用基底建模向量法解決立體幾何問題

1、用基底建模向量法解決立體幾何問題 空間向量是高中數(shù)學(xué)新教材中一項(xiàng)基本內(nèi)容，它的引入有利于處理立體幾何問題，有利于學(xué)生克服空間想象力的障礙和空間作圖的困難，有利于豐富學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解立體幾何問題,可把抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算問題,并具有很強(qiáng)的規(guī)律性和可操作性, 而利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算需先建立空間直角坐標(biāo)系，但建立空間直角坐標(biāo)系有時(shí)要受到圖形的制約,在立體幾何問題中很難普遍使用，其實(shí)向量的坐標(biāo)形式只是選取了特殊的基底，一般情況下, 我們可以根據(jù)題意在立體幾何圖形中選定一個(gè)基底,然后將所需的向量用此基底表示出來, 再利用向量的運(yùn)算進(jìn)行求解或證明, 這就是基底建模法.它是

2、利用向量的非坐標(biāo)形式解立體幾何問題的一種有效方法。 基向量法在解決立體幾何的證明、求解問題中有著很特殊的妙用。空間向量基本定理及應(yīng)用空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.1、 已知空間四邊形OABC中，AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC.M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn).求證：OGBC.例1題圖【解前點(diǎn)津】要證OGBC，只須證明即可. 而要證,必須把、用一組已知的空間基向量來表示.又已知條件為AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC，因此可選為已知的基向量.【規(guī)范解答】連ON由

3、線段中點(diǎn)公式得：又,所以)=(). 因?yàn)?且，AOB=AOC.所以=0,即OGBC.【解后歸納】本題考查應(yīng)用平面向量、空間向量和平面幾何知識(shí)證線線垂直的能力.【例2】在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求：異面直線BA1與AC所成的角.【解前點(diǎn)津】利用，求出向量與的夾角,， 再根據(jù)異面直線BA1，AC所成角的范圍確定異面直線所成角.【規(guī)范解答】因?yàn)?所以=因?yàn)锳BBC，BB1AB，BB1BC，所以=0,=-a2.所以=-a2.又所以=120°.所以異面直線BA1與AC所成的角為60°【解后歸納】求異面直線所成角的關(guān)鍵是求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量

4、積，必須會(huì)把所求向量用空間的一組基向量來表示例3：如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，ABC=60º，PA面ABCD ， PA=AC =a,PB=PD=，點(diǎn)E在PD上，且PE:PD=2:1. 在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF 平面AEC？證明你的結(jié)論.解析：我們可選取作為一組空間基底【例4】證明：四面體中連接對(duì)棱中點(diǎn)的三條直線交于一點(diǎn)且互相平分(此點(diǎn)稱為四面體的重心).【規(guī)范解答】E,G分別為AB,AC的中點(diǎn),EG,同理HF，EGHF .從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對(duì)角線EF,GH相交于一點(diǎn)O,且O為它們的中點(diǎn),連接OP,OQ.只要能證明向量=-就可以說明P,O,Q三點(diǎn)

5、共線且O為PQ的中點(diǎn),事實(shí)上, ,而O為GH的中點(diǎn), 例4圖CD,QHCD,=0.=,PQ經(jīng)過O點(diǎn),且O為PQ的中點(diǎn).【解后歸納】本例要證明三條直線相交于一點(diǎn)O,我們采用的方法是先證明兩條直線相交于一點(diǎn),然后證明兩向量共線,從而說明P、O、Q三點(diǎn)共線進(jìn)而說明PQ直線過O點(diǎn).例5如圖在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分別是A1D1、D1D、D1C1的中點(diǎn)求證：平面EFG平面AB1C.證明：設(shè)a，b，c，則(ab)，ab2，bc(bc)，bc2，.又EG與EF相交，AC與B1C相交，平面EFG平面AB1C.例6如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為

6、1，且兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求BD1與AC夾角的余弦值解：設(shè)a，b，c，則兩兩夾角為60°，且模均為1.(1)abc.|2(ab c)2|a|2|b|2|c|22a·b2b·c2a·c36×1×1×6，|，即AC1的長為.(2)bac.·(bac)·(ab)a·ba2a·cb2a·bb·c1.|，|，cos，.BD1與AC夾角的余弦值為.14.已知線段AB在平面內(nèi)，線段AC，線段BDAB，且與所成的角是30，如果ABa，ACBDb，求C

7、、D之間的距離. .如圖，由AC，知ACAB.過D作DD，D為垂足，則DBD30°，°，|CD|2= 第17題圖b2+a2+b2+2b2cos120°a2+b2.CD15如圖所示,已知ABCD,O是平面AC外的一點(diǎn)點(diǎn), 求證:A1,B1,C1,D1四點(diǎn)共面.證明： =2 =A1,B1,C1,D1四點(diǎn)共面.16 ：如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60°. 證明：C1CBD； <e1,e2>=60°, <e1,e3>=60°, <e2,e3&g

8、t;=60°, C1CBD 17.如圖，在梯形ABCD中，ABCD，ADC90°，3ADDC3，AB2，E是DC上的點(diǎn)，且滿足DE1，連結(jié)AE，將DAE沿AE折起到D1AE的位置，使得D1AB60°，設(shè)AC與BE的交點(diǎn)為O.(1)試用基向量， ，表示向量；(2)求異面直線OD1與AE所成角的余弦值；(3)判斷平面D1AE與平面ABCE是否垂直？并說明理由解：(1)ABCE，ABCE2，四邊形ABCE是平行四邊形，O為BE的中點(diǎn)().(2)設(shè)異面直線OD1與AE所成的角為，則cos|cos，|，·()···|21×&

9、#215;cos45°×2××cos45°×()21，| ，cos|.故異面直線OD1與AE所成角的余弦值為.(3)平面D1AE平面ABCE.證明如下：取AE的中點(diǎn)M，則，·()·|2·×()21××cos45°0.D1MAE.·()···××2×cos45°1×2×cos60°0，D1MAB.又AEABA，AE、AB平面ABCE，D1M平面ABCE.D1M

10、平面D1AE，平面D1AE平面ABCE. 在四面體、平行六面體等圖形中,當(dāng)不易找到（或作出）從一點(diǎn)出發(fā)的三條兩兩垂直的直線建立直坐標(biāo)系時(shí),可采用“基底建模法”選定從一點(diǎn)發(fā)的不共面的三個(gè)向量作為基底,并用它們表示出指定的向量,再利用向量的運(yùn)算證明平行和垂直,求解角和距離?！盎捉７ā笨勺鳛榭臻g直角坐標(biāo)系的一個(gè)補(bǔ)充（尤其是在傳統(tǒng)幾何法難作輔助線，向量坐標(biāo)法又難以建系時(shí)）,掌握該方法可有效地提高利用空間向量解決立體幾何問題的能力。對(duì)應(yīng)訓(xùn)練分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1. 在下列條件中,使M與A、B、C一定共面的是( C )A. B. C. D.2 若向量a，b，c是空間的一個(gè)基底，向量ma+b，na-b，

11、那么可以與m、n構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是( C )A.a B.b C.c D.2a3 .如圖所示，已知四面體ABCD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AC的中點(diǎn)，則()化簡的結(jié)果為 ()A B CD解析：()()·2.答案：C4如圖，在底面ABCD為平行四邊形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC與BD的交點(diǎn)，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是 ()Aabc B.abcC.abc Dabc解析：由題意，根據(jù)向量運(yùn)算的幾何運(yùn)算法則，cc()abc.答案：A5已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若xy，則x、y的值分別為 ()Ax1，y1

12、 Bx1，yCx，y Dx，y1解析：如圖，()答案：C題組二空間中的共線、共面問題4.A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)這四個(gè)點(diǎn)是否共面_(共面或不共面)解析：(3,4,5)，(1,2,2)，(9,14,16)，設(shè)xy.即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y)，從而A、B、C、D四點(diǎn)共面答案：共面題組三空間向量數(shù)量積及應(yīng)用6.如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長都等于a，點(diǎn)E、F、G分別為AB、AD、DC的中點(diǎn)，則a2等于 ()A2· B2·C2· D2·解析：，2·2a2×

13、cosa2.答案：B7二面角l為60°，A、B是棱l上的兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面、內(nèi)，ACl，BDl，且ABAC，BD2a，則CD的長為 ()A2a B.a Ca D.a解析：ACl，BDl，,60°，且·0，·0，|2a.答案：A8.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是 ()A45° B60°C90° D120°答案：B1 已知：,當(dāng)最取最小值時(shí)，的值等于（ C ）A.19 B. C.

14、 D. 2正四棱維P-ABCD中，O為底面中心，設(shè)，E為PC的中點(diǎn)，則 可表示為 （ B ） A. B. C. D. 3已知向量，且，則的值是 （ B ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 34已知向量，若向量與向量互相垂直，則的值是 （ D ） A. B.2 C. D. 5下面命題正確的個(gè)數(shù)是 （ B ）若，則與、共面； 若，則M、P、A、B共面；若，則A、B、C、D共面； 若，則P、A、B、C共面；A.1 B. 2 C.3 D.46已知點(diǎn)A在基底下的坐標(biāo)為（8，6，4），其中，則點(diǎn)A在基底下的坐標(biāo)是 （ A ）A.（12，14，10） B.（10，12，14） C.（14，12，10） D.（4，3，2）7已知點(diǎn),向量，則向量的夾角是（ A ）A. B. C. D. 8已知向量，向量，則向量在向量上的射影的長是（ B ）A.1 B. 2 C.5 D.109已知若，且，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ D ）A.（-1，-1，-2） B.（-1，-1，-2） C.（1，-1，-2） D.（-1，1，2）10已知OABC是四面體，G是ABC的重心，若，則的值是（ C ）