第4章靜電場的解法

1、第第4 4章章 靜電場的解法靜電場的解法黃丘林黃丘林電子工程學院電子工程學院西安電子科技大學西安電子科技大學1 1本章提綱1 靜電場問題的分類2 場的唯一性定理3 鏡像法4 分離變量法2 21 靜電場問題的分類靜電場問題的分類已知電荷分布求解場的分布型問題；由場量所滿足的支配方程以及場量在邊界上的已知條件來求解場的邊值型問題。邊值問題按其邊界條件不同可分為三類荻利克萊（Dirichlet）問題Neumann問題混合問題電位為標量，可以方便的求解靜電場的其它物理量，故邊值問題通常以電位做為研究對象。3 31 靜電場問題的分類荻利克萊（Dirichlet）問題已知區(qū)域邊界上的位函數(shù)值Neumann

2、問題已知待求函數(shù)在區(qū)域邊界上的法向?qū)?shù)值02|0或02n（4.1-1）（4.1-2）4 41 靜電場問題的分類混合問題區(qū)域邊界的一部分已知位函數(shù)值，另一部分已知法向?qū)?shù)值。問題：三類邊值問題的解是否唯一？02012,n回答是肯定的，有唯一性定理保證。（4.1-3）5 52 場的唯一性定理場的唯一性定理在以上三種邊界條件下，滿足Laplace方程和Poisson方程的電位函數(shù)是唯一的。利用格林第一公式來證明這一定理。若 、 都滿足拉氏方程（或Poisson方程），則 滿足Laplace方程，即：SVdSndV2122102（4.2-1）（4.2-2）6 62 場的唯一性定理令格林公式中 、 都是

3、 ，則： 第一種情況（Dirichlet問題）： 、 在S上均滿足第一類邊界條件，則 而積分為0 而在S上 SVdSndV2120S02VdV020常數(shù)C0021（4.2-3）（4.2-4）7 72 場的唯一性定理第二種情況（Neumann問題）： 、 都滿足則：故（4.2-3）右邊=0，同樣可得： 在參考點處 ，故 第三種情況（Mixed問題）證明與第二種情況類似，略。120Sn021SSSnnn常數(shù)C21021021218 82 場的唯一性定理唯一性定理的重要意義一是告訴我們在什么條件下得到的解是唯一的；二是無論用何種方法找到一個函數(shù)，既滿足微分方程，又滿足問題特定的邊界條件，則它必是該問

4、題的解。即可以靈活的選擇求解方法；三是根據(jù)唯一性定理，可以建立許多應(yīng)用于電磁場問題求解的等效原理。9 93 鏡像法鏡像法就是應(yīng)用唯一性定理求解靜電場的一種特殊方法。導體平面的鏡像法導體平面的鏡像法1010原問題等效問題兩個點電荷在P點共同產(chǎn)生的電位為：其中不難驗證，該電位在上半空間除點電荷q所在位置外，處處滿足拉普拉斯方程，而在y=0平面上等于0，與原問題相同，所以它就是原問題的解。3 鏡像法201044)(rqrqr2221)(zhyxr2222)(zhyxr11113 鏡像法推廣多個點電荷的鏡像12123 鏡像法垂直和水平電偶極子的鏡像分布電荷的鏡像13133 鏡像法點電荷對直角導體拐角的

5、鏡像14143 鏡像法 例例1 1 在電位為0的無限大導體平面上方距離平面h處沿z方向放置均勻分布的線電荷，密度為 ，求導體上方的電位。 解：解：原問題與圖中的鏡像問題等效。l15153 鏡像法zdzhyxzhyxrl2222220)(1)(14)(zdzhyxzhyxl02222220)(1)(122222222222000()()lnln22()()llzxyhzxyhzxyhzxyh16163 鏡像法介質(zhì)交界平面的鏡像法介質(zhì)交界平面的鏡像法 原問題原問題 在y=0平面的上半空間充滿介電常數(shù)為 的介質(zhì)，下半空間充滿介電常數(shù)為 的介質(zhì)，在上半空間放一點電荷q ，求空間任一點電位。先處理上半空

6、間 假設(shè)全空間只有一種介質(zhì) ，而介 質(zhì)分界面上的感應(yīng)電荷對上半空間 電位的貢獻用在原電荷q的鏡像位 置放一像電荷 來等效，此時121q)(41)(2111rqrqr17173 鏡像法再處理下半空間 此時設(shè)全空間只有一種介質(zhì) ，分 界面上的感應(yīng)電荷對下半空間電位 的貢獻用原電荷位置上放一鏡像電 荷來等效，則原電荷位置上的總電 荷為 ，此時其中2q 12241)(rqr 2221)(zhyxr2222)(zhyxr18183 鏡像法 要使這兩個電位就是原問題的解，在邊界y=0上應(yīng)滿足邊界條件在y=0上 ，所以而21yy221121rr 21)(1qqq 232222322211)()()()(41

7、zhyxqhyzhyxqhyy2322222)()(41zhyxqhyy 19193 鏡像法在y=0上有 或可解得其中qhqhhq qqq Kqqq2121qKqqq)1 ( 2121K20203 鏡像法最后的上半空間和下半空間的電位分別為：)()(1(4)(22222211zhyxKzhyxqr22222)(41)(zhyxqKr21213 鏡像法球面鏡像法球面鏡像法從對稱性考慮，鏡像電荷q位于圓心和q位置的連線上。2222Oaqd導體球Obrqqd導體球r1r2原問題等效問題3 鏡像法根據(jù)疊加原理：對于球面上的電位：取兩個點：A、B，可得：2323010211( )44qqrrr01021

8、1044ooqqrrBAObrqqd導體球r1r200qqdaabqqdaab2()babda舍去2aqqdabd 3 鏡像法柱面鏡像法柱面鏡像法自學作業(yè)：針對例4.4，求出電位及等位面方程，用Matlab編程計算并畫出不同m取值時的電位圖。要求：1）總結(jié)柱面鏡像法的過程； 2）附程序和圖。 P144: 4.1, 4.2, 4.4 24244 分離變量法基本思想把求解偏微分方程的定解問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的問題,再結(jié)合問題特定的邊界條件，求出原問題的解。依據(jù)：唯一性定理坐標系的選擇原則當邊界（或其一部分）與某一坐標系的坐標面形狀相同時，就應(yīng)選擇此種坐標系。分離變量后的解既滿足微分方程，又滿足

9、邊界條件分離變量后的解既滿足微分方程，又滿足邊界條件25254 分離變量法直角坐標系中的分離變量法 當邊界面的形狀適合選用直角坐標系時，需在直角坐標系中求解Laplace方程 進行變量分離，令 兩邊同除以 得： 0222222zyx zZyYxXzyx, 0 zZyYxXzZyYxXzZyYxX zZyYxX 0 zZzZyYyYxXxX（4.4-1）（4.4-2）26264 分離變量法 式中每一項都只是一個坐標變量的函數(shù)，要使上式成立，必須有各項均為常數(shù)，令： 222zyxkzZzZkyYyYkxXxX27274 分離變量法 得： 其中 、 、 都是常數(shù)，稱為分離常數(shù)，滿足如下關(guān)系： cZk

10、dzZdbYkdyYdaXkdxXdzyx000222222222xkykzk0222zyxkkk（4.4-3） （4.4-4） 28284 分離變量法可見三個分離常數(shù)只有兩個是獨立的，當其中兩個確定后，第三個也就隨之確定了。此外，（4.4-4）式還表明，除非 ，其中必有一個為實數(shù)，一個為虛數(shù)，第三個可能為實數(shù)也可能為虛數(shù)。（注意帶求函數(shù)為實函數(shù)）當其中某一個為0時，另兩個必是一實一虛。分離常數(shù)具體取何值應(yīng)由邊界條件確定，但不外乎以下三種情況：（1）等于0，（2）實數(shù)，（3）純虛數(shù)。分離常數(shù)取不同的值時，方程（4.4-3）的解也有不同的形式。29290 xyzkkk4 分離變量法以（4.3-3

11、a）為例： （1）當 時，（a）式變?yōu)?，則（2）當 實數(shù)時， ，其通解為（3）當 為虛數(shù)時， ，令0 xk022dxXd 00BxAxXxk02xk xkBxkAeBeAxXxxxxjkxxjksincos1111xk02xk實數(shù)xxxxkjjk30304 分離變量法則其通解為 、 解的情況與此類似。0222222XdxXdXkdxXdxx xshBxchAeBeAxXxxxxxx2222 yY zZ31314 分離變量法由下面的例子給出完整的求解過程例例 2一無限長矩形槽，其四壁上電位滿足圖中所示邊界條件，求槽內(nèi)電位分布。32324 分離變量法解：解：因為槽沿z軸為無限長，且邊界上邊界條件

12、沿z軸無變化，故槽中電位與z無關(guān)，僅為x、y的函數(shù) ，此問題可歸納為：yx,74 . 400,00 ,64 . 400, 054.4002222axbxxbyyaUyyx3333第一步：分離變量令 ，代入（4.4-5）得： （4.4-8） （4.4-9） 先解方程（4.4-9）（為何不先解（4.4-8）？因為由所給條件不能得出 的邊界條件）第二步：分離邊界條件：由（4.4-7）得： （4.4-10）4 分離變量法 yYxXyx,0 YYXX 02 xXkxXx 02 yYkyYy 00bYY3434第三步：聯(lián)立求解討論不同 取值時的解：（1） =0時，由邊界條件得（2） 為虛數(shù)時，令由邊界條件

13、得：4 分離變量法 yY 02 yYkyYy 00bYYykyk 00ByAyY000 BAyk實數(shù)yyyykjjk yyyyeBeAyY11011 BA35354 分離變量法（3） 為非零實數(shù)時，由邊界條件第四步：求解yk ykBykAyYyysincos11 0001AY ,2, 10nbnkbYy ,2, 1sin1nybnByYn xX3636由 ，得到：得4 分離變量法022yxkkbnjkbnkkxyx222 02 xXbnxX ,2, 111neDeCxXxbnnxbnn ybneDeCxxbnnxbnnnsin1137374 分離變量法第五步：寫出通解第六步：利用邊界條件求解待

14、定系數(shù)111sin,nxbnnxbnnybneDeCyx0,yaabnnnabnnabnneDCeDeC21111011sin,nxabnxabnabnnybneeeDyx 11sinnabnnybnxabnsheD38384 分離變量法又即：兩邊同乘以 并從0b積分，由三角函數(shù)正交性：nnDD112 0, 0Uy 011sinUybnabnsheDnabnn ybmsin bbabmmdyybmUdyybmabmsheD00021sinsin39394 分離變量法即：第七步：寫出原問題的解mabmmmbUbabmsheD11201 6,4,205,3, 120mmUmb5,3, 1401 m

15、abmshmeUDabmm5 , 3 , 10sin4,nybnxabnshabnshnUyx4040例例3 3 求圖中所示電位邊值問題的解。4 分離變量法41414 分離變量法解：解：求解問題可表示為：類似 上一例題得：axUbxxbyxyaxyyx0,00 ,00, 0002222 02 xXkxXx 02 yYkyYy42424 分離變量法先解X，由經(jīng)討論， 為實數(shù)時X有非0解：當 時，其解為當 時，其解為由 000, 0aXXxyaxyxk0 xk 0BxX0 xk xkBxkAxXxxsincos11 ,2, 1,0001nankBaXXx ,2, 1cos1nxanAxXn43434 分離變量法相應(yīng)地，當 時， ，Y的解為：當 時， 原方程的通解為： 0 xk0yk 00DyCyYankxanjky ,2, 111neDeCyYyannyann11100cos,nyannyannxaneDeCDyCyx44444 分離變量法再確定系數(shù)：又比較系數(shù)得：nnCDDx110,000 ,110co