a*的公比為q，前n項和為Sn ,若Sn+,Sn,Sn成等差數(shù)列，則q的值為 (答：2)(6) 在等比數(shù)列an中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù) 2n時，S偶=qS奇；項數(shù)為奇數(shù)2n-1時,務(wù)=a1 qS偶 .(7)如果數(shù)列an既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列an是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù) 數(shù)列an僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列aj的前n項和為Sn ( n n ),關(guān)于數(shù)列a有下列三個命題：若an =an 1 (nN)，則 d 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若 Sn二an2 bn a、b R , 則n ?是等差數(shù)列；若Sn=1 -1"，則G ?是等比數(shù)列。這些命題

15、中，真命題的序號是 (答：)三、數(shù)列通項公式的求法一、公式法anS（ n =1）Sn -&4（n- 2）7 / 13# / 13Bn 等差、等比數(shù)列£n 公式8 / 13評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式例 已知數(shù)列an滿足an2an 3 2n, a, =2，求數(shù)列a.的通項公式。an 1 = 2an 3 2轉(zhuǎn)化為1 _戸=?，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出養(yǎng)15-1)|，進而求出數(shù)列9 / 13# / 13an的通項公式。、累加法例已知數(shù)列an滿足an “ =an 2n 1, a! =1，求數(shù)列an的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 4

16、 = an 2n 1轉(zhuǎn)化為an .勺-an = 2n T，進而求出(a. - an)二-a./) 11( (ai - a?) (a? -aj - a1，即得數(shù)列an的通項公式。例已知數(shù)列an滿足anan23n1，a3，求數(shù)列%的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 an an - 2 3n -1轉(zhuǎn)化為an 1 -a2 3n 1， 進而求出an = (an - an)(an J - an)丨1(a3 - a2) (a2 -印) a1，即得數(shù)列 佝的通 項公式。三、累乘法例 已知數(shù)列an滿足an 1=2(n 1)5n務(wù)，a3，求數(shù)列an的通項公式。an評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an

17、2( n 1)5n an轉(zhuǎn)化為旦門=2(n 1)5n，進而求an 4 an -2a2 a1出_a.O3電a1，即得數(shù)列an的通項公式。四、取倒數(shù)法例已知數(shù)列 an中，其中a1 =1,，且當(dāng)an -12an41，求通項公式an。2an41兩邊取倒數(shù)得：-an11丄=2，這說明丄 an 二an是一個等差數(shù)列,11 1首項是丄=1，公差為2，所以丄=（n_1） 2=2n_1，即an丄a1an2n-1五、待定系數(shù)法例 已知數(shù)列an滿足an 2an 3 5n, a 6，求數(shù)列Ca/的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 2an 3 5n轉(zhuǎn)化為an5“ "=2（an - 5n），從而

18、可知數(shù)列an -5n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an -5）的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。例 已知數(shù)列an滿足an 3an 5 2n 4，a1，求數(shù)列a.的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 3an 5 2n 4轉(zhuǎn)化為an 152n13（an52n2），從而可知數(shù)列an52n- 2是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an 5 2n 2的通項公式，最后再求數(shù)列an的通項公式。六、對數(shù)變換法 n5例 已知數(shù)列an滿足an 1 = 2 3 an，a 7，求數(shù)列a.的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an1=2 3n a5轉(zhuǎn)化為lg an q也（n1） 四也2= 5（l

19、gan朋 n也？），從而可知數(shù)列4164n 4164lg an n 也 是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列l(wèi)g an n 朋-的通項41644164公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。七、迭代法例 已知數(shù)列a*滿足an 1 = a,）， a = 5，求數(shù)列a*的通項公式。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式ana3（n 1）2n兩邊取常用對數(shù)得lg an 13（n 1） 2n lg an，即=3（n 1）2n，再由累乘法可推知 lg an11 / 13© a空空川畀 ganj lg an 2lg a?ig an(n 1)3m2巴巴，從而 a* = 52。八、數(shù)學(xué)

20、歸納法例 已知數(shù)列an滿足an 1 = an8(n +1)2 2， (2n 1) (2n 3)8，求數(shù)列 an的通項公式。9解：由 an 1 =an 8(n1)822 及 a，得。0000。(2n 1) (2n 3)9由此可猜測an2= (2n J J，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(2n 1)(1 )當(dāng) n =1 時,2(2 1 1)2 _1 83 = (211丿2 1二8，所以等式成立。(2 11)9(2)假設(shè)當(dāng)n二k時等式成立，即ak =2(2k 1) -1(2 k 1)2，則當(dāng)n = k 1時,ak 1 二 ak8(k 十 1)(2 k 1)2(2k 3)2由此可知，當(dāng)n -k 1時等

21、式也成立。根據(jù)(1), (2)可知，等式對任何 n N*都成立。九、換元法1 !例 已知數(shù)列an滿足an(1 4a ,1 24an), a -1，求數(shù)列a.的通項公式。1解：令 bn1 24an，則 an =刃(b；-1)故 an十=亠(圧十-1)，代入 an+ =2(1+4an +j1+24an)得。即 4b；* = (bn+3)2 241613因為 bn = 1 ' 24an - 0，故 0 1 = 1 24% 1 - 0 則 20bn 3，即 bn_ bn _，1可化為 bm 3=2(bn -3), , 1所以bn -3是以b,-3.：1 24a, -3 i 1 24 1-3=2

22、為首項，以-為公比的等比數(shù)列，因此 bn -3 =2(*)2 =(g)n，則 bn3，即 1 24an 二 g)n， 3，得2/1、n 1、n 丄 1"3(4)(2)3。十、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法 an 1 二 Pan q ; an 1 二 pa. qn : a. 1 二 pa. f(n): a. 2 二 P 6 1 q a.例 已知數(shù)列中，a1 =1,%1 =2a.3，求數(shù)列:a.的通項公式【解析】.a. 12(a.3). a.4 2“=a. = 2“ 1 一 3.【反思歸納】遞推關(guān)系形如“a.d =: pa. q ”適用于待定系數(shù)法或特征根法：令 a. 1 扎二P(a.在a. pa

23、. q中令a. 1二 a.x ，. a. 1 - x = p(a. - x)；1 - p由 a. pa. q 得a. =pa.an* an P(an an)例已知數(shù)列a 中， a1 - 1, a. .1-2a. 3.，求數(shù)列4. 的通項公式.13 / 13# / 13. .-1【解析】；a.1 =2a. 3n，.呼二嘉(3)n，令幕=b.2 2 2 2b. =(b.-b.J(b.-bn<血 f)b1=2(3)2a32n2【反思歸納】遞推關(guān)系形如“a.1 = pa. q. ”通過適當(dāng)變形可轉(zhuǎn)化為:“a.1 二 pa. q ”或“卜一、不動點法例已知數(shù)列a.滿足a. 1 口7a 2A，心，求

24、數(shù)列a.的通項公式。7x_223x -1解：令x，得2x -4x，2=0，貝U x=1是函數(shù)f (x)的不動點。2x+34x + 7因為a. , -1二-1二5a匸總，所以2a.+32a.+32Z1 n J、n 1 an=3(4)(2)3。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將.1 24an的換元為bn，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化13Hi =22形式，從而可知數(shù)列bn -3為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列-3的通項公式,最后再求出數(shù)列an的通項公式。四、數(shù)列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和1、等差數(shù)列求和公式：Sn(a+K)nan(n-1) dSn =小=nc +d2 2na(q=1)2、等比數(shù)列求和公式

25、：Sn =1(1qn)anq (1).1-q1-q”前n個正整數(shù)的和1 2 3 丁丁 n =垃2前n個正整數(shù)的平方和12 22，32 52 = n（n 1）（2n 16前n個正整數(shù)的立方和13 23 3 n3二凹 °22公式法求和注意事項（1）弄準(zhǔn)求和項數(shù)n的值；（2）等比數(shù)列公比q未知時，運用前n項和公式要分類1- -例 已知log 3 x，求x x x亠 亠xn宀的前n項和.log 2 3設(shè) Sn= 1+2+3+n ,n N*,求 f (n)(n 32)Sn!的最大值.f(n)二Sn(n 32)盼n 34 641 1(、n - 8 )250504 n8,8，即n = 8時,f (

26、 n) max50二、錯位相減法求和這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比 q ；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和1 n +1例：(2009全國卷I理)在數(shù)列an中，a1,an(r -)an-n 2a(I )設(shè)bn-，求數(shù)列bn的通項公式(II )求數(shù)列an的前n項和Snn分析：(I )由已知有電！ 魚二.bni -bn1n +1 n 2n2n1 *利用累差迭加即可求出數(shù)列bn的通項公式：bn =2 石(nN )(II )由(I )知 an =2nnn)

27、八(2k)-kAk4nn k而(2kHn(n 1),又二個典型的錯位相減法模型,S = n(n 1)勞一416 / 13三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)， 再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a1 an).例 求證：CO 3C1 - 5C； (2n 1)C： = (n 1)2n證明：設(shè) Sn 二 CO 3C； 5C2(2n T)C；& =(2n +1)C： +(2n -1)C：+ ，3Cn +C0四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個# / 13# / 13等差、等比或常

28、見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1 1 1例7求數(shù)列的前n項和：1 1, 4,飛-7,，u 3n -2， a aa1 1 1二(1 1) (一 4)(飛 7廠(f3n-2)aaa1 12(1 4 7 七3n _ 2)aa(3 n1)n(3n+1) nMin2解：設(shè)SnSna= 1 時,17 / 13當(dāng) a=1 時，Sn 二 daan . (3n-1)n 21 _na-a(3n -1)na -1例：（2010全國卷2文）（18）（本小題滿分12分）已知 an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,1 1 1 1 1且 a1 a = 2() ， a3 a4 a = 64()a?a3a4a51 2（I）求an的通項公式；（n）設(shè)bn =（an），求數(shù)列bn的前n項和。an五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合， 使之能消去一些項,最終達到求和的目的 通項分解（裂項）如:(1)an=f (n 1)-f (n)(2)sin 1tan(n 1) - tan ncosn cos(n 1)(3)an(5)anann(n - 1)(4)(2n)2an1 丄(2n_ 1)(2 n+1)二2 2n -1 2n 1n(n -1)(n2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)2(n1) -