信號(hào)與線性系統(tǒng)

1、教材內(nèi)容綱要教材內(nèi)容綱要 緒論緒論第一章第一章 第二章第二章 第七章 信號(hào)分解 第三章 付氏變換 第四章拉普拉斯 變換 第五章系統(tǒng)函數(shù) 第六章 狀態(tài)變量 第十一章付氏變換付氏變換 Z Z變換變換 第八第八九九章章基本概念引導(dǎo)基本概念引導(dǎo) 核心內(nèi)容核心內(nèi)容 應(yīng)用和拓寬應(yīng)用和拓寬 加深部分加深部分Compendium of textbook教材內(nèi)容綱要教材內(nèi)容綱要第二章第二章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析 會(huì)建立描述系統(tǒng)激勵(lì)會(huì)建立描述系統(tǒng)激勵(lì)e(t)與響應(yīng)與響應(yīng)r(t)關(guān)系的微分方程，深刻理解轉(zhuǎn)移算關(guān)系的微分方程，深刻理解轉(zhuǎn)移算 子子H(p)的意義與應(yīng)用。的意義與應(yīng)用。 深刻理解系

2、統(tǒng)的特征多項(xiàng)式、特征方程、特征根的深刻理解系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式、特征方程、特征根的(自然頻率自然頻率)的意的意 義，并會(huì)求解。義，并會(huì)求解。 深刻理解系統(tǒng)的全響應(yīng)深刻理解系統(tǒng)的全響應(yīng), r(t)可分解為：零輸入響應(yīng)可分解為：零輸入響應(yīng) rzi(t)與零狀態(tài)響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng) rzs(t)；自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)；瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。；自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)；瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 會(huì)根據(jù)微分方程的特征根與已知的系統(tǒng)的初始條件，求解系統(tǒng)的零輸會(huì)根據(jù)微分方程的特征根與已知的系統(tǒng)的初始條件，求解系統(tǒng)的零輸 入響應(yīng)入響應(yīng)rzi(t)。 深刻理解單位沖激響應(yīng)深刻理解單位沖激響應(yīng)h(t)的意義，并會(huì)求解。的意義，并會(huì)求解

3、。 深刻理解卷積積分的定義、運(yùn)算規(guī)律及主要性質(zhì)，能會(huì)求解卷積積分。深刻理解卷積積分的定義、運(yùn)算規(guī)律及主要性質(zhì)，能會(huì)求解卷積積分。 會(huì)應(yīng)用卷積積分法求線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)會(huì)應(yīng)用卷積積分法求線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)。基本要求：基本要求：2.1 引 言2.2 系統(tǒng)方程的算子表示法2.3 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2.4 奇異函數(shù)2.5 信號(hào)的脈沖分解2.6 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)2.7 疊加積分2.8 卷積及其性質(zhì)2.9 線性系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)域求解第二章第二章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析系統(tǒng)分析的基本任務(wù)是在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)分析的基本任務(wù)是在給定系

4、統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析法：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析法： 在系統(tǒng)的整個(gè)分析過程都在連續(xù)時(shí)間域進(jìn)行，即所涉及的函在系統(tǒng)的整個(gè)分析過程都在連續(xù)時(shí)間域進(jìn)行，即所涉及的函數(shù)自變量均為連續(xù)時(shí)間數(shù)自變量均為連續(xù)時(shí)間 t 的一種分析方法。的一種分析方法。 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的變換域分析法：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的變換域分析法： 為便于求解方程而將時(shí)間變量變換成其他變量為便于求解方程而將時(shí)間變量變換成其他變量。2.1 引引 言言連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析方法連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析方法: 時(shí)域分析法時(shí)域分析法;變換域分析法變換域分析法所謂所謂系統(tǒng)的模型系統(tǒng)的模型是指對(duì)系統(tǒng)物理特性的抽象，用數(shù)學(xué)表達(dá)式或具

5、有是指對(duì)系統(tǒng)物理特性的抽象，用數(shù)學(xué)表達(dá)式或具有理想特性的符號(hào)圖形來表征系統(tǒng)特性。理想特性的符號(hào)圖形來表征系統(tǒng)特性。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型-以數(shù)學(xué)表達(dá)式表征系統(tǒng)特性。以數(shù)學(xué)表達(dá)式表征系統(tǒng)特性。)()(1)()(tediCtRidttdiLt舉例舉例1：RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路dttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(22一、建立數(shù)學(xué)模型一、建立數(shù)學(xué)模型: 線性系統(tǒng)輸入線性系統(tǒng)輸入輸出方程輸出方程/狀態(tài)方程狀態(tài)方程 數(shù)學(xué)模型的建立過程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)。對(duì)電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立過程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)。對(duì)電系統(tǒng)而言，而言，電路分析電路分析課程中已經(jīng)提供了相應(yīng)的理論和方法，課程中已經(jīng)提供了相

6、應(yīng)的理論和方法，主要有主要有KCL和和KVL方程方程)(teR( )i tCL或選取變量：電流選取變量：電流i(t)列方程列方程 舉例舉例2：雙耦合電路：雙耦合電路對(duì)圖示電路列寫電流和電壓的微分方程。對(duì)圖示電路列寫電流和電壓的微分方程。)(te0( )u tR)(1tiRLM)(2tiCCL1211( )( )1( )( )( )tdi tdi tidLRi tMe tCdtdt解：解：選取變量：電流選取變量：電流i1(t) 、i2(t)列方程列方程 由兩類約束關(guān)系，分別列兩回路方程得：由兩類約束關(guān)系，分別列兩回路方程得： 回路回路1的的KVL方程：方程：電阻電阻R R的伏安關(guān)系：的伏安關(guān)系：

7、整理后得：整理后得：2122( )( )1( )( )0tdi tdi tidLRi tMcdtdt02( )utRi t（ ）)t (iCdt)t (diCRdt)t (id)CLR(dt)t (idRLdt)t (idML1212122313414221222）（2233441dt)t (edCdt)t (edRdt)t (edL回路回路2 2的的KVLKVL方程：方程：43232222222243223( )( )( )( )221( )2()( )d i td i td i tdi tLRd e tLMRLRi tMdtdtCdtCdtCdt（）43232220000043223221

8、( )2()d ud ud uduLRd e tLMRLRuRMdtdtCdtCdtCdt（）)(te0( )u tR)(1tiRLM)(2tiCCL舉例舉例3. 對(duì)圖示電路，寫出激勵(lì)對(duì)圖示電路，寫出激勵(lì)e(t)和響應(yīng)和響應(yīng)r(t)間的微分方程。間的微分方程。)(ti)(te2CLR)(tr解：由圖列方程).().t( iR)t(rdt)t(drC22KCL:).().t ( e)t ( rdt)t (diL1 KVL:)t ( e)t ( rdt)t (drRLdt)t ( rdLC222將（2）式兩邊微分，得 ).(.dt)t (didt)t (drRdt)t ( rdC31222將（3）

9、代入（1）得* *由以上例題可以得出如下結(jié)論：由以上例題可以得出如下結(jié)論：1.1.求得的微分方程階數(shù)與電路的階數(shù)一致。求得的微分方程階數(shù)與電路的階數(shù)一致。 例例2：含有：含有4個(gè)儲(chǔ)能元件，故為四階電路。個(gè)儲(chǔ)能元件，故為四階電路。 例例3：含有：含有2個(gè)儲(chǔ)能元件，故為二階電路。個(gè)儲(chǔ)能元件，故為二階電路。2.2.無論是電流無論是電流i(t)或電壓或電壓 u(t),他們的齊次方程相同。他們的齊次方程相同。說明同一系統(tǒng)的特征根相同，即自由頻率是唯一的。說明同一系統(tǒng)的特征根相同，即自由頻率是唯一的。推廣到一般推廣到一般： 對(duì)于一線性系統(tǒng)其激勵(lì)和響應(yīng)函數(shù)或輸入函數(shù)與輸出函數(shù)之對(duì)于一線性系統(tǒng)其激勵(lì)和響應(yīng)函數(shù)

10、或輸入函數(shù)與輸出函數(shù)之間的關(guān)系，總可用下列的微分方程間的關(guān)系，總可用下列的微分方程輸入輸入輸出方程描述輸出方程描述：ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111 n 階常系數(shù)線性微分方程階常系數(shù)線性微分方程1)()(00)()(nnimjjjiiatebtra全響應(yīng)全響應(yīng)= =齊次方程通解齊次方程通解+ +非齊次方程特解非齊次方程特解（自由響應(yīng)）（受迫響應(yīng)）全響應(yīng)全響應(yīng)= =零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+ +零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)（解齊次方程）（疊加積分法） 卷積，杜阿美爾積分時(shí)域分析法時(shí)域分析法變換域法變換域法（傅氏變換 拉普拉斯變換法）

11、微分方程求解微分方程求解二二、常系數(shù)常系數(shù)n 階線性常微分方程的求解方法階線性常微分方程的求解方法（經(jīng)典法）古典解法解題過程：古典解法解題過程：齊次方程的齊次方程的通解通解：為：為n個(gè)指數(shù)項(xiàng)之和，其包含的個(gè)指數(shù)項(xiàng)之和，其包含的n個(gè)待定常數(shù)，個(gè)待定常數(shù)， 要用要用n個(gè)初始條件確定。個(gè)初始條件確定。 該部分解為系統(tǒng)的自然響應(yīng)或自由響應(yīng)。該部分解為系統(tǒng)的自然響應(yīng)或自由響應(yīng)。非齊次方程的非齊次方程的特解特解 ：可根據(jù)系統(tǒng)激勵(lì)函數(shù)的具體形式求取。：可根據(jù)系統(tǒng)激勵(lì)函數(shù)的具體形式求取。 該部分解為系統(tǒng)的受迫響應(yīng)。該部分解為系統(tǒng)的受迫響應(yīng)。根據(jù)不同觀點(diǎn)根據(jù)不同觀點(diǎn),全響應(yīng)可分解為全響應(yīng)可分解為：自由：自由響應(yīng)

12、分量響應(yīng)分量和強(qiáng)迫響應(yīng)分量；和強(qiáng)迫響應(yīng)分量； 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分量；零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分量； 暫態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。暫態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。1.時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1) 古典解法（直接解法）古典解法（直接解法）系統(tǒng)系統(tǒng)建立微分方程建立微分方程求非齊次方程特解求非齊次方程特解求齊次方程通解求齊次方程通解全響應(yīng)全響應(yīng)2) 疊加積分法（卷積積分、杜阿美爾積分）疊加積分法（卷積積分、杜阿美爾積分）2. 變換域法變換域法 系統(tǒng)方程為高階微分方程或激勵(lì)信號(hào)是較為復(fù)雜的函數(shù)，利系統(tǒng)方程為高階微分方程或激勵(lì)信號(hào)是較為復(fù)雜的函數(shù)，利用時(shí)域法求解方程十分困難。為求解方程常采用變換域的方法。用

13、時(shí)域法求解方程十分困難。為求解方程常采用變換域的方法。即將自變量從時(shí)間變量變換為頻率變量、復(fù)頻率變量等即將自變量從時(shí)間變量變換為頻率變量、復(fù)頻率變量等.如：傅氏變換、拉氏變化等如：傅氏變換、拉氏變化等 將求系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)換求代數(shù)方程將求系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)換求代數(shù)方程系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：當(dāng)系統(tǒng)外加激勵(lì)信號(hào)為零時(shí)由初始狀態(tài)當(dāng)系統(tǒng)外加激勵(lì)信號(hào)為零時(shí)由初始狀態(tài) 單獨(dú)作用產(chǎn)生的響應(yīng)。單獨(dú)作用產(chǎn)生的響應(yīng)。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí)由外加激勵(lì)信號(hào)當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí)由外加激勵(lì)信號(hào) 單獨(dú)作用產(chǎn)生的響應(yīng)。單獨(dú)作用產(chǎn)生的響應(yīng)。求解方法：求解方法： 激勵(lì)激勵(lì)e(t)為零

14、，只需求解齊次方程的解，為零，只需求解齊次方程的解， 并利用初始條件確定解中的待定系數(shù)。并利用初始條件確定解中的待定系數(shù)。求解方法：求解方法： 需求含有激勵(lì)函數(shù)而初始條件為零的非齊次方程的解。需求含有激勵(lì)函數(shù)而初始條件為零的非齊次方程的解。 方法方法1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法: A直接解方程法直接解方程法 B疊加積分法疊加積分法(卷積積分、杜阿美爾積分卷積積分、杜阿美爾積分) 方法方法2 變換域法變換域法零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解1. 微分、積分算子定義微分、積分算子定義 在在n 階常系數(shù)線性常微分方程式階常系數(shù)線性常微分方程式 中的中的 和和 為時(shí)域中的微分運(yùn)算符

15、號(hào)為時(shí)域中的微分運(yùn)算符號(hào),為方便起見為方便起見,把把微分運(yùn)算符號(hào)微分運(yùn)算符號(hào)用用p 表示，表示，即令：即令：把把積分算子符號(hào)用積分算子符號(hào)用1/p表示，表示，即令：即令： n 階常系數(shù)線性常微分方程式的簡(jiǎn)化形式如下：階常系數(shù)線性常微分方程式的簡(jiǎn)化形式如下： dtdpdt1ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111nndtdpdtdnnndpdt= =ebpbpbpbrapapapmmmmnnn)()(011101112.2 系統(tǒng)方程的算子表示法系統(tǒng)方程的算子表示法一、一、 微分、積分算子定義微分、積分算子定義 規(guī)則規(guī)則 1 以以

16、 p 的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像 代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相乘和因式分解。代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相乘和因式分解。 mp+np=(m+n)p pmpn=p(m+n) , 其中其中m,n 為任意整數(shù)為任意整數(shù) 例如例如: )()2)(2()()4()()65()()3)(2(22trpptrptepptepp規(guī)則規(guī)則 2 設(shè)設(shè)A(p)和和B(p)是是p的正冪多項(xiàng)式，的正冪多項(xiàng)式，)()()()()()(trpApBtrpBpA二、微分、積分算子的運(yùn)算規(guī)則二、微分、積分算子的運(yùn)算規(guī)則規(guī)則規(guī)則 3 微分算子方程等號(hào)兩邊微分算子方程等號(hào)兩邊 p 的公因式不能隨

17、便消去的公因式不能隨便消去。 例如方程例如方程 )(1)(1tprptrpp規(guī)則規(guī)則 4 對(duì)函數(shù)進(jìn)行先除后乘算子對(duì)函數(shù)進(jìn)行先除后乘算子 p 的運(yùn)算時(shí)，公式的分子與分母的運(yùn)算時(shí)，公式的分子與分母 中共有中共有 p 算子允許消去。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行先乘后除運(yùn)算時(shí)算子允許消去。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行先乘后除運(yùn)算時(shí),則則 不能相消不能相消.也就是說也就是說,對(duì)函數(shù)乘除算子對(duì)函數(shù)乘除算子p的順序不能隨意顛倒的順序不能隨意顛倒可見可見:大部分代數(shù)運(yùn)算法則可以使用，但是有一些不能用大部分代數(shù)運(yùn)算法則可以使用，但是有一些不能用( )( )r te tc)()(tpetpr對(duì)于對(duì)于n 階連續(xù)系統(tǒng)階連續(xù)系統(tǒng),其輸入其輸入-輸出方

18、程是輸出方程是n 階線性常系數(shù)微分方程階線性常系數(shù)微分方程若設(shè)系統(tǒng)輸入為若設(shè)系統(tǒng)輸入為e(t)，輸出為，輸出為r(t)，則可表示為：，則可表示為：ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111利用微分算子將上式表示成：利用微分算子將上式表示成： ebpbpbpbrapapapmmmmnnn)()(01110111或簡(jiǎn)記為或簡(jiǎn)記為 ：)()()()(tepNtrpD又可進(jìn)一步寫成：又可進(jìn)一步寫成：)()()()(tepDpNtr轉(zhuǎn)移算子轉(zhuǎn)移算子H(p)01110111)()()(apapapbpbpbpbpDpNpHnnnmmmm它代

19、表了系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用它代表了系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用,故稱為響應(yīng)對(duì)激勵(lì)的傳輸算子故稱為響應(yīng)對(duì)激勵(lì)的傳輸算子,或系統(tǒng)的或系統(tǒng)的傳輸算子傳輸算子三、轉(zhuǎn)移算子三、轉(zhuǎn)移算子)()()()()()(pDpNpHtepHtr求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：激勵(lì)激勵(lì) e(t)為零，求解齊次方程為零，求解齊次方程 的解，并利用初始的解，并利用初始 條件確定解中的待定系數(shù)。條件確定解中的待定系數(shù)。0)()(trpD求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，求解系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，求解 的非齊次方程。的非齊次方程。)()()(tepHtr四、系統(tǒng)算子方程的一般表達(dá)式四、系統(tǒng)算子方程的一般

20、表達(dá)式 例例 電路如圖電路如圖(a)所示，試寫出所示，試寫出u1(t)對(duì)對(duì)f(t)的傳輸算子的傳輸算子。 解解 畫出算子模型電路如圖(b)所示。由節(jié)點(diǎn)電壓法列出u1(t)的方程為 )()(2212121tftupp)() 1(2)()22(12tfptupp所以所以u(píng)1(t)對(duì)對(duì)f(t)的傳輸算子為的傳輸算子為 22) 1(2)(2ppppH它代表的實(shí)際含義是它代表的實(shí)際含義是 )(2)( 2)(2)(2)(111tftftututu電容：電容：C1/Cp電感：電感：LLp 例例 如圖如圖(a)所示電路，電路輸入為所示電路，電路輸入為f(t)，輸出為，輸出為i2(t)，試建立該，試建立該電路的

21、輸入輸出算子方程。電路的輸入輸出算子方程。 i1(t)i2(t)1 Fi1(t)i2(t)i1(t)i2(t)2ppp1f (t)f (t)(a)(b)1 1 1 H2 H1 1 電容：電容：C1/Cp電感：電感：LLp 解解 畫出算子模型電路如圖畫出算子模型電路如圖(b)所示。列出網(wǎng)孔電流方程如下：所示。列出網(wǎng)孔電流方程如下： 0)(112)(1)()(1)(112121tipptiptftiptipp0)(1) 12()(1)()(1)(1) 1(221212tippptiptftiptippp整理：整理：該方程組對(duì)新設(shè)變量而言是一個(gè)微分方程組，該方程組對(duì)新設(shè)變量而言是一個(gè)微分方程組， 可

22、以用代數(shù)方法可以用代數(shù)方法求解，得求解，得 )()()2432(223tftippp系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是當(dāng)系統(tǒng)沒有外加激勵(lì)信號(hào)時(shí)的響應(yīng)。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是當(dāng)系統(tǒng)沒有外加激勵(lì)信號(hào)時(shí)的響應(yīng)。求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：激勵(lì)激勵(lì) e(t)為零，求解齊次方程為零，求解齊次方程 的解，并利用初始的解，并利用初始 條件確定解中的待定系數(shù)。條件確定解中的待定系數(shù)。0)()(trpD1110( )nnnD ppapa pa-稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的特征方程特征方程，方程解，方程解為特征方程的為特征方程的特征根特征根2.3 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一、零輸入響應(yīng)的概念一、零輸入響應(yīng)的概念二、特征方

23、程二、特征方程( )( )( )N pH pD p轉(zhuǎn)移算子：轉(zhuǎn)移算子：轉(zhuǎn)移算子分母轉(zhuǎn)移算子分母D(p) ：特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式0)(0111apapappDnnn簡(jiǎn)單系統(tǒng)簡(jiǎn)單系統(tǒng)1： 1階齊次方程階齊次方程 ，特征方程只有一個(gè)特征根，特征方程只有一個(gè)特征根 p = 。0)(rp0 rdtdrtcetr)(積分常數(shù)積分常數(shù)C可根據(jù)可根據(jù) t =0 時(shí)由未加激勵(lì)前的初始儲(chǔ)能決定的初始值時(shí)由未加激勵(lì)前的初始儲(chǔ)能決定的初始值 r(t)= r(0)來確定。來確定。 上式為上式為 tertr)0()(一般情況下一般情況下：初始條件為初始條件為t =t0 時(shí)，時(shí)， r(t)= r(t0) 此時(shí)此時(shí)r(t)=

24、r(t0)e(t-t0)1.簡(jiǎn)單系統(tǒng)簡(jiǎn)單系統(tǒng)將上述結(jié)論推廣到一般情況，將上述結(jié)論推廣到一般情況， n 階齊次方程階齊次方程 ，若其特征方程有，若其特征方程有 n 個(gè)單根個(gè)單根 。則其解的一般形式為：則其解的一般形式為： tnttnececectr2121)(式中：各各為響應(yīng)中的為響應(yīng)中的自然頻率自然頻率，也是也是H(p)的的極點(diǎn)極點(diǎn)； c1、c2cn 是是 n 個(gè)應(yīng)由系統(tǒng)初始條件確定的系數(shù)。個(gè)應(yīng)由系統(tǒng)初始條件確定的系數(shù)。nnnnnnnnncccrcccrcccr12121111221121)0()0()0(三、簡(jiǎn)單系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)三、簡(jiǎn)單系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)0)(2rp簡(jiǎn)單系統(tǒng)簡(jiǎn)單系統(tǒng)2： 系統(tǒng)特

25、征方程在系統(tǒng)特征方程在 p = 處，具有一個(gè)二階重根。處，具有一個(gè)二階重根。 其解的通解其解的通解 tetcctr)()(10 積分常數(shù)積分常數(shù)c0、c1可根據(jù)可根據(jù) t =0 時(shí)由未加激勵(lì)前的初始儲(chǔ)能決定的時(shí)由未加激勵(lì)前的初始儲(chǔ)能決定的初始值初始值 r(t)= r(0)和和 r(t)= r(0)來確定來確定。將上述結(jié)論將上述結(jié)論推廣到一般情況，推廣到一般情況，在在 p = 處，具有一個(gè)處，具有一個(gè)k階重根階重根,有有 0)(rpk11101111( )()ktktikiir tcc tctec te式中，系數(shù)式中，系數(shù)c0、c1、c2ck-1 由系統(tǒng)初始條件確定。由系統(tǒng)初始條件確定。2. 一

26、般系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一般系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于一般情況，設(shè)對(duì)于一般情況，設(shè)n階連續(xù)系統(tǒng)，其特征方程具有階連續(xù)系統(tǒng)，其特征方程具有 n個(gè)特根個(gè)特根 ，設(shè)設(shè) 1 是是 k 階重根。階重根。1( )()niiD pp 解題步驟：解題步驟：A、 將特征多項(xiàng)式將特征多項(xiàng)式D(p)進(jìn)行因式分解，即進(jìn)行因式分解，即求出系統(tǒng)特征方程的根。其中設(shè)求出系統(tǒng)特征方程的根。其中設(shè) 1有有k 階階重根重根， B、根據(jù)下式，求出第根據(jù)下式，求出第 1 個(gè)根個(gè)根1對(duì)應(yīng)的零輸入響應(yīng)對(duì)應(yīng)的零輸入響應(yīng) 111101111()kttkikiicctctec teC、 將所有將所有特征特征根的根的響應(yīng)相加，得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即響應(yīng)相

27、加，得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即111111( )( )ilknttiziiiiii kr tr tc tece D、 根據(jù)給定的零輸入響應(yīng)初始條件根據(jù)給定的零輸入響應(yīng)初始條件 r(k)(0) k =0,1,2,n-1 確定常數(shù)確定常數(shù) C1,C2,C (r i-1) （ i =1,2,k）。. (1,2,3, )iin特征根)(tr齊次解jm一對(duì)共軛復(fù)根重實(shí)根單實(shí)根21小結(jié)小結(jié)121210mtmtttmmCteCteCt eC ecos()sin()teCtDttCe 圖示圖示RLC串聯(lián)電路中，設(shè)串聯(lián)電路中，設(shè)L=1H，C=1F，R=2。若激勵(lì)。若激勵(lì)電壓電壓e(t)為零，且電路的初始條件為零，

28、且電路的初始條件 （1）i (0)=1A/s , i (0)=0 ; (2) i (0) = 0, uc(0) =1 0V, 這里壓降這里壓降 uc 的正方向設(shè)與電流的正方向設(shè)與電流 i 的的正方向一致。分別求上述兩種初始條件時(shí)電路的零輸入響正方向一致。分別求上述兩種初始條件時(shí)電路的零輸入響應(yīng)電流。應(yīng)電流。 例題例題2-1： 這電流的波形如圖所示故得零輸入響應(yīng)電流為式得常數(shù)和將初始條件代入的導(dǎo)數(shù)先求和為應(yīng)用初始條件微分方程的解為屬于臨界阻尼的情況。由電路理論可知：這是的二重根。有一等于方程即則此式成為給將元件值代入，并因已串聯(lián)電路的微分方程為解：如圖所示01, 0,/1000110101012

29、, 01101101022222tAteticctititececectitisAiitecectipipipptedttdetiCdttdiRdttidLRLCtttttt 方向相反電流的實(shí)際方向和圖示為負(fù)值，表示電容放電這里為最后得零輸入響應(yīng)電流求得常數(shù)和于是，和上面一樣可由并代入初始值，則得再令代入元件值，可得因電路的微分方程可寫成和可由此導(dǎo)得初始條件時(shí)，和當(dāng)初始條件為titAteticciisAittutititetetutRidttdiLiiVuitccc0,1010, 000/100, 002, 0.0010000210上題中如將電路電阻改為上題中如將電路電阻改為1 1 ，初始條件

30、為（，初始條件為（1 1），求），求 零輸入響應(yīng)電流。零輸入響應(yīng)電流。解：系統(tǒng)的微分方程為解：系統(tǒng)的微分方程為012ipp23j2101212，有一對(duì)共軛根方程pp求系數(shù)求系數(shù)C C1 1、C C2 2： ttececti2121微分方程的解為屬于欠阻尼的情況。由電路理論可知：這是23j2121， sAii/1000 ，31jc31jc21 0)(23sin32313121)21()21(tAteejejtittt23j23j微分方程的解為例題例題2-2：te)t ( rC)( r)( r222200故代入上式得將0t)t ( r)( r)t (e)t ( r)t (r，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)已知

31、出方程為：描述某系統(tǒng)的輸入輸例20212202( )0tr tC et 000ttt初始狀態(tài)：系統(tǒng)在時(shí)的狀態(tài)（設(shè)激勵(lì)在時(shí)接入）初始條件：系統(tǒng)在時(shí)的狀態(tài)( )2 ( )0r tr t求零輸入響應(yīng)解：解：0122,2( )2(1)tCCr tt e將初始條件代入上式得 0t求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。，已知程為：描述某系統(tǒng)的微分方例,)(r)( r).t (e)t (e)t ( r)t (r)t (r2020244221 21 22210(0 )(0 )2, (0 )(0 )2:440,2( )ttrrrrr tCteC e 、解：由于激勵(lì)為零,故特征根為得零輸入響應(yīng)一、奇異函數(shù)的定義一、奇異函數(shù)的定義有

32、一個(gè)或多個(gè)間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)用一般方法不好確定，這樣的函數(shù)統(tǒng)稱奇異函數(shù)有一個(gè)或多個(gè)間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)用一般方法不好確定，這樣的函數(shù)統(tǒng)稱奇異函數(shù)二、典型奇異函數(shù)二、典型奇異函數(shù)1. 階躍函數(shù)階躍函數(shù)連續(xù)時(shí)間單位階躍信號(hào)用連續(xù)時(shí)間單位階躍信號(hào)用( (t t) )表示，定義為表示，定義為 當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí), 取值沒有定義取值沒有定義 函數(shù)函數(shù) (t-t1): 在在 t =t1 處由處由0 躍變?yōu)檐S變?yōu)? 的單位階躍函數(shù)，它較的單位階躍函數(shù)，它較 (t) 延遲一時(shí)間延遲一時(shí)間 t1 0, 00, 1)(ttt2.4 奇異函數(shù)奇異函數(shù)( ) tt011t1()ttt01舉例舉例：在電路分析中，

33、單位直流電壓源或電流源，通過一個(gè)在在電路分析中，單位直流電壓源或電流源，通過一個(gè)在t=0時(shí)刻閉合的開關(guān)時(shí)刻閉合的開關(guān),加到電路上的電壓信號(hào)或電流信號(hào)，就可數(shù)學(xué)抽象加到電路上的電壓信號(hào)或電流信號(hào)，就可數(shù)學(xué)抽象為為 (t) 。 *單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) (t)乘以任何一個(gè)函數(shù)乘以任何一個(gè)函數(shù) f(t)后后,其乘積在階躍之前為其乘積在階躍之前為零零,在階躍之后保持原在階躍之后保持原f(t)值值*單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) (t-t1)和另一函數(shù)相乘，有將后者從和另一函數(shù)相乘，有將后者從t1 之前全部之前全部切切除的作用除的作用。KEu(t)u(t)(tE t = 0時(shí)時(shí),K閉閉合合u(t) =E)(

34、t t = 0 (t)移位移位:右移01)(0tt 0tt左移01)(0tt 0tt (a) (b) (c)起始任一函數(shù))t (）圖的不同（）與注意（cbtsin)(sin0ttt0000t0t0tttt00sin () ()tttt畫出畫出sin t 、 sin t(t-t0) 、sin (t-t0) (t-t0) 波形波形例例：畫出f(t-2)(t-2)的波形1t1 f(t)0-11t1 f(t-2) (t-2)02由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號(hào)由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號(hào)例例 11t0tf(t)0 (t)tf(t)10t0- (t-t0)()()(0ttttf 例例 21t1 f(t)

35、01t1 f(t)0)(tt )1()1( ttf(t)=t(t)- (t-1)+ (t-1)=t (t)-(t-1) (t-1)2. 沖激函數(shù)沖激函數(shù)定義定義1：從某些函數(shù)的極限來定義函數(shù)：從某些函數(shù)的極限來定義函數(shù) 沖激函數(shù)有幾種不同的定義方式，本課程介紹兩種定義。沖激函數(shù)有幾種不同的定義方式，本課程介紹兩種定義。 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)(t)可視為幅度可視為幅度1/ 與脈寬與脈寬的乘積（矩形面積）的乘積（矩形面積）為為1個(gè)單位的矩形脈沖，當(dāng)個(gè)單位的矩形脈沖，當(dāng)趨于零時(shí)脈沖幅度趨于無窮大的極趨于零時(shí)脈沖幅度趨于無窮大的極限情況。限情況。 122t)(tudttdu )(矩形脈沖的極限矩形

36、脈沖的極限:沖激函數(shù)常用圖示帶箭頭的線段來表示。沖激函數(shù)常用圖示帶箭頭的線段來表示。 函數(shù)只在函數(shù)只在t =0處有處有“沖激沖激”，而在，而在t 軸上其它各點(diǎn)取值為零。軸上其它各點(diǎn)取值為零。如果矩形面積為如果矩形面積為1，則在帶箭頭的線段旁注上，則在帶箭頭的線段旁注上(1)，表明表明沖激強(qiáng)度沖激強(qiáng)度為單位值。如果在圖形上將為單位值。如果在圖形上將(A)注于箭注于箭頭旁，則表示沖激強(qiáng)度為頭旁，則表示沖激強(qiáng)度為A單位值的單位值的(t)函數(shù)。函數(shù)。 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)又稱又稱狄拉克（狄拉克（Dirac）函數(shù)）函數(shù)，函數(shù)的定義式為：，函數(shù)的定義式為： (t-t0）則表示在則表示在 t = t0

37、處所出現(xiàn)的沖激，處所出現(xiàn)的沖激，如圖所示。顯然有如圖所示。顯然有 ： 沖激函數(shù)還可是三角形脈沖、高斯脈沖、抽樣等函數(shù)的極限情況。沖激函數(shù)還可是三角形脈沖、高斯脈沖、抽樣等函數(shù)的極限情況。00)(1)(ttdtt0000)(1)(ttttdttt( ) tt0(1)0t0()ttt0(1)定義定義2：利用廣義函數(shù)（或稱分配函數(shù)）定義函數(shù)：利用廣義函數(shù)（或稱分配函數(shù)）定義函數(shù))0()()0()0()()()(ft dtft dftt dtft 考慮任何一個(gè)函數(shù)考慮任何一個(gè)函數(shù) f（t）（該函數(shù)必須在（該函數(shù)必須在 t=0 處連續(xù)）乘以單位沖激函數(shù)后處連續(xù)）乘以單位沖激函數(shù)后在在 - t m2）一般

38、系統(tǒng)：）一般系統(tǒng)：系統(tǒng)的特征根系統(tǒng)的特征根D(p)=0的根的根無重根無重根( )()( )( )iiiippN pkpH pD pki的計(jì)算公式：的計(jì)算公式：情況情況2：n=m系統(tǒng)的沖激響應(yīng)除包含指數(shù)函數(shù)外，還包含沖激函數(shù)。系統(tǒng)的沖激響應(yīng)除包含指數(shù)函數(shù)外，還包含沖激函數(shù)。 對(duì)于一般微分方程的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：對(duì)于一般微分方程的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：)()()(1tbtekthmnitiibm 為轉(zhuǎn)移算子中為轉(zhuǎn)移算子中Pm的系數(shù)的系數(shù)1212( ).()()()nmnkkkH pbppp情況情況3：nm 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)除包含指數(shù)函數(shù)、沖激函數(shù)外，還包含有系統(tǒng)的沖激響應(yīng)除包含指數(shù)函數(shù)、沖激函數(shù)外，還包

39、含有直到直到(m-n)(t)的沖激函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)：的沖激函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)：)(.)()(.)(2211111nnnnnmmnmmpkpkpkCpCpCpCpH)(.)()()(.)()()(2121)1(1)(tektektektCtCtCthtnttnnmmnmmn3）一般系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征根（）一般系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征根（D(p)=0的根）中的根）中1有有s個(gè)重根個(gè)重根假設(shè)假設(shè)mn，有12123.ssssn1121112211112( ).()()()()()()sssnsssnkkkkkkH ppppppp可以證明：可以證明：則：則：11211212( ).( )(1)!( )( ).( )ss

40、nststttssnth tkk tketsketketk et11111( )( )(1)!stssskttketsp1111()( )()!s isips idkpH psidp重根系數(shù)重根系數(shù)2. 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的計(jì)算方法系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的計(jì)算方法2初始條件法初始條件法 將沖激響應(yīng)的影響看成是將沖激響應(yīng)的影響看成是t=0+時(shí)的初始條件。時(shí)的初始條件。 只要確定這只要確定這一組初始條件，沖激響應(yīng)可用求零輸入響應(yīng)的方法求取一組初始條件，沖激響應(yīng)可用求零輸入響應(yīng)的方法求取)()()(0111tetrapapapnnn線性系統(tǒng)的算子方程：線性系統(tǒng)的算子方程：當(dāng)當(dāng) e (t) = (t) 時(shí)時(shí): r

41、(t) = h(t) )()()()()(01111tthathdtdathdtdathdtdnnnnn單位沖激激勵(lì)引起的在單位沖激激勵(lì)引起的在t=0+時(shí)的時(shí)的n個(gè)初始條件：個(gè)初始條件：0)0()0()0()0(1)0()2()3()2()1(hhhhhnnnn將沖激激勵(lì)轉(zhuǎn)化成將沖激激勵(lì)轉(zhuǎn)化成 0+ 時(shí)刻的初始條件，然后利用零輸入響應(yīng)的求解方法求解。時(shí)刻的初始條件，然后利用零輸入響應(yīng)的求解方法求解。例例2-4分析過程：分析過程：3. 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的計(jì)算方法系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的計(jì)算方法3系數(shù)平衡法系數(shù)平衡法比較等式兩邊相同函數(shù)的系數(shù)，得到解答比較等式兩邊相同函數(shù)的系數(shù)，得到解答例題例題2-4例題例

42、題2-3例題例題2-5例1.描述某系統(tǒng)的微分方程為:試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。)()()()(tetrtrtr 23 000123)()().(.)()()()(hhtththth得21200230021，特征根為上式可化為時(shí)，).(.)()()(,)( tthththtt212( )() ( ).(3)tth tC eC et故解：解：由沖激響應(yīng)的定義，當(dāng)由沖激響應(yīng)的定義，當(dāng)e(t)= (t) 時(shí)，時(shí)，rzs(t)=h(t)1(0 )(0 )( )3 ( )2 ( )( ).(1)( )( )( )( ),( )( ),(0 )(0 )( )( ),(0 )(0 ) 0hhh th th

43、 tth tth th t dth tthhh th t dtthh由方程（）等號(hào)兩邊奇異函數(shù)要平衡，確定初始條件和含項(xiàng)含項(xiàng) 即為連續(xù)函數(shù) 即000000001200300001dtthhhdtthhhhh)()()()()()()( )( )(，其中逐項(xiàng)積分，得到式兩邊從對(duì))()()()( )()()()( )( ,)( )( teethCCCChCChhhhhhtt221212111120003001010100故式得代入，將初始條件即故推導(dǎo)推導(dǎo):滿足方程時(shí)，當(dāng)若初始值確定)()()()()(.)()()()()(thttetetratratrnnn01101)(,.,)()(.)()()

44、()()(11121000011njhtthathathjnnn）（初始條件法小結(jié)初始條件法小結(jié)( )10(0 )00,1,2,.,2(1 2)(0 )1jnhjnh由系數(shù)平衡法，可推得各初始值為.)()()(.)()()(),(.)()(）式相同求解過程與（滿足方程選取新變量11110111111thtthathathththannn)(.)()()()(.)()(thbthbthbthbmmmm10111131系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為微分特性，即可求得式狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)零( )(1)()(1)1010(2)I( )( ).( )( )( ).( ).(1 3)nnmmnmmL

45、Trtarta r tb etbetb e t系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求解步驟解：解：1111(1)( )( )5( )4 ( )( )h ththth tt選求滿足下式的沖激響應(yīng)1241121114( )() ( )(0 )0,(0 )1tth tC eC ethh 特征根為，故沖激響應(yīng)將代入上式得0010045011111)()( )()( )(hhthththt時(shí)化為零輸入響應(yīng)，設(shè)( )5 ( )4 ( )2 ( )( )rtr tr te te t例 描述某系統(tǒng)的微分方程為試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)31311400021211211CCCChCCh，)( )()()()( )()()()(teetht

46、hththtt411323122再求滿足系統(tǒng)方程的411441411( )( )() ( )331411( )() ( )() ( )333314() ( )33tttttttth th teethteeteeteet 故沖激響應(yīng)為11.(0 )2.( )( )( )4. ( )( )5. ( )( )hh tdr tdth ttdtdth tLH s化為零輸入響應(yīng) 難點(diǎn)的確定部分分式展開法的求法3.系數(shù)平衡法r (t)的求解方法的求解方法方法方法1 1：( )(1)10( )( )( )( )( ).( )( )(2 1)(0 )0,0,1,2.,1(0 )(0 )00,1,2,.,1nnn

47、jjjrtarta r ttrjnrrjn由方程兩邊奇異函數(shù)要平衡，得101( )() ( )intiir tC eta若該方程的特征根均為單根，則齊次解特解方法方法2：( )( )( )( )ttr thdtd 試求該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為描述某系統(tǒng)的微分方程例),()()( )(.tetrtrtr863122412241( )() ( )8ttr tC eC et 特征根為，故( )( )6( )8 ( )( )(0 )0(0 )0r trtrtr ttrr解：滿足方程為1212122401(0 )011,848(0 )240111( )() ( )488ttrCCCCrCCr teet 由初始

48、值代入上式得于是得 利用疊加原理，把系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)的各分量利用疊加原理，把系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)的各分量(階躍函數(shù)序列階躍函數(shù)序列或沖激函數(shù)序列或沖激函數(shù)序列)的響應(yīng)進(jìn)行疊加以求取系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的響應(yīng)進(jìn)行疊加以求取系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)(杜阿美爾積分或杜阿美爾積分或卷積積分卷積積分)。本節(jié)只介紹卷積積分本節(jié)只介紹卷積積分*1. 杜阿美爾積分杜阿美爾積分nktktatkttttftftf1)()()()0()(任意一函數(shù)任意一函數(shù) f（t）可用若干個(gè)階躍函數(shù)之和近似表示：可用若干個(gè)階躍函數(shù)之和近似表示：用用 e (t)代表激勵(lì)函數(shù)，則激勵(lì)函數(shù)可近似表示為代表激勵(lì)函數(shù)，則激勵(lì)函數(shù)可近似表示為: :nktkta

49、tkttttetete1)()()()0()(（2-56） 階躍幅值階躍幅值 時(shí)移為時(shí)移為k t的階躍函數(shù)的階躍函數(shù)2.7 2.7 疊加積分疊加積分變換積分變量杜阿美爾積分的另一種形式變換積分變量杜阿美爾積分的另一種形式:drtetretrt)()()()0()(0drtetrt)()()(0或或: :dtretretrt)()()()0()(0dtretrt)()()(0在時(shí)域中利用疊加積分由階躍響應(yīng)求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)的零狀態(tài)在時(shí)域中利用疊加積分由階躍響應(yīng)求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)的零狀態(tài)響應(yīng)的積分公式響應(yīng)的積分公式杜阿美爾積分杜阿美爾積分將積分下限改為將積分下限改為0-系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)e(

50、t)的總響應(yīng)為的總響應(yīng)為:nktktttkftf0)()()(任意一函數(shù)任意一函數(shù) f(t)可用若干個(gè)沖激函數(shù)之和近似表示：可用若干個(gè)沖激函數(shù)之和近似表示：用用 e(t)代表激勵(lì)函數(shù)，則激勵(lì)函數(shù)可近似表示為代表激勵(lì)函數(shù)，則激勵(lì)函數(shù)可近似表示為:nktktttkete0)()()(2. 卷積積分卷積積分 沖激強(qiáng)度沖激強(qiáng)度 位于位于k t處的沖激函數(shù)處的沖激函數(shù)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)e(t)的總響應(yīng)可近似為的總響應(yīng)可近似為:)()()(0tkthttketrnk 當(dāng)當(dāng)t無限趨小時(shí)無限趨小時(shí):t d , kt , e(kt) e( ),對(duì)各項(xiàng)取和變成取積分對(duì)各項(xiàng)取和變成取積分dthetrt)(

51、)()(0系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)e(t)的總響應(yīng)為的總響應(yīng)為:變換積分變量卷積積分的變換積分變量卷積積分的另一種形式另一種形式:在時(shí)域中利用疊加積分由沖激響應(yīng)求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)的零狀態(tài)響在時(shí)域中利用疊加積分由沖激響應(yīng)求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)的零狀態(tài)響應(yīng)的積分公式應(yīng)的積分公式 卷積積分卷積積分 dhtetrt)()()(0（2-60）（2-61a）（2-61b）設(shè)：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為設(shè)：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)： (t) h(t)當(dāng)當(dāng)系統(tǒng)在系統(tǒng)在t = k t處處激勵(lì)函數(shù)為激勵(lì)函數(shù)為則系統(tǒng)在則系統(tǒng)在t = k t處的沖激響應(yīng)為處的沖激響應(yīng)為)()(tkthttke()()e k tttk t

52、tkte(kt) t h(t - kt)e(t)tktte(kt)(a)激勵(lì)函數(shù)分解成若干個(gè)脈沖函數(shù)(b)第k 個(gè)脈沖的沖激響應(yīng)(c)沖激響應(yīng)疊加后的總響應(yīng)圖2-20 卷積積分示意圖tr(t) e(kt) t h(t - kt)r(t)kt用沖激響應(yīng)用沖激響應(yīng)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)方法：求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)方法： 給定一系統(tǒng)或其微分方程，可求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)給定一系統(tǒng)或其微分方程，可求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)(或階躍響或階躍響應(yīng)應(yīng)) ,然后用疊加積分就可求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。然后用疊加積分就可求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。激勵(lì)信號(hào)可以分解為一系列沖激函數(shù)的積分激勵(lì)信號(hào)可以分解為一系列沖激函數(shù)的積分-卷積積分卷積積分

53、 tdtete0)()()()()(tht )()(tht)()()()(thetettdthedte00)()()()(tdthete0)()()(卷積積分 結(jié)論：結(jié)論：如果得到了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，通過卷積積分，就可以計(jì)算如果得到了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，通過卷積積分，就可以計(jì)算出系統(tǒng)對(duì)任意信號(hào)出系統(tǒng)對(duì)任意信號(hào)e(t)的響應(yīng)。的響應(yīng)。激勵(lì)激勵(lì):響應(yīng)響應(yīng):與杜阿美積分相比,這里并不需要信號(hào)連續(xù)、可導(dǎo),所以其實(shí)用性大大優(yōu)于杜阿美積分疊加積分可推廣用于疊加積分可推廣用于線性線性時(shí)變時(shí)變系統(tǒng)：系統(tǒng)： 系統(tǒng)響應(yīng)為：系統(tǒng)響應(yīng)為：dthetrt),()()(0dthetrt)()()(0激勵(lì)函數(shù)激勵(lì)函數(shù)e(t)=(

54、0.5t+1) (t)- (t-2)+(t+1) (t-2)加于加于RC串聯(lián)電串聯(lián)電路。設(shè)路。設(shè)R=0.5 ,C=2F,且初始狀態(tài)為零，求響應(yīng)電流且初始狀態(tài)為零，求響應(yīng)電流 i(t).解：由例題解：由例題2-3解得解得RC電路的沖激響應(yīng)為：電路的沖激響應(yīng)為：)(2)(2)(1)(1)(2tetteCRtRthtRCt激勵(lì)函數(shù)激勵(lì)函數(shù))2(5 . 0)() 15 . 0()(ttttte響應(yīng)電流為響應(yīng)電流為)2(1 )()1 ()()()()2(0tetedthetittt例題例題2-6e(t)=(0.5t+1) (t)- 0.5t (t-2)一、一、 卷積的定義卷積的定義 一般而言，如果有兩個(gè)

55、函數(shù)一般而言，如果有兩個(gè)函數(shù)f1(t)、 f2(t)，積分，積分 稱為稱為f1(t)、 f2(t)的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積：的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積： dtfftg)()()(211221( )( )( )( )( )g tf tf tf tf t2.8 卷積及其性質(zhì)卷積及其性質(zhì) 信號(hào)信號(hào)f1(t)與與f2(t)的卷積運(yùn)算可通過以下幾個(gè)步驟來完成：的卷積運(yùn)算可通過以下幾個(gè)步驟來完成： 第一步，第一步，畫出畫出f1(t)與與f2(t)波形，將波形圖中的波形，將波形圖中的t軸改換成軸改換成軸，軸，分別得到分別得到f1()和和f2()的波形。的波形。 第二步，第二步，將將f2()波形以縱軸為中心軸翻轉(zhuǎn)波形以

56、縱軸為中心軸翻轉(zhuǎn)180,得到得到f2(-)波形。波形。 第三步，第三步，給定一個(gè)給定一個(gè)t值，將值，將f2(-)波形沿波形沿軸平移軸平移|t|。在。在t0時(shí)，波形往右移。這樣就得到了時(shí)，波形往右移。這樣就得到了f2(t-)的波的波形。形。 換積分變量換積分變量 反褶反褶平移平移相乘相乘疊加（積分）疊加（積分）二、卷積的圖解機(jī)理二、卷積的圖解機(jī)理 第四步，第四步，將將f1()和和f2(t-)相乘，得到卷積積分式中的被積相乘，得到卷積積分式中的被積函數(shù)函數(shù)f1()f2(t-)。 第五步，第五步，計(jì)算乘積信號(hào)計(jì)算乘積信號(hào)f1()f2(t-)波形與波形與軸之間包含的凈軸之間包含的凈面積，便是式面積，便

57、是式 卷積在卷積在t時(shí)刻的值。時(shí)刻的值。 第六步，第六步，令變量令變量t在在(-，)范圍內(nèi)變化，重復(fù)第三、四、范圍內(nèi)變化，重復(fù)第三、四、五步操作，最終得到卷積信號(hào)五步操作，最終得到卷積信號(hào)f1(t)*f2(t)。 dtfftg)()()(21 求求f(t)與與h(t)的卷積，實(shí)質(zhì)上是求一個(gè)新函數(shù)的卷積，實(shí)質(zhì)上是求一個(gè)新函數(shù)f( )h(t )在在 由由0到到t的區(qū)間內(nèi)的定積分。根據(jù)定積分的幾何意義，函數(shù)在的區(qū)間內(nèi)的定積分。根據(jù)定積分的幾何意義，函數(shù)在0到到t區(qū)間內(nèi)的定積分值，決定于被積函數(shù)區(qū)間內(nèi)的定積分值，決定于被積函數(shù)f( )h(t )的曲線在該的曲線在該區(qū)間內(nèi)與區(qū)間內(nèi)與 軸之間所限定的面積。

58、軸之間所限定的面積。 舉例)()(ete或01211或t)(h021（）變量替換后，將其中一信號(hào)反折（）變量替換后，將其中一信號(hào)反折（）平移（）平移（左移到與另一信號(hào)沒有重合后左移到與另一信號(hào)沒有重合后,再右移再右移)*解解:)()(hth或021或tt-2121)(tb)(e0t1)(th211231)(tc16343)(211)(*)(121tdtthte1( )12bt 16144)(211)(*)(221tdtthtet)(e0t1)(th211231)(tc（）相乘（）相乘21)(ta0)(*)(thte)(e0t1)(th21121)(ta)(e0t1te3)()(th211323

59、)(td)(e0t1)(th211323)(td4324)(211)(*)(212ttdtthtette3)(0)(*)(thte（）相乘（）相乘（4）相加：以上各圖中的）相加：以上各圖中的陰影面積陰影面積，即為，即為相乘積分的結(jié)果相乘積分的結(jié)果 最后，最后，若以若以t為橫坐標(biāo)，將與為橫坐標(biāo)，將與t對(duì)應(yīng)積分值描成曲線，就是對(duì)應(yīng)積分值描成曲線，就是卷積積分卷積積分e(t)*h(t)函數(shù)圖像。函數(shù)圖像。)(*)(thte023169t)(th211161523卷積積分結(jié)果附附：序序號(hào)號(hào)0102030405060708091011121314 tteatcos tet aarctgtateeaatt

60、,coscos2222 tf1 tf2 tftftftf1221 tf t tf tf t dttdf tf t tdf dttdf tdg tgtf t t tt 1ttt 2ttt 21212211tttttttttttttttt tet1 tet2 2112,112teett tet tet ttet 1ttt tet 1111111tteetttetttttn tet ttjnntenjnnjjtn011! ttm ttn ttnmnmnm1!1! tettm1 tettm2 2101210121,!1!121tetknkkmntetjmjjnmtknnkkmktjmmjjnj tet