2024年湖南省衡陽(yáng)八中教育集團(tuán)直選生數(shù)學(xué)模擬試卷+

2024年湖南省衡陽(yáng)八中教育集團(tuán)直選生數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.分式值為零的條件是(

)A. B. C. D.2.只用下列圖形不能進(jìn)行平面鑲嵌的是(

)A.正六邊形 B.正五邊形 C.正四邊形 D.正三邊形3.滿足不等式的最大整數(shù)n等于(

)A.8 B.9 C.10 D.114.函數(shù)圖象的大致形狀是(

)A. B. C. D.5.如圖，在中，，，，D，E分別為邊AB，BC上一點(diǎn)，且滿足AD：：連接DE，將沿DE翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在邊AC上，則CF的長(zhǎng)度為(

)A. B. C. D.6.若，則的值的個(gè)位數(shù)字是(

)A.1 B.2 C.3 D.47.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且滿足當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最大值m和最小值n之間滿足的關(guān)系式是(

)A. B. C. D.8.如圖，和是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M為射線BD、CE的交點(diǎn).若，以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，；④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段MB最短時(shí)，的面積為其中正確結(jié)論有(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。9.因式分解：______.10.在一個(gè)不透明口袋中放著5只紅球，其余是黑球和白球，它們除顏色不同外，其余都相同，若從中隨機(jī)摸出一個(gè)黑球的概率是，摸出一個(gè)白球的概率是，則黑球與白球的個(gè)數(shù)和是______.11.若關(guān)于未知數(shù)x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是______.12.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，連接BE，CE，且，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PE，則的長(zhǎng)度最小值為_(kāi)_____.

13.已知拋物線，，若這兩條拋物線與x軸共有3個(gè)交點(diǎn)，則a的值為_(kāi)_____.14.在中，，，在邊BC上有一點(diǎn)P，且，連接AP，則AP的最小值為_(kāi)_____.三、解答題：本題共4小題，共38分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題8分

a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？16.本小題8分

如圖，在數(shù)軸上被墨汁覆蓋的整數(shù)部分恰好是關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解．求m、n的取值范圍．

17.本小題10分

如圖，在銳角中，AC是最短邊.以AC為直徑的，交BC于D，過(guò)O作，交于E，連接AD、AE、

求證：；

若，，求的度數(shù)；

若，，求CF的長(zhǎng).18.本小題12分

如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)

求拋物線的解析式；

若點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

①當(dāng)點(diǎn)P在直線AC下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸，交直線AC于點(diǎn)E，作軸.交直線AC于點(diǎn)F，求的最大值；

②若，求m的值.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由題意可得且，

解得

故選：

分式的值為0的條件是：分子為0；分母不為故且，解得x的值即可．

本題考查了分式值為零的條件，若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：分子為0；分母不為這兩個(gè)條件缺一不可．由于該類型的題易忽略分母不為0這個(gè)條件，所以常以這個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)命題．2.【答案】B

【解析】解：A、正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是，能整除，能密鋪；

B、正五邊形每個(gè)內(nèi)角是，不能整除，不能密鋪；

C、正四邊形的每個(gè)內(nèi)角是，能整除，能密鋪；

D、正三邊形的每個(gè)內(nèi)角是，能整除，能密鋪．

故選：

根據(jù)鑲嵌的條件，判斷一種正多邊形能否鑲嵌，要看周角能否被一個(gè)內(nèi)角度數(shù)整除：若能整除，則能進(jìn)行平面鑲嵌；若不能整除，則不能進(jìn)行平面鑲嵌．

幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．3.【答案】D

【解析】解：，，

所以，最大整數(shù)

故選：

將不等式左右兩邊理由冪的乘方運(yùn)算法則變形為指數(shù)相同的兩個(gè)冪，通過(guò)計(jì)算可求出n的最大值．

本題利用了冪的乘方、積的乘方以及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行變形而求的．4.【答案】D

【解析】解：由函數(shù)解析式可得x可取正數(shù)，也可取負(fù)數(shù)，但函數(shù)值只能是負(fù)數(shù)；

所以函數(shù)圖象應(yīng)在x軸下方，并且x，y均不為

故選：

由題意只需找到圖象在x軸下方的不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的函數(shù)圖象即可．

解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)在函數(shù)圖象上的點(diǎn)得到函數(shù)圖象的大致位置．5.【答案】A

【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作于H，作于G，

又，

四邊形GFHB是矩形，

，

，AD：：3，

，，

將沿DE翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在邊AC上，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

負(fù)值舍去，

，

，，，

，

，

∽，

，

，

，

故選：

過(guò)點(diǎn)F作于H，作于G，先證四邊形GFHB是矩形，可得，由折疊的性質(zhì)可得，通過(guò)證明∽，可求，利用勾股定理可求的長(zhǎng)，通過(guò)證明∽，可得，即可求解．

本題考查了翻折變換，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．6.【答案】D

【解析】解：，

，

，

，

，

的值的個(gè)位數(shù)字是

故選：

首先由，求得，然后由，求得，再由，即可求得答案．

此題考查了完全平方公式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是注意的應(yīng)用．7.【答案】D

【解析】解：二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，

圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，

，

，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，函數(shù)的最小值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，

，，

故選：

由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，得出對(duì)稱軸為直線，即可得出對(duì)稱軸在之間，根據(jù)函數(shù)的最大值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，函數(shù)的最小值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，求解即可．

本題主要考查了拋物線的圖象與性質(zhì)，判斷對(duì)稱軸在之間、確定函數(shù)的最大值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，函數(shù)的最小值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．8.【答案】D

【解析】解：和是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

，，，

，

在和中

≌，

，，故①正確；

設(shè)，，

，

，故②正確；

當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：

同理可得，

，

，

∽

，

，，

，，

，

，故③正確；

④以A為圓心，AD為半徑畫圓，如圖：

，

當(dāng)CE在的下方與相切時(shí)，MB的值最小，

，

，

四邊形AEMD是正方形，

，

，

，，

，

的面積為，故④正確，

故選：

證明≌可判斷①，由三角形的外角的性質(zhì)可判斷②，證明∽，有，即可判斷③；以A為圓心，AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在的下方與相切時(shí)，MB的值最小，可得四邊形AEMD是正方形，在中，，然后根據(jù)三角形的面積公式可判斷④．

本題考查等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．9.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解．觀察原式，找到公因式2a，提出公因式后發(fā)現(xiàn)符合平方差公式的形式，利用平方差公式繼續(xù)分解即可得求得答案．

【解答】

解：，

，

10.【答案】7

【解析】解：設(shè)總球數(shù)為n個(gè)，

由題干條件知，隨機(jī)摸出一個(gè)黑球的概率是，摸出一個(gè)白球的概率是，

則隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率，

根據(jù)概率定義，

解得，

故黑球的個(gè)數(shù)為，

白球的個(gè)數(shù)為

，

故答案為：

設(shè)總球數(shù)為n個(gè)，根據(jù)題干求出隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率，然后根據(jù)概率公式求出總球數(shù)n，再次根據(jù)概率公式求出黑球和白球的個(gè)數(shù)即可推理計(jì)算結(jié)果．

本題主要考查概率公式的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的定義，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率11.【答案】

【解析】解：，，兩邊平方得：，

，

，設(shè)兩個(gè)根為：，，則，

實(shí)數(shù)p的取值范圍：，

故答案為：

x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，兩邊平方后根據(jù)即可求出p的取值范圍．

本題考查了無(wú)理方程及根的判別式，難度不大，關(guān)鍵是不要忽視的隱含條件．12.【答案】

【解析】解：四邊形ABCD是正方形，

，

，

，

，

，

點(diǎn)E在以BC為直徑的半圓上移動(dòng)，

如圖，設(shè)以BC為直徑的圓的圓心為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形AFGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，

連接FO交于點(diǎn)，連接FP，OE，

則，

，

即的長(zhǎng)度最小值為，

，，

，

，

的長(zhǎng)度最小值為，

故答案為：

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，推出，得到點(diǎn)E在以BC為直徑的半圓上移動(dòng)，設(shè)以BC為直徑的圓的圓心為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形AFGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接FO交AB于P，交于E，則線段的長(zhǎng)即為的長(zhǎng)度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理．能夠用一條線段的長(zhǎng)表示兩線段和的最小值是解題的關(guān)鍵．13.【答案】或0或6

【解析】解：令，則，

解得：，，

拋物線與x軸的交點(diǎn)為和，

兩個(gè)拋物線與x軸共有3個(gè)交點(diǎn)，

拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)或與拋物線有一個(gè)與x軸的公共點(diǎn)，

令，則，

①當(dāng)拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

，

解得：；

②當(dāng)拋物線與拋物線有一個(gè)與x軸的公共點(diǎn)時(shí)，

當(dāng)是兩條拋物線的公共點(diǎn)時(shí)，

，

解得：；

當(dāng)是兩條拋物線的公共點(diǎn)時(shí)，

，

解得：

綜上所述，a的值為或0或

故答案為：或0或

先求出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．再根據(jù)兩個(gè)拋物線與x軸共有3個(gè)交點(diǎn)，可以判斷拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)或經(jīng)過(guò)或，然后求值即可．

本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，關(guān)鍵是理解二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系．14.【答案】

【解析】解：如圖，作的外接圓，圓心為M，連接AM、BM、CM，過(guò)M作于D，過(guò)B作，交BP的垂直平分線于N，連接AN、BN、PN，以N為圓心，為半徑作圓；

，M為的外接圓的圓心，

，，

，

，

，

，

在中，

，

，

，

即，

由作圖可知，N在BP的垂直平分線上，

，

，

又為的外接圓的圓心，

，

，

，

∽，

，

，

，

即，

，

在中，，

在中，，

即AP最小值為，

故答案為：

作的外接圓，圓心為M，連接AM、BM、CM，過(guò)M作于D，過(guò)B作，交BP的垂直平分線于N，連接AN、BN、PN，以N為圓心，為半徑作圓；結(jié)合圓周角定理及垂徑定理易得，再通過(guò)圓周角定理、垂直及垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理易得，從而易證∽，可得即，勾股定理即可求得，在中由三角形三邊關(guān)系即可求解．

本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形三邊之間的關(guān)系；解題的關(guān)鍵是結(jié)合的外接圓構(gòu)造相似三角形．15.【答案】解：方程兩邊都乘，

得

原方程有增根，

最簡(jiǎn)公分母，

解得或，

時(shí)，，

當(dāng)，，

當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根．

【解析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡(jiǎn)公分母，得到或，然后代入化為整式方程的方程算出a的值．

本題考查了分式方程的增根，增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．16.【答案】解：由圖可知，數(shù)軸上被墨跡覆蓋的整數(shù)是，0，1，2，

解這個(gè)不等式組，得，，

根據(jù)題意得：最小值在與之間，最大值在2與3之間，

，

解得

【解析】先解每一個(gè)不等式，再根據(jù)數(shù)軸可知，整數(shù)解為，0，1，2，得出，的取值范圍，解m、n的取值范圍．

此題考查了含字母系數(shù)的不等式組的解法．要注意x為，0，1，2，確定含m、n的式子的取值范圍．17.【答案】證明：，

，

，

，

，

即，

解：延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G，

是的外角，

，

，

，

，

；

解：是AC中點(diǎn)

，

，

，

是直徑，

，

，

∽，

，

【解析】易證，，從而可知，即；

延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G，易證，由于，所以，所以；

易證，由于，所以，由圓周角定理可知，從而可證明∽，利用三角形相似的性質(zhì)即可求出答案．

本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．18.【答案】解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)

，

解得：，

拋物線的解析式為；

①在中，令，得，

，

設(shè)直線AC解析式，、，

，

解得：，

直線AC解析式，

，，

，

，

點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

，

軸，軸，

，，，

，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，的最大值；

②作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交CP于D，過(guò)點(diǎn)D作軸于E，

，

，

，，

，，

，

，

，

，即，

，

，

，

，

，

，

，，

，，

，，

，

，

設(shè)直線CD解析式為，

則：，解得：，

直線CD解析式為，

聯(lián)立方程組：，解得：舍去，；

【解析】把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次