高中物理復(fù)習(xí)競(jìng)賽(運(yùn)動(dòng)學(xué))

1、運(yùn)動(dòng)學(xué).質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)1 .勻速直線運(yùn)動(dòng)2 .勻變速直線運(yùn)動(dòng)3 .變速運(yùn)動(dòng)：微元法問題：如圖所示，以恒定的速率 vi拉繩子時(shí)，物體沿水平面運(yùn)動(dòng)的 速率v是多少？設(shè)在t （ t 0）的時(shí)間內(nèi)物體由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，繩子與水平面成 的夾角由 增大到+,繩子拉過的長(zhǎng)度為 si,物體運(yùn)動(dòng)的位移大小為 S2。因t 0,物體可看成勻速運(yùn)動(dòng)（必要時(shí)可看成勻變速度運(yùn)動(dòng)），物體的速度與位移大小成正比,位移比等于速率比，丫平=丫即=s/ t , S1與S2有什么關(guān)系？如果取 AC為等腰三角形，則 BD= S1,但Si s2cos 。如果取 ACM直角三角形，則s產(chǎn)s2cos，但DB si。普通量和小量；等價(jià)、同

2、價(jià)和高價(jià)設(shè)有二個(gè)小量X1和X2,當(dāng)x1X2和X2為同價(jià)無窮小，當(dāng)當(dāng)X2有限量（普通量）和無限量x 0的區(qū)別.1, X1和X2為等價(jià)無窮小，可互相代替，當(dāng)一任 普通量，X1X2（或X20 ） , X2比X1為更高價(jià)無窮小。X1在研究一個(gè)普通量時(shí)，可以忽略小量；在研究一個(gè)小量時(shí) ，可以忽略比它階數(shù)高的小量。如當(dāng)如圖0時(shí)，AEm與AB玄為等價(jià)，（圓周角）OAB1等腰三角形,sinAD,tan OAADOD2OAD1直角三角形，AB AD ，即sinOA OA和（弦切角）為同價(jià)。OA=OB=OBBD=ODtan（等價(jià)）O21 cos 2 sin一,比更高價(jià)的無窮小量。2回到問題：因?yàn)镈D為高價(jià)無窮小量

3、，繩子拉過的長(zhǎng)度取直角三角形。（V2=V1/cos ）例：如圖所示，物體以 V1的速率向左作勻速運(yùn)動(dòng)，桿繞（1）桿與物體接觸點(diǎn) P的速率？ （V2=V1COs ）（2）桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度？（ =V1sin /OP 。s產(chǎn)BD=BD,因直角三角形比較方便，常1.細(xì)桿M饒Ott以角速度為 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)套在桿和固定的 ABJ絲上的 小環(huán)C骨動(dòng)，a由與AB勺距離為d,如圖所示.試求小環(huán)與 A點(diǎn)距離為 刈寸,2 r|2小環(huán)沿鋼絲滑動(dòng)的速度.（答案：-） d解：設(shè)t時(shí)刻小環(huán)在C位置，經(jīng)t時(shí)間（t足夠?。?，小環(huán)移動(dòng) X,由于t很小，所以 也很小，于是小環(huán)的速度v= x/ t,根據(jù)圖示關(guān)COC C系，CI=O

4、C, X -CO, OC VX2 d2,從上面關(guān)系得cosx OC OC- X2 d2, X2 d2 X2 d2v .t cos t cos cos(d 八 X2 d2) d2.用微元法求：自由落體運(yùn)動(dòng)，在 ti到t2時(shí)間內(nèi)的位移。(答案:1 . 2gt221 ,22 gti)3.解：把ti到12的時(shí)間分成n等分，每段為 t,則t貝Uvi=gti+g t, si=( gti+g t) t, v2=gti+2g t, S2=(gti+2g t) t,vn=gt i+ng t, Sn=(gt i+ng t) t, .2 (n i)nS= si+ s2+ sn=ngti t g t 2gti (t2

5、 ti)若vi=gti, si=gti t,v2=gti+g t, s2=(gti+g t) t,vn=gt i+ (n-i ) g t, sn=gti+ (n-i) g t t,2 (n i) ns= si+ s2+ sn=ngti t g t22gtit ti)t2tin，且看成勻速。,、2g(t2 ti)22g(t2 ti)22也可用圖象法求解。螞蟻離開巢沿直線爬行，它的速度與到蟻巢中心的距離成反比，當(dāng)螞蟻爬到距巢中心 Li=im白自處時(shí)，速度是vi=2cm/s.試問螞蟻從A氏爬至U距巢中心L2=2mBB點(diǎn)所需的時(shí)間為多少(答案:75s)解法i:將蟻巢中心定為坐標(biāo)原點(diǎn) O O磨線即為x軸

6、正方i t2i 22 gt22 gti.i 2 i 25 gt21gti向，則坐標(biāo)x處螞蟻的速度可表示為 v L上.將ABt線分成n等份，每等份x x很大時(shí)，每小段的運(yùn)動(dòng)可看成是勻速運(yùn)動(dòng) .(L2 Li)n每小段對(duì)應(yīng)的速度為viLiviLivi,v2LLixLiviLi (n i) x得t viV2xLivi(Lix) (Li 2 x) (Li 3 x)xn x(n ) x n(Li L2)； Li I；IL1Vl2L1Vl2(L2 Li)(Li L2)2L1VlL2 L22L1 v175 s解法2:各種圖象的意義？因螞蟻在任一位置時(shí)的速度vi Li - x11即x , i/v-x的圖象如圖所

7、不。v v1 Li1 L2 ()(L2 Li)螞蟻運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為如圖梯形的面積，t=-v1-vL2L2L2=75s.2viLi.運(yùn)動(dòng)的合成與分解 1.相對(duì)運(yùn)動(dòng)4 .某汽艇以恒定的速率沿著河逆流航行，在某一地點(diǎn)丟失一個(gè)救生圈，經(jīng)過t時(shí)間才發(fā)現(xiàn)丟失，汽艇立即調(diào)頭航行，并在丟失點(diǎn)下防I s距離處追上救生圈，則水流的速度大小 為. (答案：s/2t)以地為參照物，水速為vi,船速為v2,船調(diào)頭后追上救生圈的時(shí)間為t ,對(duì)船(v2+vi)t =( v2- vi)+ vi(t +t) t ,得 t =t ,所以 vi=s/2 t.或以水為參照物，則救生圈靜止，t =t,所以v尸s/2 t5 .在空間某點(diǎn)，

8、向三維空間的各個(gè)方向以大小相同的速度v。射出很多的小球，問(1)這些小球在空間下落時(shí)會(huì)不會(huì)相碰？(2)經(jīng)t時(shí)間這些小球中離得最遠(yuǎn)的二個(gè)小球間的距離是多少,則小球都以V0的速度作勻速(答案：不會(huì)相碰；2vt)解(1)選取在小球射出的同時(shí)開始點(diǎn)作自由下落作參照系直線運(yùn)動(dòng)，小球始終在以拋出點(diǎn)為圓心的球面上 ，所以小球不會(huì)相碰.(2)這些小球中離得最 遠(yuǎn)的二個(gè)小球間的距離等于球面的直徑，即d=2vt.6 .一只氣球以10m/s的速度勻速上升，某時(shí)刻在氣球正下方距氣球?yàn)?0m勺地方有一個(gè)石子以 v。的初速度豎直上拋(取g=10m/s2 sin),石子要擊中氣球，則v應(yīng)滿足什么條件？(答案：v0 10(1

9、 52) m/s)解法1:設(shè)氣球的速度為v,開始相距為h,當(dāng)石子與氣球的速度相等時(shí)追上，石子要擊中氣球，否則石子不能擊中氣球，速度相等時(shí)所用的時(shí)間t =( v-v)/ a-(1),12.則好擊中時(shí)的位移關(guān)系為 vot - -gt 2=vt +h-(2)解得石子的初速度至少 v0v 2gh 10(12)m/s.解法2:以氣球?yàn)閰⒄瘴?則初速度vi=V0-v,未速度V2=0，所以(V0-v)2=2gh,解得石子的初速度至少v0v ,2gh 10(12) m/s.R,當(dāng)桿與水平桿上與半圓周相切點(diǎn) C 勺速度大小。桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。桿上AC3點(diǎn)的速度大小。桿與半圓周相切的切點(diǎn)的速度大小。(1)(2)(3

10、)(4)動(dòng)時(shí)桿恒與一半圓周相切， 半圓周的半徑為 線的交角為時(shí)，求此時(shí)：2.物體系的相關(guān)速度：桿、繩上各點(diǎn)在同一時(shí)刻具有相同的沿桿、繩的分速度(即兩質(zhì)點(diǎn)間的距離的改變只取決于沿它們連線方向分運(yùn)動(dòng)，而它們相對(duì)方們位改變只取決于垂直連線方向的分運(yùn)動(dòng))。答案依次是：A:vi=v2cos ;B: vi=v2cos ;C: Vicos =v2cos ;D: V2=vtan ;7.如圖所示，AEBf的A瑞以勻速v沿水平地面向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)vcos ,和垂直桿方向速度 v2 vsin 。答案：(1) vcos ; (2) tan sin R解：把A的速度分解成7&桿的速度 v1(1)沿同一桿的速度相等，所以桿

11、上與半圓周相切點(diǎn)C勺速度大小vC v1 vcos。(2) A我對(duì)C氏的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v2 vsin ,所以桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為vsin vsinAC Rcot(3) VAC2,v2、22v1()v cosv tan sin 。R2 sin4(4)在相同時(shí)間內(nèi)，桿轉(zhuǎn)過的角度與切點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度相同，所以切點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也以對(duì)人y風(fēng)對(duì)她產(chǎn)反對(duì)蜒1r人對(duì)炮2%南岫時(shí)刻，當(dāng)繩的BA段與OB之間的夾角為物塊M的速率HR時(shí)，桿的角速度為 ，求此時(shí)8.如圖所示，桿OA長(zhǎng)為R,可繞過O點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)A系著一跨過定滑輪 B、C的不可伸長(zhǎng)的輕繩，繩的另一端系一物塊M ,滑輪的半徑可忽略，B在O的正上方，O

12、B之間的距離為 H。某一Vm。R,vA沿繩BA的分量vM vA cos 由正弦定理知sin 0AB snvCR vtan sin 。，v ,.為一 tan sinR，桿與半圓周相切的切點(diǎn)的速度大小在船渡?可中， v船地 v船水 v水地。推廣 v甲丙 v甲乙 v乙丙9.當(dāng)騎自行車的人向正東方向以5m/s的速度行駛時(shí)，感覺風(fēng)從正北方向吹來的速度增加到10m/s時(shí)，感覺風(fēng)從正東北方向吹來.求風(fēng)對(duì)地的速度及的方向（答案：52 m/s ,方向正東南）10.11.,當(dāng)騎自行車的人AB（=，且為銳角，試確定何時(shí)L M v2 cos )（答案：t2V1V2 cos,Vba=Vb地+v地a。Bf對(duì)A勺運(yùn)動(dòng)方向和

13、速度的大小V1 v2 cosV的速度由B向C乍勻速直線運(yùn)動(dòng)，AB=L, 刻t,R、P2的間距d最短，為多少？解：以初參照物 如圖所示.；d則所目對(duì)A勺速度為vv2 2Vl v2 cosVkx搦=Vu扒+Va對(duì)地,得Vk對(duì)地=5、2 m/s ,方向正東南如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P1以V1的速度由A向B乍勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)質(zhì)點(diǎn)巳以V222V1V2cos . 1 sin2有正弦定理sinv2sinvLv2 sinJv12 v2 2V1V2 cosv1 v2 cos)v2 cos半徑為R勺半圓柱體沿水平方向向右以速率為圓柱體上擱置一根豎直桿，桿與半圓柱體接觸為點(diǎn)P,此桿只能沿豎VV2V1V2 cosV做勻速運(yùn)動(dòng)

14、.在半L(V122V1v2L 所需的時(shí)間t上osV2H sin當(dāng)B!動(dòng)到D（AD直AR P1、P2的間距d最短，dL sin由圖看出 OAB由以上各式得vM3.運(yùn)動(dòng)的合成與分解Lv2sin,v12 v2 2 V1V2 cos直方向運(yùn)動(dòng)，如圖所示.求當(dāng)O電柱心的連線與豎直方向的夾角為時(shí)，豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度和加速度.2（答案：vtan ; a 一二）Rcos解：（1）取半圓柱體作為參照系 .在此參照 系中P點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，v桿柱的方向沿著圓上 P點(diǎn) 的切線方向，v桿地的方向豎直向上，因?yàn)閂桿地V桿柱V柱地，矢量圖如圖a所示.得V桿s=vtan 。也可用微元法求.（2） 有a桿地a桿柱a柱地，因a柱地=

15、0,所以a桿地=2桿,而a桿地的方向豎直向下，又a桿柱可分解成切線方向2V桿柱anR問題：若2V桿柱anR拋體運(yùn)動(dòng)2V 2,所以彳I到a桿地Rcos圓柱體的加速度為2V2, at an tanRcosa ncos,則aat和法線方向an,矢量圖如圖b所示,2V3-.Rcos桿地一？ a桿地 a桿柱 a柱地 an ata桿地的方向仍在豎直方向上。1.豎直上拋運(yùn)動(dòng)：V=V0- gt , S=Vot - gt2/2.如初速Vo=2Om/s豎直向上拋出，取g=10m/s2.求經(jīng)t =3s物體的位移.可用分段解，也可用s=Vot-gt 2/2直接求解（15m,方向向下）12.在地面上的同一點(diǎn)分別以V1和

16、V2的初速度先后豎直向上拋出兩個(gè)可視作質(zhì)點(diǎn)的小球小球拋出后經(jīng)過t時(shí)間與第一個(gè)小球相遇，改變兩球拋出的時(shí)間間隔，便可改變t，第二個(gè) 的值，已知ViV2,則t的最大值為.(忽略空氣阻力）（答案:V222“V2V1)g1斛法 1 : hV1(t t) g (t2h2 V21t 2g相碰條件hh2g2( V2V1 ) t得 gt2 2(g t V1 )t 2(V2 V1 )要使方程有解：2(g t V1)222V2 , V2 V1解得t一l,B tg解法2：因ViV2,所以第二小球一定在上升時(shí)與第一小球相碰2最大：幺 2g12v2 t 2gt，斛倚 tV2V2V2gV2,在使22,V2Vgt最大，則高

17、度h應(yīng)為的頂端落到水平地面第二次落到水平地面板的高度h.（答案:2.平拋運(yùn)動(dòng)水平方向勻速運(yùn)動(dòng)：Vx=V0,X= V0t豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)：Vy=gt , y=gt213.如圖所示，從高Hb的同一點(diǎn)先后平拋兩球1和2.球1直接經(jīng)豎直擋板B點(diǎn),2與地面的A點(diǎn)碰撞后經(jīng)豎直擋板的頂端B點(diǎn).設(shè)球2與地面的碰撞是彈性碰撞，求豎直擋3h 3H ）4解：因球2與地面的碰撞是彈性碰撞，所以彈起后的運(yùn)動(dòng)與原來的運(yùn)動(dòng)對(duì)稱，它的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2=3ti,它們的水平初速 vi=3v2,所以當(dāng)水平位移相等時(shí),它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 3倍關(guān)系,兩球飛抵擋板的時(shí)間是12 =3t i ,設(shè)球2第一次著地到飛躍擋板頂端的時(shí)間為t,因小

18、球的上升和下落的運(yùn)動(dòng)是對(duì)稱的，所以它們的時(shí)間關(guān)系為：J2H /g t 3J2(H h)/gJHt 3、；2(H h) / g J2H /g對(duì)球2下落 CH|2(H一t,解得h 3H.V g V g43.斜拋運(yùn)動(dòng)(拋射角為 ，初速為V0)水平方向： Vx=v0cos , X=VoCOS t ,豎直方向：Vy=vosin , y= vosin物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的時(shí)間：t1t- - gt2, 2vo sin,g22v0 sin2g射程：xv0 cos2t2vo sin 2g時(shí)X最大。J 21 m/s=4.58m/s。14. 一物體以v。的初速?gòu)腁點(diǎn)開始以恒定的加速度作曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng) 1s運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，再經(jīng)

19、1s運(yùn)動(dòng)到C 點(diǎn)。已知AB=3m BG=.3ni AB BC求初速度大小 v。和加速度大小a。(答案：v。,21 m/s; a 2、-3m/s2,)解：物體與加速度垂直方向是勻速運(yùn)動(dòng)，在相等時(shí)間內(nèi)的位移相等。作直角三角形，AC勺中點(diǎn) 叫B的連線應(yīng)是加速度反方向,如圖所示。在AiUB的過程，設(shè)x方向的初速為vx,則vx AP cos3。1.5m/s設(shè)y方向的初速為vy,加速度大小為a, AC 24r3 m在Ai阻的過程 AB sin 60。vyt gt2在AiIJC的過程 ACsin3。vv2t 1 g(2t)2y 2解得加速度大小a 273 m/s2, vy 5 3 m/s,所以v0 Jv2

20、v22y15.如圖所示，一倉(cāng)庫(kù)高25m,寬40m.今在倉(cāng)庫(kù)前L、高5mB點(diǎn)處拋出豆匚一石塊過屋頂，問L為多少時(shí)所需的初速v?？勺钚?I(答案：14.6m)解：當(dāng)v。最小時(shí)，拋物線必經(jīng)過屋頂邊緣的 B cm點(diǎn)，物體經(jīng)過 、B點(diǎn)時(shí)的速度也必最小，所以把坐標(biāo)的原點(diǎn)移到 B點(diǎn),建立水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸.因斜拋物體的射程 BC-定，所以當(dāng)vb的方向與水平方向成=45。角時(shí),vb最小.2 ein 0由x ,所以vB g BCg水平方向 x二vbcos t ,豎直方向 y二vBsint -1 gt2-2兩式消去t得y=x-x2/40-(3),將A氏的坐標(biāo)(-L,-20)代入(3)得L=14.6m.

21、Vo .Vo 2ghg令 =tan -1 h ,貝U vo2= -=gs，當(dāng) sin(2 - )=1, s最大，/sVs2 h2sin(2 ) h4s的最大值s= Vo泣2gh .Ag解法4:把斜拋運(yùn)動(dòng)分解成 V0方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，其位移矢量 圖如圖所示。1則由圖可得 x2 (Vot)2 (- gt2 h)2。 2以下解法與解法1相同。解法5:初速Vo、末速V和增加的速度gt有如圖的關(guān)系，這個(gè)矢量三角形的面積S=1 vxgt = -g(vxt),式中vxt就是石子的水平射程,所以當(dāng)S最大時(shí),石子的水平射程也最大, 2210而二角形面積又可表不為S= - vovsin .因

22、V0和v=qv2 2gh的大小都是定值，所以當(dāng)=9011時(shí)，SW取大值，Svv - gs.22因此最大射程s=vxt = v g說明：不同的解法，17.如圖所示，彈性小球從高為v0、v2 2ghg有不同的表達(dá)式，才h處自由下落，落到與水平面成 角的長(zhǎng)斜面上，碰撞后以同樣的速率反彈回來。求：(1)每相鄰兩點(diǎn)第一點(diǎn)和第二點(diǎn)、第二點(diǎn)和第三點(diǎn)第n點(diǎn)和第(n+1)間的距離。(2)當(dāng)小球與斜面發(fā)生碰撞前瞬間，斜面以的速度豎直向上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，求第一點(diǎn)和5第二點(diǎn)間的距離。答案：(1) xnn 1 n8hsin解：(1)取沿斜面向下為x軸，垂直斜面方向?yàn)樾∏蚺c斜面第一次碰撞前后的速度大/貝Uvxi=vosi

23、n , ax=gsin ,vyi=vocos ,、 v。%,2gh ,x12 4sin ( 2gh v)2 gy軸。方向與y軸對(duì)稱，第一點(diǎn)與第二點(diǎn)碰撞時(shí)間間隔t1,ay=- gcos2v0 cosg cos2Vo og所以第一點(diǎn)與第二點(diǎn)間的距離X12v sinti1.g sin 2ti224Vo sing8h sin 。第二次碰撞時(shí)刻的速度 vx2=vosin +gsin h=3vosin vy2=voCOs -gcos t 產(chǎn)-voCOs ,碰后，vy大不變，每相鄰兩次碰撞時(shí)間間隔不變,2V0og1c所以第一點(diǎn)與第二點(diǎn)間的距離x23 3v。sin t1 - g sin t： 2 8hsin

24、。2同理，第n點(diǎn)與第n+1點(diǎn)間的距離xnn1 n 8hsin 。(2) 因刈2 4V0 ；,當(dāng)斜面向上作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，以斜面為參照物，小于與斜面碰撞時(shí)的速度 v =vo+v,所以 x12 4sn(v0 v)2 4sn(J2gh v)2。 gg .四.圓周運(yùn)動(dòng)1.質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng) 線速度度v ,(2)角速度 ,(3)角加速度 , ttt(4)線速度和角速度的關(guān)系 v R,(5)角速度與時(shí)間的關(guān)系 t,1 2C(6)角度與時(shí)間和關(guān)系0t - t , 向心加速度(改變速度萬向)an 2R v,2 R(8)切向加速度(改變速度大小)at-vtt(9)質(zhì)點(diǎn)的加速度(法向和切向的合成)a an at.18

25、.一質(zhì)點(diǎn)以半徑為R線速度為v作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求證質(zhì)點(diǎn)的向心加速度解：根據(jù)相似三角形兩邊同除t,得a -v tR2 v19.向圓心，、就是線速度，所以得到向心加速度大小 t2問題：an 匚，對(duì)非勻速圓周運(yùn)動(dòng)適用嗎？R賽車在公路的平直段上以盡可能大的加速度行駛10.5m/s,那么該賽車在半徑為30nm勺環(huán)形公路段中 路的半徑為多少時(shí)，賽車的速度就不可能增大到超過(答案：0.14s;20m )2 v an-r,在0.1s時(shí)間內(nèi)速度由 10.0m/s加大到,達(dá)到同樣的結(jié)果需要多少時(shí)間？當(dāng)環(huán)行公10m/s?設(shè)公路的平面是水平的.解：合力產(chǎn)生的最大加速度am=( v2-v1)/ t1=5m/s2,20.作

26、圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)at半徑最小時(shí):atv一 ,an t0 ,所以am2 vian2，則 atR上=20m.V 2am (VR)2,atv0.14s,如圖所示，半徑為r的圓輪在半徑為RR 勺固定圓柱上滾動(dòng)，已知半徑為的圓輪的輪心的速率恒為v,求當(dāng)圓輪在固定圓柱的最高點(diǎn)的如圖時(shí)刻(1)圓輪上P點(diǎn)的加速度.(2)圓輪與圓柱接觸點(diǎn)的加速度.答案：(1)Rv一r(r R)ap(R r)Rv21.解:(1) P點(diǎn)相對(duì)O專動(dòng)，有aP對(duì)地aP又tQ aO對(duì)地，P點(diǎn)相對(duì)地的速度多大？由vp地 vpo vo地.無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，vp地=0 , 3P地0, vpo大小等于而apeO=v,方向向上；aQ寸地=一，方向向下.rr

27、RRv所以P氏的速度度 aP寸地=apxeo-ao寸地=，方向向上.r(r R)(2) 接觸點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的線速度v 二一R ,接觸點(diǎn)的加速度aPR r如圖所示，利用定滑輪繩索拉物體，已知拉繩索的速率不變。求如圖時(shí)刻：物體離定滑輪的水平距離為s、物體離定滑輪的豎直距離為h時(shí)物體的加速度。(答案：a3- v2)3s解：設(shè)物體的速度為v ,繩與水平夾角為v朋二v,有滑動(dòng)時(shí)?v恒定2 vRv2當(dāng)t 。時(shí)，0, v的方向與va方向垂直，即加速度的方向指則coss , tan -,物體的速度 v =v/cos , s2 h2s此時(shí)刻物體可看成相對(duì)繞滑輪（圓心）半徑為 物體的加速度沿水平方向。因圓心作勻速運(yùn)動(dòng),

28、動(dòng)的加速度，物體的加速度可分解成垂直繩子 速度的方向水平。R Vs2 h2、速度丫切=丫12門 的轉(zhuǎn)動(dòng)，物體對(duì)地的加速度等于物體對(duì)圓心作圓周運(yùn)at切向加速度和沿繩子 an法向加速度，其合加法向加速度：anv2R22 x 2v tan,2所以物體的加速度:ancos5$2v2 tan 2,h 2 s2 cosh2 2-v 。3s注意：若拉繩子的加速為a ,則物體的加速度多大?物體沿繩子方向相對(duì)地的加速度a地=a + a n所以物體的加速度：a合 Jancoss2 hh2a 。3sa合不是a和a的合成，為什么？（a不影響an,但要影響at, a合的方向仍水平方向）。2.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)、瞬時(shí)軸（1）剛體

29、上各點(diǎn)相對(duì)某一點(diǎn)的角速度都相等。（2）瞬時(shí)軸是指某時(shí)刻的速度為零，確定方法：任意兩點(diǎn)的速度方向垂直的直線的交點(diǎn)，它與某點(diǎn)的距離 R=v/J（3）瞬時(shí)軸的速度為零，加速度不為零。飛如圖所示，小球在地上無滑動(dòng)的滾動(dòng)用速度的合成（或用 A點(diǎn)為瞬時(shí)軸）O點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)地的加速度等于對(duì)，求A、R C的速度大小加速度的大?。?求解： V=0; vb= J2v ; vc=2v。2O點(diǎn)的加速度，都為aA （或用R22. 一輛汽車沿水平公路以速度 v無滑動(dòng)地運(yùn)動(dòng)從車輪邊緣拋出的水滴上升的最大高度（離地）222（答案：當(dāng)JR,ym R4JR；當(dāng)g2v2g解：設(shè)水滴拋出時(shí)速度方向與水平面成根據(jù)速度的合成（或瞬時(shí)軸

30、），水滴的速度2（2v cos sin ）2其圖度：y - 2Rcos2,如果車輪的半徑為R求O2R- R , ym=2R）g角，v = 2Rsos=2vcosa a點(diǎn)軸 a軸地）2g22v 1 2cos 21 2 cos 22R(1 2 cos 2 ) _當(dāng) cos2=當(dāng)時(shí),Vym2R2g 2v2cos 2 2gRcos2 R因 cos21,所以當(dāng)2當(dāng)v_ gR ,即 R-2v22vg2 v2g2R .2g即哂2v22 v2gR時(shí),ymR 時(shí)，ym=2R (是R2g2v2R2g 2v222R 2gR的最小值） 2g23.曲線運(yùn)動(dòng)的曲離半徑：an如當(dāng)圓柱體在水平地面上滾動(dòng)時(shí)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的曲離半徑2

31、RR ,因 VB= 2v , an2上v-,所以曲離半徑2R22、2R an23.求拋物線y ax2曲率半徑與x關(guān)系。（答案:2 2.3/2(1 4a x )2a解：因平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線，如圖3所示。設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為vo,則平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為x v0t ,豎直高度為y二gt2,平2拋運(yùn)動(dòng)的軌跡為 y g 2 x2。比較y g 2 x2和y ax2 ,當(dāng)a g 2 , 2vo2vo2vo或g 2avo3時(shí)平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡與拋物線y ax2的軌跡相同。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，物體在任一點(diǎn)（P點(diǎn)）時(shí)的速度大?。簐q vo2 2gy。把y ax2和g 2avo3代入上式得v vod1 4a2x2在

32、P點(diǎn)物體的法向加速度：an gcos所以拋物線y ax2曲率半徑與x關(guān)系:vog 一 v2 van2avo3Ov3v32avo(1 4a2x2)3/22a拋物線y ax2頂點(diǎn)（x=O）的曲率半徑:1 o 2a也可直接求頂點(diǎn)的曲率半徑:2 vog1o2a24.有一只狐貍以不變的速度 vi沿直線AEM1跑，一獵犬以不變的速率v2追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍.某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在處，F(xiàn)D AB且FD=L（如圖所示）求此時(shí)獵犬的加速度大小.2（答案：a必士）R L解：獵犬作恒速率白曲線運(yùn)動(dòng) ，設(shè)在t（很短）時(shí)間內(nèi)，則可看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R則獵犬的加速度大小 a 或，R在t的時(shí)間內(nèi)獵犬通過

33、的路程S2=v2 t,狐貍通過的路程S1=v1 t,2有相似三角形-4- 千，得R 上一，所以獵犬的加速度大小 a 上”. R Lv1R L五.綜合題例25 .百貸大樓一、二樓間有一部正在向上運(yùn)動(dòng)的自動(dòng)扶梯，某人以速度v沿梯向上跑，數(shù)得梯子有N級(jí),到二樓后他又反過來以速度 v沿梯下跑，數(shù)得梯子有N級(jí)，那么該自動(dòng)扶梯的梯子實(shí)際為級(jí).（答案：2N1N2 ）,所以扶梯的級(jí)數(shù)與時(shí)間成正比,rt =s/ v-(1),N1 N2解：因人相對(duì)扶梯的速度不變N1 tiS-(2),vv梯N 2 t2S- -(3).v v梯2N1N2彳#N=Ni N226 .在高為h處有一木球A由靜止開始下落，由于空氣阻力的作用

34、，下落的加速度大小為g/10,同時(shí) 在AE下方的地面上有一鐵球B以v0的初速度豎直上拋（空氣對(duì)鐵球的阻力可以忽略不計(jì)，鐵球的加速度大小為g）要使?？?B在空中相撞, v0應(yīng)滿足什么關(guān)系？（答案：vo 11ahg ）；5解：相碰時(shí)位移關(guān)系v0t - - gt2+- at2=h-（1） 22vo較大時(shí)，街口 B在空中一定能相撞，當(dāng)vo較小時(shí), B在下落過程中與 仰目碰, vo最小的臨界條件速度相等,即-(vo-gt )= at-(2),式中a旦代入(2)式得t 10v0 109g把a(bǔ)副 詈,代入,得v0榔g,即要使麗斑空中相撞v0秒g.另解：使（1）式有解 0來求解。27 .如圖所示，水平方向以v

35、o速度向右運(yùn)動(dòng)的車廂，車廂內(nèi)的桌面上離車廂底的高度為h處有一小球，當(dāng)車廂以速度度大小為 a作勻減速 度直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球以vo的速度水平離開車廂。 求小球落到車廂底 上距桌面邊緣A直的距離（車廂底足夠長(zhǎng)）。（火鼻2r；2hVo n.a-、1/ 2hVo m12hvo（答案：蟲.一一時(shí)s h;當(dāng)，一一時(shí)，s V01|一一，g g g . g g，g 2a解：小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t*當(dāng)：型 包時(shí)，以車廂為參照物,. g g距桌面邊緣A點(diǎn)的距離s二 at2 2-h.g、/ 2h vovo 2h Vo當(dāng) F 時(shí)，貝U s Vot VoJ .:g g2a , g 2a28 .如圖所示，直桿AB閣在半徑為R

36、勺固定圓環(huán)上作平動(dòng)，速度恒為V。求當(dāng)桿運(yùn)動(dòng)到如圖位置時(shí)，桿與環(huán)的交點(diǎn) M勺速度和加速度.2（答案：Vm 一；aM地 一）sinRsin3解：設(shè)MM（相對(duì)桿的速度為 v ,則M自對(duì)地的速 度v匿v和v的合成：vm地Vm桿v桿地，如左圖所 示.得Vm v（也可用微元法解）。sin帥對(duì)地的加速度aM地aM桿a桿地因AB乍勻速運(yùn)動(dòng), a桿地=0,則aM地am桿因M對(duì)地作圓周運(yùn)動(dòng)所以aM地aM桿an at即aM1的方向沿桿向左（因環(huán)對(duì)桿作減速運(yùn)動(dòng)）,矢量關(guān)系如右圖所不 222因an紈,彳#M寸地的加速度aM地上.R Rsinsin Rsin29 .有兩艘船在大海中航行,紳臺(tái)航向正東，船速每小時(shí)15公里，

37、B船航向正北，船速每小時(shí)20公里，AM正午通過某一燈塔，朋臺(tái)下午2時(shí)通過同一燈塔.問: 什么時(shí)候A、刖船相距最近？最近距離是多少？（答案：下午1.28hA、B兩船相距最近；24Km）解：以AJ參口系，vba vbw v海a vbw （ va海）所以Vba=V202 152 =25Km/h,方向?yàn)楸逼?70.我們從正午開始考慮，電臺(tái)以VbaM行，顯然BM使到C點(diǎn)時(shí)（AC BC時(shí)二船相距最近.BM從B點(diǎn)使到D嵐（即燈塔）的時(shí)間為2小時(shí).BD=VBAt=50KmAB=BDcos370=40Km最近距離 AGAEsin37 0=24Km.瑁 CW時(shí)間 t -BC-AB cos3740 0.8 =1.28h,即下午 1.28h AVabVba25B 兩船相距最近.30.如圖所示，一小球以速度Vo水平投射到光Vt的斜面上，斜面與水平 面的夾角為，小球與斜面的碰撞是彈性碰撞，求小球第一次與斜 面碰撞點(diǎn)到第二次與斜面碰撞點(diǎn)間的距離s（空氣阻力不計(jì)）.(答案：2V0 sin (1 tan2 ) g解法1:將初速度Vo和重力加速度g分解成平行與斜面方 向 Vx=Vocos , gx=- gsin, 和垂直與斜面方Vy=V0sin , gy=gco