高中數(shù)學選修2-2復數(shù)的幾何意義

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上3.1.2復數(shù)的幾何意義學習目標1.理解用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量表示復數(shù)，及它們之間的一一對應關系.2.掌握實軸、虛軸、模等概念.3.掌握用向量的模表示復數(shù)的模的方法.知識點一復平面的概念和復數(shù)的幾何意義1.復平面的概念根據(jù)復數(shù)相等的定義，任何一個復數(shù)zabi，都可以由一個有序實數(shù)對(a，b)唯一確定.因為有序實數(shù)對(a，b)與平面直角坐標系中的點一一對應，所以復數(shù)與平面直角坐標系中的點之間可以建立一一對應.如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)zabi可用點Z(a，b)表示.這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.

2、顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).2.復數(shù)的幾何意義按照這種表示方法，每一個復數(shù)，有復平面內(nèi)唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復數(shù)和它對應.因此，復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應的，即復數(shù)zabi復平面內(nèi)的點Z(a，b)，這是復數(shù)的一種幾何意義.3.復數(shù)集與復平面中的向量的一一對應關系在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數(shù)對來表示，而有序實數(shù)對與復數(shù)是一一對應的.這樣，我們還可以用平面向量來表示復數(shù).如圖所示，設復平面內(nèi)的點Z表示復數(shù)zabi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)

3、也可以由向量唯一確定.因此，復數(shù)集C與復平面內(nèi)的向量所成的集合也是一一對應的(實數(shù)0與零向量對應)，即復數(shù)zabi平面向量，這是復數(shù)的另一種幾何意義.思考(1)虛軸上的點都對應著唯一的純虛數(shù)嗎？(2)象限內(nèi)的點與復數(shù)有何對應關系？答案(1)不是.(2)第一象限的復數(shù)特點：實部為正，且虛部為正；第二象限的復數(shù)特點：實部為負，且虛部為正；第三象限的復數(shù)特點：實部為負，且虛部為負；第四象限的復數(shù)特點：實部為正，且虛部為負.知識點二復數(shù)的模1.如圖所示，向量的模r叫做復數(shù)zabi(a，bR)的模，記作|z|或|abi|.如果b0，那么zabi是一個實數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義

4、可知：|z|abi|r(r0，rR).2.復數(shù)的模的性質，設z1，z2是任意兩個復數(shù)，則(1)|z1·z2|z1|·|z2|，(|z2|0)(復數(shù)的乘、除法將在下節(jié)學習到).(2)|z|z1|n(nN*).(3)|z1z2|z1|z2|，等號成立的條件是：當|z1z2|z1|z2|時，即z1，z2所對應的向量同向共線；當|z1|z2|z1z2|時，即z1，z2所對應的向量反向共線.(4)|z1|z2|z1z2|z1|z2|，等號成立的條件是：當|z1z2|z1|z2|時，即z1，z2所對應的向量反向共線；當|z1|z2|z1z2|時，即z1，z2所對應的向量同向共線.思考復

5、數(shù)的模的幾何意義是什么？答案復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z，復數(shù)z0在復平面內(nèi)對應的點為Z0，r表示一個大于0的常數(shù)，則：滿足條件|z|r的點Z的軌跡為以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|r表示圓的內(nèi)部，|z|r表示圓的外部；滿足條件|zz0|r的點Z的軌跡為以Z0為圓心，r為半徑的圓，|zz0|r表示圓的內(nèi)部，|zz0|r表示圓的外部.題型一復數(shù)與復平面內(nèi)的點例1在復平面內(nèi)，若復數(shù)z(m22m8)(m23m10)i對應的點：(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直線yx上，分別求實數(shù)m的取值范圍.解復數(shù)z(m22m8)(m23m10)i的實部為m22m8，虛部為m23m

6、10.(1)由題意得m22m80.解得m2或m4.(2)由題意，2<m<4.(3)由題意，(m22m8)(m23m10)<0，2<m<4或5<m<2.(4)由已知得m22m8m23m10，故m.反思與感悟復數(shù)實部、虛部分別對應了復平面內(nèi)相應點的橫坐標和縱坐標，在復平面內(nèi)復數(shù)所表示的點所處的位置，決定了復數(shù)實部、虛部的取值特征.跟蹤訓練1實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z(m25m6)(m22m15)i.(1)對應的點在x軸上方；(2)對應的點在直線xy40上.解(1)由m22m15>0，得m<3或m>5，所以當m<3或m>5時，復數(shù)

7、z對應的點在x軸上方.(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或m，所以當m1或m時，復數(shù)z對應的點在直線xy40上.題型二復數(shù)的模的幾何意義例2設zC，在復平面內(nèi)對應點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形.(1)|z|2；(2)1|z|2.解(1)方法一|z|2說明復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z到原點的距離為2，這樣的點Z的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.方法二設zabi，由|z|2，得a2b24.故點Z對應的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓. (2)不等式1|z|2可以轉化為不等式組不等式|z|2的解集是圓|z|2及該圓內(nèi)部所有點的集合.不等式|z|1的解集是圓|z|1

8、及該圓外部所有點的集合.這兩個集合的交集，就是滿足條件1|z|2的點的集合.如圖中的陰影部分，所求點的集合是以O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界.反思與感悟解決復數(shù)的模的幾何意義的問題，應把握兩個關鍵點：一是|z|表示點Z到原點的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形；二是利用復數(shù)的模的概念，把模的問題轉化為幾何問題來解決.跟蹤訓練2若復數(shù)z滿足|zi|(i為虛數(shù)單位)，則z在復平面所對應的圖形的面積為 .答案2解析設zxyi(x，yR)，則zixyiix(y1)i，|zi|，由|zi|知，x2(y1)22.復數(shù)z對應的點(x，y)構成以(0,1)為圓心

9、，為半徑的圓面(含邊界)，所求圖形的面積為S2.故填2.題型三復數(shù)的模及其應用例3已知復數(shù)z3ai，且|z|<4，求實數(shù)a的取值范圍.解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a2<42，a2<7，a(，).方法二利用復數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復平面內(nèi)對應的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z3ai知z對應的點在直線x3上，所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合.由圖可知：<a<.反思與感悟利用模的定義將復數(shù)模的條件轉化為其實、虛部滿足的條件，是一種復數(shù)問題實數(shù)化思想；根據(jù)復數(shù)模的意義，結合圖形，也可利用平面幾何知識解答本題.

10、跟蹤訓練3已知復數(shù)|z|1，求復數(shù)34iz的模的最大值及最小值.解令34iz，則z(34i).|z|1，|(34i)|1，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是以(3,4)為圓心，1為半徑的圓，如圖，容易看出，圓上的點A所對應的復數(shù)A的模最大，為16；圓上的點B所對應的復數(shù)B的模最小，為14，復數(shù)34iz的模的最大值和最小值分別為6和4.復數(shù)與函數(shù)的綜合應用對于求復數(shù)的題目，一般的解題思路是：先設出復數(shù)的代數(shù)形式，如zabi(a，bR)，利用題目給出的條件，結合復數(shù)的相關概念和性質，列出方程(或方程組)，求出a，b，最后將復數(shù)的代數(shù)形式寫出來.例4已知f(z)|2z|z，且f(z)35i，求復數(shù)z.分

11、析題目中出現(xiàn)了f(z)與f(z)的關系式，可由f(z)得到f(z)的另一種關系式.要求復數(shù)z，只需設zabi(a，bR)，求出a，b即可.利用復數(shù)相等的充要條件即可列方程組求解.解設復數(shù)zabi(a，bR).f(z)|2z|z，f(z)|2z|z.又f(z)35i，|2z|z35i，|2(abi)|abi35i.即abi35i.根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，得解得復數(shù)z105i.1.在復平面內(nèi)，復數(shù)zi2i2對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析zi2i22i，實部小于0，虛部大于0，故復數(shù)z對應的點位于第二象限.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)65i，23i對應的點分別

12、為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是()A.48i B.82iC.24i D.4i答案C解析由題意知點A的坐標為(6,5)，點B的坐標為(2,3).由中點坐標公式，得線段AB的中點C的坐標為(2,4)，故點C對應的復數(shù)為24i.3.復數(shù)z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么實數(shù)a的取值范圍是 .答案(1,1)解析因為|z1|，|z2|.又因|z1|z2|，所以，解得1a1.4.在復平面內(nèi)表示復數(shù)z(m3)2i的點在直線yx上，則實數(shù)m的值為 .答案9解析z(m3)2i表示的點在直線yx上，m32，解得m9.5.已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最大值.解如圖所

13、示，因為|z|1，所以z的軌跡可看作是半徑為1，圓心為(0,0)的圓，而z1對應坐標系中的點為Z1(2，2)，所以|zz1|的最大值可以看成點(2，2)到圓上的點的最大距離，則|zz1|max21.1.復數(shù)的幾何意義有兩種：復數(shù)和復平面內(nèi)的點一一對應，復數(shù)和復平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應.2.研究復數(shù)的問題可利用復數(shù)問題實數(shù)化思想轉化為復數(shù)的實、虛部的問題，也可以結合圖形利用幾何關系考慮.一、選擇題1.設x34i，則復數(shù)zx|x|(1i)在復平面上的對應點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析x34i，|x|5，z34i5(1i)(351)(41)i35i.復

14、數(shù)z在復平面上的對應點在第二象限.2.當<m<1時，復數(shù)z(3m2)(m1)i在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z(3m2，m1).由<m<1，得3m2>0，m1<0.所以點Z位于第四象限.故選D.3.在復平面內(nèi)，O為原點，向量對應的復數(shù)為12i，若點A關于直線yx的對稱點為B，則向量對應的復數(shù)為()A.2i B.2iC.12i D.12i答案B解析A(1,2)關于直線yx的對稱點B(2,1)，向量對應的復數(shù)為2i.4.已知復數(shù)z滿足|z|22|z|30，則復數(shù)z對應點的軌跡是(

15、)A.1個圓 B.線段C.2個點 D.2個圓答案A解析由題意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1.|z|0，|z|3.復數(shù)z對應的軌跡是1個圓.5.若，則復數(shù)(cos sin )(sin cos )i在復平面內(nèi)所對應的點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析，cos sin <0，sin cos >0.選B.6.設A、B為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則復數(shù)z(cos Btan A)tan Bi對應的點位于復平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案B解析因A、B為銳角三角形的兩個內(nèi)角，所以AB，即AB，sin Aco

16、s B.cos Btan Acos Bcos Bsin A0，又tan B0，所以點(cos Btan A，tan B)在第二象限，故選B.二、填空題7.設zlog2(m23m3)i·log2(m3)(mR)，若z對應的點在直線x2y10上，則m的值是 .答案解析由題意知，復數(shù)zxyi(x，yR)的實部x和虛部y滿足方程x2y10，故log2(m23m3)2log2(m3)10，則log21，m±.m，m.8.若復數(shù)z5cos 4i(i為虛數(shù)單位，0)在復平面上的對應點在直線yx1上，則sin .答案解析復數(shù)z5cos 4i在復平面上的對應點在直線yx1上，45cos 1,

17、 即cos .又0，sin .9.已知0a2，復數(shù)z的實部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是 .答案(1，)解析由題意可知zai.根據(jù)復數(shù)的模的定義，得|z|，而0a2，故1|z|.10.復數(shù)zlog3ilog3 對應的點位于復平面內(nèi)的第 象限.答案三解析log3<0，log3 <0，zlog3ilog3 對應的點位于復平面內(nèi)的第三象限.三、解答題11.設復數(shù)zlg(m22m14)(m2m6)i，求當實數(shù)m為何值時：(1)z為實數(shù)；(2)z對應的點位于復平面的第二象限.解(1)由題意得解得m3(m2舍去).故當m3時，z是實數(shù).(2)由題意得即即得解得5m1.故當5m1時，z對應的點位于復平面內(nèi)的第二象限.12.已知z134i，|z|1，求|zz1|的最大值和最小值.解如圖，|z|1表示復數(shù)z對應的點在以(0,0)為圓心，1為半徑的圓上，而z1在坐標系中的對應點的坐標為(3,4