高數(shù)高等數(shù)學(xué)A上復(fù)習(xí)資料

1、高等數(shù)學(xué)A上冊資料第一、二章 函數(shù)、極限與連續(xù)第三章 導(dǎo)數(shù)與微分第四章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第五章 不定積分第六章 定積分第七章 無窮級數(shù)第一、二章 函數(shù)、極限與連續(xù)第一講 函數(shù)教學(xué)目的和要求：深刻理解一元函數(shù)的概念，熟悉函數(shù)的幾種特性、運算，能熟練作出基本初等函數(shù)的圖形。 知識點：一元函數(shù)的定義、函數(shù)的特性、函數(shù)的運算、基本初等函數(shù)、分段函數(shù)。 重點：一元函數(shù)的定義（著重要強(qiáng)調(diào)自變量與因變量之間的單值對應(yīng)關(guān)系），函數(shù)的幾種特性，基本初等函數(shù)。 難點：復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù) 教學(xué)方式：多媒體，講授 教學(xué)思路：本講實際上是復(fù)習(xí)中學(xué)有關(guān)一元函數(shù)的內(nèi)容，通過這一次課，讓學(xué)生對一元函數(shù)y = f

2、(x)有一個統(tǒng)一、準(zhǔn)確的認(rèn)識，尤其要深刻理解其中x與y之間的單值對應(yīng)關(guān)系，熟悉函數(shù)的特性、運算、圖形、強(qiáng)調(diào)對分段函數(shù)的講解，為以后講函數(shù)的連續(xù)、求導(dǎo)做準(zhǔn)備。教學(xué)過程：一、函數(shù)的概念定義1 設(shè)A、B是兩個實數(shù)集，稱映射f: AB為一元函數(shù)，簡稱函數(shù)，記作其中x稱為自變量，y稱為因變量，f(x)表示函數(shù)f在x處的函數(shù)值，A為f的定義域，記作D(f)、f(A)=y | y= f(x)、xA稱為f的值域，記作R（f）。注意：函數(shù)的兩個基本要素：定義域和對應(yīng)法則，x與y之間必須是單值對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)常用的表示方法：列表法、圖示法、公式法。例1 求函數(shù)的定義域。解：必須滿足條件： 即 得 函數(shù)的定義域為：（

3、1,2）。例2 求函數(shù) 的定義域。解：x必須滿足條件 由<1> ，解之得由<2>，當(dāng)，即時，<2>變?yōu)?，無解。當(dāng) ，即 時，<2>變?yōu)?，解之得?函數(shù)的定義域為：分段函數(shù)：在定義域的不同子集上用不同的表達(dá)式來表示對應(yīng)法則的函數(shù)。例3 符號函數(shù)例4 取整函數(shù)表示不超過x的最大整數(shù)。 如：-3.2= -4 3.55=3 例5 例6 即例7 設(shè)解：略通過分段函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解函數(shù)的概念，擴(kuò)大學(xué)生認(rèn)識函數(shù)的范圍，為以后講解函數(shù)的連續(xù)性創(chuàng)造條件。二、函數(shù)的圖形定義2 稱集合為函數(shù)f的圖形，記為G(f)。函數(shù)f的圖形是坐標(biāo)平面上一些特定點（x,y）的集合

4、。注意：與x軸垂直的直線與函數(shù)曲線最多只能有一個交點。三、函數(shù)的幾種特性1函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)的定義域為D，數(shù)集，如果存在正數(shù)M，使對于任意都有則稱函數(shù)在集X上有界，否則稱在X上無界。2函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)的定義域為D，區(qū)間，若對于任意的，當(dāng)時，有，或，則分別稱是區(qū)間I上的單調(diào)增加函數(shù)或單調(diào)減少函數(shù)。單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。3函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點對稱，如果對于任意，都有，則稱為奇函數(shù)；如果對于任意都有，則稱為偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱，因為也在圖形上。同理可以說明偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱。4函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)的定義域為D，如果存在一個不為零的數(shù)T，使得對于任意

5、，有，且則稱為周期函數(shù)，T稱為周期。若T是的周期，則也是的周期，周期中的最小正值稱為最小正周期，通常周期均指最小正周期，如，。例8 證明下列函數(shù)在所示區(qū)間內(nèi)有界1） 2） 證明 1）只要證明在上是單調(diào)的，則有界。 設(shè) ，則而 ，有于是 由于 所以 即 在上是單調(diào)的或因而有界。 2）因，則 設(shè) ，則，故 。 所以 或有界例9 討論函數(shù)的奇偶性。解：函數(shù)的定義域 因 所以，是上的奇函數(shù)。例10 試證 是奇函數(shù)證明： 設(shè)，則，由于設(shè) ，則，由于又 ，于是對于任何，都有，從而是奇函數(shù)。例11 函數(shù)是否為周期函數(shù)，如果是確定其最小正周期。解：對任何x，存在整數(shù)n，使，則 。當(dāng)T為整數(shù)時，由于，故 ，于是

6、有是周期函數(shù)，最小正周期為1。四、函數(shù)的運算 1函數(shù)的四則運算 設(shè)f, g是定義域分別為的函數(shù)，定義f, g的和、差、積、商如下： 且 特別地 ，稱為f與的數(shù)。 2復(fù)合函數(shù)定義3 設(shè)有兩個函數(shù)和，如果函數(shù)將集合映入，函數(shù)將集合映入，若，則得到了一個從到的一個新的函數(shù)，也稱為由函數(shù)和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作，稱為中間變量。例12 設(shè)，求復(fù)合函數(shù)。解：由于可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，反之可否構(gòu)成，不可定義4 設(shè)函數(shù)的定義域為D，值域為f(D)，則對于任一，必有唯一的使，從而確定了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記作它的定義域是f(D)，值域是D。注意：是單值對應(yīng)的，但其反對應(yīng)關(guān)系不一定是單值的，從而不

7、一定能構(gòu)成單值函數(shù)。如：，函數(shù)與的定義域與值域是互換的，因而在xoy面上圖形相同，習(xí)慣上用表示的反函數(shù)，若點P（a, b）在的圖形上，則Q（b, a）就在其反函數(shù)的圖形上，反之亦然。而P（a, b）與Q（b, a）是關(guān)于直線y=x對稱的，從而y = f(x)與其反函數(shù)的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。五、基本初等函數(shù) 常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)這六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 1見教材即可注意：對這些函數(shù)的定義式、定義域、值域、圖形及相關(guān)的性質(zhì)要了如指掌。六、初等函數(shù)定義5 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。注

8、意：一般地、分段函數(shù)不是初等函數(shù) 但：是初等函數(shù)我們所討論的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，如：，等雙曲函數(shù)：見教材反雙曲函數(shù)：見教材小結(jié)：抽象地講，一元函數(shù)就是討論兩個變量x與y之間的一種動態(tài)關(guān)系，不過要求x與y的對應(yīng)關(guān)系是單值的，與其相關(guān)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性都會在這一動態(tài)過程中得到體現(xiàn)。推而廣之，世界上的萬事萬物如果可以量化的話，不都可看成以時間為自變量的函數(shù)嗎？因為它們都是隨時間的變化而變化的。第二講 極限（一）教學(xué)目的和要求：深刻理解數(shù)列極限的定義，掌握數(shù)列極限的性質(zhì)，深刻理解x無限增大時函數(shù)極限的定義。知識點：數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的性質(zhì)，x無限增大時函數(shù)極限的定義。重點：兩個定

9、義及數(shù)列極限的性質(zhì)難點：x無限增大時函數(shù)極限的定義教學(xué)方式：多媒體，講授教學(xué)思路：通過數(shù)列的實例的變化趨勢引入數(shù)列極限的定義，著重解釋如何用精確的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)對“無限增大”，“無限接近”這些直觀的描述，再由數(shù)列極限的定義推廣到x無限增大時函數(shù)的極限教學(xué)過程：一、數(shù)列極限的概念 以自然數(shù)為自變量的函數(shù)的函數(shù)值按自然數(shù)的順序排列起來，就構(gòu)成一個數(shù)列。，簡記為，xn為通項。例如 1） 2） 3） 4） 5）將這些數(shù)列的若干項表示在數(shù)軸上，當(dāng)時，觀察它們的變化規(guī)律，會發(fā)現(xiàn)無限增大，無限接近于0，、無限接近于1，變化趨勢不確定。1234如果當(dāng)n無限增大時，xn無限接近某個確定的常數(shù)a，則稱xn以a為極

10、限，或稱xn收斂于a，記為：以（3）為例，當(dāng)時，的各項無限接近于1，也就是說，隨著n的增大，數(shù)列各項與1之差的絕對值（即點與1的距離）就可以越來越小，任意小，要多小有多小，可以小于任意給定的正數(shù)。就是說，對于任意給定的正數(shù)，不論它有多么小，只要n足夠大，都可以使，換句話說，只要存在正整數(shù)N，對于n>N的所有項都滿足不等式就行了。 如：取，要使，即，得，取N=100，當(dāng)n>N時，就一定有。也就是說該數(shù)列從第101項開始，后面所有的各項與1的距離都小于0.01。再取定義1 設(shè)有數(shù)列，若存在一個常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，有成立，則稱

11、數(shù)列存在極限，并稱a為的極限記作 或。此時，也稱數(shù)列收斂于a，或為收斂數(shù)列，否則稱數(shù)列為發(fā)散數(shù)列。 上述定義用邏輯符號表述為：，使得當(dāng)n>N時，恒有，則稱a為數(shù)列的極限。注意：定義中，正數(shù)是任意給定的可以充分小，它刻畫了xn接近于a的程度，正整數(shù)N與有關(guān)，用n>N刻畫n足夠大，它是保證成立的條件，對于一個給定的，N不是唯一的。以a為極限的幾何意義：對于數(shù)軸上的點a的任意給定的鄰域，總存在自然數(shù)N，使得點列從第N+1項起所有的點：，都落在之內(nèi)，而在此鄰域之外至多只有的有限項，因此可知，數(shù)列的收斂性與它的前有限項無關(guān)。例1 用數(shù)列極限的定義證明：證明：分析 利用N定義證明關(guān)鍵是對，視n

12、為未知數(shù)，通過不易解出n，可設(shè)法將適當(dāng)放大為，然后由，解出，再取，因 ，要使 ，即要或，所以，對，取，則當(dāng)n>N時，有： 。例2 用數(shù)列極限的定義證明，證明：因 ，而 。所以，要使 ，只要，即 ，于是，對，取當(dāng) n>N時，恒有成立。 。例3 用“”語言證明：證明：因 而 于是 ，要使 ，只要，即 所以，對，取，當(dāng)n>N時，恒有 成立。 例4 用“”語言證明：證明：當(dāng)時，結(jié)論顯然成立。 現(xiàn)設(shè) ，因，要使 ，取對數(shù)得：即 （不妨設(shè)）。所以，取，當(dāng)n>N時，恒有 。 。二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1 （極限的唯一性），收斂數(shù)列的極限是唯一的證明： 用反證法，如果，且a<b，取

13、 由 知，存在正整數(shù)N1，當(dāng)時 有 又由 知，存在正整數(shù)N2，當(dāng)n > N2時 有 取 ，當(dāng)n > N時，上兩不等式都成立 于是有 。 矛盾，假設(shè)不成立，定理成立。 設(shè)數(shù)列xn，若，使得當(dāng)恒有，則稱xn有上界L。類似可定義xn有下界。若xn既有上界，也有下界，則稱xn是有界的，否則稱xn無界。定理2 （收斂數(shù)列的有界性），如果數(shù)列收斂，則數(shù)列必有界。證明：設(shè) ，則對于，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時， 有 ，從而 取 ，當(dāng)時都有 數(shù)列xn有界。注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件，不是充分條件，也就是說有界數(shù)列不一定收斂，如數(shù)列，有界但不收斂，若數(shù)列xn無界，必發(fā)散，如數(shù)列無界，因而發(fā)

14、散。子數(shù)列的概念：在數(shù)列xn中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列xn中的先后次序，這樣得到的數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列（子列）。 如xn中取出。定理3 （收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系），如果數(shù)列xn收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。 證明：設(shè)數(shù)列是數(shù)列xn的任一子數(shù)列， 由于 ，均對于，當(dāng)n>N時 恒有 成立。 取K=N，則當(dāng)時， 于是 成立 。 注意：如果子數(shù)列收斂，但原數(shù)列xn不一定收斂，如思考題：獵狗的奔跑速度為10m/s，兔子的奔跑速度為 5m/s，獵狗沿直線追趕兔子，兔子提前一秒鐘開始跑，如圖，當(dāng)兔子跑到B點時，狗追到A點，當(dāng)兔子跑到C點時，獵狗追到B點，這樣追下

15、去，似乎獵狗永遠(yuǎn)也追不到兔子，為何？三、自變量x無限增大時函數(shù)的極限 x無限增大包括三種情況：。 如果在的過程中，函數(shù)值無限地接近于確定的常數(shù)A，則A就叫做函數(shù)當(dāng)時的極限。定義2 設(shè)f: 是一函數(shù)，其中 ，若存在常數(shù)，滿足關(guān)系：，使得當(dāng)時，恒有。那么稱A是f(x)當(dāng)時的極限，記作或這時，我們說，當(dāng)時，f(x)極限存在。當(dāng)時，定義中的改為就可得的定義當(dāng)時，定義中改為就可得的定義定義的幾何意義：對，總能在x軸上找到一點X，使得函數(shù)的圖形在直線右邊的部分與直線左邊的部分位于平面帶形內(nèi)定理4 證明：必要性 設(shè) ，由定義可知： 對于 ，當(dāng)時，即當(dāng) 或時 充分性，設(shè) 對于，當(dāng)時， 對于，當(dāng)時，取，當(dāng)時恒有

16、 成立 。例5 證明：因 要使 ，只要 ，即 于是對于，取，當(dāng)時，就有 成立 小結(jié)：數(shù)列的極限實際上是一元函數(shù)當(dāng)自變量無限增大時極限的一種特殊情形，數(shù)列極限是自變量n“離散地”取正整數(shù)無限增大時，函數(shù)值的變化趨勢。而一元函數(shù)當(dāng)自變量無限增大時的極限是自變量x“連續(xù)地”取實數(shù)無限增大時，函數(shù)值的變化趨勢，一個是“離散變量”，一個是“連續(xù)變量”。第三講 極限（二）教學(xué)目的和要求：深刻理解函數(shù)極限的定義，掌握用定義證明函數(shù)極限的方法、熟悉函數(shù)極限的性質(zhì)。知識點：定義，函數(shù)極限的性質(zhì)重點：定義難點：定義，用定義證明函數(shù)的極限教學(xué)方式：多媒體，講授教學(xué)思路：利用函數(shù)極限的幾何意義，詳細(xì)、形象、深刻地講解

17、定義，適當(dāng)?shù)卦黾佑枚x證明函數(shù)極限的例題，讓學(xué)生熟練地掌握用定義證明極限的方法。教學(xué)過程：一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限x趨于有三種情況：x從的右側(cè)趨于，即為；x從左側(cè)趨于x0，記為；x從左、右趨于x0，記作。如果在的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于確定的數(shù)值A(chǔ)，那么A叫做函數(shù)當(dāng)時的極限。在的過程中，無限接近于A，就是能任意小，要多小有多小，可小于任意給定的正數(shù)，即，而無限接近A是在的過程中實現(xiàn)的，所以對于任意給定的正數(shù)，只要充分接近于的x所對應(yīng)的函數(shù)滿足不等式即可。而充分接近的x可表示為，其中是某個正數(shù)。適合不等式的全體x，就是的去心鄰域，則體現(xiàn)了x與的接近程度。定義1 設(shè)：是一函數(shù)，若存在

18、一個常，滿足關(guān)系：，使得當(dāng)時，恒有 則稱A是當(dāng)時的極限，記作或此時，也稱當(dāng)時，存在極限。注意：在時的極限只與在的去心鄰域的值有關(guān)，與在處是否有定義或在處的值的大小無關(guān)。因為極限是考慮時，函數(shù)的變化趨勢，與在處的狀態(tài)無關(guān)。幾何意義：對于任意給定的，總能找到一個，使得函數(shù)f的圖形在寬為2的豎直帶形內(nèi)的部分全落在長方形內(nèi).例1 證明（C為常數(shù)）證明：因，對于，可任取一正數(shù)（此處與無關(guān)），當(dāng)時，能使不等式 成立。例2 證明證明：因 要使對于，取，當(dāng)時，就有不等式 成立例3 證明。證明：因，要使，即要對于，即，當(dāng)時，就有不等式 成立。分析：用定義驗證的關(guān)鍵是對于任給，在不等式中視為未知數(shù)，從中解出，取即

19、可。如從不等式中不易解出可設(shè)法將適當(dāng)放大為，再從中解出，再取即可。例4 證明：當(dāng)時，。證明：因要使只要或，且，而可用得證。對于，即，當(dāng)時，不等式：成立，例5 證明證明：因，而，可限定，則，于是得到放大的不等式要使，只要，即，于是對于，取，當(dāng)時，就有 成立，。例6 證明證明：因，而，可限定，即，則，于是得到放大的不等式：要使，只要，即。于是對于，取，當(dāng)時就有 ，。例7 證明。證明：因，而，可限定，則，（因）于是得到放大的不等式要使，只要，即，于是對于，取，當(dāng)時，就有 成立，。類似可以定義，時函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù)：常數(shù)），若存在數(shù)，滿足關(guān)系：，使得當(dāng)時恒有 則稱A為當(dāng)?shù)淖髽O限，記作或同樣可定義當(dāng)?shù)挠?/p>

20、極限，記作或定理1 注意：時，的極限為A的充要條件是的左、右極限存在并且相等，如果左、右極限有一個不存在，或都存在但不相等，則不存在。例8 設(shè)， 證明不存在。證明：因為 故不存在。思考題：設(shè)， 是否存在？與是否有關(guān)系？在函數(shù)極限不存在的情況中，有一種比較特別：設(shè)：是任一函數(shù)，若，使得當(dāng)時，恒有 則稱當(dāng)時，的極限為無窮大，記作或類似地，有和等。二、函數(shù)極限的性質(zhì)：定理2 若存在，則極限唯一。證明：依照數(shù)列極限唯一性的證明方法。定理3 （局部有界性）若存在，則與，使得都有。證明：設(shè)，由極限定義，對于，當(dāng)時，有從而，。定理4 （局部保界性）如果，且（或），則，當(dāng)時，有（或）。證明：設(shè)，取正數(shù)，由的定

21、義，對于此，當(dāng)時，不等式 即 成立。故 。類似可證明的情形。定理5 （局部保序性）若，當(dāng)時，且，那么。證明：反證法，設(shè)，取則，當(dāng)時，有 有 有 矛盾。小結(jié)：極限的作用就是描述因變量y隨自變量x在一定的變化過程中的終極狀態(tài)（或變化趨勢），它是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，是研究若干數(shù)學(xué)問題最基本的方法之一，極限概念的理解對后面學(xué)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、積分都是至關(guān)重要的。第四講 極限的運算法則教學(xué)目的和要求：熟練掌握極限的運算法則，以及極限存在的兩個準(zhǔn)則，進(jìn)一步熟練用定義證明極限存在的方法。知識點：函數(shù)及數(shù)列極限的運算法則，極限存在的兩個準(zhǔn)則。重點：函數(shù)極限的運算法則，極限存在的兩個準(zhǔn)則。難點

22、：極限的運算。教學(xué)方式：多媒體、講授教學(xué)思路：通過對極限四則運算法則的證明進(jìn)一步熟悉用“定義”證明極限存在，通過一些典型例題的計算盡可能多地掌握函數(shù)極限的計算方法以及兩個準(zhǔn)則的運用。教學(xué)過程：定理1 （四則運算法則）設(shè)，則1）2）3）此定理對于等情形也成立。證明：2）因 由，對于正數(shù)，存在，當(dāng)時，有 又 ，對于正數(shù)M，及，存在，當(dāng) 時有 。取，當(dāng)時，上述三個不等式同時成立于是 。3）因?qū)τ谡龜?shù)，存在，當(dāng)時，有，即 ，在內(nèi)有界。設(shè) ，對于正數(shù)，當(dāng)時，有，從而 再由（2）可知，定理2 （復(fù)合運算法則）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時的極限存在且等于，又，則復(fù)合函數(shù)，當(dāng)時的極限也存在，且。證明：因為，所以，使得當(dāng)時，恒

23、有 又由于 ，故對于上式的，使得當(dāng)時，恒有 設(shè)在的的心領(lǐng)域內(nèi)，取，則當(dāng)時恒有 ，即，從而有。定理表明：求可通過變量代換求，化為求的極限問題。例1 求。解：原式例2 求解：原式一般地對于多項式，則。有理函數(shù)：有 如果，則不能用法則。例3 求解：當(dāng)時，分子、分母的極限為零，不能用運算法則，對這類極限通常是將函數(shù)式作適當(dāng)變形，消去分子、分母中趨于零的因式后，再用運算法則。原式例4 求解：（略）以上兩例中的極限式稱為型的未定式。例5 求解：當(dāng)時，分子、分母的極限都是，不可用運算法則，以除分子、分母就可以了。原式。例6 求解：（略）例7 求解：原式。此例中的極限式稱為型未定式，可化為型未定式。例8 求解

24、：由極限的復(fù)合運算法則，設(shè) 關(guān)于數(shù)列，也有類似的極限運算法則。定理3 設(shè)，則1）2）3） 例9 求。解： 。極限的運算法則提供了求極限的方法，但前提是極限存在，而且需要利用一些已知極限的結(jié)果。極限存在的兩個準(zhǔn)則：準(zhǔn)則I（夾逼原理）如果數(shù)列、及滿足下列條件：1）2），那么數(shù)列的極限存在，且。證明：因為，由數(shù)列極限的定義有，當(dāng)時，有當(dāng)時，有，取 ，則當(dāng)時，有，同時成立。又 ，當(dāng)時，有 ，即 。于是 。上述準(zhǔn)則對函數(shù)也成立。準(zhǔn)則I（夾逼原理）如果1）當(dāng)時，有成立2），那么：存在，且等于A。準(zhǔn)則 （單調(diào)有界準(zhǔn)則）單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必定收斂。單調(diào)增加數(shù)列： 單調(diào)減少數(shù)列： 單調(diào)增加、單調(diào)

25、減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。我們知道：收斂數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂。準(zhǔn)則表明：如果數(shù)列不僅有界，而且是單調(diào)的，則數(shù)列的極限存在，也就是說數(shù)列一定收斂。例10 計算下列極限1） 2）解：1）因 而 有 又 ，由夾逼原理 。2）因 而 ，。例11 證明數(shù)列收斂，并求其極限。證明：先證明其單調(diào)性（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時，有，設(shè)當(dāng)時，有，則 ，即當(dāng) 時，有 。所以，對一切自然數(shù)，故數(shù)列是單調(diào)增加的，再證其有界（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時，設(shè)， 則 。所以，對一切自然數(shù)n，都有，故數(shù)列有上界2。根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，存在。設(shè) ，由 ，當(dāng)時，兩邊求極限得 解之得：， 顯然，不能為負(fù)。思考題：1）求 2）小結(jié)：直接用運

26、算法則和準(zhǔn)則求極限一般較容易，難點在于對函數(shù)式的變形，為了達(dá)到好的學(xué)習(xí)效果，務(wù)必要有針對性地做適量的練習(xí)，通過練習(xí)歸納、總結(jié)行之有效的方法，熟練法則、準(zhǔn)則的運用。第五講 兩個重要極限教學(xué)目的和要求：深刻理解兩個重要極限的意義，能熟練運用兩個重要極限的結(jié)果，求解與之相關(guān)的極限問題。知識點：兩個重要極限。重點：兩個重要極限。難點：的證明。教學(xué)方式：多媒體、講授。教學(xué)思路：通過兩個重要極限的證明，加深對它們的理解。在與之相關(guān)的例題與練習(xí)之中，進(jìn)一步熟練運算法則、準(zhǔn)則的運用，解題力爭做到簡潔、明了。教學(xué)過程： 一、證明：設(shè)，作單位圓，由圖可知：的面積<扇形AOB面積<的面積 所以：。即：，

27、除就有或。以代都不變，上述不等式在（）內(nèi)的一切也是成立的。 從而有： 由夾逼原理得： 因而由上面的證明還可知 ，即 。 由此結(jié)果，可得：圓周上任一弦與其對應(yīng)弧的長度之比當(dāng)弧長超于0時的極限為1 事實上，弧 弦。 。例1 求。 解：原式= 例2 求 解：原式= 例3 求 解：原式。 例4 求 解：原式 例5 求 解：原式 例6 求 解：因 =。 不隨n變化，且 。 =。 例7 求。 解：原式。 例8 求。 解：原式。 例9 求。 解：原式。 或先將化積，再變形。此類極限問題關(guān)鍵是要將極限式化為的形式，再用的結(jié)果。 二、先考慮x取正整數(shù)趨于的情形，設(shè)，可以證明是單調(diào)增加，并且有上界。由二項公式，有

28、 比較與的展開式，每一項均為正數(shù)，除前兩項外，的每一項都小于的對應(yīng)項，且還多一項，于是，即數(shù)列是單調(diào)增加的。又 這說明數(shù)列有上界，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，存在，設(shè)極限為，從而得： 為無理數(shù)，的每一項是有理數(shù)，而極限是無理數(shù)。 再考慮x為實數(shù)的情形： 先證 設(shè) ，則，從而有當(dāng)時，并且 由夾逼原理可得：。 再證，令，當(dāng)時，從而有 所以： 。 利用極限的復(fù)合運算： 例10 求。 解：令，則當(dāng)時，于是 原式。 例11 求。 解：， 令，則，當(dāng)時， 原式= =。例12 求。 解：原式=例13 求。 解：令 當(dāng)時， 例14 求 解：原式 = = =（因）此類極限問題關(guān)鍵是將極限式化成或的形式，再用的結(jié)果。 小結(jié)

29、：兩個重要極限在實踐中有很重要的應(yīng)用，它們的證明應(yīng)用了夾逼原理和單調(diào)有界準(zhǔn)則，證明的方法非常簡練，值得借鑒，對兩個重要極限的認(rèn)識不能僅僅停留在它們的結(jié)果上。第六講 函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的和要求：深刻理解函數(shù)連續(xù)性的概念，熟悉間斷點的分類、連續(xù)函數(shù)的運算及性質(zhì)。知識點：函數(shù)連續(xù)的定義，間斷點的定義及分類，連續(xù)函數(shù)的運算及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。重點：函數(shù)連續(xù)的概念，間斷點及其分類。難點：間斷點及其分類。教學(xué)方式：多媒體、講授。教學(xué)思路：結(jié)合極限的定義，深刻、透徹地講解函數(shù)連續(xù)的定義，利用分段函數(shù)解釋函數(shù)的間斷點及其分類，通過函數(shù)的圖形直觀地解釋連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 一、連續(xù)函數(shù)的概念 定義1 設(shè)有函數(shù)

30、，若 則稱函數(shù)f在x0處連續(xù)。 用語言表達(dá)：，使得當(dāng)時，恒有 則稱函數(shù)f在x0處連續(xù)。 注意：在此定義中要求函數(shù)f在x0處有定義，與極限定義不同。該函數(shù)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從x0變到x時，對應(yīng)的函數(shù)值從f(x0)變到f(x)，稱為自變量的增量，為函數(shù)的增量。 定義1 設(shè)函數(shù)，若 則稱函數(shù)在處連續(xù)。 此定義表明當(dāng)自變量在某點的增量充分接近于零，對應(yīng)的函數(shù)的增量可以任意接近于零，則函數(shù)就在該點連續(xù)。 類似于左極限、右極限，還可以定義函數(shù)在x0處的左連續(xù)、右連續(xù)，若 則稱f在x0處左連續(xù)（右連續(xù)），不難證明：函數(shù)f在x0處連續(xù)f在x0處既左連續(xù)又右連續(xù)。若f在開區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點連續(xù)

31、，則稱它在開區(qū)間（a,b）內(nèi)連續(xù)；若f在（a,b）內(nèi)連續(xù)，并且在左端點右連續(xù)，在右端點左連續(xù)，則稱它在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，半開半閉區(qū)間上的連續(xù)性可類似定義，若f在定義區(qū)間I上連續(xù)，則稱它是該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 如：。例1 證明在內(nèi)連續(xù)。 證明：任取，由和差化積公式 所以，對于任給，取，當(dāng)時于是。即在x0處連續(xù)，由x0的任意性可知是上的連續(xù)函數(shù)。類似地，可以證明也是上的連續(xù)函數(shù)。 例2 證明在上連續(xù)。 證明：先證； 對于，為使，只要，取，則當(dāng)時，就有 即。 再證； 由于等價于，所以 故 類似可證明 ，因 因此是上的連續(xù)函數(shù)。 例3 證明 在處連續(xù)。 證明

32、：因，。所以 ，故在處連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點及其分類由定義、函數(shù)f在x0處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列三個條件：1）在處有定義。2）存在，即與存在且相等。3）如果其中有一個條件不滿足，即f有下列三種情形之一：1）在x0處無定義。2）雖在x0處有定義，但不存在。3）雖在x0處有定義，且存在，但，則在處不連續(xù)。使函數(shù)不連續(xù)的點x0稱為的間斷點。函數(shù)的間斷點分為兩類：一類是左、右極限都存在的間斷點，稱為第一類間斷點，其余的稱為第二類間斷點。例4 設(shè)，問是否是間斷點？第幾類？解：顯然在處沒有定義，是間斷點，而 是第一類間斷點。 補(bǔ)充定義：，則函數(shù)在處就連續(xù)了。例5 設(shè) 問是否為間斷點？第幾類？ 解：因， 而

33、是第一類間斷點。補(bǔ)充定義：，則函數(shù)在處就連續(xù)了。以上兩例中的間斷點稱為可去間斷點，其特點是：函數(shù)在該點處的左、右極限存在且相等，但函數(shù)在該點無定義或者雖有定義但極限值與該點的函數(shù)值不相等。重新定義函數(shù)在該點的值，可以使之成為連續(xù)點。 例6 設(shè) 問是否為間斷點，第幾類？ 解：因， 左、右極限存在，但不相等，所以是第一類間斷點。 左、右極限存在但不相等的間斷點稱為跳躍間斷點。 可去間斷點和跳躍間斷點都是第一類間斷點。 例7 ，問是否為間斷點，第幾類？ 解：因在處無定義，且，所以是第二類間斷點，也稱無窮間斷點。 例8 ，在處沒有定義，且不存在，且當(dāng)時，函數(shù)值在-1與1之間變動無限多次。稱此類間斷點為

34、振蕩間斷點（圖見教材P43）。無窮間斷點與振蕩間斷點屬于第二類間斷點。 三、連續(xù)函數(shù)的運算及初等函數(shù)的連續(xù)性 由連續(xù)的定義及極限的運算法則可得連續(xù)函數(shù)的下列性質(zhì)： 定理1 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則：1）2） 3）（）都在處連續(xù)。 定理2 設(shè)是由與復(fù)合而成的函數(shù)，若在處連續(xù)，在對應(yīng)的處連續(xù)，則也在處連續(xù)。 證明：因為，令，即 所以： 說明復(fù)合函數(shù)在處連續(xù)。 此定理表明： 也就是說，在求連續(xù)函數(shù)的極限時，極限符號與函數(shù)符號可以交換次序。 定理3 設(shè)是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的連續(xù)函數(shù)，則其反函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)。 由在上的連續(xù)性，可知在其定義域內(nèi)連續(xù)。 由于在上單調(diào)增加且連續(xù)，則

35、在-1，1上也是單調(diào)增加且連續(xù)，反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。由于在內(nèi)是單調(diào)連續(xù)的，則在內(nèi)單調(diào)且連續(xù)。冪函數(shù)可以看成是連續(xù)函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，所以它在上連續(xù)。 綜上所述得：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)。由初等函數(shù)的定義及基本初等函數(shù)的連續(xù)性，可得： 定理4 所有初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，定義區(qū)間是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間。如：定義域是離散的點集不是區(qū)間，那么是不能談連續(xù)的。初等函數(shù)的連續(xù)性提供了求極限的一種方法。例9 求 解：原式= 例10 求 解：原式= 例11 求 解：令，則，時，于是原式=。四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理5 設(shè)f在a,b上連續(xù)，則f在a,b上有界。 定義2

36、對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)，如果有，使得對于任一都有 則稱是函數(shù)在區(qū)間I上的最大值（最小值）。 定理6 （最大值和最小值定理）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)一定能取得它的最大值和最小值，即至少存在兩點，使得 圖：見教材P45圖2-8 注意：此定理中，函數(shù)f的定義域必須是閉區(qū)間，并且是連續(xù)的，否則結(jié)論不一定成立。舉例說明之。 定理7（零點定理） 設(shè)函數(shù)f在a,b上連續(xù)，若，則至少存在一點，使。 幾何意義：如果閉區(qū)間上的連續(xù)曲線弧段的兩個端點位于x軸的不同側(cè)，那么這段曲線弧與x軸至少有一個交點。圖：見教材P46圖2-10。 定理8（介值定理） 設(shè)f在a,b上連續(xù)，則對于與之間的任意數(shù)，至少存在一點，使

37、得。 證明：設(shè)，則在a,b上連續(xù)，且，。 由零點定理，至少存在一點，使，即。 幾何意義：閉區(qū)間上的連續(xù)曲線弧與水平直線至少相交于一點。圖：見教材P46圖2-11。推論：設(shè)f在a,b上連續(xù)，則f能取得介于它的最大值M與最小值m之間的任一值。例12 證明方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一根。證明：設(shè)，顯然在0，1上連續(xù)。又，由零點定理，至少有一點，使即：此等式說明在（0，1）上至少有一個根。例13 設(shè)在a,b上連續(xù)，且，證明在（a,b）內(nèi)至少有一點，使。證明：令則在a,b上連續(xù)且，由介值定理，至少有一點，使，即。小結(jié)：函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)的一種連綿不斷變化的狀態(tài)，即自變量的微小變動只會引起函數(shù)值的微小

38、變動的情況，其圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可在其圖形上得到直觀的表現(xiàn)。第七講 無窮小與無窮大、無窮小的比較教學(xué)目的和要求：深刻理解無窮小、無窮大的概念以及它們之間的關(guān)系，熟練運用無窮小的運算性質(zhì)。熟悉無窮小的比較。知識點：無窮小、無窮大的定義，無窮小的運算，無窮小與無窮大的關(guān)系，無窮小的比較。重點：無窮小的運算性質(zhì)，無窮小與無窮大的關(guān)系，無窮小的比較。難點：等價無窮小的利用教學(xué)方式：多媒體、講授。教學(xué)思路：通過具體的實例理解無窮小、無窮大的概念，無窮小與無窮大是函數(shù)在變化過程兩種比較特別的變化趨勢，要加強(qiáng)對“趨勢”二字的解釋。教學(xué)過程： 一、無窮小與無窮大 定義1（無窮?。?當(dāng)時

39、，以零為極限的函數(shù)稱為當(dāng)時的無窮小量，簡稱無窮小。 注意：無窮小是一個變量，是在某個變化過程中絕對值越來越小的一個變量，不能把絕對值很小的常數(shù)當(dāng)作無窮小，常數(shù)中只有零是無窮小。 如：當(dāng)時，等都是無窮小量；當(dāng)時，等都是無窮小量，可結(jié)合函數(shù)的圖形加以講解。無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系： 定理1 的充分必要條件是，其中是當(dāng)時的無窮小。證明：必要性： 設(shè)，則令，則是當(dāng)時的無窮小，并且 充分性：設(shè)，是當(dāng)時的無窮小。則 。 此定理對于時的情形同樣成立。 由極限的運算法則，可得到無窮小的運算性質(zhì)。定理2 對于自變量相同變化趨勢下的無窮小，有如下性質(zhì)：1）有限個無窮小的和是無窮小。2）有限個無窮小的乘積是無窮小。

40、定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。 證明：設(shè)函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)有界，即，使當(dāng)時，恒有，又設(shè)是當(dāng)時的無窮小，從而， 即 由于，所以 即是當(dāng)時的無窮小。 類似證明，若是當(dāng)時的無窮小，在時有界，則是當(dāng)時的無窮小。 推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。 例1 求。 解：當(dāng)時，是無窮小，為有界函數(shù)，故是無窮小。 于是 。 例2 求 解：因，是當(dāng)時的無窮小，而，由定理3可知 注意：此例與第一個重要極限的區(qū)別。 例3 求 解：原式= 因，從而 原式=0。定義2（無窮大）設(shè)f：是一函數(shù)，若 則稱函數(shù)是當(dāng)時的無窮大量，簡稱無窮大。若（或），則稱為當(dāng)時的正無窮大（負(fù)無窮大），類似還可以定義當(dāng)時的無窮大及正

41、（負(fù)）無窮大。注意：無窮大量是變量，是在某個變化過程中絕對值越來越大的變量。絕對值很大的數(shù)不是無窮大，兩個無窮大的代數(shù)和不一定是無窮大，如：當(dāng)時，無窮大與有界函數(shù)的乘積也不一定是無窮大，如當(dāng)時，等。在幾何上，若，則稱直線是曲線的鉛直漸近線；若，則稱直線是曲線的水平漸近線。無窮小與無窮大之間的關(guān)系：定理4 若是無窮小，且，則是無窮大；若是無窮大，則是無窮小。例4 求解：當(dāng)時，而。例5 求解：當(dāng)時，于是，原式=。定理5 1）有限個無窮大量的乘積是無窮大，2）無窮大與有界量之和是無窮大。二、無窮小的比較兩個無窮小的商的極限會有不同的結(jié)果，例如，當(dāng)時，都是無窮小。但不存在，不同的結(jié)果，反映了不同的無窮

42、小趨近于零的速度各不相同。定義3 設(shè)是在同一自變量的變化過程中的無窮小，而也是在這個變化過程中的極限，且。1）若，則稱是的高階無窮小，或是的低階無窮小，用小o記作。2）若，C是一個非零常數(shù)，則稱與是同階無窮小，記作，特別地，C=1時，稱與是等價無窮小。記作。3）若，C是一個非零常數(shù)，k>0，則稱是關(guān)于的k階無窮小。例6 當(dāng)時，比較下列無窮小的階。1） 2）3） 4）解：2）由于所以，當(dāng)時，與是等價無窮小，即類似可得（1）、（3）、（4）：當(dāng)時，。例7 設(shè)，求A，使當(dāng)時，與是等價無窮小。解：因 而 ，所以取，當(dāng)時，故當(dāng)時，例8 證明當(dāng)時，證明：令，則，當(dāng)時，于是 當(dāng)時，例9 證明當(dāng)時，證明

43、：因為 當(dāng)時，定理6 與是等價無窮小的充分必要條件是：因此 。證明：必要性： 設(shè)則因此 即：充分性： 設(shè) 則因此 定理7 設(shè)，且存在，則 也存在，且=。證明 = =··=此定理稱為等價無窮小的替換定理。例10 求 解：因為當(dāng)時，所以 例11 求解：因為當(dāng)時，故 原式=例12 求 解：因為當(dāng) 時，故 原式=注意：等價替換只能對分子分母中的無窮小因子進(jìn)行，而 小結(jié)：無窮小，無窮大都是變量，是自變量的某個變化過程中，函數(shù)值的兩種變化趨勢，對他們的認(rèn)識一定要有動態(tài)的眼光。第八講 習(xí)題課教學(xué)目的與要求：加強(qiáng)對本部分內(nèi)容全局性的認(rèn)識，加深對基本概念的認(rèn)識和理解，進(jìn)一步熟練極限的運算，間

44、斷點的判別。知識點：函數(shù)，極限，連續(xù)重點：極限，連續(xù)難點：極限的運算教學(xué)方式：多媒體，講授，課堂練習(xí)教學(xué)思路：用框圖對本部分內(nèi)容作一概述，使學(xué)生對內(nèi)容的條理更加明確，列舉一些綜合性較強(qiáng)的例題，加強(qiáng)極限的運算，間斷點的判別，以及對函數(shù)連續(xù)性的認(rèn)識。教學(xué)過程：一、知識網(wǎng)絡(luò)圖二、舉例例1 設(shè)， 1）求 及其定義域；2）可以復(fù)合成形如的函數(shù)嗎？解：1）因的定義域是（），值域是（），而的定義域是（），的值域在的定義域內(nèi)，故有意義，因而即 。從上式看出的定義域是（）。2）由于的值域是，的定義域是，它們無公共部分，不能復(fù)合成形如的函數(shù)。例2 試證函數(shù)沒有周期。證明：反證法 設(shè)的周期為T，由 有即 。取 ，得

45、 ，從而 矛盾。例3 設(shè) 且 求 。解：由已知，有， 即例4 ：判定函數(shù) 的奇偶性。解：，是偶函數(shù)。例5 求。解：原式=。例6 求。解： 因為 。故 原式=。例7 設(shè) 試證：存在，并求此極限值。解：由已知 且 即 設(shè) 則 所以 是單調(diào)增加的，又從而有上界，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，存在。令，則有 即 解得：，而 ，。思考題：設(shè) ，且，證明存在，并求此極限。提示：用歸納法證明單調(diào)減少，且有下界。例8： 求解：原式=，例9 求 例10 求解：原式=當(dāng) 時，原式= 。當(dāng)時，原式= 不存在。例11 求 例12 求 例13 求解：當(dāng) 時，所以。思考題：求 。例14 解：當(dāng)時，原式=。例15. 討論函數(shù)的連續(xù)性，

46、并判斷間斷點的類型。解：顯然的間斷點為（）及，在（，）內(nèi)其余的點都連續(xù)。而當(dāng)時，當(dāng)時，故 ，是第一類（可去）間斷點。當(dāng)（）時，故 是第二類（無窮）間斷點。例16討論函數(shù)的連續(xù)性。解：當(dāng)時， 是的第二類（無窮）間斷點。當(dāng)時， 是的第一類（跳躍）間斷點。于是在（，0） （0，1） （1，）上是連續(xù)的。例17討論函數(shù)的連續(xù)性，并判斷間斷點的類型。解，若， 當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時， ，0是的第一類間斷點，其中是可去間斷點，是跳躍間斷點。在（，-1），（-1，0），（0，1），（1，）上連續(xù)。思考題：求的間斷點，并指出類型。提示：，。小結(jié)：函數(shù)是研究變量間的關(guān)系，而極限是討論變量的變化趨勢，連續(xù)是討論變量的

47、變化狀態(tài)，對這些概念的認(rèn)識一定要用動態(tài)的方法，要有大局觀。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分第一講 導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目的與要求：1、掌握導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的極限表示的各種形式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義。2、知道可導(dǎo)與連續(xù)間的關(guān)系。3、熟記8個簡單初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，并會應(yīng)用。知識點：導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的物理、幾何意義，導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系，8個初等函數(shù)的求導(dǎo)公式。重點：導(dǎo)數(shù)的定義，及它的幾種極限表示式難點：分段函數(shù)的可導(dǎo)問題教學(xué)方式：講授為主教學(xué)思路：從引例出發(fā)引出導(dǎo)數(shù)概念，明確指出導(dǎo)數(shù)的幾種極限形式，左、右導(dǎo)數(shù)的表示式，以加深對導(dǎo)數(shù)的概念的理解。例題以加深導(dǎo)數(shù)定義的題目為主，求導(dǎo)例題等為輔，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題為輔。教學(xué)過程：

48、一、導(dǎo)數(shù)的定義引例1：直線運動的速度一汽車一天行車8小時，走了240公里，平均每小時走30公里，但這僅是平均速度，8小時期間，有時速度超過30公里，但有時會小于30公里。我們現(xiàn)在關(guān)心瞬時速度。設(shè)物體作變速直線運動，已知位移隨時間變化規(guī)律為S=S（t），當(dāng)時間從t0t0+t，物體在t時間內(nèi)所經(jīng)過的距離為：但這段時間里平均速度為：但當(dāng)t很小時，t0時刻的瞬時速度應(yīng)有：且t越小近似程度越好，于是規(guī)定引例2： 平面曲線的切線的斜率設(shè)C是一條連續(xù)的平面曲線y=f(x)（如圖）如何定義曲線在M(x0,y0)處的切線，其斜率為多少？設(shè)想在曲線C上任取一點N(x0+x，f(x0+x)作割線MN，當(dāng)x0時，點N沿曲線C趨向M，割線MN在轉(zhuǎn)動，繞點是M點，它的根限位置在MT，定義MT為曲線C在點M處的切線，因此當(dāng)x0割線MN的斜率趨向于切線MT的斜率k，因此以上兩個引例顯然屬于兩個不同的領(lǐng)域，一個是物理問題，一個是數(shù)學(xué)問題，但解決問題的數(shù)學(xué)型式卻一樣，都是用函數(shù)的改變量除以自變量的改變量在自變量的改變量趨于零過程中的極限值來表示，抽象成數(shù)學(xué)概念。定義1：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，在鄰域內(nèi)自變量x0有增量x，相應(yīng)地函數(shù)有增量y=f(x0+x)-f(x0)，若 （1）存在，則稱函數(shù)f(x)在x0 可導(dǎo)，并稱此極限為f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，