高等數(shù)學教案--定積分的應用

1、高等數(shù)學教案一定積分的應用時授課計劃第一課時教學過程及授課內容教學過程i.一.定積分應用的微元法用定積分計算的量的特點:(1)所求量(設為F )與個給定區(qū)間1a,bl有關，且在該區(qū)間上具有可加性.就是說，F(xiàn)是確定于 hb】上的整體量，當把 Ia,b1分成許多小區(qū)間時,n整體量等于各部分量之和，即F = £ Fi。i 1(2)所求量F在區(qū)間a,b上的分布是不均勻的，也就是說， F的值與區(qū)問Ia,b】的長不成正比(否則的話，F(xiàn)使用初等方法即可求得，而勿需用積分方法了).用定積分概念解決實際問題的四個步驟： 第一步：將所求量F分為部分量之和,即：Fn=F AFi ；i 1第二步:求出每個部

2、分量的近似值，AF產f () Axi(i =1,2,| ,n);第三步:寫出整體量 F的近似值，F(xiàn) =X AFi -Z f (。)Axi ；n第四步：??？u = maxAxiT 0時的工“1) xi極限，則得i=1n .bF =1也£ f (-i)Axi = fa f(x)dx.0 i 1觀察上述四步我們發(fā)現(xiàn)，第二步最關鍵，因為最后的被積表達式的形式就是 在這一步被確定的，這只要把近似式f(£) Ax中的變量記號改變一下即可(匕換為x; Ax換為dx).而第三、第四兩步可以合并成一步：在區(qū)間a,b上無限累加，即在Ia,b】上積分.至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，這是

3、F能用定積分計算的前提，于是，上述四步簡化后形成實用的定積分應用的微元法：(一)在區(qū)間Ia,b微元法.上任取一個微小區(qū)問Ix,x+dx,然后寫出在這個小區(qū)間上似值，記為dF = f (x)dx (稱為F的微(二)將微元dF在b ,b 上積分(無y的部分量AF的近元)；一x限累加)，即得bF = f(x)dx. - a微元法中微元的兩點說明：(1) f(x)dx作為AF的近似值表達式，應該足夠準確，確切的說，就是要求 其差是關于Ax的高階無窮小.即AF-f(x)dx = o( Ax).這樣我們就知道了，稱作微元的量f(x)dx,實際上是所求量的微分dF;(2)具體怎樣求微元呢？這是問題的關鍵，這

4、要分析問題的實際意義及數(shù)量 關系，一般按著在局部 Ix,x+dx上，以“常代變”、“勻代不勻”、“直代 曲”的思路(局部線性化)，寫出局部上所求量的近似值，即為微元dF = f (x)dx二、用定積分求平面圖形的面積1.直角坐標系下的面積計算用微元法不難將下列圖形面積表示為定積分.(1)曲線y= f(x)(f (x)之0), x = a,x = b及Ox軸所圍圖形，如下左圖，面 積微元 dA = f (x)dx,面積 A=/ f (x)dx., a(2)由上、下兩條曲線 y = f (x),y = g(x)(f (x)至 g(x)&x = a,x = b所圍成的圖形，如下右圖，面積微元

5、 dA = f (x) - g(x)dx,面積 bA = . f(x) -g(x)dx.a(3)由左右兩條曲線x=W(y),x=5(y)&y = c, y = d所圍成圖形(見下左d圖)面積微元(注意，這時就應取橫條矩形dA,即取y為積分變量)解方 y1 y = x2、.程組y2 x ,得交點(00）及（1, 1）.積 y dyx =：（y）d分變量,yOx x dx xy =x,(2)選擇積-j 微元，本題'x=qy)均可，習慣O（1,1）分變量，寫出面取豎條或橫條作dA上取豎條，即取x為積變化范圍為0,1,dA = (. x - x2)dx,1 3一x33.(3)將A表示成

6、定積分，并計算A = j （Tx-x2）dx= - x20i3例2求y2=2x及y = x-4所圍成圖形面積解作圖(如下圖)求出交點坐標A(2, -2),B(8,4)。觀察圖得知，宜取y為積分變量,慮一下，若取x為積分變量，即r( 便之處？)，于是得1 2(y+4) -y dy,4= 18._2x41 21 21 3A = "(y 4) -二y dy = -y 4y -y a2262.極坐標下的面積計算曲邊扇形：是指由曲線r =r(e)及兩條射線日=u,e = P所圍成的圖形(如下圖)取H為積分變量，具變化范圍為口，打，在微小區(qū)間38+dH上”以常代變”，即以小扇形面積 dA作為小曲

7、邊扇形面積的近似值，于是得面積微元為1 1-0dA = 2r2S )d6 ,將dA在目,P 上積分，使得曲邊扇形面積為A =萬Q r2d例3計算雙紐線r2 =a2cos2日(a>0)所圍成的圖形的面積(如下圖所示).解：由于圖形的對稱性，只需求其在第一象限中的面積，再4倍即可，在第一象限日的變化范圍為0,-,于是4i 1 T 2 一 2.一A=4 2 0 a 8s21dl =a sin2。兀4 _a20 一 a例4求心形線r =1 +C0S6及圓r =3cos日所圍成的陰影部分面積(如下圖) 解：先求兩線交點，以確定 e的變化范圍，解方程組，r = 1 cosu ,r =3cos.,_.

8、1“.冗 由3cos8 =1+cos8得cose =-，故8 = ±,考慮到圖形的對稱性，得所求231 1 )的面積為A = 2 |- f3(1+cos6)2d6 十一 72(3cos6)2d61 cos2i=03 (1 2cosi )de + f 2(1+cos20)d0 2 33 .11 2 sin 二 sin 2 二24.1.一 sin 212r = 3cos 0兀2冗3：2 02 3三、用定積分求體積1.平行截面面積為已知的立體體積設一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，則該物體可用定積分求其 體積.不妨設上述直線為X軸，則在x處的截面面積A(x)是x的已知連續(xù)函數(shù)，求

9、該物體介于x=a和x=b(a <b)之間的體積(如下圖)為求體積微元，在微小區(qū)間x,x + dx上視A(x)不變，即把x,x+dx上的立 體薄片近似看作A(x)為底，dx為高的柱片，于是得dV =A(x)dx,再在x的變化區(qū)間a,b上積分，則得公式bV = i A( x)dx. a例5設有底圓半徑為R的圓柱，被一與圓柱面交成口角且過底圓直徑的平 面所截，求截下的楔形體積(如下頁圖)。解取坐標系如圖，則底圓方程為在x處垂直于x軸作立體的截面，得一直角三角形，兩條直角邊分別為 y及 ytana 即 Jr_ 2 x=tan ： (R x -) -x2 及 ；R2 -x2 tan« ,

10、其面積為 A(x)=1(R2-x2)tan。,從而得2楔形體積為R 1RR=2R3tan:V= q (R -x ) tan： dx = tan。： i (R -x )dx22.旋轉體體積設旋轉體是由連續(xù)曲線y = f (x)和直線x= a, x = b(a <b),及 x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉而成(如下圖)，我們來求它的體積 V。在區(qū)間a,b上點x處垂直x軸的截面面積為A(x)= f 2(x).在x的變化區(qū)問ba,b內積分，得旋轉體體積為V = q f (x)dx.類似地，由曲線x=5(y),直線y=c,y = d及y軸所圍成的曲邊梯形繞 y軸 旋轉，所得旋轉體體積(如下圖)為d

11、2v = 4 9(y)dy.c222例6求由星形線x3 +y3 =a3(a>0)繞x軸旋轉所成旋轉體體積(如下O|y. A a x-a2解由方程x22 y3 =a3解出22= (a-x3)3,于是所求體積為V = TTL y2dx =2 冗工(a3 x3 )3dx4 22 4a O 二 1 二 二 O29 Q=2 冗(a -3a3x3 +3a3x3 -x )dx =而.0105四、平面曲線的弧長設有曲線y = f(x)(假定其導數(shù)f'(x)連續(xù))，我們來計算從x = a到x=b的 一段弧長的長度s (如下頁圖).我們仍用微元法，取 x為積分變量，xwa,b,在微小區(qū)間x,x +

12、dx內， 用切線段MT來近似代替小弧段MN (“常代變”)得弧長微元為ds = MT = . MQ2 QT2 = J(dx)2 (dy)2 = J1 y'2dx.這里ds+y'2dx也稱為弧微分公式.在x的變化區(qū)間a,b內積分，就得所求弧長s =.1 y'2dx =1 If'(x) 2dx.a'a "五、課堂練習思考題 習作題思考題答案習作題答案2 o 1 2.281. - -2. nr h .3. 一 n .3 315六、小結1 .定積分應用的微元法2 .用定積分求平面圖形的面積3 .用定積分求體積4 .平面曲線的弧長七、布置作業(yè)P1381

13、2 3第二課時教學過程一、定積分的物理應用1.功(1)變力做功設物體在變力F(x)作用下沿x軸由a處移動到b處，求變力F(x)所做的功.由于力F(x)是變力，所求功是區(qū)間a,b上非均勻分布的整體量，故可以用 定積分來解決.禾I用微元法，由于變力F(x)是連續(xù)變化的，故可以設想在微小區(qū)問 x,x+dx上作用力F(x)保持不變(“常代變”求微元的思想)，按常力做功公式 得這一段上變力做功近似值.F(x),b .O a x dx x如圖所示建立坐標系，變力F(x)使物體從微小區(qū)間x,x + dx的左端點x處 移動到右端點x+dx處，所做功的近似值，即功微元為dW = F(x)dx,將微元dW 從a到

14、b求定積分，得F(x)在整個區(qū)間上所做的功為bW = a F(x)dx.例1在原點O有一個帶電量為十q的點電荷，它所產生的電場對周圍電荷有作用力.現(xiàn)有一單位正電荷從距原點a處沿射線方向移至距O點為b(a<b)的地 方，求電場力做功.又如果把該單位電荷移至無窮遠處，電場力做了多少功？解 取電荷移動的射線方向為x軸正方向，那么電場力為F=kq2 (k為常x數(shù))，這是一個變力.在x,x+dx上，以“常代變”得功的微元為dW=kdx于是功為xkq .一 /1、W = =dx = kq iJo 21ax < XJ,11、=kq( ).a a b當 dx 二一 kq1二kqa a若移至無窮遠處

15、，則做功為物理學中，把上述移至無窮遠處所做的功叫做電場在 a處的電位，于是知電 場在a處的電位為V=蛆.a例2設汽缸內活塞一側存有定量氣體，氣體做等溫膨脹時推動活塞向右移動一段距離，若氣體體積由Vi變至V2,求氣體壓力所做的功（如下圖）.O si s S2解氣體膨脹為等溫過程，所以氣體壓強為P = C（V氣體體積，.常數(shù)）,而活塞上的總壓力為F = PQ = CQ = C V S,（Q活塞的截面積，S為活塞移動的距離，V=SQ）以&與S2表示活塞的初 始與終止位置，于是得功為S2S2 1W = FdS=C dS'Si-Si SV2 1 二 CdVV1 VV2V2= ClnV =

16、Cln.V1V1（2）抽水做功例3 一個底半徑為4m,高為8m的倒立圓錐形容器，內裝6m深的水，現(xiàn)要 把容器內的水全部抽完，需做功多少？解 我們設想水是一層一層被抽出來的，由于水位不斷下降，使得水層的提升高度連續(xù)增加，這是一個“變距離”做功問題，亦可用定積分來解決.選擇坐標系（見下圖）,于是直線AB方程為y = 1x + 4.2在x的變化區(qū)間2,8內取微小區(qū)間x,x+dx,則抽出這厚為dx的一薄層水所需做功的近似值為8于是功為dW=dV ”一水的比重）828 x 282 xW =九乙：xy dx = d b x(4 -) dx =冗了 |2(16x -4x + )dx=，(8x2 -4x3 +

17、4 8x . 83.33一)=9.8父63冗父10 (J) (¥ =9.8父10 N/m )16 22 .液體對平面薄板的壓力設有一薄板，垂直放在比重為 學的液體中，求液體對薄板的壓力.由物理學知道, 在液體下面深度為h處，由液體重量所產生的壓強為中=柏，若有面積為A的薄 板水平放置在液深為h處，這時薄板各處受力均勻，所受壓力為 P=WA = ?hA, 如今薄板是垂直于液體中，薄板上在不同的深度處壓強是不同的， 因此整個薄板 所受的壓力是非均勻分布的整體量.下面結合具體例子來說明如何用定積分來計 算.例4 一個橫放的半徑為R的圓柱形水桶，里面盛有半桶油，計算桶的一個端面所受的壓力（設

18、油的比重為 不）.解 桶的一端面是圓板，現(xiàn)在要計算當油面過圓心時，垂直放置的一個半圓 板的一側所受的壓力.選取坐標系（如下圖）圓方程為 x2+y2 =R2.取x為積分變量，在x的變化區(qū)間0, R內取微小區(qū)間x,x + dx,視這細條上壓強不變，所受的壓力的近似值， 即壓力微元為dP = ' xdS = 2 x . R2 - x2dx,于是，端面所受的壓力為1R2-R3.o 3P 二一 QR(R2 -x2)2 d(R2 -x2)23l2 2 2-(R2-x2)2> 1第三課時教學過程3 .轉動慣量在剛體力學中轉動慣量是一個重要的物理量， 若質點質量為m,到一軸距離為r ,則該質點繞

19、軸的轉動慣量為I =mr2現(xiàn)在考慮質量連續(xù)分布的物體繞軸的轉動慣量問題，一般地，如果物體形狀對稱，并且質量為均勻分布時，則可以用定積分來解決 .例5 均勻細桿長為l ,質量為m ,試計算細桿繞過它的中點且垂直于桿 的軸的轉動慣量.解選擇坐標系（如下圖）.先求轉動慣量微元dl ,為此考慮細桿上x, x + dx一段，它的質量為mdx, 把這一小段桿設想為位于x處的一個質點，它到轉動軸距離為|x,于是得微元Rm 2 R .o 2為沿x方向，從0積到R,就得到圓板的轉動慣量4R 2m 3 2mx2 x dx =2 0 RR 4二、經濟應用問題舉例1.已知總產量的變化率求總產量例7設某產品在時刻t總產量的變化率為f (t) = 100+12t-0.6t2求從t=2到t=4的總產量(t的單位為h).解設總產量為Q(t),由已知條件Q'(t)= f (t),則知總產量Q(t)是f(t)的一個原函數(shù)，所以有4.,、. 2、.23 4(f(t)dt = g(100+12t 0.6t )dt=(100t