投資的收益和風險76969

1、投資的收益和風險的優(yōu)化模型摘要對市場上的多種風險資產和一種無風險資產（存銀行）進行組合投資策略的設計需要考慮兩個目標：總體收益盡可能大和總體風險盡可能小，而這兩個目標在一定意義上是對立的。本文我們建立了投資收益與風險的雙目標優(yōu)化模型目標函數(shù)：約束條件：通過“最大化策略”，即控制風險使收益最大，將原模型簡化為單目標的線性規(guī)劃模型一；在保證一定收益水平下，以風險最小為目標，將原模型簡化為了極小極大規(guī)劃模型二；以及引入風險偏好系數(shù)，將兩目標加權，化原模型為單目標非線性模型模型三目標函數(shù)：約束條件：然后分別使用Matlab對不同的風險水平，收益水平，以及偏好系數(shù)求解三個模型。針對模型一，我們通過曲線擬

2、合的方法得出風險水平和收益之間的函數(shù)關系：，并通過討論函數(shù)導數(shù)和曲率求出一個對于風險中性偏好者的最優(yōu)投資組合。對風險中性偏好者，模型一、二、三的求解結果完全一致。對問題一，結果為：風險水平收益0.0060.201900.240.40.10910.2212對問題二，結果為：風險水平收益0.07580.320.12630.00450.11140.22680.14220.18940.1647而對于其他類別的風險偏好者，模型三對問題一的求解結果詳見表3。我們使用計算機隨機模擬的方法進行檢驗，利用隨機投點法描出有效投資組合前沿，前沿由直線段組成，通過分析所有取值點的實際經濟意義，得出了與我們建立模型求出

3、的解相近的結果。關鍵詞：組合投資，多目標優(yōu)化模型，風險偏好系數(shù)，曲線擬合，隨機模擬檢驗投資的收益和風險的優(yōu)化模型一、問題重述投資，是現(xiàn)代人從事最多的經濟活動。一般的投資項目較之銀行的儲蓄有較高的匯報率，但是相應也有風險。理性的投資者在追求高利潤的同時，往往充分考慮投資的風險。組合投資，即“不把雞蛋放在一個籃子里”的投資策略，可以有效規(guī)避風險。在進行多種資產投資時，人們常常想知道一筆資金該向哪一種資產投資，投資比例是多少，才能使我們的收益達到最大，并且不用承擔太大的風險。為了能夠做到這一點，我們在投資之前必須對各種資產進行分析、估價，并且始終堅持多樣化的原則以減小風限。公司財務人員經過對資產評估

4、后，得到了一些基本的數(shù)據(jù)。即，在這一時期內購買的平均收益率為，購買的風險損失率為，以及購買要付的交易費率為，并且當購買額不超過給定值時，交易費按購買計算（不買當然無須付費）。另外，假定同期銀行存款利率是, 且既無交易費又無風險。（）本題需要我們設計一種投資組合方案，使收益盡可能大，而風險盡可能小。并給出對應的盈虧數(shù)據(jù)，以及一般情況的討論。二、問題分析這是一個優(yōu)化問題，要決策的是向每種資產的投資額，即所謂投資組合，要達到的目標有二，凈收益最大和整體風險最小。一般來說這兩個目標是矛盾的，收益大，風險必然也大；反之亦然所以不可能給出這兩個目標同時達到最優(yōu)的所謂的完美決策，我們追求的只能是滿足投資者本

5、身要求的投資組合，即在一定風險下收益最大的決策，或在一定收益下風險最小的決策，或收益和風險按一定比例組合最優(yōu)的決策。冒險型投資者會從中選擇高風險下收益最大的決策，保守型投資者則可從低風險下的決策中選取。建立優(yōu)化問題的模型最主要的是用數(shù)學符號和式子表述決策變量、構造目標函數(shù)和確定約束條件。對于本題決策變量是明確的，即對()的投資份額（表示存入銀行），目標函數(shù)之一是總收益最大，目標函數(shù)之二是總風險最小。而總風險用投資資產中的最大的一個風險衡量。約束條件應為總資金的限制。三、基本假設1、投資越分散，總的風險越小；2、總體風險用投資項目中最大的一個風險來度量；3、種資產之間是相互獨立的；4、在投資這一

6、個時期內，為定值，不受意外因素影響；5、凈收益和總體風險只受，影響，不受其他因素干擾。四、符號說明：第 種資產投資資金； ：的平均收益率； ：的風險損失率； ：的交易費率； ：的交易定額； ：同期銀行利率；：投資的資金占全部資金的比重即；五、模型建立(1)總體風險用所投資的中的最大一個風險來衡量，即風險損失率是在一定時間內一定數(shù)目的危險單位中可能受到損失的程度。 一般情況下，我們認為組合投資可以降低風險損失。因為多項投資都發(fā)生風險的概率比較小，我們可以認為風險損失率即為實際損失額與發(fā)生事故件數(shù)的比值?？梢宰C明，兩種不同的組合投資和，若滿足組合中單項投資的最大風險大于組合中單項投資的最大風險，則

7、的總體風險大于的總體風險，即我們可以用組合投資的中單項投資最大風險來衡量。(2)購買所付交易費是一個分段函數(shù)，即此變量出現(xiàn)在目標函數(shù)中，使目標函數(shù)成為非線性函數(shù)，給求解帶來不便，因此根據(jù)題意進行簡化。我們假設，求出滿足此假設的最小投資總額，此時恒成立，故有。以第一問為例，求得為393元，與相當大的比較很小， 更小，可以忽略不計。也就是，一旦投資到資產，投資額都超過。這樣購買的凈收益為。3、雙目標優(yōu)化模型要使凈收益盡可能大，總體風險盡可能小，這是一個兩目標規(guī)劃模型，可表為目標函數(shù)：約束條件：具體計算時設，這時將看作投資第的比例。通常把它化為單目標規(guī)劃模型求解。4、單目標優(yōu)化模型在實際投資中，投資

8、者承受風險的程度不同，若給定一個界限，使最大的一個風險，可找到相應的投資方案。這樣把兩目標規(guī)劃變成單目標線形規(guī)劃。模型1：固定風險水平，優(yōu)化收益目標函數(shù)：約束條件：若投資者希望總盈利至少達到水平以上，在風險最小的情況下尋找相應的投資組合。模型2：固定盈利水平，極小化風險目標函數(shù)：約束條件：投資者在權衡資產風險和預期收益兩方面時，希望選擇一個令自己滿意的投資組合，因此對風險收益賦予權重，稱為風險偏好系數(shù)。模型3：引進權重目標函數(shù)：約束條件：六、模型求解與結果分析利用Matlab軟件，編程求解三個模型，程序見附錄A。(1) 模型1的結果分析對于模型1，風險水平取，結果如表1所示，風險和收益的關系見

9、圖1.從表1看出，對低風險水平，除了存入銀行外，投資首選風險率最低的資產，然后是和，總收益當然較低。對高風險水平，總收益自然也高，應首選凈收益率（）最大的和。這些與人們的經驗是一致的。我們定義為組合投資獲得的收益。表1模型1的計算結果風險水平最大收益00.05100000.0010.07550.83160.040.06670.01820.03850.0020.10110.66330.080.13330.03640.07690.0030.12660.49490.120.20.05450.11540.0040.15210.32660.160.26670.07270.15380.0050.17760

10、.15820.20.33330.09090.19230.0060.201900.240.40.10910.22120.0070.206600.280.46670.12730.10160.0080.211200.320.53330.127100.0090.215500.360.60.023300.010.21900.40.5843000.0110.222300.440.5447000.0120.225600.480.5051000.0130.228800.520.4655000.0140.232100.560.4259000.0150.235400.60.3863000.0160.238700.

11、640.3467000.0170.241900.680.3071000.0180.245200.720.2675000.0190.248500.760.2278000.020.251800.80.1882000.0210.25500.840.1486000.0220.258300.880.109000.0230.261600.920.0694000.0240.264900.960.0298000.0250.267300.9901000圖1模型1中風險與收益的關系從表中數(shù)據(jù)可以看出，越大，越大，即風險越大，收益也越大，這是合乎常理的。另外我們還可以看出，當投資越分散時，投資者承擔的風險越小，這與

12、題意也是一致的，冒險型的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，而保守型的投資者則盡量分散投資。我們對一系列的坐標點進行多項式擬合，多次擬合后得到兩者的函數(shù)關系式為：記此函數(shù)為，由圖和函數(shù)表達式我們可以看出，盡管當增大時也隨之增大，但是其增長勢頭也即在一定區(qū)域內內迅速減少。我們認為在發(fā)生相對劇烈變化的區(qū)間進行投資是合理的。因為在現(xiàn)實生活中，正常人不會冒相對較大的風險去求取相對很少的收益，即不愿意在的投資區(qū)域進行投資，相反，也不會因為多冒相對較小的風險，而放棄相對增加很多的收益，這也就是指的投資區(qū)域。在這里，可以理解為每一個單位風險所能獲得的收益，可以看出，經過急劇減小后，的將會保持相對穩(wěn)定，也趨向水平，也

13、即每增加一個單位的風險獲得的收益很小。作為一個理性投資者，我們確定以區(qū)間上曲率最大的點作為最優(yōu)解點。（也即函數(shù)曲線上最彎曲的點作為所對應的投資方案作為最佳的投資方案。）即對于曲率公式要求函數(shù)取最大值時所對應的點，也就是最佳方案所對應的點。從擬合曲線可估算出區(qū)間為,通過軟件計算可得，然而我們通過連接折線注意到擬合曲線在折線斜率急劇變化的區(qū)間擬合的不好，因而在這段區(qū)間上我們通過增加坐標點進行小區(qū)間擬合，再次計算得到時，其曲率最大，所以我們選擇作為最優(yōu)解，近似為，相應的投資組合見表1的黑體所示。用此方法對于問題2的情形進行求解，結果如圖2所示，該圖表明風險越高，收益也越高，曲率最大的點大約為（0.0

14、7，0.3124）。此時的投資方案如下：風險度收益S3S4S7S8S9S10S130.070.31240.11670.07910.10290.20960.13130.1750.1522圖2一般情形下，模型1中風險與收益的關系(2) 模型2的結果分析對于模型2，收益水平取，結果如表2所示，風險和收益的關系見圖3.從表2看出，對低收益水平，除了存入銀行外，投資首選風險率最低的資產，然后是和，總收益當然較低。對高收益水平，總風險自然也高，應首選凈收益率（）最大的和。這些與人們的經驗是一致的。表2模型2的計算結果風險水平最大收益0.0020.10.67020.07830.13060.03560.075

15、30.00240.110.60430.0940.15670.04270.09040.00270.120.53830.10970.18280.04990.10550.00310.130.47240.12540.20890.0570.12050.00350.140.40640.1410.2350.06410.13560.00390.150.34050.15670.26120.07120.15070.00430.160.27450.17240.28730.07830.16570.00470.170.20860.1880.31340.08550.18080.00510.180.14260.20370.

16、33950.09260.19590.00550.190.07670.21940.36560.09970.21090.00590.20.01070.2350.39170.10680.2260.00780.2100.31140.5190.05690.09080.01030.2200.4120.5725000.01340.2300.53410.4515000.01640.2400.65630.3305000.01950.2500.77840.209600圖3模型2中風險與收益的關系結合圖3，對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇圖中曲線的拐點(0.0059，0.2)，這時對的投資比例見表2

17、的黑體所示。對于一般情形的求解結果，如圖4所示，該圖表明風險越高，收益也越高，拐點大約為(0.007，0.32)。此時的投資方案如下，可以發(fā)現(xiàn)其結果與模型1的求解結果類似。風險度收益S3S4S7S8S9S10S130.007580.320.12630.00450.11140.22680.14220.18940.1647圖4一般情形下，模型2中風險與收益的關系(3) 模型3的結果分析表3 模型3的計算結果權重s風險(%)收益r(%)0.762.475326.732700.99010000.770.922521.648200.37270.6273000.810.992521.648200.3727

18、0.6273000.820.784921.059900.31710.53380.149100.830.594020.162400.24000.40390.11290.24320.960.594020.162400.24000.40390.11290.24320.9705.00001.00000000從圖5可以看出，模型3的風險與收益關系與模型1和模型2的結果幾乎完全一致。 圖5模型3中風險與收益的關系 圖6模型3中風險與偏好系數(shù)的關系圖7模型3中收益與偏好系數(shù)的關系七、 模型的檢驗和討論(1) 計算結果的檢驗我們使用隨機模擬仿真的方法進行檢驗，利用隨機投點法描出有效投資組合前沿，前沿由直線段組

19、成，通過分析所有取值點的實際經濟意義，希望得出與我們建立模型求出的解相近的結果。首先考慮對于四項風險資產的組合投資問題，在計算中我們利用計算機模擬的方法對可能的投資組合進行隨機模擬，繪制出圖8。其中橫軸表示總體風險率，縱軸表示總體收益率。圖8 隨機模擬風險-收益數(shù)據(jù)圖對每一個隨機產生的資產組合，我們把該組合的總體風險和收益用風險-收益圖中的點來表示，圖中黑色部分近似地表示了4項構成的各種資產組合的集合。投資者的任何一種投資組合對應圖中一個點，我們觀察到在這個區(qū)域的邊緣存在折線ABC。在折線內部，對于投資者的任何一種投資選擇，我們都能找到一種組合比其具有更高的收益和更低的風險，即找到一個點在其左

20、上方。因此投資者將只在折線ABC上選擇投資組合，我們稱ABC即為此投資組合問題的效率前沿。圖中AB段斜率最大，故在此段上增加單位風險收益增量最大。B的坐標可以通過局部細化模擬得出近似值為，與我們求出的結果非常相近。（2）穩(wěn)定性分析為了考察模型的穩(wěn)定性和適用性，我們對銀行利率進行改動，分別選擇0.05，0.1，0.15三個數(shù)據(jù)進行考察。表4 穩(wěn)定性分析數(shù)據(jù)表s=0.1時s=0.5時s=1時 0.050.267 00.267 00.05 10.100.267 00.267 00.10 10.150.267 00.267 00.15 1表4的數(shù)據(jù)是通過模型3計算得出的，可以看出在合理的情況下銀行利率

21、的小幅上漲并不影響投資者的投資方向，因而模型通過了穩(wěn)定性考察。(4) 靈敏度分析在我們所建立的線性規(guī)劃模型中，假定參數(shù)、都是常數(shù)，但是實際上這些系數(shù)往往是估計值和預測值，市場和人為因素對這類參數(shù)的確定有一定的影響，當、有微小變化時，目標函數(shù)的變化是否會很大？因此需要進行靈敏度分析。不妨在時，使、有小的增長，利用模型1求出函數(shù)的變化幅度。結果見下表。表5 靈敏度分析數(shù)據(jù)表增長幅度增長幅度值變化幅度1%01.1%2%02.2%5%05.5%10%011%00-0.7%02%-1.4%05%-3.4%010%6.5%10%10%3.4%5%10%1.5%對表中數(shù)據(jù)分析可知，、微小的增長對目標函數(shù)的影

22、響不大，表明模型通過了靈敏度檢驗。(5) 模型評價本文我們建立了投資收益與風險的雙目標優(yōu)化模型，通過控制風險使收益最大，保證收益使風險最小，以及引入收益風險偏好系數(shù)，將兩目標模型化為了單目標模型，并使用Matlab求解，所得結果具有一定的指導意義。但是，本文沒有討論收益和風險的評估方法，在實際應用中還存在資產相關的情形，此時，用最大風險代表組合投資的風險未必合理，因此，對不同風險度量下的最優(yōu)投資組合進行比較研究是進一步的改進方向。八、 參考文獻1赫孝良，戴永紅.數(shù)學建模競賽：賽題簡析與論文點評.西安：西安交通大學出版社，2002.6.2蕭樹鐵.面向21世紀課程教材：大學數(shù)學數(shù)學實驗.北京：高等

23、教育出版社，1999.7.3陳叔平，譚永基.一類投資組合問題的建模與分析.數(shù)學的實踐與認識， 7：45-49，1999.九、附錄AMatlab程序(1) 模型一求解Matlab程序function result=lp1(k)f=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;A=0 0 0 0 0 0 0.025 0 0 0 0 0 0.015 0 0 0 0 0 0.055 0 0 0 0 0 0.026; b=k;k;k;k;k; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; vlb=zeros(5,1); vub=; x,fval=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) k end(2) 模型二求解Matlab程序function result=lp2(d)b1=-d; b2=zeros(5,1); f=0 0 0 0 0 1; A=0 0 0 0 0 -1 0 0.025 0 0 0 -1 0 0 0.015 0 0 -1 0 0 0 0.055 0 -1 0 0 0 0 0.026 -1 -0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0; b=b2;b1; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.