特殊四邊形中常添加的輔助線

1、特殊四邊形-作輔助線添加輔助線解特殊四邊形特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.知識點一：平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，

2、構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形。例1 、 如圖1，在平行四邊形中，點在對角線上，且,請你以為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) 證明：連結(jié),設(shè)交于點O四邊形為平行四邊形 即四邊形為平行四邊形 第二類：平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2、如圖2，在平行四邊形中，對角線和相交于點O，如果，那么的取值范圍是（ ）A B C D 解：將線段沿方向

3、平移，使得,則有四邊形為平行四邊形,在中, ,，即 解得 故選A第三類：過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例3、已知：如圖3，四邊形為平行四邊形求證：證明：過分別作于點，的延長線于點F 則四邊形為平行四邊形 且, 第四類：延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4：已知：如圖4，在正方形中，分別是、的中點，與交于點，求證：證明：延長交的延長線于點， 四邊形為正方形 且, 又, ,則 第五類：延長一邊上一點與一頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5、如圖5，在平行四邊形中，點為邊上任一點，請你在該圖基礎(chǔ)上，適當添加輔助線找出兩對相似三角形

4、。解：延長與的延長線相交于，則有, 第六類：把對角線交點與一邊中點連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例6、已知：如圖6，在平行四邊形中，,交于，求解：連結(jié)交于點,連結(jié)四邊形為平行四邊形 且 綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：連對角線，平移對角線，延長一邊中點與頂點連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等圖形，為證明解決問題創(chuàng)造條件。知識點二：和菱形有關(guān)的輔助線的作法 和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例7 、如圖7，在ABC中，ACB=90，BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE=AC，EF/BC交AD于點

5、F，求證：四邊形CDEF是菱形.分析：要證明四邊形CDEF是菱形，根據(jù)已知條件，本題有兩種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.根據(jù)AD是BAC的平分線，AE=AC，可通過連接CE，構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明AD垂直CE. 求AD平分CE.證明：連結(jié)CE交AD于點O，由AC=AE，得ACE是等腰三角形，因為AO平分CAE，所以AOCE，且OC=OE，因為EF/CD，所以1=2， 又因為EOF=COD，所以DOC可以看成由FOE繞點O旋轉(zhuǎn)而成，所以O(shè)F=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四邊形CDEF是菱形. 圖7 圖8例8、 如圖8，四邊

6、形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長，可以通過連結(jié)菱形的對角線BD，借助菱形的對角線互相垂直平分得到DF=BF，然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.證明：連結(jié)BD、DF.因為AC、BD是菱形的對角線，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DFDE，當且僅當F運動到DE與AC的交點G處時，上式等號成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的長.綜上所述，菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高

7、；（2）連結(jié)菱形的對角線.知識點三：與矩形有輔助線作法 和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例9、如圖9，已知矩形ABCD內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長.分析：要利用已知條件，因為矩形ABCD，可過P分別作兩組對邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題.解：過點P分別作兩組對邊的平行線EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于點H，交AD于G.因為四邊形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2

8、，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=3. 圖9 圖10說明：本題主要是借助矩形的四個角都是直角，通過作平行線構(gòu)造四個小矩形，然后根據(jù)對角線得到直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PB、PC之間的關(guān)系，進而求到PD的長.知識點四：與正方形有關(guān)輔助線的作法 正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.例10、如圖10，過正方形ABCD的頂點B作BE/AC

9、，且AE=AC，又CF/AE.求證：BCF=AEB.分析：由BE/AC，CF/AE，AE=AC，可知四邊形AEFC是菱形，作AHBE于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形AHBO是正方形，從AH=OB=AC，可算出E=ACF=30，BCF=15.證明：連接BD交AC于O，作AHBE交BE于H.在正方形ABCD中，ACBD，AO=BO，又BE/AC，AHBE，所以BOAC， 所以四邊形AOBH為正方形，所以AH=AO=AC，因為AE=AC，所以AEH=30，因為BE/AC，AE/CF，所以ACFE是菱形，所以AEF=ACF=30，因為AC是正方形的對角線，所以ACB=45，所以BCF=15，所以BCF

10、=AEB. 說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì).通過連接正方形的對角線構(gòu)造正方形AHBO，進一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決題.知識點五：與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4） 延長兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例11 、已知如圖11，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于點0.求證：CO=CD.分析：要證明CO=CD，可證明C

11、OD=CDO，由于已知BAC=90，所以可通過作梯形高構(gòu)造矩形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問題.證明：過點A、D分別作AEBC，DFBC，垂足分別是E、F，則四邊形AEFD為矩形，因為AE=DF，AB=AC，AEBC，BAC=90，所以AE=BE=CE=BC，ACB=45，所以AE=DF=，又DFBC，所以在RtDFB中，DBC=30，又BD=BC，所以BDC=BCD=，所以DOC=DBC+ACB=30+45=75.所以BDC=DOC，所以C0=CD. 圖11 圖12說明：在證明線段相等時，一般利用等角對等邊來證明，本題作梯形的高將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，進而根據(jù)直角三角形知識解決.例12

12、、如圖12，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的長.分析：根據(jù)本題的已知條件，可通過平移一條對角線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和直角三角形，借助勾股定理解決.解：過點D作DF/AC，交BC的延長線于F，則四邊形ACFD為平行四邊形，所以AC=DF，AD=CF，因為四邊形ABCD為等腰梯形，所以AC=DB， BD=FD，因為DEBC，所以BE=EF=BF=(BC+CF)=(BC+AD) =10=5.因為AC/DF,BDAC,所以BDDF,因為BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的長為5.說明:當有對角線或垂直成梯形時,常作梯形對角線的平行線,構(gòu)造平行四邊形,等腰三角形或直角三角形來解決.知識點六：和中位線有關(guān)輔助線的作法例13、 如圖13，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點，EF分別交AC、BD于點H、G.求證：OG=OH.分析：欲證0G=O