北師大版七年級下222222233全等三角形壓軸題分類解析

1、七年級下三角形綜合題歸類一、雙等邊三角形模型1. （1）如圖7,點0是線段AD的中點，分別以A0和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角 形OCD,連結AC和BD,相交于點E,連結BC.求NAEB的大?。海?）如圖8, AOAB固定不動，保持 OCD的形狀和大小不變，將AOCD繞著點O旋轉（ OAB和 OCD不 能重疊），求/AEB的大小.1/1同類變式：如圖a, ZkABC和4CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C,連接AF和BE.（1）線段AF和BE有怎樣的大小關系?請證明你的結論：（2）將圖a中的4CEF繞點C旋轉一定的角度，得到圖b, （1）中的結論還成立嗎

2、?作出判斷并說明理由；（3）若將圖a中的ABC繞點C旋轉一定的角度，請你畫出一個變換后的圖形c（草圖即可），（1）中的結論還成 立嗎?作出判斷不必說明理由.A3.如圖9,若A3C和4人。石為等邊三角形，分別為的中點，易證:CD = BE, ZkAAm是等邊三角形.（1）當把AO石繞A點旋轉到圖10的位置時，CQ = 3E是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說 明理由；（2）當AAOE繞A點旋轉到圖11的位置時，AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，若不是， 請說明理由. 同類變式：已知，如圖所示，在ABC和4)中，AB = AC, AD = AE, NBAC = NDAE，且點、B

3、, A, D 在一條直線上，連接BE, CD, M, N分別為3, CO的中點.(1)求證：BE = CDx AM = AN：(2)在圖的基礎上，將AO繞點A按順時針方向旋轉180、其他條件不變，得到圖所示的圖形.請直接寫出(1)中的兩個結論是否仍然成立.為和，助G的面積為S?,判斷&與S2的大小關系，并給予證明.5.已知：如圖，ZVIBC是等邊三角形，過A8邊上的點。作OG3C,交AC于點G,在GD的延長線上取 點E,使DE = DB,連接AE, CD.(1)求證：ZAGEADAC；(2)過點E作際OC,交BC于點、F ,請你連接AE,并判斷AEF是怎樣的三角形，試證明你的結論.二、垂直模型

4、(該模型在基礎題和綜合題中均為重點考察內容)考點1:利用垂直證明角相等1 .如圖，ZiABC中，NAC8=90。，AC=8C, AE是8c邊上的中線，過C作 b_LA垂足為F,過8作8O_L8C交。廠的延長線于。.求證：（1） AE=CD；(2)若 AC=12cm,求 8。的長.2 .（西安中考）如圖（1）,已知AABC中，NBAC=90, AB=AC, AE是過A的一條直線，且B、C1/1圖圖圖試說明：BD=DE+CE.（2）若直線AE繞A點旋轉到圖位置時（BDCE）,其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？寫出結論，可不 說明理由。3 .直線CD經過N3C4的頂點c, CA=CB.A

5、F分別是直線cd上兩點，且EC = NCE4 = Na.（1）若直線CD經過NBC4的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖 1,若N3C4 = 90：,Na = 9（r,則石EBE-AF （填或=號）: 如圖2,若0 vN8cAV18O ,若使中的結論仍然成立，則Na與4C4應滿足的關系是;（2）如圖3,若直線C。經過N3C4的外部，Na = ZBCA,請?zhí)骄坑摗⑴c8E、河三條線段的數量關系，并給 予證明.考點2：利用角相等證明垂直1.已知BE, CF是AABC的高，且BP=AC, CQ=AB,試確定AP與AQ的數量關系和位置關系2.如圖，在等腰Rt期7中，N月份90 ,。為6

6、。的中點，DE1AB,垂足為其 過點5作不月。交正的延長線于點尸，連接CF.求證：CD=BF：（2）求證:ADXCF：（3）連接防，試判斷月行的形狀.拓展鞏固：如圖9所示，4ABC是等腰直角三角形,ZACB=90c , AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E,交AD于點F,求證：ZADC=ZBDE.圖93 .如圖1,已知正方形A3CQ的邊CD在正方形。ER7的邊OE上，連接AE, GC.（1）試猜想A石與GC有怎樣的位置關系，并證明你的結論;（2）將正方形。EFG繞點。按順時針方向旋轉，使E點落在BC邊上，如圖2,連接4E和GC.你認為（1） 中的結論是否還成立？若成立，給出證明

7、；若不成立，請說明理由.4 .如圖1, MBC的邊5c在直線/上，ACJ.8C,且4C = 8C, 尸。的邊尸尸也在直線/上，邊與邊AC重合，且EF = FP（1）在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出A8與AP所滿足的 數量關系和位置關系：（2）將AEFP沿直線I向左平移到圖2的位置時，EP交4c于點。，連接AP, 8。.猜想并寫出8。與A尸所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想：（3）將/尸沿直線/向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q,連結力尸,8。，你認為（2）中所猜想的8。與4。的數量關系和位置關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.三

8、、等腰三角形（中考重難點之一）考點1:等腰三角形性質的應用1 .如圖，中，A3 = AC, N班。=90。，。是8。中點，石與4?交于E, /Z）與4c交于F .求 證：BE = AF, AE = CF.2 .兩個全等的含30 , 60角的三角板從陀和三角板ABC,如圖所示放置，瓦AC三點在一條直線上，連結30, 取4。的中點連結出EMC.試判斷的紇的形狀，并說明理由.壓軸題拓展：（三線合一性質的應用）已知RtAABC中，AC=BC. ZC = 90 。為AB邊的中點，ZEDF = 90 繞。點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB （或它們的延長線）于七、F.當ZEDF繞。點旋轉到OE J_ AC于

9、七時（如圖1）,易證5“加+ S：= ； 5皿 .當ZEDF繞。點旋轉到QE和AC 不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明：若不成立，Sg S、cef，Sbc 又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.3 .已知：如圖，48C中，乙48c=45 , CDLA8于。，8E平分N48C,且8E_LAC于E,與CD相交于點F, H是8c邊的中點，連結DH與8E相交于點G。（1）BF=AC（2）CE=-2考點2:等腰直角三角形（45度的聯(lián)想）1.如圖1,四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊 經過點D,且直角頂點E在AB邊上滑動（點E

10、不與點A, B重合），另一條直角邊與NCBM 的平分線BF相交于點F.（1）如圖141,當點E在AB邊的中點位置時：通過測量DE, EF的長度，猜想DE與EF滿足的數量關系是連接點E與AD邊的中點N,猜想NE與BF滿足的數量關系是 請證明你的上述兩猜想.由 142如圖142,當點E在AB邊上的任意 位置時，請你在AD邊上找到一點N,使得 NE=BF,進而猜想此時DE與EF有怎樣的數 量關系并證明2.在 RSABC 中，AC=BC, ZACB=90, D 是 AC 的中點，DG_LAC 交 AB 于點 G.（1）如圖1, E為線段DC上任意一點，點F在線段DG上，且DE=DF,連結EF與CF,過

11、點F作FH_LFC,交直線 AB于點H.求證：DG=DC判斷FH與FC的數量關系并加以證明.（2）若E為線段DC的延長線上任意一點，點F在射線DG上，（1）中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在 你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在中得出的結論是否發(fā)生改變.（本小題直接寫出結論，不必證明）圖1圖2同類變式：（期末考試原題哦）已知：4ABC為等邊三角形，M是BC延長線上一點，直角三角尺的一條直角邊經過點A,且60&角的頂點E在BC上滑動，（點E不與點B、C重合），斜邊與NACM的平分線CF交于點F （1）如圖（1）當點E在BC邊得中點位置時猜想AE與EF滿足的數量關系是.連結點E與A B邊

12、得中點N,是請證明你的上述猜想；（2）如圖（2）當點E在B C邊 得任意位置時，A E和EF有怎樣的 數量關系，并說明你的理由？猜想B E和C F滿足的數量關系四、角平分線問題1 .如圖：E在線段CD上，EA、EB分別平分NDAB和NCBA, NAEB=90 ,設AD= x,BC= y ,且 x, y 滿足 x? + y2 -6x-8y + 25 = 0（1）求AD和BC的長：（2）你認為AD和BC還有什么關系？并驗證你的結論: （3）你能求出AB的長度嗎？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由.2 .如圖，0P是NMON的平分線，請你利用該圖形畫一對以0P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你

13、參考這 個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在48C中，乙ACB是直角，ZB=60 , AD. CE分別是N84C、N8cA的平分線，AD. CE相 交于點心請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；（2）如圖，在“8C中，如果乙4CB不是直角，而中的其它條件不變，請問，你在中所得結論是否仍（第23題圖）3 .（北京市中考模擬題）如圖，在四邊形MS中AC平分皿，過C作CC于E,并且,今回 + , 則NABC + NADC等于多少?4 .如圖，AABC 中，AD 平分NBAC, DGJ_BC 且平分 BC, DE_LAB 于 E, DF_LAC 于 F.（1）說明BEXF的理由；（2）

14、如果AB=。，AC=b ,求AE、BE的長.五、中點問題1.在aABC中，。為8c的中點，過。點的直線GF交AC于尸，交AC的平行線BG于點G DE1GF,并交A8于點E.連結EG.（1）求證：BG = CF；（2）請猜想8E + b與m的大小關系，并加以證明2.如右下圖，在A45c中，若NB = 2NC, ADA.BC,石為3C邊的中點.求證：AB = 2DE .3.已知AA3C中，AB = AC, 3。為4?的延長線，且30 = 4?, CE為M8C的邊上的中線.求證C）= 2CE （提示：倍長中線試試）附加思考題：以A43C的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtSO和等腰RtMCE, ZBAD = ZCAE = 90 . 連接OE, M、N分別是8C、OE的中點.探究：AM與OE的位置關系及數量關系.如圖 當A45