第二節(jié) 數(shù)列極限

1、第二章 極限與連續(xù)§2. 數(shù)列極限一、數(shù)列極限的定義1數(shù)列可以用自然數(shù)編號的無窮多個數(shù)依次排列構(gòu)成一個數(shù)列。稱為通項。一般地，如果通項可以用的一個函數(shù)表示，即，。我們可以用來表示該數(shù)列。例如：即數(shù)列 ；即數(shù)列 ； 即數(shù)列 。我們來觀察這里的第二個數(shù)列，隨著得增加，通項越來越接近于，或者說在數(shù)軸上通項與的距離越來越接近于。那么，怎樣刻畫這種接近的趨勢呢？任意取一個正數(shù)，我們可以找到一個自然數(shù)，只要下標(biāo)，則就在的鄰域中，也就是說， （1）對于都成立。下面我們來確定這個。注意，不等式（1）就是，因此只要就可以了。注意由于應(yīng)該是自然數(shù)， 因此要使（1）成立，只要就可以了?；貞浫≌瘮?shù)的性質(zhì)，

2、則只要取即可。由于是任意的，有可能為，即，因此為了確保是自然數(shù)。我們?nèi)。ǎ＿@樣只要，則一定有，從而不等式（1）成立。因此我們就稱當(dāng)趨于無窮時，數(shù)列有極限1。以下我們給出數(shù)列極限的嚴(yán)格定義。2. 數(shù)列極限的定義定義：設(shè)是一個數(shù)列，是一個實(shí)數(shù)。如果對于任意給定的，總存在一個正整數(shù)，當(dāng)時就有，則稱是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記為 或 （）。若不收斂于任何實(shí)數(shù)，則稱數(shù)列發(fā)散。數(shù)列極限的幾何解釋是：表明對于任意的，都存在一個只與有關(guān)的正整數(shù)，除前面的項以外，后面的所有項都落在的鄰域內(nèi)。例 證明的極限是1。證明：，取，則當(dāng)時，從而有。因此由定義有。如果數(shù)列以為極限，即，我們就稱該數(shù)列為一個無窮小量。顯

3、然，為一個無窮小量。由數(shù)列極限的定義有 數(shù)列收斂于，為一個無窮小量。例證明數(shù)列（）是無窮小量。證明：令，則由Bernoulli不等式有，從而有。，取，則當(dāng)時，從而。因此由定義有，即是無窮小量。方法小結(jié)：適當(dāng)放大法。中間加入無窮小量。例2.2.3 設(shè)，證明。分析：記，則。因此只要證明，當(dāng)時有。然而我們有(Bernoulli不等式)，因此只需求解即可得到。證明：記。，取，則當(dāng)時有，從而有，從而有。因此。例 證明：。證明：方法一。，取。令，則。當(dāng)時，由二項式定理有，從而有，因此由極限定義有。方法二。因?yàn)闀r，因此。，取，則當(dāng)時，于是。類似地，對任意正整數(shù)有，證明如下：，取。令，當(dāng)時，從而有，于是。如果

4、利用平均值不等式，當(dāng)時，于是，取，則當(dāng)時有，同樣得到。例證明數(shù)列。分析：由于，當(dāng)時，,從而，因此，只要同時有，則有。證明，取，則當(dāng)時有，即有。例 證明Cauchy命題：若，則。證明：，由，當(dāng)時，。此時固定，因此為常數(shù)。令，再令，則當(dāng)時，由三角不等式有。因此由定義有。方法小結(jié)：分步法。先要選定適當(dāng)大的，才能更好的放大，最后再得到更大的。 極限的等價定義：數(shù)列收斂于，。其中是某個常數(shù)。二、數(shù)列極限的性質(zhì)（1）極限的唯一性定理2.2.1 收斂數(shù)列的極限必唯一。證明：用反證法。若不然，設(shè)數(shù)列有兩個極限，不妨設(shè)。令，則，；，。取，當(dāng)時，由三角不等式有，矛盾。因此收斂數(shù)列的極限必唯一。（2）收斂數(shù)列的有界

5、性對數(shù)列，若存在實(shí)數(shù)（或），使得：，（），則稱（或）為數(shù)列的一個上（或下）界；若數(shù)列既有上界又有下界，則稱它有界。數(shù)列有界，。收斂數(shù)列必有界。證明取，由，存在，當(dāng)時，從而。令，則有，。因此數(shù)列有界。證畢。注意，本定理得逆命題一般不成立的。例如，此數(shù)列是有界的：，但此數(shù)列不收斂。（3）保序、保號性定理（保序性）設(shè)，且，則存在，s.t.,.證明取。由，存在，分別使得，；，。令，則當(dāng)時以上兩個式子都成立，從而有，。證畢。 需要注意的是：反之不一定成立，可能會有。例如，對任意都有，但，也就是說，兩者之間可以相差一個正的無窮小量。但可改為：“設(shè)，且存在，s.t.,，則?！蓖普摚ūＬ栃裕┰O(shè)，則存在，s.t

6、.，。證明：只需在極限定義中取即可。（4）極限的夾逼性定理若存在，s.t.,，且，則有。證明由，s.t. ，；，。令，則當(dāng)時有，即 ，因此。證畢。定理經(jīng)常被用來求數(shù)列的極限。例求的極限。解：因?yàn)?，而，因此由極限的夾逼性有。例設(shè)，。證明：。證明設(shè)，則。由例，因此由極限的夾逼性有。補(bǔ)充例題：設(shè)，證明。證明因?yàn)槎菀鬃C明，因此結(jié)論成立。三、數(shù)列極限的四則運(yùn)算設(shè)，則（i） （是常數(shù)）；（ii）；（iii）（）。證明由，根據(jù)收斂數(shù)列的有界性，：且，：。再由，：。取，則當(dāng)時，有，以及，因此（i）和（ii）成立。對于（iii），由極限的保號性，：。取，：，因此（iii）成立。 本節(jié)習(xí)題7可以作為定理加以應(yīng)用：定理：若為有界數(shù)列，為無窮小量，則也是無窮小量。證明設(shè)使得。，由為無窮小量知存在，s.t.，。因此當(dāng)時，有，即。得證。注意：在此之前，我們一直在證明極限時證明不等式，以后我們可以用以下等價的定義：，s.t.這樣，我們在證明極限時會靈活很多。例 求極限。解：。例 證明：當(dāng)時，。證明