高等數(shù)學(xué)D5_3定積分的換元法與分部積分法

1、二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 第三節(jié)不定積分一、定積分的換元法一、定積分的換元法 換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和 分部積分法 第五五章 第二類(lèi)換元法第二類(lèi)換元法第一類(lèi)換元法第一類(lèi)換元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 設(shè), )()(ufuF)(xu可導(dǎo),xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(則有一、定積分的換元法一、定積分的換元法 定理定理1. 設(shè)函數(shù), ,)(baCxf函數(shù))(tx滿足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t

2、)(t證證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù), 因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .,)()(的一個(gè)原函數(shù)是設(shè)xfxF是的原函數(shù) , 因此有則baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t則說(shuō)明說(shuō)明: :1) 當(dāng) , 即區(qū)間換為，時(shí),定理 1 仍成立 .2) 必需注意換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限 , 原函數(shù)中的變量不必代回 .3) 換元公式也可反過(guò)來(lái)使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不換限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t例例1. 計(jì)算).0(d022axxaa解解: 令,sintax 則,d

3、cosdttax ;0,0tx時(shí)當(dāng).,2tax時(shí) 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos2O22xayxyaS且例例2. 計(jì)算.d12240 xxx解解: 令, 12 xt則,dd,212ttxtx,0時(shí)當(dāng)x,4時(shí)x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 例例3., ,)(aaCxf設(shè)證證:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xx

4、fad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時(shí))()(xfxf時(shí))()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令例例4. 設(shè) f (x) 是連續(xù)的周期函數(shù), 周期為T(mén), 證明：xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0解解: (1) 記01 sin2 dnIx x,d)()(xxfaTaa)()()(afTafa0無(wú)關(guān)，與可見(jiàn)aa)(),0()(a因此),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa并由此計(jì)算則即xxfxxfTTaad)(d)(0(2)xxfnTaad)(xxfTkTakTankd)(10 xxnd2sin10),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTn

5、Taa并由此計(jì)算,) 1 (akTa中的看作將)(d)(0NnxxfnT為是以x2sin1周期的周期函數(shù)xxnd2sin10 xxnd2sin10 xxfxxfTTkTakTad)(d)(0則有xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0 xxnxxnd2sin1d2sin100 xxxnd)sin(cos02xxxndsincos0 xxnd)sin(2044 xt令ttndsin2454ttndsin20ttndsin20n22xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 定理定理2. , ,)(, )(1baCxvxu設(shè)則)()(d)()(xv

6、xuxxvxubaabbaxxvxud)()(二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 定理定理2. , ,)(, )(1baCxvxu設(shè)則)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(證證:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上積分兩端在,ba例例5. 計(jì)算.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x021122

7、3120dcosttn20dcosxxn例例6. 證明證明20dsinxxInn證證: 令20dcosxxn,22143231nnnnn 為偶數(shù),3254231nnnnn 為奇數(shù),2xt則20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 則,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn02022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得遞推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsi

8、nxxInn201dsinxxI1故所證結(jié)論成立 .0I1I22mI2232mm42mI214312mI1222mm32mI3254內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.提示提示: 令, txu_d)(sindd0100ttxxx則ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin2. 設(shè),0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131(e) f解法解法2. 對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo),xxfx132)

9、(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)(e)e1fuuffe1131duu31得3. 設(shè), 1 ,0)(連續(xù)在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部積分分部積分)1. 證明 證：證：2dsin)(xxxxxf是以 為周期的函數(shù).2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以 為周期的周期函數(shù).證：證：2.右端,)(上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)在設(shè)baxf)(af且試證 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)(baxfbxax)(d)(2