凸顯轉(zhuǎn)化感悟算理《精打細(xì)算》

1、凸顯轉(zhuǎn)化感悟算理精打細(xì)算教學(xué)案例教學(xué)內(nèi)容北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第五單元第一課時(shí)精打細(xì)算課前思考“除法運(yùn)算”是小學(xué)數(shù)學(xué)算法教學(xué)中的重要組成部分。 在小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排中，關(guān) 于“除法運(yùn)算”的內(nèi)容，基本劃分成3個(gè)知識(shí)組塊，它們分別是“除數(shù)是一位數(shù)的整數(shù) 除法”、“除數(shù)是兩、三位數(shù)的整數(shù)除法”、“小數(shù)除法”，且分布在不同的年級(jí)段學(xué)習(xí)。 那么，關(guān)于“除法運(yùn)算”的算法教學(xué)，如何幫助學(xué)生擺脫現(xiàn)有學(xué)習(xí)困境，達(dá)到理想化的 教學(xué)目標(biāo)，就有必要對(duì)其做深入地分析研究和實(shí)踐探索。于是，我們選定四年級(jí)有關(guān)小數(shù)除法教學(xué)內(nèi)容為研究的突破口，就運(yùn)算教學(xué)中如何感悟算理開(kāi)展實(shí)踐、對(duì)比分析與研 究，以期能在實(shí)踐探究中發(fā)現(xiàn)和為一線

2、教師提供更有效的教學(xué)策略和手段。精打細(xì)算是四年級(jí)下冊(cè)第五單元小數(shù)除法的第一課時(shí)，學(xué)習(xí)小數(shù)除以整數(shù)。 是在學(xué)習(xí)了整數(shù)除法和小數(shù)意義的基礎(chǔ)上的后續(xù)發(fā)展，為除數(shù)是小數(shù)的除法作好鋪墊。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）在第二學(xué)段的“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：會(huì)進(jìn) 行簡(jiǎn)單的小數(shù)除法運(yùn)算，經(jīng)歷與他人交流各自算法的過(guò)程，在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中， 能選擇合適的估算方法，養(yǎng)成估算的習(xí)慣。同時(shí)，課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，幫助他們真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法。因此這節(jié)課，要在“比較哪個(gè)超市的牛 奶便宜”的情境中放大探究的過(guò)程，要滲透轉(zhuǎn)化、類

3、比的數(shù)學(xué)思想，從而讓學(xué)生明晰算 理，理解了算理，算法才有了根基。本次行動(dòng)研究的基本步驟：成員獨(dú)立備課一一代表執(zhí)教上課一一課后診斷分析一一 成員修正方案一一代表再次實(shí)踐一一對(duì)比分析研究一一再次修正方案一一代表再次實(shí) 踐一一教學(xué)案例制作。課堂寫(xiě)真（初次實(shí)踐）：（執(zhí)教班級(jí)：團(tuán)結(jié)路小學(xué) 四（4）班）師：出示（復(fù)習(xí)引入）120 -H20=1 2 - 2 =1.2 弋.2=生完后師指名回答結(jié)果。師：你發(fā)現(xiàn)了什么？你能象這樣寫(xiě)也一組嗎？生：得數(shù)都是6。師：你發(fā)現(xiàn)了得數(shù)的規(guī)律，還有哪位同學(xué)有補(bǔ)充？生：我想起了商不變的性質(zhì)。（教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)小數(shù)的除法推演結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，然后指出商不變性質(zhì)在小數(shù)除法中同樣適用。

4、）師：（創(chuàng)設(shè)哪個(gè)超市牛奶便宜的問(wèn)題情境學(xué)習(xí)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法。）北山超市：限時(shí)驚爆特價(jià)一一 5袋11.50元多宜多超市：買優(yōu)惠 買實(shí)惠 買五送一一一12.90元師：哪個(gè)超市的牛奶便宜？能列出算式嗎？根據(jù)學(xué)生回答板演：11.5弋12.9十6師：除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，我們已會(huì)計(jì)算，那么，象這樣的除數(shù)是小數(shù)的除法怎么計(jì)算呢？今天我們就著重研究除數(shù)是小數(shù)的除法。揭示課題：除數(shù)是小數(shù)的除法。提問(wèn)：有沒(méi)有辦法把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法呢？（此時(shí)，大部分學(xué)生想到了利用商不變性質(zhì)解決新問(wèn)題）設(shè)計(jì)理由：除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算關(guān)鍵是先利用商不變性質(zhì)將它轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，再按除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)

5、除法法則計(jì)算。因此，首先應(yīng)通過(guò)復(fù)習(xí)激活相關(guān)知識(shí)一一商不變性質(zhì)，來(lái)引發(fā)新問(wèn)題解決思路一一利用商不變性質(zhì)把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法。實(shí)踐效果：由于課始出示了一組利用商不變性質(zhì)完成的習(xí)題，使大部分學(xué)生自然想到了借助商不變性質(zhì)把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法，因此沒(méi)有出現(xiàn)多種個(gè)性化的問(wèn)題解決方法出現(xiàn)。在教師的引 導(dǎo)下，學(xué)生逐步掌握了除數(shù)是小數(shù)的除法的豎式計(jì)算，整堂課上得比較順利。課題組成員討論質(zhì)疑：當(dāng)學(xué)生有能力自主獲得新問(wèn)題解決思路時(shí)，教師是否還有必要進(jìn)行思路 引導(dǎo)？教師預(yù)設(shè)的多種解決問(wèn)題的方法沒(méi)有出現(xiàn)的原因是什么？課題組成員通過(guò)討論形成共識(shí)：課 前的復(fù)習(xí)明顯暗示了學(xué)生新問(wèn)題解決的基本思路一

6、一用商不變性質(zhì)可以把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化 成除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法來(lái)解決。這種設(shè)計(jì)思路將高水平認(rèn)知要求降低為低水平的認(rèn)知要求，縮小 了學(xué)生思考的空間，降低了學(xué)生思維的深度。討論建議:學(xué)生已學(xué)習(xí)了整數(shù)除法和小數(shù)的意義，在小數(shù)乘法中已初步體會(huì)了將小 數(shù)看作整數(shù)進(jìn)行計(jì)算的轉(zhuǎn)化思想，然后再確定小數(shù)點(diǎn)位置。而在這節(jié)課中，學(xué)生依托生 活情境和已有知識(shí)基礎(chǔ)，比較容易通過(guò)元與角的單位換算，將11.5元轉(zhuǎn)化為整數(shù)計(jì)算， 在此基礎(chǔ)上，教師如何引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象推理出小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法成為本節(jié)課的 重點(diǎn)和關(guān)鍵。課堂寫(xiě)真（再次實(shí)踐）：師：北山和多宜多兩個(gè)超市同樣的牛奶都在做促銷活動(dòng)，一起來(lái)看看（課件出示）：北山超市：

7、限時(shí)驚爆特價(jià)一一 5袋11.50元多宜多超市：買優(yōu)惠 買實(shí)惠 買五送一一一12.90元師：如果是你去買這種牛奶，看到兩個(gè)超市不同的促銷活動(dòng)，你會(huì)思考些什么呢？生：如果兩家超市牛奶的質(zhì)量相同，我們自然要買便宜的。師：兩家超市的牛奶誰(shuí)家的便宜呢？列出算式。生列出算式嘗試計(jì)算。11.5弋 12.9弋師：你是怎樣計(jì)算的？生 1： 11.5 元=115 角 115 弋=23 角 23 角=2.3 元生2:我用豎式計(jì)算的。生3： 115弋0=2元15角15弋=3角 2元+3角=2.3元實(shí)踐效果：依托例題情境的具體數(shù)量意義， 學(xué)生自然想到了把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法， 在這個(gè)過(guò)程中，轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想與方法

8、得到滲透，但對(duì)于豎式的的教學(xué)，總覺(jué)得 缺少了點(diǎn)什么。幫助學(xué)生理解算理，算理與算法的溝通，沒(méi)能達(dá)到理想效果。課題組討論質(zhì)疑：豎式與其他幾種方法這間有何聯(lián)系？豎式中每一步的意義學(xué)生是否理解？是否有必要結(jié)合圖示幫助理解算理，三上的分桃子一課時(shí)中，學(xué)生從動(dòng)手操作分小棒到圖形到豎式，已經(jīng)由具體分一分抽象到豎式，但這課時(shí)中學(xué)生后來(lái)能夠進(jìn)行豎式計(jì)算，感覺(jué)只是一種模仿而 不是理解。討論建議：通過(guò)兩次的實(shí)踐、交流與反思，課題組成員普遍感受到，運(yùn)算教學(xué)，我們必須首先弄懂學(xué)生“學(xué)什么”，再解決“怎么學(xué)”。課題組成員再次認(rèn)真讀課標(biāo)，讀教材，達(dá)成共識(shí)：增加估算環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生估算意識(shí)和能力，也為小數(shù)除法的算法“先用整數(shù)部

9、分除以除數(shù)”埋下伏筆，同時(shí)確定商的大致范圍能幫助學(xué)生更好地理解商的小數(shù)點(diǎn)的定位問(wèn)題。11.5七得多少？問(wèn)題是開(kāi)放的，結(jié)果是多樣的。學(xué)生基礎(chǔ)和思維特點(diǎn)不同，探究結(jié)果也會(huì)各不相同。而在學(xué)生匯報(bào)豎式的過(guò)程中，適時(shí)借助課件以圖示解釋豎式的算理，讓學(xué)生用自己的算法來(lái)解釋豎式的每一步來(lái)進(jìn)一步明晰算理。這樣在小數(shù)除法豎式的初步建構(gòu)過(guò)程中，領(lǐng)悟商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”的道理。解 決問(wèn)題策略的多樣化和算法的多樣化在這節(jié)課中不是重點(diǎn)，針對(duì)學(xué)生中的生成合理處理。但是對(duì)于 能幫助學(xué)生理解算理的方法要重點(diǎn)引導(dǎo)。讓學(xué)生對(duì)“商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”這一算 理，不再停留在“形”的模枋，而是進(jìn)入了“質(zhì)”的理解

10、。課堂寫(xiě)真（第三次實(shí)踐）：師：北山和多宜多兩個(gè)超市同樣的牛奶都在做促銷活動(dòng)，一起來(lái)看看（課件出示）：北山超市：限時(shí)驚爆特價(jià)一一5袋11.50元多宜多超市：買優(yōu)惠買實(shí)惠 買五送一一一12.90元師：如果是你去買這種牛奶，看到兩個(gè)超市不同的促銷活動(dòng)，你會(huì)思考些什么呢？生：如果兩家超市牛奶的質(zhì)量相同，我們自然要買便宜的。師：兩家超市的牛奶誰(shuí)家的便宜呢？怎樣比較？想想看，列出算式不計(jì)算，要能說(shuō)清楚這樣列 式的理由。師根據(jù)學(xué)生回答板書(shū)算式：11.5越12.9七師：誰(shuí)看明白了？生1： 11.50元是5袋的總價(jià)，11.5弋求的是單價(jià)。生2:買五送一就是 6袋，12.9 W求的也是單價(jià)。生3:比較哪家超市的牛

11、奶便宜實(shí)際就是比較單價(jià)。師：和以前學(xué)過(guò)的除法算式相比較，有什么不同之處？生：以前學(xué)習(xí)的是整數(shù)除法，今天是小數(shù)除以整數(shù)。（師根據(jù)學(xué)生回答板書(shū)課題）師：用我們以前學(xué)過(guò)的估算方法來(lái)估一估，兩家超市每袋牛奶的價(jià)錢大約是多少？生：把11.5估成10,北山超市每袋牛奶的價(jià)錢大約2元。師：實(shí)際結(jié)果比2元多還是少呢？生1:比2元多。因?yàn)槭前?1.5小估成10。生2:多宜多超市每袋牛奶的價(jià)錢也是2元多，因?yàn)?2.9元小估成12 , 12七=2。師：都是2元多，看來(lái)要想比較出哪家超市的牛奶便宜，還需要我們進(jìn)行精確計(jì)算。我們先求出北山超市的牛奶單價(jià)。用你喜歡的方法算一算，邊做邊思考計(jì)算每一步的理由。（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，

12、交流匯報(bào)）生：11.5元=115角115弋=23角23角=2.3元師：這位同學(xué)將小數(shù)除法一下子轉(zhuǎn)化成了我們學(xué)過(guò)的整數(shù)除法，用已學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題,了不起。師：你聽(tīng)明白什么了？生：他用到了商不變的規(guī)律，把 11.5弋的被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大 10倍。師：這位同學(xué)用商不變的性質(zhì)將小數(shù)除法也轉(zhuǎn)化成了整數(shù)除法。還有其他的方法嗎？ 生：我是豎式計(jì)算的。師：非常好，說(shuō)說(shuō)你的方法，老師幫你記錄下來(lái)。（生說(shuō)方法，老師記錄，記錄的過(guò)程中適時(shí)追問(wèn)：追問(wèn)：余數(shù)1 怎么辦？追問(wèn)： 3 寫(xiě)在什么位上？怎樣才能體現(xiàn) 3 是十分位？） 師：你看懂的豎式的哪一步？用你的方法解釋豎式每一步的意思。（根據(jù)學(xué)生回答適時(shí)出現(xiàn)圖示等

13、。 ） 觀察算式總結(jié)出方法：小數(shù)除以整數(shù)，我們先按照整數(shù)除法的法則來(lái)除，只要商的小數(shù)點(diǎn)與被 除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊就行了。練一練：豎式計(jì)算7.42 T =78.3 弋17.6 弋 11.2 侔討論：在這幾題中，商的小數(shù)點(diǎn)是否與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？實(shí)踐效果： 這種設(shè)計(jì)學(xué)生的估算意識(shí)得到培養(yǎng)，在解決“哪個(gè)超市的牛奶便宜”的 問(wèn)題情境中學(xué)生感悟算理，轉(zhuǎn)化類比的思想得到滲透。課題組討論反思： 這一課時(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)了整數(shù)除法和小數(shù)意義的基礎(chǔ)上的后續(xù)發(fā)展， 為除數(shù)是小數(shù)的除法作好鋪墊。 這節(jié)課將整個(gè)教學(xué)活動(dòng)置于 “哪個(gè)超市的牛奶便宜” 這 一情境中，以探究比較牛奶的價(jià)格為明線，在活動(dòng)中放大探究過(guò)程；以滲透“轉(zhuǎn)化”

14、的 數(shù)學(xué)思想方法為暗線， 讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用已有的舊知識(shí)解決新問(wèn)題的推導(dǎo)過(guò)程。 兩條主線 齊頭并進(jìn)，在一系列的探索性活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較、分析、概括等行為來(lái) 解決新問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力以及知識(shí)遷移能力。課后解讀這節(jié)課將整個(gè)教學(xué)活動(dòng)置于 “哪個(gè)超市的牛奶便宜” 這一情境中， 以探究比較牛奶 的價(jià)格為明線，在活動(dòng)中放大探究過(guò)程；以滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法為暗線，讓學(xué) 生經(jīng)歷運(yùn)用已有的舊知識(shí)解決新問(wèn)題的推導(dǎo)過(guò)程。 兩條主線齊頭并進(jìn)， 在一系列的探索 性活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較、分析、概括等行為來(lái)解決新問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的探 索能力以及知識(shí)遷移能力。一、在熟悉的生活情境中走進(jìn)數(shù)學(xué)，以用促

15、算激興趣。創(chuàng)設(shè)學(xué)生所熟悉的北山超市、 多宜多超市牛奶促銷的生活場(chǎng)景， 引出“哪個(gè)超市牛 奶便宜”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，自然引入小數(shù)除法，讓學(xué)生在具體的情境中體會(huì)小數(shù)除法的意義， 激發(fā)學(xué)生探究小數(shù)除法的興趣，體現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)生活既是計(jì)算教學(xué)的源頭，更是計(jì)算教學(xué)的 歸宿。二、在轉(zhuǎn)化與類比中實(shí)現(xiàn)算法遷移，互動(dòng)探究悟算理。在比較兩家超市的牛奶誰(shuí)家的便宜時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生用以前學(xué)過(guò)的估算方法來(lái)估一 估，兩家超市每袋牛奶的價(jià)錢大約是多少？估算環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)既培養(yǎng)了學(xué)生估算意識(shí)和能 力，也為小數(shù)除法的算法“先用整數(shù)部分除以除數(shù)”埋下伏筆，同時(shí)確定商的大致范圍 能幫助學(xué)生更好地理解商的小數(shù)點(diǎn)的定位問(wèn)題。課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）第二學(xué)段目標(biāo)

16、“數(shù) 與代數(shù)”中明確指出：在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中，能選擇合適的方法，養(yǎng)成估算的習(xí)慣。 滲透估算的意識(shí)不是某一節(jié)課的目標(biāo)， 而是一個(gè)長(zhǎng)期培養(yǎng)的過(guò)程。因此在這里先讓學(xué)生 估一估，看能不能解決哪家商店牛奶便宜的問(wèn)題。做到先估后算，滲透估算意識(shí)。最后 用估算結(jié)果檢驗(yàn)除法算式的商，初步判斷商的大小是否正確。11.5十5結(jié)果是多少？問(wèn)題是開(kāi)放的，結(jié)果也是多樣的，學(xué)生面對(duì)問(wèn)題主動(dòng)思考、 探索成為了必然。學(xué)生將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法，用學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)解決新問(wèn)題，在這 個(gè)過(guò)程中，“轉(zhuǎn)化”起核心作用。在豎式的記錄過(guò)程中，老師適時(shí)追問(wèn)，讓學(xué)生對(duì)“商 的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”這一算理，不再停留在“形”的模枋，而

17、是進(jìn)入了“質(zhì)”的理解。這樣在小數(shù)除法豎式的初步建構(gòu)過(guò)程中， 領(lǐng)悟“商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的 小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”的道理。這是除法豎式的算理，實(shí)際是一個(gè)位置值的思想。在這個(gè)過(guò)程中， 轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想與方法再次得到滲透。計(jì)算12.9 -6求出多宜多超市每袋牛奶的價(jià)格。由11.5十5 = 2.3的探究已經(jīng)明晰：除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的豎式算法和整數(shù)除法 的基本相同，只要商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。12.9 -6 = 2.15只須以簡(jiǎn)馭之，在前例基礎(chǔ)上專攻一點(diǎn)一一除到被除數(shù)的小數(shù)末尾還不能除盡，要添0再除。體現(xiàn)簡(jiǎn)單與復(fù)雜的這種辯證關(guān)系，目標(biāo)得到分解。突破已非難事。學(xué)生在互相討論、講解中，加 深理解。三、在輕

18、松演練中拓展應(yīng)用，牽動(dòng)四兩撥千斤。這節(jié)課學(xué)習(xí)了小數(shù)除以整數(shù)以后究竟要不要進(jìn)行一定量的練習(xí)？這個(gè)量又該怎樣 把握？書(shū)中試一試中只出現(xiàn)了三道計(jì)算題。課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）中將基本理念的“三 句”變?yōu)椤皟删洹保浣屈c(diǎn)由“數(shù)學(xué)內(nèi)容”變?yōu)椤皵?shù)學(xué)教育”。課程標(biāo)準(zhǔn)制定組組長(zhǎng) 史寧中教授提出了 “數(shù)學(xué)教學(xué)的四基”，以前強(qiáng)調(diào)“練中學(xué)” “熟能生巧”，但數(shù)學(xué)更需 要思考，我們不是培養(yǎng)技術(shù)工，而是培養(yǎng)有智慧的人。為了讓不同層次的學(xué)生學(xué)有所得， 體驗(yàn)成功的喜悅，共有三個(gè)層次的練習(xí)。第一層次練習(xí)是讓學(xué)生進(jìn)行豎式計(jì)算， 鞏固新 知，變式練習(xí)中，學(xué)生所學(xué)知識(shí)得到再次鞏固，給商品貼標(biāo)簽，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程工具性， 與教學(xué)主題情境相互照應(yīng)，發(fā)展學(xué)生學(xué)以致