利用導(dǎo)數(shù)研究存在性與任意性專題

1、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立、存在性與任意性問題一、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題典例設(shè) f (x) =ex a(x+1) .(1)若?xCR, f(x)>。恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍；a 一一，設(shè) g(x) =f (x)+r,且 A(xi, yi), B(x2, y2)( xwx2)是曲線 y = g(x)上任 e意兩點，若對任意的a0-1,直線AB的斜率恒大于常數(shù)m,求m的取值范圍.解(1)因為 f(x) = ex a(x+1),所以 f ' (x) =ex a.由題意，知a>0,故由 f ' (x) =ex a = 0,解彳4x = in a.故當(dāng) x C ( oo,

2、in a)時，f' (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) xC (In a, +00)時，f ' (x) >0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù) f (x)的最小值為 f (In a)=elna a(ln a+1)= aln a.由題意，若？x C R, f (x)。包成立，即 f (x) =ex a(x+ 1)。包成立，故有一aln a>0,又 a>0,所以 In a<0,解得 0<a01.所以正實數(shù)a的取值范圍為(0,1.(2)設(shè)x1，x2是任意的兩個實數(shù)，且x1<x2.則直線AB的斜率為k = g?x2?-g?x1?由已知k>

3、mi,g?x2?-g?x1?>mx2x1因為 x2 x1>0,所以 g(x2) g(x1) >m(x2 x1),即 g(X2) mx> g(xi) mx.因為Xi<X2,所以函數(shù)h(x) =g(x) mx在R上為增函數(shù)，故有 h' (x)=g' (x)m>0 包成立，所以 meg' (x).而 g' (x) = ex-a-J, e又 a0 1 < 0,x ? 一 a? a?故 g (x) =e + ex a12、/e xa2 "j a a.而 2 - a - a= 2 1 一 a + ( aJ a)=(Va +

4、i)21>3,所以m的取值范圍為(一°°, 3.方法點撥解決該類問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)特征靈活選用相應(yīng)的方法，由不等式包成立求解參數(shù)的取值范圍問題一般采用分離參數(shù)的方法.而第 (2)問則 巧妙地把直線的斜率與導(dǎo)數(shù)問題結(jié)合在一起， 命題思路比較新穎，解決此類問題 需將已知不等式變形為兩個函數(shù)值的大小問題， 進而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，通過導(dǎo)函 數(shù)研究其單調(diào)性解決.對點演練已知 f(x)=xln x, g(x) = x2 + ax3.(1)若對一切xC(0, +00), 2f (x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.(2)證明：對一切x (0 , +oo) in x&

5、gt;工2包成立. e ex解：(1)由題意知2xln x> x2 + ax3對一切xC (0 ,十)恒成立，3則 aw21n x + x + -， x3,_、設(shè) h(x) =2ln x + x + (x>0),x?x + 3?x1?則 h' (x)=當(dāng)xC(0,1)時，h' (x)<0, h(x)單調(diào)遞減；當(dāng) xC(1, +oo)時，h' (x)>0, h(x)單調(diào)遞增.所以 h(x)min = h(1) =4,對一切 xC(0, +8), 2f (x)g(x)恒成立，所以 awh(x)min=4,即實數(shù)a的取值范圍是(8, 4.(2)問題等價

6、于證明xln x>xx2(x>0). e e又 f(x)=xln x(x>0) , f' (x)=ln x+1,當(dāng) xC 0, 1 時，f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減； e當(dāng) xC -, +oo 時，f ' (x) >0, f (x)單調(diào)遞增， e11所以 f ( x) min _ f_ _ .ee設(shè) mx) =*2(x>0)， e e1 x貝(J m (x)=, e當(dāng) xC(0,1)時，m' (x)>0, n(x)單調(diào)遞增，當(dāng) xC(1, +8)時，m' (x)<0, m(x)單調(diào)遞減，1所以 n(x

7、)max= n(1)從而對一切 xC(0, +8)ef (x) >m(x)如成立,即xln x >三一2恒成立.e e即對一切xC(0, +oo) in x>4 2包成立.e ex二、利用導(dǎo)數(shù)研究存在性與任意性問題典例 設(shè) f(x)=a+xln x, g(x)=x3x2 3. x(1)如果存在Xi, X2C 0,2,使得g(Xi) g(X2)M成立，求滿足上述條件 的最大整數(shù)M;1(2)如果對于任意的s, t e 2，2 ,都有f(s)g(t)成立，求實數(shù)a的取值 范圍.解(1)存在 Xi, X2C 0,2,使彳.g(Xi) g(X2)M成立,等價于g( Xi) g( X2)

8、 maX> M由 g(x) =x3 X2 3,2 -八2得 g (x) =3X 2x = 3x x a .32由 g (X) <0,解得 o<x<a；32由 g (X)>0,解得 x<o或x>.3又 x e 0,2,所以g(x)在區(qū)間0, 2上單調(diào)遞減，在區(qū)間|, 2上單調(diào)遞增, 33又g(0) = 3, g(2) =i,故 g( X) max= g(2) = 1 ,，、285g(x)min=g 3 =-27.所以9(X1) g(X2) max= g(x)max g(x) min85 112則滿足條件的最大整數(shù) M= 4.1 -對于任息的s, t e

9、2, 2 ,，一、1，都有f(s)g(t)成立，等價于在區(qū)間2, 2上,函數(shù) f ( X) min>g( X) max., 一，一一 1由(1)可知在區(qū)間2，2上，g(x)的最大值為g(2)=1.在區(qū)間1, 2上，f(x)=a + xln xl包成立等價于a>x-x2ln x包成立. 2x設(shè) h(x)=x-x2ln x, x 2, 2 ,則 h' (x) = 1-2xln x-x,一 ，一、1 ，一 ，一，易知h' (x)在區(qū)間-,2上是減函數(shù)，又 h' (1)=0,所以當(dāng) 1<x<2 時，h' (x)<0；、/ ,當(dāng)2<x&

10、lt; 1 時，h (x) >0. c.1所以函數(shù)h(x)=x x2ln x在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,2上單調(diào)遞 減，所以 h(x)max= h(1) = 1 ,所以實數(shù)a的取值范圍是1 , +oo).方法點撥等價轉(zhuǎn)化法求解雙參數(shù)不等式雙參數(shù)不等式問題的求解方法一般采用等價轉(zhuǎn)化法.本例第(1)問是“存在性”問題，轉(zhuǎn)化方法是：如果存在 xb x2C 0,2使得g(x1) g(x2)M成立，則 可轉(zhuǎn)化為MK g(x。一 g(x2) max,即求解使不等式 MC g( x) max- g(x)min成立時的M 的最大取值；第(2)問是“何成立”問題，轉(zhuǎn)化方法是：如果對于任意的x1,

11、x2. 11 一C 2, 2 ,都有f (x1)g(x2)成立，則可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間2, 2上，f(x)ming(x)max, 求解得到實數(shù)a的取值范圍.對點演練已知函數(shù) f (x) =ln x-ax + 1-a-1(a R). 、x ''1.(1)當(dāng)0<a<2時，討論f(x)的單調(diào)性；-2,1一(2)設(shè) g(x) =x 2bx + 4.當(dāng) a = 4時，右對任息 x1 (0,2),存在 x2C1,2,使f (Xi)g(X2),求實數(shù)b的取值范圍.解：(1)因為 f(x)=ln x-ax + 1一a -1,x， i所以 f' (x)=qa +a-1ax2 x+1

12、aZ2， XC(0, +8),x令f' (x)=0,可得兩根分別為1,1 a1.1 iJ因為 0<a<2,所以a1>1>0,當(dāng)xe(o,1)時，f'(x)<o,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xC 1, - 1時，f' (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； a當(dāng)xC -1, +OO時 f' (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. a1-11八(2) a = 4C 0, 2 ,占-1 = 3?(0,2),由(1)知，當(dāng)xC(0,1)時，f ' (x) <0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xC(1,2)時, f' (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，一.，一，-1所以f(x)在(0,2)上的最小值為f(1) = 2.對任意 x1 (0,2),存在 x2 1,2,使 f(x1)葉 g(x2)等價于 g(x)在1,2上1的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值2, (*)又 g(x)=(x b)2 + 4b2, x 1,