專題一-阿基米德三角形的性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上阿基米德三角形的性質(zhì)阿基米德三角形：拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的 。阿基米德三角形的性質(zhì)：設(shè)拋物線方程為x2=2py，稱弦AB為阿基米德三角形的底邊，M為底邊AB的中點(diǎn)，Q為兩條切線的交點(diǎn)。性質(zhì)1阿基米德三角形底邊上的中線與拋物線的軸 。性質(zhì)2 阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為 。性質(zhì)3 拋物線以C為中點(diǎn)的弦與Q點(diǎn)的軌跡 。性質(zhì)4 若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn) 。性質(zhì)5 底邊

2、長為a的阿基米德三角形的面積的最大值為 。性質(zhì)6 若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為拋物線的 ，且阿基米德三角形的面積的最小值為 。性質(zhì)7 在阿基米德三角形中，QFA=QFB。性質(zhì)8 在拋物線上任取一點(diǎn)I（不與A、B重合），過I作拋物線切線交QA、QB于S、T，則QST的垂心在 上。性質(zhì)9 |AF|·|BF|=|QF|2.性質(zhì)10 QM的中點(diǎn)P在拋物線上，且P處的切線與AB 。性質(zhì)11 在性質(zhì)8中，連接AI、BI，則ABI的面積是QST面積的 倍。高考題中的阿基米德三角形OABPF例1 （2005江西卷，理22題）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線

3、C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方法1：因?yàn)橛捎赑點(diǎn)在拋物線外，則同理有AFP=PFB.方法2：當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：即所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到

4、AFP=PFB例2 (2006全國卷，理21題)已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且（0）過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為（）證明·為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫出Sf()的表達(dá)式，并求S的最小值解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋物線方程為yx2，求導(dǎo)得yx所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2

5、xx22解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)(，1) 4分所以·(，2)·(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以·為定值，其值為07分()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM| 因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當(dāng)1時(shí)，S取得最小值4例3（2007江蘇卷，理19題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若為線

6、段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線；（5分）（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由。（4分）解：（1）設(shè)過C點(diǎn)的直線為，所以，即，設(shè)A，=，因?yàn)椋?，即，所以，即所以?）設(shè)過Q的切線為，所以，即，它與的交點(diǎn)為M，又，所以Q，因?yàn)?所以，所以M,所以點(diǎn)M和點(diǎn)Q重合，也就是QA為此拋物線的切線。（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知Q，因?yàn)镻Q軸，所以因?yàn)?，所以P為AB的中點(diǎn)。例4（2008山東卷，理22題）如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為（）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求此時(shí)拋物線的方程；（）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)

7、在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（）證明：由題意設(shè)由得，得，所以，因此直線的方程為，直線的方程為所以， 由、得，因此，即所以三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列（）解：由（）知，當(dāng)時(shí)，將其代入、并整理得：， ，所以是方程的兩根，因此，又，所以由弦長公式得又，所以或，因此所求拋物線方程為或（）解：設(shè)，由題意得，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，代入得若在拋物線上，則，因此或即或（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)適合題意（2）當(dāng)，對(duì)于，此時(shí)，又，所以，即，矛盾對(duì)于，因?yàn)椋藭r(shí)直線平行于軸， 又，所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)綜上所述，僅存在一點(diǎn)適合題意例5（2008江西卷，理21題）設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，定點(diǎn)(，0) （1）過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，試求的重心所在的曲線方程； （2）求證：三點(diǎn)共線證明：（