高等代數(shù)張禾瑞版教案第章線性方程組

1、第四章線性方程組4.1消元法教學(xué)目的：1、掌握線性方程組的和等變換，矩陣的初等變換等概念。理解線性方程組的和等變換是同 解變換，以及線性方程組的初等變換可用增廣矩陣的相應(yīng)的行初等變換代替。2、熟練地掌握用消元發(fā)解線性方程組，以及判斷線性方程組有沒(méi)有解和解的個(gè)數(shù)。設(shè)方程組：aiixi+a 12x2+ +a inxn=b i;a2lXl+a22X2 + .+a2nXn=b2；amiXi+a m2X2+a mnXn=b m.i線性方程組的初等變換：例i解線性方程組：Xi+ X 2 +X 3 =i23(2)x i + X 2 +3x 3 =332x i+ x 2 +5x 3 =231從第一和第三方程分

2、別減去第二個(gè)方程的一倍和2倍,來(lái)消去前兩個(gè)方程中的未知量x 1（即2 把*1的系數(shù)化為零).我們彳4到：Xi-X3=J222Xi+ x 2 +3x 3=33 23-2x 2 -x 3 =-4-2后，與第二個(gè)方程交換，彳#:為了計(jì)算的方便，我們把第一個(gè)方程乘以x1+ x 2 +3x 3 =33x 2 +x 3 =1-2x 2 -x 3 =-4把第二個(gè)方程的2倍加到第三個(gè)方程，來(lái)消去后一方程中的未知量 X 2 ,我們得到x 1+ x 2 +3x 3 =3 13 23x 2 +x 3 =1X 3=-2現(xiàn)在很容易求出方程組的解.從第一個(gè)方程減去第三個(gè)方程的3倍,再?gòu)牡诙€(gè)方程減去第三個(gè)方程（相當(dāng)于把x

3、 3的值-2代入第一和第二個(gè)方程）,得x 1+ x 2 =93x 2 =3x 3=-2，人、巾人、仙,5、，,，_/口再?gòu)牡谝粋€(gè)方程減去第二個(gè)方程的一倍（相當(dāng)于把x2的值3代入第一個(gè)方程）,得3x 1 =4x 2 =3x 3=-2這樣我們就求出了方程組（2）的解.分析一下以上的例子，我們看到，我們對(duì)方程組施行了三種變換 ：1） 交換兩個(gè)方程的位置；2） 用一個(gè)不等于零的數(shù)乘某一個(gè)方程；3） 用一個(gè)數(shù)乘某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程我們把這三種變換叫做線性方程組的初等變換由初等代數(shù)知道，以下定理成立.定理4.1.1初等變換把一個(gè)線性方程組邊為一個(gè)與它同解的線性方程組2矩陣：利用線性方程組（1）的系數(shù)

4、可以排成如下的一個(gè)表：a1a12.a1n321322.32n ,.3m13m2.3mn而利用（1）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)又可以排成下表：a11a12.a1nb1321322.a2nb24） ） 331332 b3 .3 m1 3m2 .3 mnbm定義1由st個(gè)數(shù)cij排成一個(gè)s行t列的表叫作一個(gè)s行t列（或st）矩陣。叫cij作這個(gè)矩陣的元素。注意：矩陣和行列式雖然形式上有寫(xiě)類似，但有完全不同的意義。一個(gè)行列式是一些數(shù)的代 數(shù)和，而一個(gè)矩陣僅僅是一個(gè)表。我們把矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣。一個(gè)線性方程組的增廣矩陣顯然完全能夠代表這個(gè)方程組，我們按照線性方程組的初等變

5、換引入矩陣的初等變換的概念定義2:矩陣的行（列）初等變換指的是對(duì)一個(gè)矩陣施行的下列變換：1）交換矩陣的兩行（列）；2）用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列），即用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素；3）用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一剛（列） 的每一元素后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上。顯然，對(duì)一個(gè)線性方程組施行一個(gè)初等變換，相 當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣施行一個(gè)對(duì)應(yīng)的行初等變換，而化簡(jiǎn)線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡(jiǎn)它的增廣矩陣。因此我們將要通過(guò)化簡(jiǎn)急診來(lái)討論化簡(jiǎn)線性方程組的問(wèn)題。這樣作，不但討論起來(lái)比較方便，而且能夠給予我們一種方法，就一個(gè)線性方程

6、組的增廣矩陣來(lái)解這個(gè)線性方程組， 而不必每次把未知量寫(xiě)出。我國(guó)古數(shù)學(xué)書(shū)九章算術(shù)（至遲寫(xiě)成于三世紀(jì)）中，就是用這種方法解線性方程組的。在對(duì)一個(gè)線性方程組施行初等變換時(shí)，我們的目的是消去未知量，也就是說(shuō)，把方程組的左段化簡(jiǎn)。因此我們先來(lái)研究，利用三種初等變換來(lái)化簡(jiǎn)一個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣的 問(wèn)題。在此，為了敘述方便，除了行初等變換外，我們還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一 種初等變換。后一種初等變換相當(dāng)于交換方程組中未知量，這對(duì)于方程組的研究顯然沒(méi)有什么影響。在例1里，我們?cè)逊匠探M（2）的系數(shù)矩陣1 1112 315 3。32 4 5 3先化為然后進(jìn)一步化為對(duì)于任一線性方程組的系數(shù)矩陣來(lái)說(shuō)，我

7、們一般不能它化為這樣簡(jiǎn)單的形式。但我們有定理4.1.2設(shè)A是一個(gè) m行n列矩陣：an&2.amA=a21a22.a2n.am1dm2.Hmm通過(guò)行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式：(5) rJ行11*1 0.*1.*.*.*.Lf0 0.0進(jìn)而化為以下形式:10 0.0.0C1,r 1.010.0C2,r 2 .(6) 0.0.0.1.Cr,r 1 .0.0.這里r >0,r< m,rn,*表小矩陣的兀素ClnC2n.Crn0.0但不同位置的*表示的元素未必相同證若是£!陣a的元素aj 都等于零，那么a已有（5）的形式。設(shè)某一 aij不等于零。必要時(shí)交

8、換矩陣的行和列，可以使這個(gè)元素位在矩陣的左上角。用i，一乘第一行，然后由其余各行cj分別減去第一行的適當(dāng)倍數(shù)，矩陣A化為1 *0 *B=若在B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么 B已有（5）的形式。設(shè)在 B的后 m-1行中有一個(gè)元素 b不為零。把b換到第二行第二列的交點(diǎn)的位置，然后用與上面同樣的方*O法，可把B化為1 * *0 1 *0 0 *如此繼續(xù)下去，最后可以得出一個(gè)形如（5）的矩陣。形如（5）的矩陣可以進(jìn)一步化為形如（6）的矩陣是顯然的。我們只要由第一，第二，第 r-1行分別減去第r行的適當(dāng)倍數(shù)， 再由第一、第二，第r-2行分別減去第r-1行的適當(dāng)倍數(shù)，等等。現(xiàn)在考察方程組（1

9、 ）的增廣矩陣（4）。由定理4.1.2 ,我們可以對(duì)（1 ）的系數(shù)矩陣（3） 施行一些初等變換而把它化為矩陣（ 6）。對(duì)增廣矩陣（4）施行同樣的初等變換，那么（ 4）化 為以下形式的矩陣：10. 0QU 1 .C1rd101. 0C2,r 1. C2nd2.0. .10. . 1.Cr，r 1 . .Crn.dr0. .1. .0dr.0. .1. .1. . .0.dm與（7）相當(dāng)?shù)木€性方程組是XiJCu 1 Xjr： +Cln 為&Xi2 + C2jiXi-+ + C2”n=d2（8） Xir + Cr,r 1 Krr +Cr1n X dr0= dr 1 0=dm這里 i1,i2,

10、，in 是 1, 2 , ,n情形1。R<m,而dr 1， dm不全為零。這時(shí)方程組（8）無(wú)解，因?yàn)樗暮髆-r個(gè)方程組至少有一個(gè)無(wú)解。因此方程組（1）也無(wú)解。情形2。R=m或R<m而dr 1， dm全為零，這時(shí)方程組（8）與方程組Xi1 + C1，r 1 Xir1+C1n Xin = d1Xi2 + C2，r 1 Xir1+ C2n n=d2（9） Xir + Cr，r 1 Xir1+ Cr1n 丸二d同解。當(dāng)r=n時(shí)，方程組（9）有唯一解，就是 Xi = d t 5仁12.,n.這這也是方程組）（的唯一解。當(dāng)R<n時(shí)，方程組（9）可以改寫(xiě)成Xi1=d 1-C1,r+1 X

11、ir+1 -C1nXin,Xi2=d 2-C2,r+1 Xir+1 -C2nXin,（10 ）Xir=d r-C r,r+1 Xir+1 - - -C rn Xin .于是，給予未知量Xi，r 1,，Xin以任意一組數(shù)值ki,r+1,?，ki,n,就得到（9）的一個(gè)解:Xii = dl-Cl，r 1 kiri-Cln kin 'Xi2i = dr-Crj 1 kiJ 1- -6 kinnXir1r = ki , r 1 rXin=kin.這也是（1）的一個(gè)解。由于 k ir+1 ,，kin可以任意選取，用這一方法可以得到（1）的無(wú)窮多解，另一方面，由于（9 ）的任一解都必須滿足（10

12、），所以（9 ）的全部解，即（1 ）的全部解都可以用上方法解彳導(dǎo)。我們常把未知量Xi,r+1,，Xin叫作自由變量，而把（10）叫做方程組（ 1 ）的一般解。例 2 解線性方程組5 X1 - X2+2 X3+ X4 =7，2 X1+X2+4 X3-2 X4=1 ，X1-3 X2-6 X3+5 X4=0，51217對(duì)增廣距陣2142 113650施行行初等變換，并注意，我們是要把其中所含的系數(shù)距陣先化為（5 ），再為（6 ），由第一和第二行分別減去第三行的5 倍和 2 倍，把第三行換到第一行，得：由二行減去三行的2 倍得：雖然我們還沒(méi)把增廣化為（5）的形式，但已可看到，相當(dāng)于最后的線性方程組中有

13、一個(gè)方程是0=5所以原方程無(wú)解。4.2 矩陣的秩線性方程組可解的判別法教學(xué)目的：1、 能熟練地用初等變換化簡(jiǎn)矩陣，求出它的秩。2、 能用矩陣的秩判定線性方程組是否有解以及有多少個(gè)解。3、 掌握對(duì)含有參變數(shù)的線性方程組有解無(wú)解的一般方法。教學(xué)內(nèi)容：定義1在一個(gè)S行t列矩陣中，任取 K列（K=S , K=T。位于這些行列交點(diǎn)處的元 素所構(gòu)成的行列式叫作這個(gè)矩陣的一個(gè)K階子式。定義2 一個(gè)矩陣中不等于零的子式是最大階數(shù)叫作這個(gè)矩陣的秩。若一個(gè)矩陣沒(méi)有不等于零的子式，就認(rèn)為這個(gè)矩陣的秩是零。按照定義，一個(gè)矩陣的秩既不能超過(guò)這個(gè)矩陣的行的個(gè)數(shù)，也不能超過(guò)它的列的個(gè)數(shù)。一個(gè)矩陣A的秩用秩A來(lái)表示。顯然，只

14、有當(dāng)一個(gè)矩陣的元素都是零時(shí)，這個(gè)矩陣的秩才能是零。這樣，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r,在任何情形（包括 r=0的情形），都等于矩陣（3）的秩。 現(xiàn)在我們要證明，r也是線性方程組（1）的系數(shù)矩陣（2）的秩，因此r是由系數(shù)矩陣唯一決定 的。定理4.2.1初等變換不改變矩陣的秩。證我們先說(shuō)明以下事實(shí)：若是對(duì)一個(gè)矩陣A施行某一種行或列初等變換而得到矩陣B,那么對(duì)B施行同一種初等變換又可以得到Ao事實(shí)上，若是變換 A的第I行與第j行乘以一個(gè)不等于零的數(shù)a而得到B ,那么把B的第i行乘以 工就又得到A;若是把A的第j行乘以一K加到第Ia行就又得到Ao列初等變換的情形顯然完全一樣。現(xiàn)在我們就第三種行初等變換來(lái)

15、證明定理。設(shè)把一個(gè)矩陣 A的第j行乘以數(shù)k加到第I行而得到矩陣 B :/ / ai1ainai1 +ka j1 -ain+ka jnA= ,B=aj1ajn aj1 ajn并且A的秩是r。我們要證明，B的秩的秩也是r。我們先證明，B的秩不能超過(guò)r, 若是£1陣B沒(méi)有階數(shù)大于r的子式，那么它當(dāng)然也沒(méi)有階數(shù)大于r的不等于零的子式，因而它的秩顯然不能超過(guò) r.設(shè)矩陣B有s階子式D ,而s>r,那么有三種可能情形。（i） D不含第I行的元素：這時(shí) D盧是£1陣A的一個(gè)s階子式，而s大于A有秩，因此D=0。（ii） D含第I行的元素，也含第jait1 +ka jt1 ?, ai

16、ts+ka jtsaajts=0D= =ajt1 ajts aji1 ajts因?yàn)楹笠恍辛惺绞蔷仃囀蔷仃嘇的一個(gè)s階子式。（iii） D含第I行的元素，但不含第 j行的元素。這時(shí)D=a iti +ka jti ? aits +ka jts=D i+KD 2,這里D1=a iti , , a its D2=a jti aj ：s由于Di是矩陣A的一個(gè)s階子式，而D2與A的一個(gè)s階子式最多差一個(gè)符號(hào)，所以這兩個(gè)行列式都等于零，從而 D=0 0因此，在矩陣B有階數(shù)大于r的子式的情形，B的任何這樣的子式都等于零，而 B的秩也不能 超過(guò)r.這樣，在任何情形，我們都有，秩 B=秩A。但我們也可以對(duì)矩陣 B

17、施行第三種行初等變換而得到矩陣Ao因此，我們也有，秩 A <=B o這樣我們就證明了，秩 A=秩B ,即第三種行初等變換不改變矩陣的秩。對(duì)其它初等變換來(lái)說(shuō)，我們可以完全類似地證明定理成立。定理4.2.2 （線性方程組可解的判別法）線性方程組（ i）有解的充分且必要條件是：它的 系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。證用A表示方程組（i ）的增廣矩陣：aiiai2 ainb i、A =a2i ai2a2nb 2 / ami am2amnb m那么A的前n列作成的矩陣 A就是（i ）的系數(shù)矩陣。利用初等變號(hào)把A化為i0 '"0c i.r+i/cin d i0i 0c 2.r|+l

18、c2nd2B =00 ic r,r+i crn dr0 0dr+i0dm并且用B表示B的前n列作成的矩陣。那么由定理4.2.i得:4、 ） 秩人=秩B=r,秩慶=秩B.現(xiàn)在設(shè)線性方程組（i ）有解.那么或者r=m,或者r<m,而dr+i= =dm=0,這兩種情形都有秩B=r.于是由（4）得，秩人=秩A .反過(guò)來(lái)，設(shè)秩人=秩A.那么由（4）得，B的秩也是r.由此得，或者r=m,或者r<m而dr+1 =dm=0,因而方程組（1 ）有解.這樣，定理得到證明.定理4.2.3設(shè)線性方程組（1）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩r.那么當(dāng)r等于方程組所含未知量的個(gè)數(shù) n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng) r&

19、lt;n時(shí)，方程組有無(wú)窮多解.4.3 線性方程級(jí)的公式解教學(xué)目的：1 .掌握線性方程級(jí)的公式解。2 .學(xué)會(huì)應(yīng)用線性方程組的求解公式，討論線性方程組的解數(shù)。 教學(xué)內(nèi)容：1線性方程級(jí)的公式解問(wèn)題.設(shè)有線性方程組aiixi+a 12X2 + ainx n=b i,a211 Xi+a22X2+ a2nXn=b 2, （i）ami Xi+a m2X2+amnX n=b m.的公式解。例1考察線性方程組X 1+2X 2-X 3=2,2X1-3X2+X 3=3,4X 1+X 2-X 3=7.我們把這三個(gè)方程依次用Gi, G2, G3來(lái)表示。那么在這三個(gè)方程間有以下關(guān)系：G3=2G 1+G 2。這就是說(shuō)，第三

20、個(gè)方程是前兩個(gè)方程的結(jié)果.因此由中學(xué)代數(shù)知道，第三個(gè)方程可以舍去，亦即方程組和由它的前兩個(gè)方程所組成的方程組X1+2X 2-X 3=2, 2x i-3x 2+x 3=3, 同解.同樣，把方程組（1 ）的m個(gè)方程依次用 Gi, G2,，Gm來(lái)表示。若是在這 m個(gè)方程中, 某一個(gè)方程Gi是其它t個(gè)方程Gii,Gi2,，Git的結(jié)果，也就是說(shuō)，若是存在 t個(gè)數(shù)ki,k2,ki 使關(guān)系式Gi=k iGii +k 2Gi2 +k iGit成立，那么我們可以在方程組（1）中舍去方程 Gi而把方程組（1）化簡(jiǎn).現(xiàn)在設(shè)方程組（1）有解，并且它的系數(shù)矩陣的秩是rw0.（r=0）的情形是明顯的，我們不必加以討論。

21、）經(jīng)過(guò)初等變換，可以把解方程組（1）歸結(jié)為解一個(gè)含有 r個(gè)方程的線性方程組。定理4.3.1設(shè)方程組（1）有解，它的系數(shù)矩陣 A與增廣矩陣 A的共同秩是rw0.那么可以在（1 ）的m個(gè)方程中選出r個(gè)方程，使得剩下的 m-r個(gè)方程中的每一個(gè)都是這r個(gè)方程的結(jié)果，因而解方程組（1）可以歸結(jié)為解由這r個(gè)方程所組成的線性方程組。證由于方程組（1）的系數(shù)矩陣 A的秩是r,所以A至少含有一個(gè)r階子式D w 0.為了敘述方便，不妨假定 D位在A的左上角，因而也在增廣矩陣A的左上角：aii ajai, r+i . . ainbiDA =a ri "' ar,r ar,r+1 '&quo

22、t;arnbrar+i ,1 ar+i, rar+i,r+iar+i,n br+1/ami .amram,r+1 .arnn bm現(xiàn)在我們證明，方程組(1 )的后m-r 一個(gè)方程的每一個(gè)都是(1)的前r個(gè)方程 ailXl + -airXr+a 1,r+1 Xr+1 + 111 ainXn=b 1,a21 x 1 + a2rXr+a 2,r+1 Xr+1 + a2n Xn =b 2,3 3)ar1X1+-ar2Xr+ar,r+1 Xr+1 +-amXn=b r.的結(jié)果?？?1)的后m-r個(gè)方程的任一個(gè)，例如第 i (r<i<=m )個(gè)方程ai1X1+ .airXr+a i,r+1 X

23、 r+1 +ainXn=b i.,我們需要證明，存在 r個(gè)數(shù)k1,k2,kr,使得Gi=k 1G1+k 2G2+k rGr亦即使an k 1+a 21k 2+ an k r=a i1a1rk1+a2rk2 + arrkr=a ir, (4)a 1,r+1 k1+a2,r+1 k2+ ar,r+1 kr=a i,r+1a1n k1+a 21k 2+arn k r=a in b1k 1+b 2k2+brkr=a i, 為此我們把k1,k2,kr看作未知量，而來(lái)證明線性方程組（4）有解。方程組（4）的增廣矩陣是而B(niǎo)的前r列作成的系數(shù)矩陣B.我們要計(jì)算矩陣B和B的秩.注意，B的列剛好是方程組的增廣矩陣

24、的 A某些行.這樣，矩BB的左上角的r階子式剛好是 A的子式D的轉(zhuǎn)置行列式， 因而不等到于零：由于D也是£!陣B的子式，所以矩陣B和B的秩都至少是r.另一方面，矩陣的B任一個(gè)r+1階子式Dr 1都是A的某一個(gè)r+111階子式的轉(zhuǎn)置行列式.由于A的秩是r,所以A的所有r+1階子式都等于零，由此得Dr 1必然等零.但B沒(méi)有階數(shù)高于?r+1的子式，所以B和B的秩都是r, 而方程組（4）有解.這樣我們就證明了 ，方程組（1）的后m-r個(gè)方程都是前r個(gè)方程的結(jié)果，而解方程組（1）歸結(jié)為 解方程組（3）.3 .方程組（1）的公式解：r=n和r<n的情形.若是r=n,那么（3）就是方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的一個(gè)線性方程組，并且它的系數(shù)行列式D 0,所以（3）有唯一解，這個(gè)解可由克萊姆規(guī)則給出.這個(gè)解也是方程組（1）的唯一解.現(xiàn)在設(shè)r<n,這時(shí)方程組（3）的前r個(gè)未知量的系數(shù)所成的行列式D 0 .在方程組（3）中把含未量Xr 1,Xr 2, ,Xn的項(xiàng)移到右邊，方程組（3）可以寫(xiě)成：暫時(shí)假定Xr1,Xr 2,Xn是數(shù)，那么（3）變成r個(gè)未知量X1,X2,Xr的個(gè)方程.用克萊姆規(guī) 則解出X1,X2, ,Xr得DiD2Dr（5） Xi，X2,Xr ,DDD這里把（5）中的行列式展開(kāi),（5）可以寫(xiě)成（6） 這里dk和Cki都是可以由方程組（1）的系和常數(shù)項(xiàng)表示的數(shù).現(xiàn)