綿陽一診數(shù)學(xué)試題及答案

1、綿陽市高2013級第一次診斷性考試數(shù)學(xué)(文史類)參考解答及評分標準一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分CBCBD BACCC二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分111213a2147 15三、解答題：本大題共6小題，共75分 16解 ：（1） mn， m·n=(cos，1-sin)·(-cos，sin)=0，即-cos2+sin-sin2=0 3分由sin2+cos2=1，解得sin=1， ，kZ.6分（2） m-n=(2cos，1-2sin)， |m-n|=， 9分 5-4sin=3，即得， 12分17解：（1）由已知an+1=2an+1，可得a

2、n+1+1=2(an+1) （常數(shù)）3分此時，數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列， ，于是an=2n-1 6分（2）.7分 ，兩邊同乘以，得兩式相減得 ，12分18解：（1）設(shè)第n年的受捐貧困生的人數(shù)為an，捐資總額為bn則an=80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n. 2分 當a=10時，an=10n+70， ，解得：n>8 5分即從第9年起每年的受捐大學(xué)生人均獲得的獎學(xué)金才能超過0.8萬元 6分（2）由題意：(n>1)，即 ，8分整理得 (5+n)80+(n-1)a-(4+n)(80+na)>0，即400+5na-5a+80n+n2a-n

3、a-320-4na-80n-n2a>0，化簡得80-5a>0，解得a<16，11分 要使人均獎學(xué)金年年有增加，資助的大學(xué)生每年凈增人數(shù)不超過15人  12分19解：（1）在RtABC中，AC=ABcos60º=，. ， =9+2×3×cos120º=6. 4分（2）在ACD中，ADC=180º-A-DCA=120º-，由正弦定理可得，即. 5分在AEC中，ACE=+30º，AEC=180º-60º-(+30º)=90º-，由正弦定理可得：，即， 6

4、分 ，7分令f()=sin(120º-)cos，0º60º， f()=(sin120ºcos-cos120ºsin)cos，10分由0º60º，知60º2+60º180º， 0sin(2+60º)1， f()， ， ，即的最小值為12分20解：（1），由題意得3ax2+bx+c0的解集為x|-2x1， a<0，且方程3ax2+bx+c=0的兩根為-2，1于是，得b=3a，c=-6a2分 3ax2+bx+c<0的解集為x|x<-2或x>1， f(x)在(-，-2)

5、上是減函數(shù)，在-2，1上是增函數(shù)，在(1，+)上是減函數(shù) 當x=-2時f(x)取極小值，即-8a+2b-2c-1=-11，把b=3a，c=-6a，代入得-8a+6a+12a-1=-11，解得a=-1 5分（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，即 7分令， 列表如下：x(-，-2)-2(-2，1)1(1，+)+0-0+g(x)極大值極小值 g(x)在-3，-2是增函數(shù)，在-2，0上是減函數(shù)11分又，g(-2)=10，g(0)=0，由題意知直線y=m與曲線有兩個交點，于是<m<10.13分21解：（1） ，x>0， 當a<0時，即f(x)在(0，+)上是增函數(shù)當a&

6、gt;0時， x(0，)時，f(x)在(0，)上是增函數(shù)；x(，+) 時，f(x)在(，+)上是減函數(shù) 綜上所述，當a<0時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+)；當a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，+)5分（2）當a=1時， ， .要證，即證，因，即證，令()，即證().令()，由(1)知，在(1，+)上單調(diào)遞減， 即， 令()，則>0，在(1，+)上單調(diào)遞增，=0，即() 綜得()，即9分（3）由已知即為，x>1，即，x>1令，x>1，則當k0時，故在(1，+)上是增函數(shù)，由 g(1)=-1-k+2k=k-1>0，

7、則k>1，矛盾，舍去當k>0時，由>0解得x>ek，由<0解得1<x<ek，故在(1，ek)上是減函數(shù)，在(ek，+)上是增函數(shù)， min=g(ek)=2k-ek即討論min=2k-ek>0(k>0)恒成立，求k的最小值令h(t)=2t-et，則，當>0，即t<ln2時，h(t)單調(diào)遞增，當<0，即t>ln2時，h(t)單調(diào)遞減， t=ln2時，h(t)max=h(ln2)=2ln2-2. 1<ln2<2， 0<2ln2-2<2又 h(1)=2-e<0，h(2)=4-e2<0， 不

8、存在整數(shù)k使2k-ek>0成立綜上所述，不存在滿足條件的整數(shù)k14分綿陽市高2013級第一次診斷性考試數(shù)學(xué)(理工類)參考解答及評分標準一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分CDADD BACBC二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分111213a2142 15三、解答題：本大題共6小題，共75分 16解 ：（1） mn， m·n=(cos，1-sin)·(-cos，sin)=0，即-cos2+sin-sin2=0 3分由sin2+cos2=1，解得sin=1， ，kZ.6分（2） m-n=(2cos，1-2sin)， |m-n|=， 9分 5-4

9、sin=3，即得， 12分17解：（1）由已知an+1=2an+，可得an+1+=2(an+) a1=1，當a1+=0，即=-1時，an+=0，此時an+不是等比等列 3分當a1+0，即-1時，（常數(shù)）此時，數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列， ，于是 6分（2）當=1時，an=2n-1， . 7分 ，兩邊同乘以，得兩式相減得 ，12分18解：（1）設(shè)第n年的受捐貧困生的人數(shù)為an，捐資總額為bn則an =80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n. 2分 當a=10時，an=10n+70， ，解得：n>8 5分即從第9年起受捐大學(xué)生人均獲得的獎學(xué)金才能超過

10、0.8萬元 6分（2）由題意：，即 ，8分整理得 (5+n)80+(n-1)a-(4+n)(80+na)>0，即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0，化簡得80-5a>0，解得a<16，11分 要使人均獎學(xué)金年年有增加，資助的大學(xué)生每年凈增人數(shù)不超過15人12分19解：（1）在RtABC中，AC=ABcos60º=，. ， =9+2×3×cos120º=6.4分（2）在ACD中，ADC=180º-A-DCA=120º-，由正弦定理可得，即. 5分在AEC中，ACE=+3

11、0º，AEC=180º-60º-(+30º)=90º-，由正弦定理可得：，即， 6分 ， 7分令f()=sin(120º-)cos，0º60º， f()=(sin120ºcos-cos120ºsin)cos，10分由0º60º，知60º2+60º180º， 0sin(2+60º)1， f()， ， 12分20解：（1），由題意得3ax2+bx+c0的解集為x|-2x1， a<0，且方程3ax2+bx+c=0的兩根為-2，1于是，得

12、b=3a，c=-6a. 2分 3ax2+bx+c<0的解集為x|x<-2或x>1， f(x)在(-，-2)上是減函數(shù)，在-2，1上是增函數(shù)，在(1，+)上是減函數(shù) 當x=-2時f(x)取極小值，即-8a+2b-2c-1=-11，把b=3a，c=-6a代入得-8a+6a+12a-1=-11，解得a=-1.5分（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，即 7分令， 列表如下：x(-，-2)-2(-2，1)1(1，+)+0-0+g(x)極大值極小值 g(x)在-3，-2是增函數(shù)，在-2，0上是減函數(shù)11分又，g(-2)=10，g(0)=0，由題意，知直線y=m與曲線僅有一個交點

13、，于是m=10或0<m<. 13分21解：（1），當x(-1，0)時，即f(x)在(-1，0)上是增函數(shù)，當x(0，+)時，即f(x)在(0，+)上是減函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，0)，單調(diào)遞減函數(shù)區(qū)間為(0，+)3分（2）由f(x-1)+x>k變形得，整理得xlnx+x-kx+3k>0，令g(x)=xlnx+x-kx+3k，則 x>1， lnx>0若k2時，恒成立，即g(x)在(1，+)上遞增， 由g(1)>0即1+2k>0解得， 又 kZ， k的最大值為2若k>2時，由lnx+2-k>0解得x>，由lnx+2-k&

14、lt;0，解得1<x<.即g(x)在(1，)上單調(diào)遞減，在(，+)上單調(diào)遞增 g(x)在(1，+)上有最小值g()=3k-，于是轉(zhuǎn)化為3k->0(k>2)恒成立，求k的最大值令h(x)=3x-，于是 當x>2+ln3時，h(x)單調(diào)遞減，當x<2+ln3時，h(x)單調(diào)遞增 h(x)在x=2+ln3處取得最大值 1<ln3<2， 3<2+ln3<4， ，h(2+ln3)=3+3ln3>0，h(4)=12-e2>0，h(5)=15-e3<0， k4 k的最大取值為4 綜上所述，k的最大值為4.9分（3）假設(shè)存在這樣的x0滿足題意，則由等價于（*）要找一個x0>0，使(*)式成立，只需找到當x>0時，函數(shù)h(x)= 的最