電容、部分電容與工作電容

1、電容、部分電容與工作電容兼答實(shí)驗(yàn)1的思考題2陳德智（1）電容兩個(gè)導(dǎo)體之間存在電容。電容的因果關(guān)系是這樣的：如果導(dǎo)體帶電，則在空間產(chǎn)生電場；電場的分布使得兩導(dǎo)體出現(xiàn)一定的電位差，其值U與導(dǎo)體帶電量q成正比。電容C即定義為導(dǎo)體帶電量q與電壓U的比值。因此，電容是對電場的一種集中參數(shù)化的描述。只要電場的分布是確定的，兩導(dǎo)體之間的電容也是確定的。任意兩個(gè)導(dǎo)體，無論形態(tài)差異多大，都有電容存在。此外，需要說明一點(diǎn)，如果空間只有兩個(gè)導(dǎo)體，則隱含著兩導(dǎo)體帶電量必然為和，以滿足電荷守恒定律。當(dāng)討論多個(gè)導(dǎo)體時(shí)，各導(dǎo)體的電荷總量也必須滿足。當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)第三個(gè)導(dǎo)體時(shí)，用部分電容描述導(dǎo)體兩兩之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。為敘述方便，

2、把原來的兩個(gè)導(dǎo)體編號為1、2，把第三個(gè)導(dǎo)體編號為0。此時(shí)，導(dǎo)體1、2之間出現(xiàn)部分電容C12，對電路來說還有工作電容Cp。討論三個(gè)電容值C、C12和Cp的數(shù)值關(guān)系是一個(gè)饒有趣味的話題。（2）工作電容圖1 工作電容首先考察工作電容Cp的含義。無疑，如果只有一對導(dǎo)體（編號1、2），將其接入電路中，那么工作電容Cp就等于電容C，即導(dǎo)體帶電量q與電壓U的比值：。設(shè)若保持兩導(dǎo)體的帶電量q不變，而在場中另外放置一個(gè)不帶電的導(dǎo)體（編號為0），則第三個(gè)導(dǎo)體0的出現(xiàn)必然改變空間電場的分布，從而導(dǎo)致電壓U發(fā)生變化，設(shè)新的電壓值為。對于連結(jié)兩個(gè)導(dǎo)體1、2的電路來說，它并不知道場中具體發(fā)生了什么變化，它只關(guān)心導(dǎo)體上的電

3、荷與導(dǎo)體之間電壓的比值，對它而言，工作電容為。換言之，工作電容就是，在介質(zhì)中可能存在其它不帶電導(dǎo)體的情況下，兩個(gè)帶電導(dǎo)體的電荷q與電壓U的比值；當(dāng)不存在其它導(dǎo)體的時(shí)候，工作電容Cp就是普通的電容C。如圖1，工作電容；設(shè)0號導(dǎo)體不帶電，則導(dǎo)體1、2帶電量分別為、。根據(jù)部分電容公式，有：又，由電容C10和C20的串聯(lián)關(guān)系得：故：從而：?，F(xiàn)在分析Cp與C的大小關(guān)系。前面說到，Cp的改變在于0號導(dǎo)體（電荷為0）的引入改變了空間電場的分布，從而改變了導(dǎo)體1、2之間的電壓。當(dāng)0號導(dǎo)體位于無限遠(yuǎn)處時(shí)，它對電場的影響忽略不計(jì)，因此也就不改變導(dǎo)體1、2之間的工作電容，Cp=C。當(dāng)0號導(dǎo)體逐漸移近時(shí)，保持導(dǎo)體1、

4、2帶電量q不變，我們考察1、2號導(dǎo)體之間的電壓U12的變化。(a) 沒有0號導(dǎo)體時(shí)(b) 有0號導(dǎo)體時(shí)圖2 0號導(dǎo)體的引入改變了1、2之間的空間電場為計(jì)算U12，可以取連結(jié)導(dǎo)體1、2表面的任意一條路徑對電場E積分，如圖2(a)中的l1和l2。為便于分析，設(shè)l1的端點(diǎn)a和b分別為導(dǎo)體1、2表面電場強(qiáng)度E最大的點(diǎn)，我們知道，該點(diǎn)的電場強(qiáng)度，、為導(dǎo)體表面的自由電荷面密度。顯然，、也分別為導(dǎo)體1和導(dǎo)體2表面電荷面密度的最大值。當(dāng)0號導(dǎo)體逐漸移近時(shí)，如圖2(b)，由于0號導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的影響，導(dǎo)體1上的電荷分布發(fā)生改變，a點(diǎn)的部分電荷向靠近0號導(dǎo)體的位置（例如圖中的c點(diǎn)附近）轉(zhuǎn)移，這樣變??；類似的，也變

5、小，從而沿路徑l1上的電場強(qiáng)度E都變小，導(dǎo)致積分量變小，因此，工作電容變大。0號導(dǎo)體對工作電容的影響還可以這樣理解：兩導(dǎo)體之間的電容取決于導(dǎo)體的表面積和它們之間的距離。當(dāng)引入第三個(gè)導(dǎo)體時(shí)，部分介質(zhì)被短路，因而縮短了導(dǎo)體1、2之間的“電距離”，從而使等效電容增大。從力和能量的角度看，導(dǎo)體系統(tǒng)的總能量可表示為；當(dāng)0號導(dǎo)體向?qū)w1、2組成的系統(tǒng)靠近時(shí)，它受到系統(tǒng)的吸引力，因此電場做正功，從而電場能量減少，也得出Cp增大的結(jié)論。綜上，可以得出結(jié)論：引入其他導(dǎo)體時(shí)，工作電容。使用大于等于號“”，是因?yàn)榇嬖谶@樣的情形：引入的導(dǎo)體表面剛好填充原來的等位面，則不改變原來的電場分布。讀者可以自己尋找這樣的例子。

6、圖3 部分電容的計(jì)算（2）部分電容C12根據(jù)部分電容的公式，如果將導(dǎo)體1跟導(dǎo)體0短接，即令，則需要注意這個(gè)公式和工作電容計(jì)算公式的區(qū)別。計(jì)算工作電容Cp時(shí)，0號導(dǎo)體不帶電；而計(jì)算部分電容C12時(shí)，0號導(dǎo)體帶電，它與1號導(dǎo)體帶電總量為q。0號導(dǎo)體的帶電量可以看做是與1號導(dǎo)體短接后分走的部分電荷。設(shè)導(dǎo)體2帶電量仍為，則1號導(dǎo)體剩余的帶電量為。三個(gè)導(dǎo)體帶電總量仍為0，如圖3所示?？梢钥隙?，當(dāng)0號導(dǎo)體逐漸靠近導(dǎo)體1、2時(shí)，它分得的電荷逐步增多，導(dǎo)體1帶電量逐步減少，電壓也隨之下降。因此，要想保持不變，唯一的辦法是增大電壓，因此0號導(dǎo)體的靠近使部分電容C12減小。0號導(dǎo)體分走的電荷量，在特定條件下可以是

7、全部電荷q，從而使C12減小到0（參見下文的算例1）；但是，即使0號導(dǎo)體位于無限遠(yuǎn)處，仍可能有，即（參見下文算例2、算例3）。（3）算例驗(yàn)證（以下推導(dǎo)全部用Mathematica完成）圖4 平行板電容器算例1：在1、2兩個(gè)導(dǎo)體組成的平行電容器中，插入一個(gè)導(dǎo)體板（編號為0），分析工作電容和部分電容。參數(shù)如圖4所示，設(shè)極板面積為S；忽略邊緣效應(yīng)。解：沒有導(dǎo)體0時(shí)，電容。插入導(dǎo)體0后，如果保持導(dǎo)體1、2帶電量不變，而導(dǎo)體0不帶電，則極板表面的電荷面密度也不改變，從而極板間電場E保持不變，1、2之間的電壓降變?yōu)椋虼?，工作電容可見，?dǎo)體0的插入，相當(dāng)于等效地減小了極板間距d。為計(jì)算部分電容C12，我們

8、將1號導(dǎo)體與0號導(dǎo)體短接，此時(shí)電壓；導(dǎo)體1、0之間無電場，從而導(dǎo)體1帶電量，這個(gè)結(jié)果不因?qū)w2無論帶電量多少、電位多少而改變，因此部分電容。它說明，導(dǎo)板1、2之間的電相互作用被導(dǎo)體0完全隔斷了！這就是靜電屏蔽的效果。當(dāng)1號導(dǎo)體與0號導(dǎo)體短接時(shí)，導(dǎo)體1上的電荷q全部跑到導(dǎo)體0上；導(dǎo)體0、2之間的電壓。由部分電容公式，得到。同理得到。從電路的角度看，圖4中的工作電容可以看做是與的串聯(lián)，計(jì)算得到與前面結(jié)果相等。這是一個(gè)的例子，我們看到了。算例2：如圖5，計(jì)算距地面高度為h的兩平行長直輸電線之間的部分電容與工作電容，設(shè)導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距為d，。（教材128頁，例3.21）。圖5 距地面高度為h的兩

9、平行長直輸電線解：不考慮地面影響時(shí)，根據(jù)例3.19的結(jié)論，單位長度輸電線之間的電容為?？紤]地面影響時(shí)，對電勢系數(shù)矩陣求逆，得到單位長度輸電線之間的部分電容為，工作電容為。當(dāng)參數(shù)取h= 10m，d= 2m，a= 1cm時(shí)，計(jì)得，。，與我們前面的定性分析相符（書上給出的計(jì)算結(jié)果誤差稍大）。當(dāng)h變小時(shí)，的關(guān)系會更加明顯。例如，取h=0.1m，其它參數(shù)不變，得到，。當(dāng)h非常大，例如大到10100m，其它參數(shù)不變，得到，（）?？梢?，地面作為一個(gè)無限大的導(dǎo)體平面，其影響是非常顯著的。算例3：把上例中的長直圓柱導(dǎo)體改為半徑為a的兩個(gè)導(dǎo)體球，其它參數(shù)不變。解：兩個(gè)導(dǎo)體球之間的電場分布不能用單一鏡像法計(jì)算，但是

10、，如果兩球距離遠(yuǎn)大于其半徑，則可將電荷近似看做是位于球心處來計(jì)算空間電場的分布。容易得到：（1）沒有地面時(shí)的電容當(dāng)?shù)孛娌淮嬖跁r(shí)，設(shè)導(dǎo)體帶電量為，則導(dǎo)體電位分別為所以兩球之間電壓為兩球之間的電容為工作電容與C相同。圖6帶電導(dǎo)體球?qū)Φ孛娴溺R像（2）存在地面時(shí)的電容存在地面時(shí)，使用鏡像法求解電場分布，仍然將電荷近似位于球心處。導(dǎo)體球電位分別為所以兩球之間電壓為故工作電容為為計(jì)算部分電容，我們令兩導(dǎo)體球帶同樣的電荷q，此時(shí)，。由于對稱性，有故，根據(jù)部分電容公式，有故由，得到圖7給出了隨著h增大時(shí)，工作電容Cp和部分電容C12的變化情況。(a) Cp隨h增大時(shí)的變化(b) C12隨h增大時(shí)的變化情況圖7隨h增大時(shí)，工作電容Cp和部分電容C12的變化（注意：為便于作圖，縱坐標(biāo)用進(jìn)行了歸化）可以看到，0號導(dǎo)體的引入，使得工作電容增大。隨著h的增大，0號導(dǎo)體逐漸遠(yuǎn)離，影響減弱，減小。當(dāng)時(shí)，在意料之中。隨著h的增大0號導(dǎo)體逐漸遠(yuǎn)離，部分電容迅速增大，但是，當(dāng)時(shí)，并不收斂到C，而是。這說明，盡管0號導(dǎo)體遠(yuǎn)離導(dǎo)體1和2，如果將它與導(dǎo)體1相連，它還是可以分走導(dǎo)體1上的相當(dāng)一部分電荷。本題中當(dāng)大地位于無限遠(yuǎn)時(shí)，還有一種方法計(jì)算。我們應(yīng)該記得點(diǎn)電荷在接地導(dǎo)體球1上引起的感應(yīng)電荷