第九章 第4節(jié)

1、.第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關系最新考綱1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系；2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；3.初步理解用代數方法處理幾何問題的思想知 識 梳 理1直線與圓的位置關系設圓C：xa2yb2r2，直線l：AxByC0，圓心Ca，b到直線l的間隔 為d，由消去y或x，得到關于x或y的一元二次方程，其判別式為.方法位置關系幾何法代數法相交d<r>0相切dr0相離d>r<02.圓與圓的位置關系設兩個圓的半徑分別為R，r，Rr，圓心距為d，那么兩圓的位置關系可用下表來表示：位置關系相離外切相交內切

2、內含幾何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代數特征無實數解一組實數解兩組實數解一組實數解無實數解公切線條數43210常用結論與微點提醒1關注一個直角三角形當直線與圓相交時，由弦心距圓心到直線的間隔 、弦長的一半及半徑構成一個直角三角形2兩圓相交時公共弦的方程設圓C1：x2y2D1xE1yF10，圓C2：x2y2D2xE2yF20，假設兩圓相交，那么有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由所得，即：D1D2xE1E2yF1F20.診 斷 自 測1考慮辨析在括號內打“或“×1“k1是“直線xyk0與圓x2y21相交的必要不充分條件2假如兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數解，那么兩圓外切

3、3假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，那么兩圓相交4從兩相交圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程5過圓O：x2y2r2上一點Px0，y0的圓的切線方程是x0xy0yr2.解析1“k1是“直線xyk0與圓x2y21相交的充分不必要條件2除外切外，還有可能內切3兩圓還可能內切或內含答案1×2×3×452假設直線xy10與圓xa2y22有公共點，那么實數a的取值范圍是A3，1 B1，3C3，1 D，31，解析由題意可得，圓的圓心為a，0，半徑為，即|a1|2，解得3a1.答案C3直線3x4yb與圓x2y22x2y10相切，那么b的值是A2

4、或12 B2或12C2或12 D2或12解析圓的標準方程為x12y121，圓心1，1到直線3x4yb的間隔 為1，解得b2或b12，應選D.答案D42019·嘉興月考在坐標平面內，與點A1，2間隔 為1，且與點B3，1的間隔 為2的直線共有_條解析分別以A，B為圓心，以1，2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條答案25假設直線3x4y50與圓x2y2r2r>0相交于A，B兩點，且AOB120°O為坐標原點，那么r_解析如圖，過O點作ODAB于D點，在RtDOB中，DOB60°，DBO30°，又|OD|1，r2|OD|2.答案26必修2P133A9改編圓x

5、2y240與圓x2y24x4y120的公共弦所在直線的方程為_；公共弦長為_解析由相減得xy20，即為兩圓公共弦所在的直線方程又圓x2y24的圓心到直線xy20的間隔 為.由勾股定理得弦長的一半為，所以，所求弦長為2.答案xy202考點一直線與圓的位置關系【例1】 1點Ma，b在圓O：x2y21外，那么直線axby1與圓O的位置關系是A相切 B相交C相離 D不確定2一題多解圓x2y21與直線ykx2沒有公共點的充要條件是_解析1因為Ma，b在圓O：x2y21外，所以a2b21，而圓心O到直線axby1的間隔 d1，故直線與圓O相交. 2法一將直線方程代入圓方程，得k21x24kx30，直線與圓

6、沒有公共點的充要條件是16k212k210，解得k.法二圓心0，0到直線ykx2的間隔 d，直線與圓沒有公共點的充要條件是d1，即1，解得k.答案1B2k規(guī)律方法判斷直線與圓的位置關系的常見方法1幾何法：利用d與r的關系2代數法：聯(lián)立方程之后利用判斷3點與圓的位置關系法：假設直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題【訓練1】 1“a3是“直線yx4與圓xa2y328相切的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件2直線yxm與圓x2y21在第一象限內有兩個不同的交點，那么m的取值范圍是A，2 B，3C.

7、 D.解析1假設直線yx4與圓xa2y328相切，那么有2，即|a1|4，所以a3或5.但當a3時，直線yx4與圓xa2y328一定相切，故“a3是“直線yx4與圓xa2y328相切的充分不必要條件2當直線經過點0，1時，直線與圓有兩個不同的交點，此時m1；當直線與圓相切時有圓心到直線的間隔 d1，解得m切點在第一象限，所以要使直線與圓在第一象限內有兩個不同的交點，那么1m.答案1A2D考點二圓的切線、弦長問題【例2】 1過點3，1作圓x22y224的弦，其中最短弦的長為_2過點P2，4引圓x12y121的切線，那么切線方程為_解析1設P3，1，圓心C2，2，那么|PC|，半徑r2，由題意知最

8、短的弦過P3，1且與PC垂直，所以最短弦長為22.2當直線的斜率不存在時，直線方程為x2，此時，圓心到直線的間隔 等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線方程為y4kx2，即kxy42k0，直線與圓相切，圓心到直線的間隔 等于半徑，即d1，解得k，所求切線方程為xy42×0，即4x3y40.綜上，切線方程為x2或4x3y40.答案122x2或4x3y40規(guī)律方法1弦長的兩種求法代數方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程在判別式0的前提下，利用根與系數的關系，根據弦長公式求弦長幾何方法：假設弦心距為d，圓的半徑長為r，那么弦長l2.2圓的切線方

9、程的兩種求法代數法：設切線方程為yy0kxx0，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式0進而求得k.幾何法：設切線方程為yy0kxx0，利用點到直線的間隔 公式表示出圓心到切線的間隔 d，然后令dr，進而求出k.【訓練2】 12019·全國卷設直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，假設|AB|2，那么圓C的面積為_2過原點O作圓x2y26x8y200的兩條切線，設切點分別為P，Q，那么線段PQ的長為_解析1圓C：x2y22ay20，即C：x2ya2a22，圓心為C0，a，半徑r，C到直線yx2a的間隔 為d.又由|AB|2，得a22，解得a2

10、2，所以圓的面積為a224.2將圓的方程化為標準方程為x32y425，那么圓心為3，4，半徑長為.由題意可設切線的方程為ykx，那么圓心3，4到直線ykx的間隔 等于半徑長，即，解得k或k，那么切線的方程為yx或yx.聯(lián)立切線方程與圓的方程，解得兩切點坐標分別為4，2，此即為P，Q的坐標，由兩點間的間隔 公式得|PQ|4.答案1424考點三圓與圓的位置關系【例3】 2019·浙江五校聯(lián)考兩圓x2y22x6y10，x2y210x12ym0.1m取何值時兩圓外切？2m取何值時兩圓內切？3當m45時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長解因為兩圓的標準方程分別為x12y3211，x52

11、y6261m，所以兩圓的圓心分別為1，3，5，6，半徑分別為，1當兩圓外切時，由，得m2510.2當兩圓內切時，因為定圓半徑小于兩圓圓心之間的間隔 5，所以5，解得m2510.3由x2y22x6y1x2y210x12y450，得兩圓的公共弦所在直線的方程為4x3y230.故兩圓的公共弦的長為22.規(guī)律方法1判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的間隔 與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法2假設兩圓相交，那么兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到【訓練3】 12019·山東卷圓M：x2y22ay0a0截直線xy0所得線段的長度是2，那么圓M與圓N：

12、x12y121的位置關系是A內切 B相交C外切 D相離22019·寧波調研圓C1：xa2y224與圓C2：xb2y221 相外切，那么ab的最大值為A. B. C. D2解析1圓M：x2ya2a2，圓心坐標為M0，a，半徑r1為a，圓心M到直線xy0的間隔 d，由幾何知識得2a2，解得a2.M0，2，r12.又圓N的圓心坐標N1，1，半徑r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，兩圓相交，應選B.2由圓C1與圓C2相外切，可得213，即ab29，根據根本不等式可知ab，當且僅當ab時等號成立答案1B2C根底穩(wěn)固題組一、選擇題12019·溫州模擬假設

13、直線yxb與圓x2y21有公共點，那么實數b的取值范圍是A1，1 B0，1C0， D，解析由題意可知圓的圓心坐標為0，0，半徑為1，因為直線yxb與圓x2y21有公共點，所以1，解得b.答案D2圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長度為4，那么實數a的值是A2 B4 C6 D8解析將圓的方程化為標準方程為x12y122a，所以圓心為1，1，半徑r，圓心到直線xy20的間隔 d，故r2d24，即2a24，所以a4，應選B.答案B32019·金華調研過點3，1作圓x12y2r2的切線有且只有一條，那么該切線的方程為A2xy50 B2xy70Cx2y50 Dx2y70解析過點3，1

14、作圓x12y2r2的切線有且只有一條，點3，1在圓x12y2r2上，圓心與切點連線的斜率k，切線的斜率為2，那么圓的切線方程為y12x3，即2xy70.應選B.答案B4圓x22xy24y30上到直線xy10的間隔 為的點共有A1個 B2個 C3個 D4個解析圓的方程化為x12y228，圓心1，2到直線間隔 d，半徑是2，結合圖形可知有3個符合條件的點答案C52019·溫州調研過點P1，2作圓C：x12y21的兩條切線，切點分別為A，B，那么AB所在直線的方程為Ay ByCy Dy解析圓x12y21的圓心為1，0，半徑為1，以|PC|2為直徑的圓的方程為x12y121，將兩圓的方程相減

15、得AB所在直線的方程為2y10，即y. 應選B.答案B62019·浙東北教聯(lián)一模設直線l：3x4ya0，圓C：x22y22，假設在圓C上存在兩點P，Q，在直線l上存在一點M，使得PMQ90°，那么a的取值范圍是A18，6B65，65C16，4D65，65解析設直線l：3x4ya0上任意一點M1.當M1Q，M1P分別與圓相切時，PM1Q最大，隨著M1的運動，當CM1與直線l垂直時，PM1Q取到最大值，此時四邊形CPM1Q為正方形，CM12.利用點到直線的間隔 公式得2，解得a16或a4，只需PM1Q90°，即CM12，即可存在點M滿足題意，所以a的取值范圍是16，4

16、答案C二、填空題72019·全國卷 已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，那么|CD|_解析設Ax1，y1，Bx2，y2，由得y23y60，解得y1，y22，A3，B0，2過A，B作l的垂線方程分別為yx3，y2x，令y0，得xC2，xD2，|CD|224.答案482019·寧波調研點P在圓C1：x2y28x4y110上，點Q在圓C2：x2y24x2y10上，那么|PQ|的最小值是_；|PQ|的最大值是_解析把圓C1、圓C2的方程都化成標準形式，得x42y229，x22y124.圓C1的圓心坐標是4，2，半徑長是3；

17、圓C2的圓心坐標是2，1，半徑長是2.圓心距d3.所以，|PQ|的最小值是35，|PQ|的最大值為35.答案35359由直線yx1上的一點向圓x32y21引切線，那么切線長的最小值為_. 解析設直線上一點為P，切點為Q，圓心為M，那么|PQ|即切線長，MQ為圓M的半徑，長度為1，|PQ|.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉化為求直線yx1上的點到圓心M的最小間隔 設圓心到直線yx1的間隔 為d，那么d2.所以|PM|的最小值為2.所以|PQ|.答案102019·浙江三市聯(lián)考圓C：xa2yb22，圓心C在曲線yx1，2上，那么ab_，直線l：x2y0被圓C所截得的弦長的取值

18、范圍是_解析由題意得b，且a1，2，所以ab1.圓心C到直線l的間隔 d，所以直線l被圓C所截得的弦長t22，當a1，2時，a2，3，所以t.答案1三、解答題11一題多解直線l：ykx1，圓C：x12y1212.1試證明：不管k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點；2求直線l被圓C截得的最短弦長法一1證明由消去y得k21x224kx70，因為24k228k21>0，所以不管k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點2解設直線與圓交于Ax1，y1，Bx2，y2兩點，那么直線l被圓C截得的弦長|AB|x1x2|22 ，令t，那么tk24kt30，當t0時，k，當t0時，因為kR，所以164tt30，

19、解得1t4，且t0，故t的最大值為4，此時|AB|最小為2.法二1證明因為不管k為何實數，直線l總過點P0，1，而|PC|<2R，所以點P0，1在圓C的內部，即不管k為何實數，直線l總經過圓C內部的定點P.所以不管k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點2解由平面幾何知識知過圓內定點P0，1的弦，只有與PCC為圓心垂直時才最短，而此時點P0，1為弦AB的中點，由勾股定理，知|AB|22，即直線l被圓C截得的最短弦長為2.12過點A0，1且斜率為k的直線l與圓C：x22y321交于M，N兩點1求k的取值范圍；2假設·12，其中O為坐標原點，求|MN|.解1易知圓心坐標為2，3，半徑r

20、1，由題設，可知直線l的方程為ykx1，因為l與C交于兩點，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.2設Mx1，y1，Nx2，y2將ykx1代入方程x22y321，整理得1k2x241kx70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y21k2x1x2kx1x218.由題設可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以|MN|2.才能提升題組13一條光線從點2，3射出，經y軸反射后與圓x32y221相切，那么反射光線所在直線的斜率為A或 B或C或 D或解析由，得點2，3關于y軸的對稱點為2，3，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點2，3

21、設反射光線所在直線的斜率為k，那么反射光線所在直線的方程為y3kx2，即kxy2k30.由反射光線與圓相切，那么有d1，解得k或k，應選D.答案D14兩圓x2y22axa240 和x2y24by14b20恰有三條公切線，假設aR，bR且ab0，那么的最小值為A1 B3 C. D.解析x2y22axa240，即xa2y24，x2y24by14b20，即x2y2b21.依題意可得，兩圓外切，那么兩圓圓心間隔 等于兩圓的半徑之和，那么123，即a24b29，所以1，當且僅當，即a±b時取等號答案A152019·紹興檢測在平面直角坐標系xOy中，點A0，3，直線l：y2x4，設圓C的半徑為1，圓心C在直線l上，假設圓C上存在點M，使|MA|2|MO|，那么圓心C的橫坐標的取值范圍是_解析設點Mx，y，因為|MA|2|MO|，所以2，整理得x2y124，所以點M的軌跡是以P0，1為圓心，半徑為2的圓設圓C的圓心Ct，2t4由題意可得圓C與圓P至少有一個公共點，所以13，解得t.所以圓心C的橫坐標的取值范圍是.答案162