微專題：構(gòu)造函數(shù)法解選填壓軸題

1、微專題：構(gòu)造函數(shù)法解選填壓軸題高考中要取得高分，許多方面尤其涉及函數(shù)題目,關(guān)鍵在于選準(zhǔn)選好的解題方法，才能省時(shí)省力又有效果。近幾年各地高考數(shù)學(xué)試卷中,采用構(gòu)造函數(shù)法解答是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。所謂構(gòu)造函數(shù)法是指通過一定方式,并構(gòu)造一個(gè)與有待解答問題相關(guān)函數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行觀察分析，借助函數(shù)本身性質(zhì)如單調(diào)性或利用運(yùn)算結(jié)果,設(shè)計(jì)解決原問題方法，簡(jiǎn)而言之就是構(gòu)造函數(shù)解答問題。 這方面問題。幾種導(dǎo)數(shù)的常見構(gòu)造：怎樣合理的構(gòu)造函數(shù) 就是問題的關(guān)鍵， 這里我們來一起探討一下若遇到f x ax2.對(duì)于3.對(duì)于f'(x)f(x)4.對(duì)于f'(x)f(x)或 f '(x)f (x) 0,構(gòu)造 h(

2、x)f(x)xe5.對(duì)于xf' x0,構(gòu)造xf x6.對(duì)于xf' x0,構(gòu)造14、構(gòu)造函數(shù)法比較大小f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且當(dāng) x (,0), f (x)xf '(x)0成立，0.20.2、a 2 gf(2 ),log3gf (log 3) , c log3 9gf(log3 9),貝Ua,b,c的大小關(guān)系是Aa b cB.aC.c b aDb a c【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)yxf (x)為奇函數(shù).因?yàn)閤f(x)Tf(x)xf '(x),所以當(dāng)x,0)時(shí)，xf (x)' f (x) xf '(x)0,函數(shù)yxf(x)

3、單調(diào)遞減,當(dāng) x (0,)時(shí)，函數(shù)y xf(x)單調(diào)遞減.因?yàn)?20.22, 0 1og 31,1og3 9 2,所以0 1og 320.21og39,所以 bC,選 D.變式:已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),當(dāng)x0,1.1.2f(2),b2f(2)，c1 ,一ln- f (ln 2),則下列關(guān)于a,b,c的大小關(guān)系正確的是( 2AaB.a c bC.c b aDb a c例2.已知f (x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且x R,均有f (x) f (x),則有2016 -A. e f ( 2016)f(0), f (2016)20162016e f(0) B. e f( 2

4、016)f(0), f (2016) e2016 f (0)C. e2016 f ( 2016)f(0), f (2016)2016e f(0) D. e2016 f ( 2016)f(0), f (2016) e2016 f (0)【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)f-(xx)，則 g (x) ex xf (x)e (e ) f (x)/ x、2(e )f (x) f(x)xe因?yàn)?x R,均有f(x)f (x),并且 ex故函數(shù)g(x)f(x)xe在R上單調(diào)遞減,所以 g( 2016) g(0),g(2016)g(0),即f(然)f(0) f 吃 f(0)20161 (U) ,2016(U),ee也

5、就是 e2016 f ( 2016)f(0) , f(2016)e2016f (0),故選 D.變式：已知函數(shù)f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且 f (x) f '(x)對(duì)于任意x R恒成立，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則(C )A.f(1) e f(0)、f (2016) e2016 f(0)B.f (1) e f(0)、f (2016)e2016 f (0)C.f (1) e f(0)、f (2016) e2016 f (0) D.f (1) e f (0)、f (2016) e2016 f (0) n 1.、例3.在數(shù)列an中，(an) n 1,(n N ),則數(shù)列an中的最大項(xiàng)為().

6、A. J2B. 3/3C. 5/5D,不存在【解析】由已知a172,a2V3,a34/4V2, a4 旗易得a a2,a2 a3 a4 猜想當(dāng)n 2時(shí)，an是遞減數(shù)列又由n 1ln(n 1)ann 1 知 ln an -n 1ln x 令f (x),xf (x)1 .-x ln xx1 ln x22xx當(dāng) x 3時(shí)，ln x 1,則 1 ln x0,即 f (x) 0f(x)在3,內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù),n 2時(shí)，lnan是遞減數(shù)列，即 是遞減數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a2 v3故選B.練習(xí)1 .已知函數(shù)yf (x)對(duì)任意的x (,)滿足f (x)cos x f (x)sin x 0 ,則(A. f(0)

7、 f B. f(0) 2f( J) C. <2f(7) f(-) D. V2f( -) f( R提示：構(gòu)造函數(shù)g(x) f® ,選D.cosx二、構(gòu)造函數(shù)法解包成立問題例1.若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式 xf (x) f(x) 0恒成立，對(duì)任意正數(shù) a、b,若a b,則必有()A. af(b) bf (a) B. bf(a) af (b) C. af (a) bf (b) D. bf (b) af (a)【解析】由已知xf (x) f (x) 0，構(gòu)造函數(shù)F(x) xf(x),則F (x) xf (x) f (x) 0,從而F(x)在R上為增函數(shù)。a b . F(a

8、) F(b)即 af(a) bf (b),故選 C。例2.已知f(x)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf (x) f(x)w0,對(duì)任意正數(shù)a、b,若a b,則必有()A . af(b) bf(a) B. bf(a) af(b) C. af(a) bf(b) D. bf(b) af (a) '【解析】F(x) fix), F (x) x (x) 2(x) 0 ,故 F(x) f(x)在(0, +°°)上是減函數(shù)， xxx由 a b,有 f f (b),即 af (b) bf (a)。故選 A。 a b變式1.設(shè)f (x)、g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f &

9、#39;(x)、g'(x)分別為f(x)、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足a x b時(shí)，有(C )A.f (x)g(b) f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x) f(b)g(b)D.f(x)g(x)f (b)g(a)變式2.設(shè)函數(shù)f (x), g(x)在a,b上均可導(dǎo)，且f(x) g (x)，則當(dāng) a x b 時(shí)，有(C )A. f (x) g(x)B. f(x)g(x)C. f(x) g(a) g(x) f (a)D f(x) g(b)g(x)f(b)例3.設(shè)函數(shù)f (x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f (x),且 2f(x)xf (x)x2 ,下面不等式恒成立的是()

10、A. f (x) 0B. f(x)C. f(x)D. f (x) x【解析】由已知，首先令x 0得 f(x) 0,排除B, D.f'(x)g(x) f (x)g'(x) 0,則當(dāng)令 g(x) x2f(x),則 g(x) x 2 f (x) xf (x),當(dāng) x 0時(shí)，有 2f (x) xf (x) g(S xg(x)和函數(shù)y 的圖象，(直線只代表單調(diào)性和取值范圍)， xg (x) 0,x所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x 0時(shí),g(x) g(0) 0,從而 f(x) 0. 當(dāng) x 0時(shí)，有 2f (x) xf (x) g(-x) x2 xg (x) 0,所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞減

11、，所以當(dāng)x 0時(shí),g(x) g(0) 0,從而 f(x) 0.綜上f (x) 0 .故選A.例4.如果(x，x2 1)(y Jy2 1) 1，那么下面的不等式恒成立的是()A. x y 0 B. x y 0 C. xy 0 D.xy0【解析】構(gòu)造函數(shù) f(x) lg(x 收 1) (x R),易證f(x)在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增(xf(x)x21)(y,y21) 1f (y)ig(xx21) + ig(y, y21)=lg(x . x2 1) (yy2 1)=lg1 = 0f(x)f(y)即:f(x) f( y)又f(x)是增函數(shù)1練習(xí)1.已知x3(logL0.5)x31y)3(log 1 0

12、.5) y,則實(shí)數(shù)3x,y的關(guān)系是(D )A. x y 0B. x yC.x y 0 d. x【解析】構(gòu)造函數(shù)1f(x) x3x(log 3 2) , f(x)是增函數(shù)，又f(x) f( y), x y0 ,故選D.練習(xí)2.已知函數(shù)y f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng) x 0時(shí)，有F(x)1 .xf(x)一的零點(diǎn)個(gè)x數(shù)是(B )A.0B.1C. 2D.31【斛析】由F(x) xf (x)得xf (x) x1一,構(gòu)造函數(shù)g(x) xf (x), x則 g (x) f (x) xf (x)，;當(dāng) x 0時(shí)，有 f (x)上(x) x0,，當(dāng)x 0時(shí),xf (x)xf(x)即當(dāng)x 0時(shí)，g(x) f(x

13、) xf(x) 0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，此時(shí)g(x)g(0) 0,作出函數(shù)可知函數(shù)g(0) 0，由圖象當(dāng)x 0時(shí)，g(x) f(x) xf (x) 0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，此時(shí)g(x)三、構(gòu)造函數(shù)法解不等式例1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽, f(1)=2,對(duì)任意xC R, f (x) 2,則f(x)>2x+ 4的解集為()A. (-1,1) B. (-1, +8)C. ( 8, 1) D. ( 8, +OO )【解析】構(gòu)造函數(shù) G(x) = f(x)2x 4,所以G(x) f (x) 2,由于對(duì)任意xCR, f (x) 2, 所以G(x) f (x) 2>0恒成立，所以

14、G(x) = f(x)-2x-4是R上的增函數(shù)，又由于 G(-1) = f(- 1)-2X (-1)-4=0,所以 G(x) = f(x)-2x- 4>0,即f(x)>2x+4的解集為(1, +8),故選B.1 x1變式1.已知函數(shù)f (x)(x R)滿足f (1) 1 ,且f'(x)-,則f(x)的解集為()2 2 2A. x 1 x 1 B. xx 1 C. xx1 或x【解析】構(gòu)造新函數(shù)F(x) f(x)(-),則F(1) 2 21 一 r -F'(x) f '(x),對(duì)任意 x R,有 F'(x) 2x所以F(x) 0的解集為(1,)，即f(

15、x)-2變式2.定義在R上的函數(shù)f (x),其導(dǎo)函數(shù)f (x)滿足1 D. xx 1,11f(1) (-)110， 2 2.1 一 - f '(x) 0,即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減， 21 ,的解集為(1,)，選D.2f (x) 1 ,且f 23,則關(guān)于x的不等式f x的解集為(,2)變式3.已知函數(shù)f(x)為定義在 R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)f '(x)對(duì)于任意x R恒成立，且 f(1)與< 1的解集為(,1) e變式4.函數(shù)f(x)的定義域是R, f (0)2 ,對(duì)任意x R, f (x)集為(A )A. xx 0 B. xx 0 C. xx -1 或x 1 D.f

16、 (x) 1 ,則不等式 ex f (x) exxx1或 0 x 11的解例2設(shè)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f (2)0 時(shí)，有xf(x)2 f(x)x0恒成立，則不等式2x f(x) 0的解集是xf (x) f (x)f (x)解：因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，有 一y 0恒成立，即'< 0恒成立, xx所以工在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減.x因?yàn)閒(2) 0,所以在(0, 2)內(nèi)恒有f (x) 0 ;在(2,)內(nèi)恒有 f (x) 0.又因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以在(，2)內(nèi)恒有f (x) 0 ；在(2,0)內(nèi)恒有 f(x) 0.又不等式x2f(x) 0的解集，即不等式f(x)

17、 0的解集.所以答案為(，2)U (0, 2).變式1.已知定義在(,0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f (x),且有2f(x)xf (x) x2,則不等式(x 2014)2f(x2014) 4f( 2) 0的解集為(A(, 2012)B.(2012,0) C. (2016)D.(2016,0)變式2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽, f( 2) 2016,對(duì)任意R,都有f(x)2x成立，則不等式_2f (x) x2 2012的解集為(C )A. ( 2,2)B. ( 2,)C. (, 2) D.變式3.設(shè)yf(x)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為(x),若f(x)(x)1, f(0)2017，則不等式f

18、(x)ex 2016ex的解集為(D )A. (2016,)B. (,0)(2016,) C.(,0)(0,D.(0,變式4.函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f( 2) 0,且x 0時(shí),f(x)xf(x)0,則不等式xf (x)0的解集是2,02,)(提示：構(gòu)造的g(x) xf(x)為奇函數(shù),f (0)0)例 4設(shè) f(x)、g(x)是 R上的可導(dǎo)函數(shù)，f '(x)g(x) f (x)g'(x) 0, g(3) 0 ,則不等式f(x)g(x)解集為(3,)變式1.設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，當(dāng) x 0時(shí)，f'(x)g(x)f (x)g

19、9;(x)g( 3) 0,則不等式 f(x)g(x) 0 的解集為 _(, 3) (0,3)變式2.已知R上的函數(shù)f(x)、g(x)滿足上區(qū) ax g(x)，且 f '(x)g(x) f (x)g'(x)，若用g(1)f( 1)g( 1) .(0.1)于x的不等式log a x 1的解集為一 2變式3.設(shè)奇函數(shù)f (x)定義在(，0)(0,)上,其導(dǎo)函數(shù)為f (x),且f0,時(shí),f x sinx f x cosx 0,則關(guān)于x的不等式fx 2 f sinx的解集為_( 6一,0)6f (x)(提小：構(gòu)造的 g(x)工為偶函數(shù))sin x四、構(gòu)造函數(shù)法求值1例1.設(shè)f (x)是R

20、上的可導(dǎo)函數(shù)，且f'(x) f(x), f(0) 1, f(2) 二.則f(1)的值為 e提示：由f'(x)f(x)得 f'(x) f(x) 0,所以 exf'(x) exf(x) 0,即exf(x)'0,設(shè)函數(shù) F(x) exf(x),則此時(shí)有 1 F(2)F(0) 1,1故 F(x) exf (x) 1, f (1) e變式.已知f (x)的導(dǎo)函數(shù)為f '(x),當(dāng)x0時(shí),2f (x)xf'(x),且 f(1) 1,若存在 x R,使 f (x) x2 ,則x的值為 1(提示：構(gòu)造g(x)f (x) V例2.已知定義在R上的函數(shù)f(x

21、)、g(x)滿足1 ax,且f'(x)g(x) f(x)g'(x), g(x)f f( 1)5 ,若有窮數(shù)列f(n) (n N*)的前n項(xiàng)和等于31,則n等于 5g(1) g( 1)2g(n)32f (x),f (x)g( x) f(x)g (x) c解：f '(x)g(x) f (x)g'(x),， ” ' Q ' 0,g(x)g (x)f (x) 一即函數(shù)ax單調(diào)遞減，.0vav 1,又g(x)f(1) f( 1)g(1) g( 1)rr 15. 一 1.即a 1.解得a 或a=2a22(舍去).3 (»即血(與,g(x) 2 g(

22、n) 2.11數(shù)列( -)n是首項(xiàng)為 現(xiàn) 一，公比221 n1 n Sn 1 (1)n ,由 Sn1 (1)n221,q 一的等比數(shù)歹U,231,解得n=5。32變式1.已知f(x), g(x)都是定義在R上的函數(shù),g(x) 。, f (x) g(x) f(x)g (x),且 f (x) axg(x)變式2 .已知f (x)、f(1)g(1) f( 1)g( 1)(a 0,且a 1)。f1) 上()勺，若數(shù)列 上® 的前n項(xiàng)和大于62,則n的最小值為(A ) g(1) g( 1)2g(n)A 8 B 7 C 6 D 5g(x)都是定義在 R 上的函數(shù)，f '(x)g(x) f(x)g'(x) 0, f(x)g(x) ax ,5.在區(qū)間3,0上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x, f(x)g(x)的值介于4到8之間的概率是(2B.解：由題意，f'(x)g(x) f(x)g'(x) 0 , . f (x)g(x) ,<0,函數(shù)f (x)g(x)在R上是減函數(shù),f (x)g(x) ax，.二