第4節(jié)第一課時(shí)相似三角形的判定

1、圖形的相似圖形的相似本章內(nèi)容第第3章章 相似三角形的判定相似三角形的判定本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.4.1定義定義判定方法判定方法全等全等三角三角形形相似相似三角三角形形三角、三邊對(duì)三角、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等三角形全等三角對(duì)應(yīng)相等三角對(duì)應(yīng)相等, , 三邊對(duì)應(yīng)成比例的三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似兩個(gè)三角形相似 角邊角角邊角ASA角角邊角角邊AAS邊邊邊邊邊邊SSS邊角邊邊角邊SAS斜邊與直角邊斜邊與直角邊HL 判定三角形相似，是不是也有這么多種方法呢？判定三角形相似，是不是也有這么多種方法呢？說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō) 對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)角相等, ,三組對(duì)應(yīng)邊的比也相等的兩個(gè)三三組對(duì)應(yīng)邊

2、的比也相等的兩個(gè)三角形是角形是相似三角形相似三角形. .ACBACB= kABC ABC ABBCCAA BB CC A AA ,BB ,CC 公共角公共角 兩直線(xiàn)平行兩直線(xiàn)平行 同位角相等同位角相等F 平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例結(jié)論結(jié)論平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似交，截得的三角形與原三角形相似ABCDE在ABC中，如果DEBC， 那么ADEABC.你還能畫(huà)出其他你還能畫(huà)出其他圖形嗎？圖形嗎？結(jié)論結(jié)論平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似交，截得的三角形與

3、原三角形相似你還能畫(huà)出其他你還能畫(huà)出其他圖形嗎？圖形嗎？DEACB如果DEBC，那么ADEACB.舉舉例例例例1：在：在ABC中，已知點(diǎn)中，已知點(diǎn)D, ,E分別是分別是AB, ,AC邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn). .求證：求證： ADE ABC. .,D EAB ACDE證證明明： 點(diǎn)點(diǎn)分分別別是是邊邊的的中中點(diǎn)點(diǎn)，,BC ADE ABC. .ABCDE舉舉例例例例2：點(diǎn)點(diǎn)D為為ABC的邊的邊AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作作DE BC交交AB于點(diǎn)于點(diǎn)E.延長(zhǎng)延長(zhǎng)DE至點(diǎn)至點(diǎn)F，使，使DE=EF. .求證：求證：BFE ACB. .,.DABCABAECEDEFEAEDBEFADEBFE 證證明明：點(diǎn)點(diǎn)

4、是是的的邊邊的的中中點(diǎn)點(diǎn)，又又 ADE ACB. .DE / BC,DE / BC, BFE ACB. .ABCDEF思考：三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩思考：三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩 個(gè)三角形一定相似嗎？個(gè)三角形一定相似嗎？三個(gè)三個(gè)內(nèi)角內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等對(duì)應(yīng)相等.觀(guān)察你與老師的直角三角尺觀(guān)察你與老師的直角三角尺 , ,會(huì)相似嗎？這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的會(huì)相似嗎？這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小有什么關(guān)系？大小有什么關(guān)系？(30(30O O 與與6060O O) ) 相相似似 畫(huà)一個(gè)三角形畫(huà)一個(gè)三角形 ，使三個(gè)角分別為，使三個(gè)角分別為6060，4545, 75, 75 同桌分別量出兩個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)度；同桌分別量出兩

5、個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)度；同桌這兩個(gè)三角形相似嗎同桌這兩個(gè)三角形相似嗎?猜想：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別與另一個(gè)三角形猜想：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形_相似相似一定需三個(gè)角嗎？一定需三個(gè)角嗎？ 觀(guān)察觀(guān)察思考：如果三角形兩個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，請(qǐng)驗(yàn)證這思考：如果三角形兩個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，請(qǐng)驗(yàn)證這 兩個(gè)三角形是相似的兩個(gè)三角形是相似的.分析分析:要證兩個(gè)三角形相似，要證兩個(gè)三角形相似，目前只有兩個(gè)途徑目前只有兩個(gè)途徑:一個(gè)是三角形相似的定義（一個(gè)是三角形相似的定義（顯然條件不具備）；顯然條件不具備）；二是利用平行線(xiàn)來(lái)判定三角形相似

6、的定理二是利用平行線(xiàn)來(lái)判定三角形相似的定理.ABCA C B 求證求證:ABC ABC已知：在已知：在ABC 和和 ABC 中中,ABCA C B 求證求證:ABC ABC已知：在已知：在ABC 和和 ABC 中中,D E 證明：在證明：在ABC的邊的邊AB、AC上，分別上，分別截取截取AD=AB，AE=AC ，連結(jié)，連結(jié)DE. AD=AB ,A=A，AE=AC A DE ABC ， ADE=B，又又 B=B， ADE=B， DE/BC， ADEABC. ABCABC.結(jié)論結(jié)論判定定理判定定理1 1 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這另一個(gè)三角

7、形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似兩個(gè)三角形相似. .即：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似即：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似. .CAABBC A=A， B=B ABC ABC下面每組的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？下面每組的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？70o50o30o30o30o30o55o30o60o50o說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō)舉舉例例例例3：在在ABC中，中， 從點(diǎn)從點(diǎn)D分別做邊分別做邊AB，AC的垂線(xiàn)，垂足分別為的垂線(xiàn)，垂足分別為E，F(xiàn). .DF與與AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)H. . 求證：求證：DEH BCA. .DEH BCA./ AC BACHFED舉舉例例例例4：在在RtRtABC與與RtRtDE

8、F中，中， 若若 求求EF的長(zhǎng)的長(zhǎng). .DEF ABCACBDFEABCABCABC與與 相似嗎？相似嗎？A BCA BCABBCA BBC ，B=如圖如圖, ,方格紙上兩個(gè)三角形，方格紙上兩個(gè)三角形， 使使ABC與與 滿(mǎn)足滿(mǎn)足B 量一量量一量C與與 的大小，看看你有什么發(fā)現(xiàn)的大小，看看你有什么發(fā)現(xiàn).CB A C 思考：思考：如果三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等請(qǐng)驗(yàn)證這兩個(gè)如果三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等請(qǐng)驗(yàn)證這兩個(gè)三角形是相似的三角形是相似的.已知已知:在在ABC 和和 ABC 中中, 求證求證:ABC ABC 證明證明: :在在ABC的邊的邊AB( (或延長(zhǎng)線(xiàn)或延長(zhǎng)線(xiàn)) )上上 截取截

9、取AD=AB, , ABCABCE 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作作DEBC交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E. .A BA CABAC ，D ADEABC， ADAEABAC，,ADA B A BA CABAC ，ADAEA CABACAC ，,AEA CA=A思考：思考：如果三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等請(qǐng)驗(yàn)證這兩個(gè)如果三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等請(qǐng)驗(yàn)證這兩個(gè)三角形是相似的三角形是相似的.已知已知:在在ABC 和和 ABC 中中, 求證求證:ABC ABC 證明證明: :在在ABC的邊的邊AB( (或延長(zhǎng)線(xiàn)或延長(zhǎng)線(xiàn)) )上上 截取截取AD=AB, , ABCABCE 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作作DEBC交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E. .A

10、BA CABAC ，DA=AADE ABCA B C A B C 結(jié)論結(jié)論判定定理判定定理2 2 如果一個(gè)三角形的兩條邊如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似即：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三即：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似角形相似. .ABCABCA=A，那么那么 ABC ABC舉舉例例例例5：在在ABC與與DEF中，已知中，已知 AC=3.5cm,=3.5cm,BC=2.5cm,=2.5cm,DF=2.1cm,=2.1cm,EF=1.5cm. =1.5cm. 求

11、證：求證：ABC DEF. .ABCDEF舉舉例例例例6：在在ABC中，中，CD是邊是邊ABAB上的高，上的高， 且且ABDCABCCBA是否存在三邊對(duì)是否存在三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三應(yīng)成比例，兩三角形相似呢？角形相似呢？是否存在是否存在 ABC ABC？A BA CB CABACBC 猜想：如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形猜想：如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形_相似相似ABC把方格紙中的把方格紙中的ABC的各邊放大的各邊放大到原來(lái)的到原來(lái)的2 2倍，得到倍，得到ABCACBABC與與ABC相相似嗎？似嗎？AB

12、C與與ABC的三邊有什的三邊有什么數(shù)量關(guān)系？么數(shù)量關(guān)系？思考：思考：如果三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例，請(qǐng)驗(yàn)證這兩個(gè)三角形是如果三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例，請(qǐng)驗(yàn)證這兩個(gè)三角形是相似的相似的.已知已知:在在ABC 和和 ABC 中中, A BA CB CABACBC 求證求證:ABC ABC 證明證明: :在在ABC的邊的邊AB( (或延長(zhǎng)線(xiàn)或延長(zhǎng)線(xiàn)) )上上 截取截取AD=AB, , ABCABCDE 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作作DEBC交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E. . ADEABC， ADAEDEABACBC,ADA BADA BABAB 思考：思考：如果三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例，請(qǐng)驗(yàn)證這兩個(gè)三角形是如果三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例

13、，請(qǐng)驗(yàn)證這兩個(gè)三角形是相似的相似的.已知已知:在在ABC 和和 ABC 中中, A BA CB CABACBC 求證求證:ABC ABCABCABCDE又又 因此因此A BA CB CABACBC ,.DEB CEAC ABCBCCACA ,.DEB C EAC A ABCADE A B C A B C 那么那么A B C如果如果結(jié)論結(jié)論判定定理判定定理3 3 如果一個(gè)三角形的三條邊如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似那么這兩個(gè)三角形相似即：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似即：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似. . 已知已知ABC和

14、和 DEF,根據(jù)下列條件判斷它們根據(jù)下列條件判斷它們是否相似是否相似. .(3)(3) AB=12， BC=15， AC24 DE16， EF20， DF30(2) (2) AB=4， BC=8， AC10 DE20， EF16， DF8(1)(1) AB=3， BC=4， AC6 DE6， EF8， DF9 （大對(duì)大，小對(duì)小，中對(duì)中）（大對(duì)大，小對(duì)小，中對(duì)中）練習(xí)練習(xí)【1 1】?jī)蓚€(gè)直角三角形一定相似嗎？?jī)蓚€(gè)直角三角形一定相似嗎？ 兩個(gè)等腰直角三角形呢？為什么？?jī)蓚€(gè)等腰直角三角形呢？為什么？1.1.所有的直角三角形不都相似；所有的直角三角形不都相似；2.2.所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰

15、直角三角形都相似. .ABCDEF做一做做一做【2】?jī)蓚€(gè)等腰三角形一定相似嗎？?jī)蓚€(gè)等腰三角形一定相似嗎？ 兩個(gè)等邊三角形呢？為什么？?jī)蓚€(gè)等邊三角形呢？為什么？做一做做一做1.1.所有的等腰三角形不都相似；所有的等腰三角形不都相似；2.2.所有的等邊三角形都相似所有的等邊三角形都相似. .EDFBAC 判斷判斷44方格中的兩個(gè)三角形是否相似方格中的兩個(gè)三角形是否相似.解：根據(jù)勾股定理，得：解：根據(jù)勾股定理，得：22AB10BC2CA52EF5FD5DE52FDBCEFABDECAABCEFD想一想：找角的關(guān)系容易，想一想：找角的關(guān)系容易，還是找邊的關(guān)系容易？還是找邊的關(guān)系容易？練習(xí)練習(xí) 如圖，如

16、圖，ABC中，中， DEBC，EFAB， 試說(shuō)明試說(shuō)明ADEEFC. ADEBEFC （兩直線(xiàn)平行，同位角相等）（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）解解: DEBC，EFAB（已知），（已知），AEDC. （兩直線(xiàn)平行，同位角相等）（兩直線(xiàn)平行，同位角相等） ADEEFC. （兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）兩個(gè)三角形相似）AEFBCD練習(xí)練習(xí)判定兩個(gè)三角形相似的條件有哪些？判定兩個(gè)三角形相似的條件有哪些？小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí)當(dāng)我們?cè)趹?yīng)用這些判定方法解題的時(shí)候一定要做正確的選擇！當(dāng)我們?cè)趹?yīng)用這些判定方法解題的時(shí)候一定要做正確的選擇！2.2.平行于三角形一邊的判定方法平行于三角形一邊的判定方法3.3.有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的判定方法有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的判定方法 4.4.有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的判定方法有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的判定方法 5.5.有三邊對(duì)應(yīng)成比例的判定方法有三邊對(duì)應(yīng)成比例的判定方法 1.1.根據(jù)定義判定根據(jù)定義判定答：它們相似，答：它們相似， 相似比為相似比為2:1.112221.A B CA B C如如圖圖在在正正方方形形網(wǎng)網(wǎng)格格上上有有和和，它它們們相相似似嗎嗎？如如果果相相似似，求求出出相相似似比比；如如果果不不相相似似，