《近世代數(shù)》模擬試題2及答案

1、近世代數(shù)模擬試題一、單項(xiàng)選擇題 (每題 5分,共 25分)1、在整數(shù)加群 (Z, )中,下列那個(gè)就是單位元 ( )。A 0 B 1 C 1 D 1/n,n 就是整數(shù)2、下列說法 不 正確的就是 ()。A G只包含一個(gè)元g,乘法就是gg= g。G對(duì)這個(gè)乘法來說作成一個(gè)群B G就是全體整數(shù)的集合,G對(duì)普通加法來說作成一個(gè)群C G就是全體有理數(shù)的集合,G對(duì)普通加法來說作成一個(gè)群D G 就是全體自然數(shù)的集合 ,G 對(duì)普通加法來說作成一個(gè)群3、下列敘述正確的就是 ( )。A 群 G 就是指一個(gè)集合B 環(huán) R 就是指一個(gè)集合C 群 G 就是指一個(gè)非空集合與一個(gè)代數(shù)運(yùn)算 ,滿足結(jié)合律 ,并且單位元 ,逆 元

2、存在D 環(huán) R 就是指一個(gè)非空集合與一個(gè)代數(shù)運(yùn)算 ,滿足結(jié)合律 ,并且單位元 ,逆 元存在4、如果集合 M 的一個(gè)關(guān)系就是等價(jià)關(guān)系 ,則不一定具備的就是 ( )。A 反身性 B 對(duì)稱性 C 傳遞性D 封閉性5、 下列哪個(gè)不就是 S3 的共軛類 ( )。A (1)B (123),(132),(23)C (123),(132)D (12),(13),(23)二、計(jì)算題 (每題 10分,共30 分)1、求S= (12),(13)在三次對(duì)稱群S3的正規(guī)化子與中心化子。2、設(shè)G = 1, 1,i, i,關(guān)于數(shù)的普通乘法作成一個(gè)群，求各個(gè)元素 的階。3、設(shè) R 就是由一切形如x, y0,0（x,y 就是有

3、理數(shù) ）方陣作成的環(huán) ,求出其右零因子三、證明題 （每小題 15分,共 45 分）x,01、設(shè) R 就是由一切形如（x,y 就是有理數(shù) ）方陣作成的環(huán) ,證y,0明 0,0 就是其零 因子0,02、設(shè)Z就是整數(shù)集，規(guī)定a b = a+ b 3。證明:Z對(duì)此代數(shù)運(yùn)算作成一個(gè)群 ,并指出其單位元3、證明由整數(shù)集 Z 與普通加法構(gòu)成的 （Z, ） 就是無限階循環(huán)群。近世代數(shù)模擬試題答案、單項(xiàng)選擇題 （每題 5 分,共 25 分）1 A2 D3 C4 D5 B、計(jì)算題 （每題 10分,共30 分）1.解:正規(guī)化子 N（S） = （1）,（23）。（6 分）（4 分）中心化子 C（S） = （1） OO

4、OOOOOOO。（2 分）2. 解:群 G 中的單位元就是1 。1的階就是1, 1的階就是2,i與一i的階就是4ooo （4X 2 分）3. 解:設(shè)其右零因子為a,b0,0（2 分）所以 0x,0ya,b0,0xa,xb0,00。（3 分）因?yàn)?x 任意,所以a= b = 0。（3 分）因此右零因子為0,00,0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO（2 分）三、證明題 （每小題 15分共 45 分）1.證明:設(shè)其右零因子為a,0b,0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO（2 分）所以 x,0 a,0y,0 b,0xa,0=0 oooooooooooooooo (5 分)y

5、b,0因?yàn)?x,y 任意 ,所以a= b= 0。 （8 分 ）同理設(shè)其右零因子為a,0b,0。 （10 分 ）a,0所以b,0x,0y,0xa,0= 0 。 （12 分 ）yb,0因此零因子為 0,00,02明: 首先該代數(shù)運(yùn)算封閉ooooooooooooooooooo(3分)因?yàn)?x,y 任意 ,所以 a= b= 0。 （14 分 ）。 （15 分 ）其次我們有:(a b) c = (a + b 3) c = (a + b 3) + c 3 = a + (b + c 3) 3) = a (b c),結(jié)合律成。 （6 分 ）立。令e = 3,驗(yàn)證a e= a + e 3 = a,有單位兀。（7

6、分）對(duì)任意元素a,6 a就是其逆元，因?yàn)閍 （6 a）= 3。（8分）因此 ,Z 對(duì)該運(yùn)算作成一個(gè)群。顯然 ,單位元就是3 。(10 分)3. 證明:首先證明 （Z, +）就是群 ,+滿足結(jié)合律 ,對(duì)任意的x Z, x 0 0 x x,0 就是運(yùn)算 +的單位元又由于 : x x x x 0所以 x 1 x, 從而 （Z, + ） 為群。 （2 分）由于 滿足交換律,所以（Z, + ）就是交換群oooo （4分） （Z, + ） 的單位元為 0,對(duì)于 1 Z, 由于 1+（-1）=0, 所以 11, 。（5 分）于就是對(duì)任意 k Z ,若k 0,則：100；ooo (8 分)若k 0,則lk 1 1 若k 0,則1k(1) (1) ( 1)k個(gè) 1o (10 分)(1)( k)oooo