第三章相似三角形

1、 圖形的相似教學(xué)目標(biāo) 1、掌握比例線段以及黃金比例 2、平行線分線段成比例 3、相似三角形的判定和性質(zhì)重點(diǎn)、難點(diǎn) 掌握相似三角形的判定和性質(zhì)教 學(xué) 內(nèi) 容考點(diǎn)精析及典型例題分析知識(shí)點(diǎn)一：比例線段的相關(guān)概念對(duì)于四條線段a,b,c,d ，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即（或a:b=c:d）那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段注意：(1)當(dāng)兩個(gè)比例式的每一項(xiàng)都對(duì)應(yīng)相同，兩個(gè)比例式才是同一比例式(2)比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：四條線段a,b,c,d成比例，記作（或a:b=c:d），不能寫成其他形式，即比例線段有順序性（3）在比例式（或a:

2、b=c:d）中，比例的項(xiàng)為a,b,c,d，其中a,d為比例外項(xiàng)，b,c為比例內(nèi)項(xiàng)，d是第四比例項(xiàng)（4）如果比例內(nèi)項(xiàng)是相同的線段，即或a:b=b:c，那么線段b叫做線段和的比例中項(xiàng)。（5）四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a和b統(tǒng)一為一個(gè)單位，c和d統(tǒng)一為另一個(gè)單位也可以，因?yàn)檎w表示兩個(gè)比相等例1、如果，那么_。例2、與的比例中項(xiàng)是_。遷移練習(xí)：1、已知：，則_。2、已知：線段，那么線段的第4比例項(xiàng)等于_。知識(shí)點(diǎn)二：黃金比例定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段

3、AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。其中0.618。簡(jiǎn)記為：拓展：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形例1、對(duì)一段長(zhǎng)為20cm的線段進(jìn)行黃金分割，那么分得的較長(zhǎng)線段長(zhǎng)為_cm。（不取近似值）遷移練習(xí)：1、已知：線段AB10cm，點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且ACCB，則BC_cm。（不取近似值知識(shí)點(diǎn)三：平行線分線段成比例定理（1）平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. （兩條直線被一組平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例） 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得等.（2）推論:平行于三角形一邊的直線

4、截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.如圖，在三角形中，如果，則（3）推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線. 如上圖，如果有，那么 。（4）定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例. AD E B C說明: 此定理和平行線分線段成比例定理的異同相同點(diǎn):都是平行線；不同點(diǎn):平行線分線段成比例定理的推論是兩條平行線截其它兩邊所成的對(duì)應(yīng)線段成比例,即AD與AE

5、,DB與EC,AB與AC這六條線段,而此定理是三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.即，只要有圖形中的,它一定是ADE的三邊與ABC的三邊對(duì)應(yīng)成比例. 注意:條件(平行線的應(yīng)用)在作圖中,輔助線往往做平行線,但應(yīng)遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.例1、如圖，DEBC，AD1，DB2，則的值為_。例2、如圖，DEBC，AB12，AC16，AE10，則AD_。遷移練習(xí)1、 如圖，DEBC，AB15，AC9，BD4，那么AE_。2、如圖，DEBC，DFAC，AD4cm，BD8cm，DE5cm，那么BF_cm。知識(shí)點(diǎn)四：相似三角形的判定（一） 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似（二） 兩邊對(duì)應(yīng)

6、成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。（三） 三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。 例1、根據(jù)下列各組條件，判定ABC和是否相似，并說明理由：（1）AB=3.5cm，BC=2.5cm，CA=4cm，（2）A=, B=,（3）AB=3,BC=2.6, B=, ,遷移練習(xí)1、 格點(diǎn)圖中的兩個(gè)三角形是否是相似三角形，說明理由。知識(shí)點(diǎn)五：相似三角形的性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比，周長(zhǎng)的比都等于相似比。對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方。例1、兩個(gè)相似三角形的相似比為4:9，那么這兩個(gè)相似三角形的面積比為（ ）。（A）2:3；（B）4:9；（C）4:81；（D）16:81。遷移練習(xí)1、兩

7、個(gè)相似三角形周長(zhǎng)之比為2:3，面積之差為10cm2，則它們的面積之和為_cm2。同步練習(xí)一選擇題： 1、下列各組數(shù)中，成比例的是（）A7，5，14，5B6，8，3，4C3，5，9，12D2，3，6，122、如果x:(x+y)3:5，那么x:y( )A. B. C. D.3、如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上的點(diǎn)，BFFD=13，則BEEC=（ ）A、 B、C、 D、4、下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ）（A）兩個(gè)全等三角形一定是相似形 （B）兩個(gè)等腰三角形一定相似（C）兩個(gè)等邊三角形一定相似 （D）兩個(gè)等腰直角三角形一定相似5、如圖，RtABC中，C90°，D是AC邊上一點(diǎn)，AB5，A

8、C4，若ABCBDC，（第5題）則CDA2BCD二、填空題6、已知4，9，是的比例中項(xiàng)，則7、如圖，要使ABCACD，需補(bǔ)充的條件是（只要寫出一種）（第7題）8、如圖，小東設(shè)計(jì)兩個(gè)直角，來測(cè)量河寬DE，他量得AD2m，BD3m，CE9m，則河寬DE為 9、一公園占地面積約為800000，若按比例尺12000縮小后，其面積約為10、如圖，點(diǎn)P是RtABC斜邊AB上的任意一點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外）過點(diǎn)P作一條直線，使截得的三角形與RtABC相似，這樣的直線可以作條（第10題）三、解答題11、如圖1895，AB是斜靠在墻壁上的長(zhǎng)梯，梯腳B距墻80cm，梯上點(diǎn)D距墻70cm，BD長(zhǎng)55cm求梯子的長(zhǎng)(8分

9、)12、如圖，已知ACAB，BDAB，AO78cm，BO42cm，CD159cm，求CO和DO(8分)13、如圖，在正方形網(wǎng)格上有，這兩個(gè)三角形相似嗎?如果相似，求出的面積比（15分)14、已知：如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AC、AB、BC邊上，且四邊形CDEF是正方形，AC3，BC2，求ADE、EFB、ACB的周長(zhǎng)之比和面積之比(10分)15、如圖所示,梯形ABCD中,ADBC,A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,試在腰AB上確定點(diǎn)P的位置,使得以P,A,D為頂點(diǎn)的三角形與以P,B,C為頂點(diǎn)的三角形相似.參考答案一、選擇題：1.B 2.D 3.A 4.D 5.D二、填空題：6、±6；7、ACD=B或ADC=ACB或AD：AC=AC：AB；8、6m；9、0.2；10、3三、解答題：11.梯子長(zhǎng)為440cm 12.（提示：設(shè)，則，因?yàn)?，所以AOCBDO，所以即，所以）13、相似，相似比為 （提示：，且） 14、周長(zhǎng)之比：的周長(zhǎng)：的周長(zhǎng)：的周長(zhǎng)；設(shè)，則所以因?yàn)锳DEEFBACB，所以可求得周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方15、(1)若點(diǎn)A,P,D分別與點(diǎn)B,C,P對(duì)應(yīng),即APDBCP, ,AP2-7AP+6=0,AP=1或AP=6,檢測(cè):當(dāng)AP=1時(shí),由BC=3,AD=2,BP=6, 又A=B= 90°,APDBCP. 當(dāng)A