練習6答案函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)

1、練習6函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)11 .設(shè)函數(shù) f(x) = 2x+- 1(x<0),則 f(x)()xA.有最大值B.有最小值C.是增函數(shù)D.是減函數(shù),1 2x2 1斛析：選 A f (x)= 2 =2,x x令 f' (x)=0,得 x=一當.當x<W時，f' (x)>0,當一¥<x<0時，f' (x)<0,，x =乎是函數(shù)f(x)的極大值點，也是最大值點.2,函數(shù)y= 2x33x212x+5在 2,1上的最大值、最小值分別是()A. 12, - 8B. 1 , 8C. 12, 15D. 5, 16解析：選 A y'

2、=6x2-6x-12,由 y' =0?x=1 或 x= 2(舍去).x= - 2 時，y= 1; x = 1 時，y=12; x= 1 時，y = 8.ymax =12, ymin = 一 8.故選 A.3.函數(shù)f(x) = 2+1, xC (0,5的最小值為()xA. 2B 3C.147D. 2V2+ 2和加 、比 ，1 1 x3T/日斛析：選 B 由 f (x) = y-.= x2 = 0,得 x= 1 ,且 xC (0,1)時，f' (x)<0, xC(1,5時,f' (x)>0,.x=1時，f(x)最小，最小值為 f(1)= 3.4,函數(shù)y=1&qu

3、ot;一2的最大值為()xA. e 1B. eC. e2D. 10一 、“ 人， In x ' x In x 1 In x .一 ,解析： 選 A 令 y =2=2- =0?x=e.當 x>e時，y <0; 當 0Vxxxve時，y' >0,所以y極大值=f(e)= e-1,在定義域內(nèi)只有一個極值，所以ymax= e 1.5.函數(shù)y= x+2cos x在0）,上取取大值時）x的值為（）兀A. 0 B.三6 兀兀C.o D.7 321 解析：選 B y = 1 2sin x,令 y = 0,得 sin x = -,.<兀 兀，11. x C 0, 2 ,

4、- x= 6.由 y >0 得 sin x<2, .0Wx<6;由 y' <0 得 sin x>1, I- 6<x< 2,.二原函數(shù)在0, 2上單調(diào)遞增，在6TT TT .6,-上單倜遞減.當 x=0時，y=2,當* =y=j,當 x=j時，y=+ V3, - 6'+ V3>2>2，.二當 x=6C時取最大值，故應(yīng)選 B.6 .函數(shù)f(x) = x2 54(x<0)的最小值是 x 、，解析：f' (x)=2x+5|.令 f'(x)=0,知 x = 3. x當 x<3 時，f' (x)<

5、;0;當一3<x<0 時，f' (x)>0.所以當x=3時，f(x)取得極小值，也是最小值，所以 f(x)min = 27.答案：277 .函數(shù)f(x) = xe x, xC 0,4的最小值為 .解析：f' (x)= e x xe x = e x(1 x).令，(x)=0,得 x=1(e x>0),.f(1) = 1>0, f(0) = 0, f(4) = >0, ee所以f(x)的最小值為0.答案：08 .若函數(shù)f(x)=x3- 3x- a在區(qū)間0,3上的最大值、最小值分別為m , n ,則 m- n =解析：. f， (x)=3x23,

6、.當 x>1 或 xv1 時，f' (x)>0;當一1vxv 1 時，f' (x)V0.f(x)在0,1上單調(diào)遞減，在1,3上單調(diào)遞增.f(x)min = f(1) = 13a= 2 a= n.又. f(0) = a, f(3)= 18a, . f(0)vf(3).，f(x)max= f(3)= 18-a=m, m-n= 18-a- (2 a) = 20.答案：209.已知 k 為實數(shù),f(x)=(x24)(x + k).(1)求導(dǎo)函數(shù)f' (x);(2)若x=1是函數(shù)f(x)的極值點，求f(x)在區(qū)間2, 2上的最大值和最小值.解：(1) .1 f(x)=

7、 x3+ kx2 4x 4k, f' (x)=3x2+2kx 4.，.，.r1(2)由 f' (-1)=0,得 k=-2. -c 1 cf(x)= x3 2x2 4x+ 2, f(x)=3x2x 4.由，(x)= 0,得 x = 1 或 x = 4.3一9450又 f( 2)=0, f(1) = 9, f4 , f(2)=0,f(x)在區(qū)間 2,2上的最大值為2最小值為5010.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+5,曲線y=f(x)在點P(1, f(1)處的切線方程為y= 3x+ 1.(1)求a, b的值；(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值.解：(1)依題意可知點 P

8、(1, f(1)為切點，代入切線方程y=3x+1可得，f(1) = 3x 1 + 1=4,.f(1)= 1+a+b+5= 4,即 a+b=- 2,又由 f(x)= x3+ax2+bx+5 得，又 f' (x)= 3x2 + 2ax + b,而由切線y= 3x+1的斜率可知f' (1)=3,解得a= 2,b= - 4, .3+2a+b=3,即 2a+b=0,a+ b= 2, 由2a+ b=0.a= 2, b= 一 4.(2)由(1)知 f(x) = x3+2x2-4x+5,f (x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),令 f' (x)= 0,得 x = 2或 x

9、= 2. 3當x變化時，f(x), f' (x)的變化情況如下表:x-3(-3, -2)-2-2，l231f' (x)十0一0十f(x)8極大值極小值4295，f(x)的極大值為f(2)= 13,極小值為f - =75,32 7又 f(3)=8, f(1)=4, f(x)在3,1上的最大值為13.11 .函數(shù)£僅)=，在區(qū)間2,4上的最小值為(A. 04C.e41B.-e2D.e2解析：選C f (x) =ex- xex 1 -xex2 ex當 xC 2,4時，f' (x)<0,即函數(shù)f(x)在2,4上是單調(diào)遞減函數(shù)，故當x=4時，函數(shù)f(x)有最小值e

10、4.12 .函數(shù)f(x)=x3-3ax-a在(0,1)內(nèi)有最小值，則 a的取值范圍為()A. 0,1)B. (0,1)一_八1C. (-1,1) D. 0, 2解析：選 B (x)=3x23a,令 f' (x)=0,可得 a=x2,又 / x (0,1), /. 0<a< 1, 故選B.13.若函數(shù)f(x)=x33x29x+k在區(qū)間 4,4上的最大值為10,則其最小值為()A. 10B. 71C. 15D. 22解析：選 B f' (x)=3x26x9=3(x3)(x+1).由 f' (x)= 0,彳導(dǎo) x=3 或 x= 1.又 f(4)=k76, f(3)

11、 = k-27, f(1)=k+5, f(4)=k20.由 f(x)max=k+5= 10,得 k=5, , , f (x)min = k 76 = 71.14.已知當xC 0, 2時，函數(shù)f(x)=tx sin x(tC R)的值恒小于李，則 t的取值氾圍是A.B. 一0°,2C.D. 2, +°°- -koo? 1兀解析：選A f(x)=tx sin x<0在xC 0, J內(nèi)恒成立，即t<sin-x在0 J內(nèi)恒成立， 2x 2sin xxcos x- sin x令 g(x) =,則 g (x) =2.xx令 (j)(x)= xcos xsin x,

12、 則 . (x)=xsin x,.Tt . .兀 .當 xC 0, 2 時，(j) (x)<0,(j)(x)在 0, 2 上單倜遞減，(«x)<(f)(0)= 0, 1- sin x>xcos x, . g' (x)<0 , 兀一 兀sin 221 g(x)在0,-內(nèi)單倜遞減，t<=-.2工 兀215 .已知函數(shù)f(x) = x+cos x, xC 0, 2 ,當f(x)取得取大值時，x的值為.解析：由題意知f' (x)=1 sin x>0恒成立，.一.萬 -.-所以f(x)=x+cos x在0, 2上是增函數(shù).所以當x=2時，f(

13、x)取得最大值.答案：215 一16 .已知函數(shù)f(x) = -x2-2x+3在區(qū)間a,2上的最大值為,則a=.解析：f1 (x)=-2x-2,令 f' (x)=0,得 x= 1, .函數(shù)在(8, 1)上單調(diào)遞增，15 . 一 1在(1, + 8)上單倜遞減.右a> 1,則取大值為 f(a) = - a 2a+3 = 4,斛佝 a = 3151a=2舍去；若 aw 1,則最大值為 f(1)=1 + 2+3 = 414.綜上知，a=-2.,1答案：217.已知 aw0,函數(shù) f(x)= ax(x-2)2(x R).若對任意 xC -2,1,不等式 f(x)<32 恒 成立，求

14、a的取值范圍.解：因為 f(x)= ax(x24x+4)= ax34ax2+4ax.所以 f' (x)= 3ax28ax+4a= a(3x28x+4)= a(3x-2)(x-2).令 f' (x)=0,得 x = 2或 x=2(舍去)，3當a>0時，f(x)在2, 2上單調(diào)遞增，在 2, 1上單調(diào)遞減. 33232故f(x)的取大值為f 3 =27a<32,即a<27.所以 0<a<27.當a<0時，f(x)在一2, 2上單調(diào)遞減，在 2, 1上單調(diào)遞增，又 f(-2) = - 32a>f(1) 33=a.所以f(x)的最大值為f(-2

15、)=- 32a<32,即a>1.所以1<a<0.綜上可得，a的取值范圍為(1,0) U (0,27).一，一一、一 1 一x ,18.已知函數(shù) f(x)=ln(ax+ 1)+(x>0),其中 a>0.1十x若f(x)在x= 1處取得極值，求 a的值;(2)若f(x)的最小值為1,求a的取值范圍.解：(1)f' (x) =ax2+ a 2ax+11 + x 2 ax+1 1 + x 2.因為f(x)在x= 1處取得極值,故 f' (1)=0,解得 a=1.ax2+ a 2(2)由(1)知,f (x) =2,' 'ax + 1 1 + x因為x>0,a>0,故 ax+1>0,1 + x