數(shù)列求和常用方法-文檔資料

1、1掌握一些簡(jiǎn)單數(shù)列的求和方法數(shù)列求和數(shù)列求和2 常用的公式有：常用的公式有：(1)(1)等差數(shù)列等差數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 S Sn n= = = = . .(2)(2)等比數(shù)列等比數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 S Sn n= = = = ( (q q1)1)(3)1(3)12 2+2+22 2+3+32 2+n n2 2= = . .(4)1(4)13 3+2+23 3+3+33 3+n n3 3= = .na1+ d(1)2n n1(1)1naqq11naa qqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)2141()2nn aa1公式法：直接應(yīng)用等差數(shù)列，

2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及正整數(shù)的平方和公式、立方和公式等進(jìn)行求和常用求和方法常用求和方法3課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破公式法公式法如果所給數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列或者經(jīng)過適如果所給數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列或者經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃嗡o數(shù)列可化為等差數(shù)列、等比數(shù)列，當(dāng)?shù)淖冃嗡o數(shù)列可化為等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而可利用等差、等比數(shù)列的求和公式來求解從而可利用等差、等比數(shù)列的求和公式來求解4 (2010年高考陜西卷年高考陜西卷)已知已知an是公差不為零是公差不為零的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，a11，且，且a1，a3，a9成等比數(shù)列成等比數(shù)列(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)；的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列求數(shù)列

3、2an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】利用利用a1，a3，a9成等比數(shù)列，可求成等比數(shù)列，可求公差公差d，從而得出，從而得出an.5【解】【解】 (1)由題設(shè)知公差由題設(shè)知公差 d0， 由由 a11， a1， a3， a9成等比數(shù)列， 得成等比數(shù)列， 得12d118d12d， 解得解得 d1 或或 d0(舍去舍去) 故故an的通項(xiàng)的通項(xiàng) an1(n1)1n. (2)由由(1)知知 2an2n，由等比數(shù)列前，由等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式，項(xiàng)和公式， 得得 Sn222232n2 12n 122n12. 6分組法分組法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，

4、也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.789倒序相加法倒序相加法是推導(dǎo)等差數(shù)列的前是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)個(gè) .10111()(1)2222nnfnf n 解解：22 1(22 1) 2nn 1211 2222nnn (6)(5)(1)( 4)( 5)Tfffff 2212,2T

5、 ( 5)( 4)(0)(5)(6)Tfffff 即即. .3 2T 2.2 探究探究三三：倒序相加法求和倒序相加法求和 11( ),()(1)22( 5)( 4)(0)(5)(6).例例 . .若若函函數(shù)數(shù)計(jì)計(jì)算算的的值值，并并求求xf xfnf nTfffff 例例311裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的和的目的. 通項(xiàng)分解通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)）

6、如：如：1(1111)n nnn1)(11(1)kn nnnkk1)1( nknknkn12 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an滿足：滿足：a37，a5a726，an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn.(1)求求an及及Sn；【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】由由a3，a5a7的值可求的值可求a1，d，利，利用公式可得用公式可得an，Sn.對(duì)于對(duì)于bn，利用裂項(xiàng)變換，便可，利用裂項(xiàng)變換，便可求得求得Tn.131415錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法對(duì)于形如對(duì)于形如anbn的數(shù)列的前的數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn的求法的求法(其中其中an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列是等比數(shù)列)，可采用錯(cuò)位，可采用錯(cuò)位相減法具體解法是：相減法具體解

7、法是：Sn乘以某一個(gè)合適的常數(shù)乘以某一個(gè)合適的常數(shù)(一般情況下乘以數(shù)列一般情況下乘以數(shù)列bn的公比的公比q)后，與后，與Sn錯(cuò)位錯(cuò)位相減，使其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題來解相減，使其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題來解16 (2010年高考課標(biāo)全國卷改編年高考課標(biāo)全國卷改編)設(shè)等比設(shè)等比數(shù)列數(shù)列an滿足滿足a12，a4128.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)令令bnnan，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】利用公式求得利用公式求得an，再利用錯(cuò)位相，再利用錯(cuò)位相減法求減法求Sn.17【解】【解】 (1)因因 a12，a4128，q4， an24n122n1. (2)由

8、由 bnnann22n1知知 Sn12223325n22n1， 從而從而 22Sn123225327n22n1. 得得(122)Sn2232522n1n22n1， 即即 Sn19(3n1)22n12 186.6.并項(xiàng)法并項(xiàng)法將數(shù)列的每?jī)身?xiàng)將數(shù)列的每?jī)身?xiàng)( (或多次或多次) )并到一起后，再并到一起后，再求和，這種方法常適用于擺動(dòng)數(shù)列的求和求和，這種方法常適用于擺動(dòng)數(shù)列的求和. .例六：Sn=12-22+32- 42 +(-1)n-1n219當(dāng)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，是偶數(shù)時(shí)，Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)= .當(dāng)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，是奇數(shù)時(shí)，Sn=1+(32-

9、22)+(52-42)+n2-(n-1)2=1+5+9+(2n-1)= .故故Sn=(-1)n-1 (nN*).(1)2n n(1)2n n(1)2n n201注意對(duì)以下求和方式的理解注意對(duì)以下求和方式的理解(1)倒序相加法用的時(shí)候有局限性，只有與首、末倒序相加法用的時(shí)候有局限性，只有與首、末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和是個(gè)常數(shù)時(shí)才可以用兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和是個(gè)常數(shù)時(shí)才可以用(2)裂項(xiàng)相消法用得較多，一般是把通項(xiàng)公式分解裂項(xiàng)相消法用得較多，一般是把通項(xiàng)公式分解為兩個(gè)式子的差，再相加抵消在抵消時(shí)，有的為兩個(gè)式子的差，再相加抵消在抵消時(shí)，有的是依次抵消，有的是間隔抵消，特別是間隔抵消是依次抵消，有的是間隔抵消，特別是間隔抵消時(shí)要注意規(guī)律性時(shí)要注意規(guī)律性(3)錯(cuò)位相減法是構(gòu)造了一個(gè)新的等比數(shù)列，再用錯(cuò)位相減法是構(gòu)造了一個(gè)新的等比數(shù)列，再用公式法求和公式法求和方法感悟方法感悟212常見求和類型及方法常見求和類型及方法(1)anknb，利用等差數(shù)列前，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求項(xiàng)和公式直接求解；解；(2)anaqn1，利用等比數(shù)列前，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求項(xiàng)和公式直接求解解(但要注意對(duì)但要注意對(duì)q要分要分q1與與q1兩種情況進(jìn)行討論兩種情況進(jìn)行討論)；(3)anbncn，數(shù)列，數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組轉(zhuǎn)化法求列，采用分組轉(zhuǎn)化法