因式分解技巧十法

1、因式分解技巧這里介紹了 10 種因式分解的技巧，若將這些技巧全部掌握，在解決因式分 解問(wèn)題上必然有質(zhì)的提升。首先提取公因式，然后考慮用公式。十字添拆要合適，待定主元要試試。幾種方法反復(fù)試，最后必是連乘式。一、提取公因式法 多項(xiàng)式中所有的項(xiàng)都含有的因式稱為它們的公因式。例 1：分解因式12a2bc2x2y3-9ab2cx3y2+3abcx2y2解：仔細(xì)觀察，其中 3abcx2y2 是它們的公因式 所以 原式 =3abcx2y2(4acy-3bx+1) 技巧：先提取每一項(xiàng)的系數(shù)的公因數(shù)，再逐個(gè)將每個(gè)字母的最低次提取出 來(lái)。注意其中符號(hào)的變化以及不能遺漏其中的“1”。例 2：分解因式 3x2y(a+

2、b)(b+c)+3xy2(a+b)(b+c)若在求解過(guò)程中將(a+b)(b+c)展開(kāi)，則在后面的分解過(guò)程中會(huì)有很大 的麻煩，應(yīng)該觀察到每一項(xiàng)都含有(a+b)(b+c),將其看成一個(gè)整體，不做變化。解：含有公因式 3xy(a+b)(b+c)所以 原式 =3xy(a+b)(b+c)(x+y)技巧：在分解過(guò)程中，利用好整體思想。二、公式法 利用常見(jiàn)的公式進(jìn)行因式分解。常用公式a2-b2=(a+b)(a-b) a2-2ab+ b2=(a-b)2 a2+2ab+b2=(a+b)2 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3+3a2b+3ab2+b3=(a

3、+b)3 a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2補(bǔ)充公式當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)有an+bn=(a+b)(an-1 -an-2b+an-3b2- -abn-2+bn-1) 當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，有an-bn=(a-b)(an-1 +an-2b+an-3b2+ +d+bn-1)例 3:分解因式 16(m+x)2-9(n+y)2解：16(m+x)2=(4m+4x)29(n+y)2=(3 n+3y)2原式=(4m+4x) 2-(3 n+3y)2=(4m+3 n+4x+3y)(4m-3 n+4x-3y)技巧：應(yīng)該先觀察，若先進(jìn)行展開(kāi)，將會(huì)非常麻煩。例4

4、：分解因式-1-2x-x2+y2解：原式=y2-(x2+2x+1)=y2-(x+1)2 =(y+x+1)(y-x-1)例5:分解因式 9x2-24xy+16y2解：原式=(3x)2-24xy+(4y)2=(3x-4y)2例 6:分解因式 a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca解：原式=(a2+2ab+b2) -2(a+b)c+c2 =(a+b)2-2(a+b)c+c2=(a+b-c)2例7:分解因式x3+1解：原式=x3+13=(x+1)(x2-x+1)注意“ 1”的妙用。例&分解因式x6-y6 方法一、原式=(x2)3-(y2)3=(x2-y2)(x4+x2y2+y4) =(x-y

5、)(x+y)(x2-xy+y2)(x2+xy+y2)方法二、原式=(x3)2-(y3)2=(x3+y3)(x3-y3) =(x-y)(x+y)(x2-xy+y2 )(x2+xy+y2)例9:分解因式 x3+3x2+3x+1方法一、利用完全立方公式有原式=(x+1)3方法二、原式=x3+1+3x(x+1)=(x+1)(x2-x+1)+3x(x+1)=(x+1)(x2+2x+1)=(x+1)3例10:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4+y4解：原式=x4+2x2y2+y4-2x2y2=(x2+y2 )2-( -y)2=(x2+芒泵y+y2)(2-,蘋 y+y2)例11:分解因式x5-1方法一、利用公式求解方

6、法二、原式=x5-x4+x4-x3+x3-x2+-x+x-1 =(x-1)x4+(x-1)x3+(x-1)x2+(x-1)x+x-1 =(x-1)(x4+x3+x2+x+1)三、 分組分解法對(duì)多項(xiàng)式的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M使之能夠提取公因式或應(yīng)用公 式。要求做到高瞻遠(yuǎn)矚。例12：分解因式 ax-by-bx+ay解：原式=ax+ay-bx-by=a(x+y)-b(x+y)=(a-b)(x+y)例13：分解因式x3+x2-y3-y2解：原式=x3-y3+x2-y222=(x-y)(x +xy+y )+(-y)(+y)22=(x-y)(x +xy+y +x+y)注：若將X3, x2分成一組，將y3, y2

7、分成一組，則無(wú)法進(jìn)行分解.四、 添項(xiàng)與拆項(xiàng)分解法仔細(xì)觀察多項(xiàng)式的特點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)捻?xiàng)或?qū)⑵渲械捻?xiàng) 進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱?，使解題思路變得清晰。注意在添項(xiàng)與拆項(xiàng)過(guò)程中進(jìn)行的是恒 等變形。例14：分解因式a3-b3解：原式=a3-ab2+ab2-b3=a(a2-b2)+b2(a-b)=a(a-b)(a+b)+b2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2)例15:分解因式x3-2x+1解：原式=x3-x-x+1=x3-x2+x2-2x+1=x(x-1)(x+1)-(x-1)=x2(x-1)+(x-1)2=(x-1)(x2+x-1)=(x-1)(x2+x-1)例16:分解因式a4+a2b2+b44解：原式=a4

8、+2a2b2+b4-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)五、十字相乘法與長(zhǎng)十字相乘法類似x2+(a+b)x+ab的式子可以分解為(x+a)(x+b).例17：分解因式 x2+5x+6解：原式=x2+(2+3)x+6=(x+2)(x+3)技巧：將常數(shù)項(xiàng)拆成兩項(xiàng)相乘，這兩項(xiàng)之和為一次項(xiàng)的系數(shù)。例18:因式分解 6x2-7x+2解：將6x2拆成2x與3x,將分解為-1與-2,進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合有原式=(2x-1)(3x-2)六、換元法適用于次數(shù)較大或式子比較復(fù)雜的情況。例19:因式分解x6-28x3+27解：令t=x3則原式=t-28t+27=(t-1)(t-

9、27)=(x3-1)(x3-27)=(x-1)(x-3)(x2+x+1)(x2+3x+9)注意：在結(jié)果中不能出現(xiàn)題目中沒(méi)有出現(xiàn)的字母。例 20:分解因式(x2+3x+3)2+(x2+3x+1)2-2 解：令 t=x2+3x+2 則 原式=(t-1)2+(t+1)2-2=2t2 =2(x+3x+2)2=2(x+1)2(x+2)2七、主元法當(dāng)多項(xiàng)式中含有多個(gè)元時(shí)，若在因式分解過(guò)程中感覺(jué)比較復(fù)雜, 可以選擇其中一個(gè)元作為主元進(jìn)行分解，往往有意想不到的效果。例 21:分解因式y(tǒng)4+(x-1)y3+(x+1)y+x2-1分析：此多項(xiàng)式是以 y降幕排列的，整體比較復(fù)雜，繼續(xù)觀察，發(fā) 現(xiàn)可以按照X降幕排列。

10、解：原式=x2+(y3+y)x+y4-y3+y-1=x2+(y3+y)x+(y3+i)(y-i) =(x+y3+1)(x+y-1)技巧：選取主元時(shí)，一般選擇字母指數(shù)最低的作為主元。八、求根公式法一般應(yīng)用于形如 ax2+bx+c (a 0)的多項(xiàng)式的因式分解。I j .才，r廠2若 ax+bx+c=0 有兩個(gè)根 x,2 貝V ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) 利用一元二次方程的求根公式可以求出方程的兩個(gè)根。求根公式例22:分解因式 3x2+6x+2解：令 3x2+6x+2=0 解得 x X2原式=(-x+ -+1)(番x+ -1)九、待定系數(shù)法先設(shè)定多項(xiàng)式等于含有待定系數(shù)的因式的乘積

11、，再利用多項(xiàng)式的恒等式定理求得待定系數(shù)，從而完成多項(xiàng)式因式分解的方法稱為待定系數(shù) 法。待定系數(shù)法在其它許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中有較大的作用。主要思路：1. 要根據(jù)多項(xiàng)式的特征，假設(shè)它能夠分解出含有待定系數(shù)的某種可能的 因式。2. 把假設(shè)的各因式展開(kāi)并整理為與多項(xiàng)式類似的形式。3. 根據(jù)恒等式的性質(zhì)列出方程組，解方程組求出待定系數(shù)。4. 使待定系數(shù)的值適合方程組中的每一個(gè)方程。5. 將求出的待定系數(shù)代入假設(shè)中，從而將多項(xiàng)式因式分解。例 23 :分解因式 x2+3y2-2z2+4xy-xz+yz解：設(shè)原式=(x+y+az)(x+3y+bz其中a、b為整數(shù) 方法一、采用系數(shù)比較法。因?yàn)?x2+3y2-2z2+

12、4xy-xz+yz x2+3y2+abz2+4xy+(a+b)xz+(3a+b)yz 有 ab=-2a+b=-1解得 a=1 b=-23a+b=1所以原式=(x+y+z)(x+3y-2z) 方法二、采用數(shù)值代入法。1) 取 x=y=1,有 ab+4a+2b=-22) 取 x=z=1,y=-1 有 ab-2a=-43) 解得 a=1,b=-2所以原式=(x+y+z)(x+3y-2z)技巧：確定待定系數(shù)一般有兩種方法：一是系數(shù)比較法，利用多項(xiàng)式恒等定理，通過(guò)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)， 列出有關(guān)待定系數(shù)得方程組； 二是數(shù)值代入 法，利用多項(xiàng)式恒等定理， 通過(guò)代入幾組字母的特殊值，列出有關(guān)待定系數(shù)得方程組。十、賦值試探法將X取一個(gè)特殊值C代入多項(xiàng)式，若多項(xiàng)式得值為0，則X-C為多項(xiàng)式得一個(gè)因式。當(dāng)然，我們選擇代入得數(shù)字式有一定的規(guī)律的。對(duì)于多項(xiàng)式 ann+an-n-1+an-2n-2+ax1+ao 來(lái)說(shuō)賦值常是c=qp,其中P是a的因數(shù)，q是a得因數(shù)，正得或負(fù)的。例 24:分解因式 f(x)=2