極限的性質和運算法則

1、 極限的性質和運算法則極限的性質和運算法則一、極限的性質一、極限的性質1.如果如果 f（x）g（x），）， 而而BxgAxf)(lim,)(lim則有則有AB2.極限的唯一性極限的唯一性如果如果0 xxAxf,)(lim0 xxBxf,)(lim又又則必有則必有A=B3.極限的局部保號性),0(0)(lim0AAxfxx若若的的某某一一去去心心鄰鄰域域內內，則則在在0 x).0)(0)(xfxf或或必必有有)0(0AA則則的的某某一一去去心心鄰鄰域域內內，在在若若0 x),0)(0)(xfxf或或有有，且且Axfxx)(lim01)2)(局部局部)有界性有界性的的某某一一去去心心鄰鄰域域內內，

2、則則在在0 x.)(有有界界函函數(shù)數(shù)xf,)(lim0Axfxx若若定理定理5 的的充充要要條條件件是是Axfxx)(lim04、極限與無窮小的關系、極限與無窮小的關系)()(xAxf00)(limxxx其其中中 (1) (1) 自變量必須在同一變化趨勢下；自變量必須在同一變化趨勢下；(2)(2)極限存在的函數(shù)可寫成其極限值極限存在的函數(shù)可寫成其極限值 與無窮小之和與無窮小之和注意注意,)()2111xxxf例例)()(12xxf則則0)1(lim1xx1x取取xxxf11)(則,)()1121 xxxf0)1(lim1xxxxx1取取二、無窮小的運算性質二、無窮小的運算性質定理定理6 有限個

3、無窮小的代數(shù)和仍為無窮小有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.定理定理7 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.xxx120sinlim求求極極限限例例知知為為有有界界函函數(shù)數(shù)，由由定定理理而而71xsin01sinlim0 xxx推論推論1 常量與無窮小之積仍為無窮小常量與無窮小之積仍為無窮小.推論推論2 有限個無窮小之積仍為無窮小有限個無窮小之積仍為無窮小.為為無無窮窮小小，時時因因為為當當解解xx0: 無窮大量與無窮小量的乘積是否為無窮大？無窮大量與無窮小量的乘積是否為無窮大？思考：無窮大量與無窮小量的乘積是否為無窮??？思考：無窮大量與無窮小量的乘積是否為無窮??？三

4、、極限的運算法則三、極限的運算法則定理定理8 8,limAU 若若BAVUlimlimBAVUlimlim)0(limlimBBAVU推論推論3 3為為常常數(shù)數(shù)CUCCU,lim)lim(為常數(shù)為常數(shù) ,)(limlimUU推論推論4 4的的函函數(shù)數(shù)，均均為為、設設xVU.同同一一變變化化過過程程中中的的極極限限量量為為且且以以下下極極限限都都是是在在自自變變則則,limBV )lim()1(VU )lim()2(UV)lim()3(VU1 1）若有限個函數(shù)的極限存在，）若有限個函數(shù)的極限存在，2 2）上面各定理對于數(shù)列同樣正確）上面各定理對于數(shù)列同樣正確3 3）上面各定理的極限過程為）上面各

5、定理的極限過程為 或或x0 xx的的極極限限即即多多項項式式求求0 xx 注注 1 1）11lim2lim) 12(lim111xxxxx例例1nnnnaxaxaxP110)(若若)()(lim0101000 xPaxaxaxPnnnnnxx則則即即為為求求該該點點的的函函數(shù)數(shù)值值則和的極限則和的極限 等于極限的和等于極限的和注意：注意：若nnnnaxaxaxP110)(mmmmbxbxbxQ110)(且0)(0 xQm則)()()()(lim000 xQxpxQxpmnmnxx例例2351222xxxxlim13limlim5lim1limlim2222222xxxxxxxx35(lim)

6、1(lim2222xxxxx注注 2）注注 3）若0)(0 xQm0)(0 xpn)()(lim0 xQxpmnxx則則應消去零因子后，再求極限例例31) 32(lim1xx4532lim21xxxx原式0)(0 xpn0)(0 xQm若注注 4）例例493lim23xxx31lim3xx61注注 5）對于無理分式，若是型函數(shù)求極限，00則應將分子或分母有理化后，再求極限0) 45(lim21xxx例例5xxx11lim200) 11(lim20 xxx) 11(lim220 xxxx357243lim2323xxxxx33357243xxxxxlim73例例6例例7) 12)(12(lim2

7、23xxxxx)12)(12(11lim2xxxx41)1212(lim223xxxxx例例8)1(limxxx0babaxxxx、求設, 0)11(lim2xxx11limmmmnnnxbxbxbaxaxa110110limmnmmnnxxxbxbbxaxaa1010limmnmnnmba,0,00注注 6） 例例91)1()()12xbxbaxa（數(shù)故分子次數(shù)低于分母次1, 1001babaa得所以例例9四、有關數(shù)列極限的題目四、有關數(shù)列極限的題目)21(lim222nnnnn)21 (1lim2nnn2) 1(1lim2nnnn21，由已知，上式極限為零解baxxx1121)1()1()1(2xxbxaxx例例10NnNn1211limNnNnn1) 1(2lim)111()4131()3121(21 2limNNN2)111 (2limNN例例11)1 ()1)(1)(1 (lim,242nxxxxn求)1 ()1)(1)(1 (lim242nxxxxn解xxxxxnn111112422)()()(lim（xxnn11lim12) 1(11xx) 1(24323221 limNNNxxxxxxnn1)1 ()1)(1)1)(1 (lim242（1x設例例12)2cos2cos2(coslim2nnxxxxxxxxnnsin2cos2cos2cos