清華大學(xué)高等微積分B期末試題及答案

1、清華大學(xué)高等微積分B期末試題及答案若想免費(fèi)下載該文檔：登錄 論壇 文檔下載區(qū) （搜索想要的文檔） 1  填空題（直接填在橫線上）（4分/小題）1)廣義積分在 時(shí)收斂，在其它情形發(fā)散。2)敘述一致連續(xù)的定義：若，則稱函數(shù)在區(qū)間一致連續(xù)。3） 0 。4） 1 。（注：）2選擇題（直接填在括號(hào)內(nèi)）(3分/小題)1)若級(jí)數(shù)絕對收斂，且，則級(jí)數(shù)的斂散情況是 A A. 絕對收斂；B. 條件收斂；C. 可能絕對收斂也可能條件收斂；D. 可能收斂也可能發(fā)散。2)若級(jí)數(shù)，的收斂半徑分別為和，且，則的收斂半徑為 A A. ； B. ； C. ； D. .3)下列陳述中，與“數(shù)列不收斂于”等價(jià)的

2、是 D A. ； B. ；C. ； D. .4)設(shè)函數(shù)在區(qū)間可積，則函數(shù)在區(qū)間滿足 C A有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)； B可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不一定連續(xù)；C連續(xù)，但不一定處處可導(dǎo)； D不一定連續(xù)。3判斷題：指出下列陳述是否正確，并簡述理由(若正確，給出簡要證明；若錯(cuò)誤，舉出反例)（5分/小題）。 評分：結(jié)論3分，理由2分1)若，則數(shù)列收斂。 錯(cuò)誤。例如所以 但數(shù)列發(fā)散。2)若函數(shù)在區(qū)間可積，則函數(shù)在區(qū)間也可積。正確。因?yàn)樵谌魏我粋€(gè)子區(qū)間上，函數(shù)的振幅都小于或等于函數(shù)在此子區(qū)間上的振幅。3)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則 錯(cuò)誤。例如級(jí)數(shù) 收斂，但 4)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂。正確。因?yàn)?，而正?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂。4（12分）評

3、分：每問6分（答案4分，證明2分）。1）已知級(jí)數(shù)，都收斂，能否斷定級(jí)數(shù)收斂？若能，證明之；若不能，舉出反例。能。因?yàn)榧?jí)數(shù)，都收斂，所以級(jí)數(shù)收斂，且。記級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為。因?yàn)槭諗浚源嬖?。因?yàn)椋源嬖谇?，所以存在，?jí)數(shù)收斂。 2）已知級(jí)數(shù)收斂，能否斷定級(jí)數(shù)，都收斂？若能，證明之；若不能，舉出反例。不能。例如級(jí)數(shù)收斂，但，發(fā)散。5（12分）求級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)。解 ，所以收斂半徑.2在端點(diǎn)上，收斂,.1 收斂，.1 所以收斂域?yàn)?。記，則當(dāng)時(shí)，。，。.6 由連續(xù)性，.16（10分）設(shè)函數(shù) 以為周期，在區(qū)間可積， 是的Fourier系數(shù)，求函數(shù)（是常數(shù)）的Fourier系數(shù)。解 ，。1 記函

4、數(shù)的Fourier系數(shù)為，則，.3變量置換：。因?yàn)槎家詾橹芷?，所?.3同理 .37（10分）設(shè)，討論廣義積分的斂散性，其中是自然數(shù)。解 當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。.3 若，廣義積分發(fā)散，從而廣義積分發(fā)散。3 若，則函數(shù)沒有奇點(diǎn), 收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂。.3 總之，當(dāng)且時(shí)廣義積分收斂，其他情形發(fā)散。.18（8分）（二選一）1）  設(shè)不是的整數(shù)倍，證明數(shù)列發(fā)散。證明 因?yàn)?所以 假設(shè)數(shù)列收斂，記 則 展開： 所以數(shù)列也收斂。 記 則 即 再將展開： 兩邊取極限： 即 從而有 代入（1），在恒等式 兩邊取極限： 矛盾！2）  設(shè)（n=1，2，），證明級(jí)數(shù)收斂的充要條件是數(shù)列收斂。證明 由遞推公式易知，。11） 設(shè)數(shù)列收斂，則。因?yàn)椋约?jí)數(shù)與同斂散。故我們只要證明收斂。，所以前項(xiàng)和。因?yàn)?/p>