喀蔚波副教授醫(yī)用物理學力學電子版

1、目 錄第一章 力學基本定律1單位和量綱相關鏈接 理解時空2物理量及其表述2.1 物理量2.2 質(zhì)點2.3 參考系與坐標系2.4 矢量及其運算3 運動描述3.1 位置矢量與位移3.2 速度3.3加速度4 牛頓運動定律4.1牛頓運動定律4.2功與功率4.3 動能 動能定理4.4保守力 非保守力 勢能4.5功能原理4.6機械能守恒定律4.7動量 沖量 動量定理 動量守恒定律5 剛體定軸轉動5.1剛體定軸轉動的運動描寫一、角量的定義二、角量與線量的關系三、剛體定軸轉動的運動學規(guī)律5.2剛體定軸轉動定律一、力矩二、剛體轉動定律三、轉動慣量5.3剛體定軸轉動的功和能一、力矩的功二、轉動動能三、剛體定軸轉動

2、的動能定理5.4 角動量定理 角動量守恒定律一、質(zhì)點的角動量二、剛體的角動量三、角動量定理四、角動量守恒定律5.5 進動思考題習 題第一章 力學基本定律自然界中存在著許多力學現(xiàn)象，例如，行星圍繞恒星轉動，地殼板塊運動，火山爆發(fā)，河水沖刷河床等都是自然產(chǎn)生的力學現(xiàn)象；飛機飛行，樓宇和橋梁建設，貨物運輸?shù)仁侨祟惱米匀唤缰械牧W規(guī)律開發(fā)出的力學現(xiàn)象；在我們的生活和學習中對這些現(xiàn)象都已經(jīng)有所了解和認識。在生物界和生命活動中也存在著大量鮮為人知的力學現(xiàn)象，例如，游動的精子去尋找卵子力圖使其受精，胎兒生產(chǎn)經(jīng)過產(chǎn)道是一個強烈的擠壓過程，新生兒第一聲啼哭與嬰兒肺擴張和氣體充盈的關系，血液流動與生命活動的關系

3、，肌肉骨骼系統(tǒng)與運動和活動的關系，堅硬的鋼制人工關節(jié)植入人體后為什么會發(fā)生意外斷裂，怎樣才能夠利用合適的力學規(guī)律幫助運動不便的殘疾人恢復運動能力等等。所有這些力學現(xiàn)象盡管形式上千差萬別，有的是自然產(chǎn)生的，不以人的意志為轉移；有的是人們巧妙地利用力學規(guī)律創(chuàng)造的，為我們的生活與生產(chǎn)活動帶來了許多方便；有的伴隨我們生命過程的始終。不管他們的表現(xiàn)形式如何，但都服從相同的規(guī)律，正確認識這些力學規(guī)律，有助于我們改造自然，利用自然。了解和掌握力學規(guī)律，將有利于我們深刻地認識生命現(xiàn)象，幫助我們把握生命規(guī)律，修正被扭曲的力學行為，有效地提高人類的生活質(zhì)量。物質(zhì)世界存在多種多樣的運動形態(tài)，其中，機械運動是最基本最

4、直接的運動形態(tài)。機械運動是指物體的位置變動和物體內(nèi)部各部分之間的相對運動即變形。力學（mechanics）是研究機械運動基本規(guī)律的一門學科，主要包括以下主要內(nèi)容。1、研究物體的運動軌道。研究決定物體運動軌道的動力學因素，建立動力學方程。2、研究物體與物體之間屬于機械運動范疇的相互作用，諸如，推動、沖擊、碰撞、支持、摩擦、吸引和排斥等等；研究此類相互作用過程中物體運動量的交換和變化規(guī)律。3、尋求物體運動過程中或相互作用過程中的守恒量及相應的守恒條件。它們構成了牛頓力學的基本內(nèi)容，至今仍然是研究復雜運動的基礎。按照研究內(nèi)容劃分，力學可以分成運動學和動力學，前者著重于物體運動的形態(tài)描寫，后者則致力于

5、分析物體運動形態(tài)形成和改變的原因。本章主要介紹牛頓力學的基本定律，物體運動的描述，物體運動的功和能等。1單位和量綱自然界中，特別是物理學中，各個物理量之間常常是通過定義或定律等定量關系式相互關聯(lián)，為了方便大量物理量的描寫，人們常常選擇一些物理量作為基本量，規(guī)定他們的單位為基本單位，其他物理量及單位則可以通過所定義的基本量和基本單位依據(jù)定律等加以導出。由基本單位導出的物理量叫做導出量，他們的單位叫做導出單位。在國際單位制中，選定長度、質(zhì)量、時間為力學基本量，他們的單位分別為米（m）、千克（kg）、秒（s）。其它所有力學量的單位都是由這三個基本量的單位導出的。在國際單位制中，還選定電流為電學基本量

6、，單位為安培（A）；選定熱力學溫度和物質(zhì)的量為熱學基本量，其單位為開爾文（K）和摩爾（mol）；選定光強度為光學基本量，其單位為坎德拉（cd）。表示一個物理量的單位與基本量單位關系的式子叫做物理量的量綱式（dimension formula）。人們約定用大寫字母L、M和T分別表示三個力學基本量的量綱（dimension）,任何物理量Q的量綱均可以表示為：=（1-1）人們可以很容易利用導出量與基本量的關系寫出各導出量的量綱式，從而清楚地了解它們的單位。例如，力、速度和加速度的量綱式分別為：= =，=， a= 量綱式除了可以直觀地獲取導出量與基本量的關系以外，還可以用來檢驗所建立的公式正確與否。因

7、為，只有量綱相同的量才可以相加減或者相等。例如，勻加速直線運動的公式是，式中各項的量綱分別為，和。依此可以初步斷定該公式可能是正確的。因為數(shù)字系數(shù)沒有量綱，因此，公式中的數(shù)字系數(shù)的正確與否，是不能用量綱式加以檢驗的。如果用量綱式檢驗，式中各項的量綱不同，則該公式一定是錯誤的。在物理學中，采用量綱分析的辦法檢驗所得到公式的正確與否，是研究工作的基本方法之一。在物理學中，人們還常常利用量綱式進行單位換算或者確定比例系數(shù)的單位等，有興趣的同學可以參考相關的理論力學教材。相關鏈接 理解時空物質(zhì)的運動與運動的物質(zhì)構成了我們豐富多彩的世界。日月經(jīng)天，江河行地，飛禽走獸，車水馬龍，春夏秋冬，草木枯榮宇宙萬物

8、無不在運動變化之中。人類正是在對自然現(xiàn)象和天體運動的觀察與感悟中逐漸形成了時間和空間的概念。人們把物質(zhì)隨時間在空間中的變化叫做物質(zhì)的運動。流水年華，光陰似箭，斗轉星移，人們通過一個個活靈活現(xiàn)的事例告訴了我們時間的真諦與內(nèi)涵。時間的概念起源于運動，形成于人們對于運動現(xiàn)象的觀察與認識過程之中。人們在形成時空概念之后，就使它超脫于運動，提出了兩個獨立的物理量-時間和空間。這使得人們對物質(zhì)世界的認識水平出現(xiàn)了從簡單的唯象認識升華到了辯證唯物的認識境界，基本實現(xiàn)了對物質(zhì)世界定量和清晰并便于描寫的目的。簡而言之，時間描述的是事件（case）的先后順序，而空間描述的是物質(zhì)的位形，表示物質(zhì)分布的秩序。在我們的

9、日常生活中，時間與空間是絕對的；當物質(zhì)運動速度接近光速時，時間與空間就變成相對的了；如果你進入到某些特定的黑洞之中，你將發(fā)現(xiàn)時間與空間將發(fā)生互換。在國際單位制中，時間的單位是秒。人們最早利用地球自轉運動來計算時間，其基本單位是太陽日。19世紀末的秒定義為1/86 400個平太陽日，叫做世界時秒。由于地球自轉不斷延緩，且存在某些不確定性，致使所定義的復現(xiàn)秒的準確度只能達到。此后，關于秒的定義有過兩次重大的修改。1960年，國際計量大會決定采用地球公轉運動為基礎的歷書時秒作為時間單位，其表述為“將1900年初附近太陽的幾何平黃經(jīng)為的瞬間作為1900年1月0日12時整，從該時刻起的回歸年的1/31

10、556 925.974 7作為1秒”。此定義的復現(xiàn)秒準確度提高到。1967年，國際計量大會決定采用原子秒定義時間單位，其表述為“秒是銫-133原子基態(tài)的兩個超精細能級之間躍遷對應的輻射的9 192 631 770個周期所持續(xù)的時間”。此定義的復現(xiàn)秒準確度優(yōu)于。用選定的某一特定時刻作為原點，用選定的時間單位“秒”進行連續(xù)不斷的積累，就構成了一個時間坐標系-時標。原子時標是由連續(xù)不斷工作著的原子鐘得到的。以各國有關研究所運轉的原子時鐘的讀數(shù)為依據(jù)，經(jīng)過加權平均而建立的時標被稱為國際原子時（TAI），它的起點為1958年1月0日0時0分0秒。在自然界中有許多具有特殊意義的時間標志，你知道多少？l 人

11、體心律周期0.8sl 太陽光到達地球用時l 地球上出現(xiàn)猿人的時間距今l 侏羅紀（恐龍世紀）距今0.51.5億年l 地球上出現(xiàn)生物的時間距今3.5億年l 地球年齡46億年l 太陽年齡50億年l 宇宙年齡150億年l 電子壽命年l 人眼視覺弛豫時間0.1 sl 人體感覺神經(jīng)脈沖間隔l 普通氣體光源原子發(fā)光持續(xù)時間l 當今超短激光脈沖寬度可達l 頂夸克壽命在國際單位制中，長度的單位為米，最初其實物標準是一根鉑銥米尺，又叫做國際米原器。它是一個橫截面形狀近似為H形的尺子，保存在1標準大氣壓下，水平放置于相距571毫米的兩個圓柱上，圓柱直徑約1厘米。這是1889年第一屆國際計量大會上批準建立的。1927

12、年第7次國際計量大會上對米定義作了嚴格的規(guī)定，其表述為“國際計量局保存的鉑銥米尺所刻兩條中間刻線的軸線在0時的距離”。如此定義的米，不確定度為110-7。到目前為止，關于米的定義有過兩次重大的更改。1960年，第11次國際計量大會對米的定義是“米的長度等于氪86原子的能級之間躍遷的輻射在真空中波長的1 650 763.73倍”。此定義的米不確定度為。此后，又出現(xiàn)了多種激光，由于它們的頻率穩(wěn)定度和復現(xiàn)性很好，先后有四種穩(wěn)定激光的波長值被推薦作為米的定義與氪86的波長值并列使用，具有同等的準確度。1983年，第17次國際計量大會上通過了米的新定義。根據(jù)甲烷譜線的頻率值和波長值，獲得真空中的光速值c

13、 = 299 792 458ms-1，此值非常精確。因此，人們決定米的定義為“米是1/299 792 458秒的時間間隔內(nèi)光在真空中的行程”。自然界中有很多具有特殊意義的長度，你知道多少？l 成人身高 12 ml 珠峰海拔高度l 地球半徑l 月球直徑l 太陽直徑l 日地距離l 1光年l 現(xiàn)代宇宙視界億光年l 人眼瞳孔直徑 26 mm l 可見光波長 0.40.710-6 m l 人體神經(jīng)纖維直徑 12010-6 m l 原子半徑l 原子核半徑l 人毛細血管的最小直徑l 紅細胞直徑2物理量及其表述2.1 物理量人們把描寫物理事件的量叫做物理量（physical quantity），依據(jù)物理事件的

14、不同，所采用的物理量也不同，我們經(jīng)常遇到的物理量有三種，它們是：1、標量：只有大小沒有方向的物理量叫做標量（scalar）。例如，溫度、能量、質(zhì)量等物理量是標量。2、矢量：即有大小又有方向，并且只有一個方向的物理量叫做矢量（vector）。例如，速度、加速度、力和動量等物理量是矢量。3、張量：即有大小又有方向，并且不止一個方向的物理量叫做張量（tensor）。人們把張量對應的方向個數(shù)叫做張量的階。例如，描寫材料內(nèi)部力學性質(zhì)的應力和應變有兩個方向，是二階張量。根據(jù)物理事件描寫的需要，還可以有更高階的張量。不同的物理量服從不同的運算規(guī)則。2.2 質(zhì)點任何物體都有一定的大小和形狀。但是，當物體的大小

15、和形狀在所描寫的運動中所起的作用可以忽略不計時，我們就把它看作是一個只有質(zhì)量而沒有大小和形狀的點，稱為質(zhì)點（mass point ）。質(zhì)點是為了描寫方便而為實際物體構造的一種模型，是實際物體在一定條件下的一種抽象。一個物體能否看成質(zhì)點，關鍵要看其在所研究的問題中，是否滿足所定義的條件。例如，同樣是地球，當研究其自轉時就不能將其看成質(zhì)點，而研究它圍繞太陽的公轉時，就可以把它很好地近似為質(zhì)點來處理。2.3 參考系與坐標系描述一個物體的運動需要另一個物體作為參考，這個被選定的參考物體叫做參考系（reference system）。當同一個物體采用不同的參考系描寫時，其結果一般不同，這叫做運動描寫的相

16、對性。例如，在一個向左勻速直線運動的車廂中，有一個自由下落的物體，當以車廂為參考系描寫時，物體作直線運動；如果以地面為參考系描寫，物體作拋物線運動。選定參考系只是定性地描寫物體的運動與否，為了定量地描寫物體運動的位置以及位置隨時間的變化，必須在所選定的參考系中選擇一個適當?shù)淖鴺讼怠Ｒ话阍趨⒖枷抵羞x定一點作為坐標原點，對于描述物體位置變化的坐標系起著標尺的作用。在三維空間中，需要標出三個獨立的量來唯一地確定一點的位置。人們用得最多的是直角坐標系，它的三條坐標軸（軸、軸、軸）相互垂直。圖1-1 中所給出的就是直角坐標系。除了直角坐標系以外，根據(jù)描寫的方便，還可以選擇其他坐標系，如極坐標系，柱坐標系

17、或者球面坐標圖1-1 P點的位置矢量r和它系等等。 的坐標（x,y,z）2.4 矢量及其運算即有大小又有方向的物理量叫做矢量。通常用一個有向線段表示矢量，線段的長短表示矢量的大小，線段的方向即為該矢量的方向。位移、速度、加速度和力等物理量都是矢量。一般用黑體字表示矢量，如A，a等。矢量與自己的大小相除所得的矢量叫做該矢量的單位矢量，其大小為1，表示為（1-2）矢量的加法：任何兩個矢量的和還是一個矢量，表示為：。（1-3）矢量的加法服從平行四邊形法則和三角形法則。在直角坐標系中，矢量可以表示為：（1-4）其中，分別為矢量在坐標軸上的投影，分別為表示坐標軸方向的單位矢量，叫做基矢。矢量的減法可以由

18、矢量的加法定義，即。（1-5）矢量的乘法：兩個矢量相乘，有兩種不同的結果。相乘結果為標量的，叫做標積（或稱點積）；相乘結果為矢量的，叫作矢積（或稱叉積）。矢量的標積 設A、B為兩個矢量，它們之間的夾角為a，則它們的標積用AB表示，定義為AB = AB cosa（1-6）可見AB是一個數(shù)值等于的標量，可以把它理解為矢量A在矢量B上的投影與矢量B的大小的乘積；也可以把它理解為矢量B在矢量上的投影與矢量A的大小的乘積?？梢宰C明，矢量的點積運算服從交換率和結合律。從（1-6）式可以看出，當兩個矢量同向時，點積結果數(shù)值最大，當兩個矢量反向時，點積結果取最小值，當兩個矢量垂直時，點積結果為0。矢量的矢積

19、設為兩個矢量，它們之間的夾角為，則它們的矢積用表示，定義它為另一個矢量，即（1-7）矢量的大小為（1-8）矢量的方向垂直于矢量構成的平面，并服從右手螺旋法則，即伸出右手拇指，將其余四指并攏沿矢量的方向伸出，并從經(jīng)小于的角向的頭部彎曲，與四指垂直的拇指指向即為矢量的方向。根據(jù)叉乘的定義可以看出，當兩個矢量平行時，叉乘結果為零，當兩個矢量垂直時，叉乘結果最大。另外，根據(jù)叉乘運算定義，可以得到如下結果因此，矢量的叉乘不服從交換率。但可以證明，矢量的叉乘服從結合律，即3 運動描述3.1 位置矢量與位移位置矢量 如圖1-1所示，在直角坐標系中，質(zhì)點的位置有三個坐標來確定，或者用從原點到點的有向線段表示，

20、矢量稱為位置矢量（position vector），簡稱位矢。在三個坐標軸上的分量分別為。以分別表示沿x，y，z軸正方向的單位矢量，則位矢在直角坐標系中可以表示（1-9）質(zhì)點運動時其位置隨時間的改變可以表示成，（1-10）或者表示為 （1-11）（1-10）式各函數(shù)表示質(zhì)點位置坐標隨時間的變化情況，（1-11）式表示質(zhì)點實際運動的空間軌跡。這個關系叫做運動疊加。位移 質(zhì)點在一段時間內(nèi)位置的改變叫做它在這段時間內(nèi)的位移（displacement）。設質(zhì)點在和時刻分別通過和點（圖1-4），其位矢分別為和，則由引向的矢量表示增量，即 （1-12）是質(zhì)點在時間內(nèi)的位移。是矢量，其大小標志著在內(nèi)質(zhì)點位置

21、移動的多少，表示為；圖1-4 曲線運動中的位移，其中其方向表示質(zhì)點的位置移動方向。要特別注意，位移 為路程與路程Ds是兩個不同的概念。3.2 速度速度 質(zhì)點在時間內(nèi)所發(fā)生的位移與的比值叫做質(zhì)點在時間內(nèi)的平均速度（mean velocity），即，（1-13）平均速度的方向與位移的方向一致。在描寫質(zhì)點的運動時，常采用“速率”這個概念，我們定義質(zhì)點在時間內(nèi)所走過的路程與所用的時間的比值為質(zhì)點在時間內(nèi)的平均速率（mean speed）。要注意，平均速度是質(zhì)點在時間內(nèi)的位移，是矢量；平均速率是質(zhì)點在時間內(nèi)走過的路程，是標量，兩者有本質(zhì)差別。瞬時速度（instantaneous velocity）又叫速

22、度（velocity）是當時間間隔趨于零時，平均速度的極限，即，（1-14）速度是位置矢量的時間導數(shù)，即速度是位置矢量的時間變化率。速度的方向就是趨于零時位移的方向。如圖1-4所示，當趨于零時，點向點靠近，而的方向最后將與質(zhì)點運動軌跡在點的切線一致。因此，質(zhì)點在時刻的速度方向就是該時刻質(zhì)點所在處運動軌跡的切線方向，指向運動的前方。速度的大小叫做速率（speed），用表示，即，（1-15）用表示在時間內(nèi)質(zhì)點沿著軌道所經(jīng)過的路程，當趨于零時，和趨于相同，因此，可以得到，（1-16）即速率的大小為質(zhì)點所走過路程的時間變化率。采用坐標分量表示，速度可以表示為，（1-17），分別為速度在三個坐標方向上的

23、分量，它們都是代數(shù)量，可正可負。上式說明質(zhì)點的速度是各速度分量的矢量和，這一關系叫做速度的疊加，在直角坐標系中，速度的大小，即速率與各速度分量之間存在以下關系，（1-18）在國際單位制中，速度的單位是ms-1。3.3加速度加速度（acceleration）是質(zhì)點運動速度改變的量度。質(zhì)點運動到空間不同位置時，一般速度也不同，設質(zhì)點在和時刻分別位于和點（圖1-5），在兩點的速度分別為和，質(zhì)點從點運動到點時速度的改變量為，于是有 質(zhì)點的平均加速度定義為圖1-5速度改變量（1-19）質(zhì)點的瞬時加速度（簡稱加速度）是平均加速度當趨于零時的極限，即（1-20）在直角坐標系中，加速度的分量形式為（1-21）

24、要特別注意，加速度是矢量，是速度的單位時間改變，這種改變包括速度的大小，也包括速度的方向。加速度的方向是速度增量的極限方向，一般與該時刻的速度方向不一致。當質(zhì)點做曲線運動時，加速度的方向總是指向軌跡曲線的凹側。當物體沿曲線軌道運動時，人們常常將加速度分解成法向加速度和切向加速度，如圖1-6所示，加速度在物體所在點處圓弧曲率半徑上的投影為法向加速度， 圖1-6 法向加速度和切向加速度在軌道切線方向上的加速度投影叫做切向加速度。顯而易見，下式成立 （1-22）可以證明，法向加速度的大小為 （1-23）它只改變速度的方向，其中，為物體所在處軌道圓弧的曲率半徑。切線加速度的大小為 （1-24）它只改變

25、速度的大小。例1-1根據(jù)速度和加速度的定義，求勻加速直線運動的速度和運動軌跡方程。圖1-7 勻加速直線運動解 如圖1-7所示，如果取質(zhì)點的運動軌道為軸，由加速度定義，即設時刻，速度，則任意時刻的速度可以通過對上式兩邊積分得到，即由于加速度不變，上式的積分結果為這就是勻加速直線運動的速度公式。利用，我們有將上邊得到的速度公式帶入并對等式兩邊積分得到任一時刻質(zhì)點的位置為4 牛頓運動定律不同形式的物質(zhì)運動服從不同的運動規(guī)律。物質(zhì)的機械運動包括平動，轉動和變形等，它們的運動都服從力學運動規(guī)律。力學運動規(guī)律的核心是牛頓運動定律。在進行物質(zhì)運動描寫時，人們常常依據(jù)物質(zhì)的性質(zhì)把它們分成質(zhì)點、剛體、連續(xù)介質(zhì)等

26、不同的力學模型，本節(jié)介紹質(zhì)點動力學規(guī)律。4.1牛頓運動定律1、牛頓第一定律任何物體都保持其靜止或直線運動狀態(tài)，除非有外力作用使其改變那個狀態(tài)。第一定律提出了兩個重要的概念：一個是物體具有保持其速度不被改變的性質(zhì)，即慣性(inertia)；另一個是力（force），它是改變物體運動狀態(tài)的原因。2、牛頓第二定律物體所獲得的加速度的大小與物體所受合外力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向一致。即 （1-25）第二定律給予了質(zhì)量的科學內(nèi)涵，即物體的質(zhì)量（mass）就是物體慣性大小的量度。在此意義下的質(zhì)量叫做慣性質(zhì)量。3、牛頓第三定律當物體A對物體B施加作用力時，物體B也必定同時

27、對物體A施加一個反作用力；兩者大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。即（1-26）三條牛頓定律構成了一個完整的力學行為定量描寫體系。實驗證明，牛頓定律只在慣性參考系（inertial system）中成立。凡是不能使牛頓定律成立的參考系都叫做非慣性參考系。例如，研究太陽系中的星體運動，可以選擇太陽作為慣性系，如果研究地球表面的物體運動，可以選擇地面為慣性參考系。在實際研究中，到底應該如何選擇參考系，要具體問題具體分析。4.2功與功率功的定義 設物體在恒力作用下，沿直線移動了一個距離，則力在這段距離上所做的功（work）為 （1-27）圖1-8 做功的定義從功的定義可以看出，功是力的空間積累效

28、應，做功必須具備兩個基本條件，即必須對物體施加力，并且必須使物體發(fā)生移動。另外，做功具有方向性，當力的方向與位移的方向一致時，力對物體做功最大，當力的方向與物體移動的方向相反時，力對物體做最大負功。圖1-9 變力做功變力做功 在實際做功過程中，做功的力常常為變力，物體的移動路程也不一定是直線，下面我們就來解決變力做功的問題。如圖1-7所示， 物體在變力的作用下，沿著曲線路徑從a點移動到b點，我們把路程分成許多無限小的路程段，每一小段可以近似看成是直線，在這一小段上的力也可以看成是恒力，只要小路程段足夠短，這種近似總是成立的。設這一小段的位移為，在這一位移上，施加給物體的力為恒力，于是在這一小段

29、位移上，我們就可以利用做功的定義（1-27）式了，設在這一段位移上力所做的功為，則有把力在整個路程中各小段上所做的功加起來，就得到了變力在整個路程上對物體所做的功，即（1-29）要注意，在上邊的積分中，在物體移動的不同位置上，力的大小和力與位移之間的夾角一般是不同的。在國際單位制中，功的單位為焦爾（），其量綱為。功率（power）是描述力對物體做功快慢的物理量，它等于力在單位時間內(nèi)對物體所做的功，即（1-30）其中，是物體移動的速度。在國際單位制中，功率的單位是瓦特（）,其量綱為。4.3 動能 動能定理如圖1-10所示，物體在合外力作用下，沿曲線軌跡由a點運動到b點，我們來求出在此過程中合外力

30、對物體所做的功。利用（1-29）式有而圖1-10 動能原理推導把此結果代入功的積分，并注意到，質(zhì)點在a點和b點的速度分別為和，最后可以得到合外力所做的功為（1-31）式中叫做物體的動能（kinetic energy）,習慣上用表示，即。在國際單位之中，動能的單位是焦耳（J）,其量綱與功的量綱相同。令物體在初態(tài)的動能為，在末態(tài)的動能為，則（1-31）式可以改寫成（1-32）此式叫做動能原理：在始末兩態(tài)之間，合外力對物體所做的功等于物體動能的改變量。動能原理告訴我們，力的空間積累效果是使物體的動能發(fā)生改變。動能是運動物體的做功本領。在許多問題中，如果我們能夠知道物體始末狀態(tài)的速度，就可以很容易地利

31、用動能原理求出合外力所做的功，而避免了采用功的積分式求功的繁瑣。4.4保守力 非保守力 勢能保守力與非保守力：如果力沿著任意一個閉合回路對物體所做的功等于零，即（1-33）成立，則這個力就叫做保守力（conservative force），否則叫做非保守力（non-conservative force）。保守力做功與路徑無關，非保守力做功與路經(jīng)有關。換句話說，保守力做功只與物體所在的始末位置有關，與從初始位置到達末態(tài)位置的路徑選擇無關。重力、彈性力、萬有引力、靜電力和分子力都是保守力，摩擦力是非保守力。由于保守力做功只與物體的位置有關，與路徑的選取無關，因此，我們可以引進一個作為位置函數(shù)的物理

32、量，來描寫保守力的這一性質(zhì)。這個函數(shù)叫做勢能（potential energy），用表示。不同的保守力有不同的勢能，重力的勢能為；（1-34）彈性力的勢能為。（1-35）引入勢能之后，保守力所做的功與勢能之間的關系可寫為-（-）（1-36）其中，是保守力所做的功，和分別為系統(tǒng)的末態(tài)和始態(tài)勢能。系統(tǒng)的勢能是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)，其量值隨狀態(tài)的變化而變化。勢能是標量，其單位和量綱與動能相同。必須說明的是，保守力是物體系統(tǒng)內(nèi)物體之間的相互作用力，勢能是由系統(tǒng)內(nèi)物體之間的相對位置決定的，因此，勢能是整個物體系統(tǒng)所共有的，不能把它看作某個物體獨有。（1-36）式告訴我們，保守力所做的功等于系統(tǒng)勢能改變量的

33、負值。如果將這個結論與前面講過的動能原理聯(lián)系起來，你將得到什么結論？4.5功能原理功能原理 前面講過的動能定理是對單個物體而言的，現(xiàn)在我們把這個定理推廣到物體系統(tǒng)。對于整個物體系統(tǒng)來說，它會受到系統(tǒng)外部力的作用，系統(tǒng)內(nèi)部的物體之間也有相互作用力，并且系統(tǒng)內(nèi)部的力又可以分成保守力和非保守力，在計算力對系統(tǒng)所做的功時，應該把它們?nèi)靠紤]在內(nèi)，即（1-37）其中，是所有外力所做的功，是系統(tǒng)內(nèi)部所有非保守力所做的功，是系統(tǒng)內(nèi)部所有保守力所做的功。力對系統(tǒng)所做的功應該等于系統(tǒng)動能的改變量，同時，注意到（1-36）式，我們可以得到-（-）=-把等式左邊的勢能項移到等號右邊，并按照始末態(tài)歸類，有=（+）-（

34、+）定義系統(tǒng)總的機械能為系統(tǒng)總的動能與總的勢能之和，記為，即（1-38）最后，我們得到=-（1-39）式（1-39）叫做功能原理，它告訴我們，系統(tǒng)的外力做功與系統(tǒng)內(nèi)部非保守力做功的總和等于系統(tǒng)總的機械能的改變。4.6機械能守恒定律如果系統(tǒng)的外力做功與系統(tǒng)內(nèi)部非保守力做功的總和等于零，則有=（1-40a）即+=+ (1-40b)或者-=-（-） (1-40c)上面三式叫做機械能守恒定律，它們從不同的角度詮釋了機械能守恒定律的內(nèi)涵。(1-40a)式告訴我們，對于一個物理系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的外力做功等于零，并且系統(tǒng)內(nèi)部沒有非保守力做功，則系統(tǒng)的總機械能將不隨系統(tǒng)的狀態(tài)改變而改變。式（1-40b）式和(1

35、-40c) 式的解釋留給讀者來完成。4.7動量 沖量 動量定理 動量守恒定律動量 物體的質(zhì)量與其運動速度的乘積叫做動量（momentum），用表示。即 (1-41)動量是矢量，在國際單位制中，其單位為（）,量綱為。動量是物體運動慣性和運動做功能力的描寫。這一點可以通過物體的動能和牛頓第二定律來加以解釋。牛頓第二定律為對于質(zhì)量相同的物體，要使它的運動狀態(tài)發(fā)生較大的改變，就必須施加更大的力。物體的動能為對于相同質(zhì)量的物體，動量越大，其動能越大，運動做功能力越強；對于相同動量的物體，其質(zhì)量越大，動能越小，運動做功能力越弱。沖量 力在確定時間內(nèi)的積累叫做沖量（impulse）.用表示，即(1-42)沖

36、量是矢量，在國際單位制中，其單位為牛頓秒（），量綱為。動量定理 設質(zhì)量為的物體，在變力的作用下，速度由時刻的變?yōu)闀r刻的。根據(jù)牛頓第二定律，在時間內(nèi)，物體的動量改變?yōu)?，在到時間間隔內(nèi)，物體總的動量改變?yōu)榉e分結果為-=。（1-43）（1-43）式叫做動量定理，它告訴我們，運動物體所受合外力的沖量等于物體動量的改變量。也就是說，力的時間積累是物體動量改變的原因。利用動量定理可以很好地解釋為什么當飛機與鳥相碰撞時，會對飛機造成毀滅性后果的現(xiàn)象。還可以為臨床上的腦碰撞損傷程度的準確診斷提供可靠的力學依據(jù)。動量守恒定律 如果物體系統(tǒng)不受外力或所受合外力等于零，則物體系統(tǒng)的總動量保持不變。這一結論叫做動量

37、守恒定律。動量守恒定律可以用牛頓第二定律加以解釋。設物體系統(tǒng)所受合外力為，由于系統(tǒng)內(nèi)部所有物體所受的合內(nèi)力為零（為什么？），系統(tǒng)的總動量為系統(tǒng)內(nèi)部各物體的動量之和，即，把它們帶入牛頓第二定律，則有=如果系統(tǒng)所受的合外力等于零，即=0，則必有=恒矢量（1-44）這就是動量守恒定律。5 剛體定軸轉動在外力作用下，大小和形狀都不發(fā)生變化的物體叫做剛體（rigid body）。它是力學中的又一個理想化模型。實際物體在外力作用下都可能發(fā)生一定的變化，我們稱其發(fā)生了形變。如果在所研究的問題中，物體的形變所起的作用可以忽略不計，我們就可以把它看成剛體，從而使問題得到簡化。剛體的實際運動可以分解為平動和轉動，

38、平動（translation）是指剛體上的任何一條直線在運動過程中都始終保持相同的方位，也就是說，剛體在平動時，其上的各點都具有相同的位移、速度和加速度。所以，剛體在平動時，可以把它當成質(zhì)點來處理。轉動（rotation）是指剛圖1-11 剛體的平動與轉動體上的各點都繞同一條直線作圓周運動，這條直線叫做轉動軸（rotation axis）。轉動軸固定不動的轉動叫做定軸轉動（fixed -axis rotation）。這里主要介紹定軸轉動的基本規(guī)律。5.1剛體定軸轉動的運動描寫一、角量的定義 描述物體的平動采用線量（linear quantity），如我們在前面已經(jīng)接觸到的位置矢量，位移，速度，

39、加速度等；描寫物體的轉動時使用角量（angular quantity）比較方便，與線量相對應，有角位置，角位移，角速度，角加速度等。下面我們來定義這些角量。設剛體繞固定軸做定軸轉動（圖1-12），在剛體上選一點P，過P點做垂直于轉動軸的平面，此平面叫做P點的轉動平面。轉軸與轉動平面的交點為，選擇為參考方向，連線與的夾角叫做角坐標，標志了剛體在某一時刻的位置。圖1-12 定義描寫剛體轉動的物理量設剛體在時刻的角坐標為，時刻的角坐標為，叫做剛體在時間內(nèi)的角位移（angular displacement）。習慣上規(guī)定逆時針轉動形成的角位移為正，順時針轉動形成的角位移為負。在國際單位制中，角位移的單位

40、為弧度（rad），量綱為1。角位移與時間間隔的比值叫做剛體轉動的平均角速度，用表示，即。的極限叫做剛體轉動的瞬時角速度，簡稱角速度（angular velocity）,用表示，即（1-45）圖1-13 右手螺旋法則角速度是描寫剛體轉動快慢的物理量，在數(shù)值上等于單位時間內(nèi)剛體轉過角度的弧度數(shù)。在國際單位制中，角速度的單位是弧度秒-1（），量綱式。角速度是矢量，其大小由式（1-45）決定，方向可用右手螺旋法則決定（圖1-13），即四指表示剛體上質(zhì)點的繞行方向，垂直伸出的拇指則代表角速度的方向，這個方向也是轉動軸的正方向。如果剛體在時刻的角速度為，時刻的角速度為，則角速度增量與時間間隔的比值叫平均角

41、加速度，用表示，即。的極限叫做剛體轉動的瞬時角加速度（angular acceleration），用表示，即。（1-46）角加速度是描寫剛體轉動角速度變化快慢的物理量，在國際單位制中，其單位為弧度秒-2（），量綱為。角加速度是矢量，其大小由式（1-46）決定，方向以角速度方向為基準，方向與角速度同向時為正，使角速度增大；反之為負，使轉動變慢。二、角量與線量的關系 當剛體作定軸轉動時，剛體上的任何一個質(zhì)點都在作以轉軸為中心的圓周運動，它們的運動可以用線量描寫，描寫剛體轉動的角量與描寫剛體上各質(zhì)點運動的線量之間存在著確定的關系。圖1-14 線量與角量的關系設剛體作定軸轉動，在剛體上任選一質(zhì)點P，該

42、質(zhì)點與轉軸的垂直距離為，我們用以轉軸為心的位置矢量來表示其位置，該質(zhì)點此刻的線速度為，線加速度為；剛體轉動的角速度為，角加速度為（如圖1-14所示）。剛體上質(zhì)點運動走過的圓弧長度與角位移有如下關系： （1-47）剛體上質(zhì)點P的線速度與剛體轉動的角速度有如下關系：（1-48）其大小為（1-49）其方向按照右手螺旋法則確定，當四指從方向開始沿小于p的角度向方向轉動時，伸出的拇指所代表的為速度方向。剛體上質(zhì)點P的切向加速度為（注意：由于是剛體，質(zhì)點P運動時，不變）（1-50）剛體上質(zhì)點P的法向加速度為（1-51）以上諸式提示，對于剛體上質(zhì)點的運動描寫既可以采用描寫剛體轉動的角量，也可以采用描寫質(zhì)點平

43、動的線量。三、剛體定軸轉動的運動學規(guī)律 剛體轉動速度恒定的轉動叫做勻速轉動，對于勻速轉動有 （1-52）其中，是初始角坐標。剛體轉動加速度恒定的轉動叫做勻變速轉動，對于勻變速轉動有（1-53）（1-54）其中，是初始角速度，為角加速度，為角位移。研究剛體定軸轉動時，要首先確定轉軸的方向，在此基礎上再確定轉動角速度的方向，角速度與轉軸方向一致時為正，相反時為負。在確定了角速度的方向以后，依據(jù)角加速度與角速度方向一致時（）取正，相反時（）取負的原則確定角加速度的正負。5.2剛體定軸轉動定律一、力矩 如果剛體上位于處的點P所受到的在轉動平面內(nèi)的合外力為（如圖1-15所示），我們定義其所產(chǎn)生的力矩（m

44、oment of force）為（1-55）其大小為（1-56）其中，分別是力作用點到轉軸的距離和作用力的大小，是與之間的夾角。其方向服從右手法則，即四指從方向向方向沿小于p的角度方向環(huán)繞，拇指所代表的方向就是的方向?？梢钥闯觯斉c垂直的時候，力矩最大，而與平行時，力矩等于零。圖1-15 力矩的定義如果外力不在轉動平面內(nèi)，我們可以把向轉動軸和轉動平面投影，與轉動軸平行的分力對力矩沒有貢獻，它只改變剛體沿轉動軸方向作平移運動的運動狀態(tài)，只有位于轉動平面內(nèi)的分力才對剛體的轉動狀態(tài)改變有作用。因此，力矩定義式中的的力應理解為位于轉動平面內(nèi)的分力。力矩是矢量，在定軸轉動中，它或者與轉軸方向相同，或者與

45、轉動軸方向相反。在國際單位制中，其單位為牛頓米（）,量綱為。二、剛體轉動定律 我們比照描述質(zhì)點平動的牛頓第二定律給出剛體轉動定律。質(zhì)點運動狀態(tài)改變的原因是質(zhì)點受力，同理，剛體轉動狀態(tài)改變的原因是剛體受到力矩的作用。轉動定律：剛體在合外力矩的作用下，所獲得的轉動角加速度的大小與合外力矩的大小成正比，與轉動慣量 平動加速度的大小與質(zhì)點的質(zhì)量成反比，質(zhì)量是物體平動慣性的量度，對于轉動也應該是與轉動狀態(tài)有關的慣性，我們暫且稱其為轉動慣量。成反比，方向與合外力矩的方向相同。即。（1-57）1-16 剛體轉動定律的推導下面我們驗證上述轉動定律的正確性，并給出轉動慣量的解釋。思路是，把剛體分成許多微元，分析

46、微元受力，列出微元的牛頓方程，對整個剛體求和，得出剛體的動力學方程。 如圖1-16所示，剛體上位于點的小微元的位置矢量為，所受外力在其位移方向上的投影為，微元周圍的其他微元對的作用力在方向上的投影為，微元的線加速度為，其牛頓方程為兩邊分別乘以并對整個剛體積分，注意到剛體內(nèi)部質(zhì)點間的相互作用力是作用與反作用關系，即另外，是微元對轉軸的力矩，所以，是整個剛體相對轉軸的力矩，有令（1-58）我們得到注意到，在定軸轉動時，角加速度與力矩的方向一致，將上式寫成矢量形式，最后有這就是我們前邊給出的剛體轉動定律。三、轉動慣量 在牛頓定律中，質(zhì)量是物體平動慣性的量度，決定著物體平動狀態(tài)改變的難易程度，從轉動定

47、律可以看出，在相同力矩作用下，轉動慣量越大的物體所能獲得的角加速度越小，也就是說轉動狀態(tài)越不容易改變。轉動慣量在地位與作用上與質(zhì)量相當，它是剛體轉動慣性大小的量度。從轉動慣量的定義式（1-58）可以看出，轉動慣量既與物質(zhì)的性質(zhì)有關，也與剛體本身的幾何結構有關，同時還與剛體轉動時的轉軸位置有關。對于幾何形狀規(guī)則，物質(zhì)分布均勻且連續(xù)的剛體，其對某一轉軸的轉動慣量可以通過（1-58）式求得。對于幾何形狀復雜，質(zhì)量分布不均勻的剛體，其轉動慣量可以通過實驗予以測定。表1-1給出了幾種剛體對選定轉動軸的轉動慣量計算公式。他們都是（1-58）式的積分結果。表1-1 幾種剛體的轉動慣量計算公式物 體 和 轉

48、軸轉 動 慣 量細棒（質(zhì)量，長）通過中心與棒垂直的軸細棒（質(zhì)量，長）通過一端與棒垂直的軸細圓環(huán)（質(zhì)量，半徑）通過中心與換面垂直的軸薄圓盤（質(zhì)量，半徑）通過中心與盤面垂直的軸薄圓盤（質(zhì)量，半徑）以任意直徑為軸球體（質(zhì)量，半徑）通過球心的任意直徑為軸在國際單位制中，轉動慣量的單位是千克米2（），量綱為。例1-2如圖1-17所示，一輕繩跨過定滑輪，兩端分別掛有質(zhì)量為和的重物，視定滑輪為質(zhì)量為、半徑為的均質(zhì)圓盤，繩與圓盤之間無滑動，若，求圓盤的角加速度和兩物體的加速度。圖1.17 例1.2圖解：從表1-1知圓盤的轉動慣量為，圓盤所受合外力矩為，根據(jù)轉動定律有物體，做平動，依據(jù)牛頓定律有，由于繩不可伸長

49、，且繩與圓盤之間無滑移，所以上邊4式聯(lián)立求解可以得到， 圖1-18 例1-3圖例1-3 求長為的圓棒對于通過棒中心且與棒垂直的轉軸的轉動慣量。如果轉軸位于細棒的一端，結果將如何？如果細棒與轉軸平行且間距為，結果又該如何？解： 1、如圖1-18（a）所示，在距轉軸處取一微元，其質(zhì)量為，其中為細棒的質(zhì)量線密度。利用轉動慣量定義式有2、轉軸位于細棒一端的做法與1相同，適當調(diào)整積分限即可3、細棒與轉軸平行情況，由于不變，所以圖1-19 力矩做功5.3剛體定軸轉動的功和能一、力矩的功 在質(zhì)點平動中，力通過位移做功，力與位移平行時做功最大；類似，在剛體定軸轉動時，力矩通過角位移做功，當力矩與角位移垂直時做

50、功最大。當剛體發(fā)生角位移時，力矩所做的元功為（1-59）當剛體在變力矩作用下繞定軸由轉到時，力矩對剛體所做的功為（1-60）當剛體在恒力矩作用下轉動時，上式的結果為力矩做功的功率為（1-61）即力矩的功率等于力矩與角速度的乘積。請讀者把力矩的功率與力的功率進行比較。二、轉動動能 與平動動能類似，剛體的轉動動能由下式給出（1-62）即剛體繞確定轉軸轉動時的動能等于剛體相對這個轉動軸的轉動慣量與轉動角速度的平方乘積的一半。三、剛體定軸轉動的動能定理 如果剛體在合外力矩的作用下繞固定軸轉動，角位置從變?yōu)榈倪^程中，角速度由變?yōu)?，那么，把轉動定律代入功的定義式（1-60）可以得到（1-63）上式表明：合

51、外力矩對剛體所做的功等于剛體動能的改變量。此結果叫做剛體定軸轉動的動能定理。由于（1-63）式?jīng)]有計及內(nèi)力矩做功，所以僅適用于剛體。對于做定軸轉動的物體系，其內(nèi)部物體間的相對位置可能發(fā)生相對變化，從而導致系統(tǒng)的轉動慣量改變，所以在使用動能定理時，必須考慮內(nèi)力矩做功。如果物體系的角速度由變?yōu)椋到y(tǒng)的轉動慣量由變?yōu)?，則此時的動能定理變?yōu)椋?-64）圖1-20 例1-4圖其中，為外力矩所做的功，為內(nèi)力矩所做的功。例1-4 一質(zhì)量為長為的均勻細棒可繞通過其一端的光滑水平軸在鉛垂面內(nèi)轉動，如果細棒從水平橫放位置自由下擺，求細棒自由端擺到豎直位置時的角速度和線速度。解：如圖1-20所示，細棒在重力矩作用下

52、繞定軸轉動，重力作用于細棒的重心處，方向向下，在細棒下擺過程中，力矩是變化的，其大小為，力矩在元角位移上所做的元功為在棒從水平位置擺到豎直位置過程中，重力矩所做的功為細棒在水平位置時的角速度為，擺動到豎直位置時的角速度為，利用剛體轉動的動能定理有而細棒繞其端點轉動的轉動慣量是，代入上式，最后得到 ， 。5.4 角動量定理 角動量守恒定律圖1.21 質(zhì)點角動量的定義一、質(zhì)點的角動量 當質(zhì)量為的質(zhì)點繞軸線轉動時，與角運動相關的動量矩叫做角動量（angular momentum）,用表示，它等于質(zhì)點以轉軸為參考點時位于轉動平面內(nèi)的位置矢量與其動量的叉積（見圖1-21），即（1-65）其大小為 (1-66)方向服從右手法則。在國際單位制中，角動量的單位是千克米2秒-1（），量綱為。二、剛體的角動量 剛體的角動量等于其轉動慣量與其轉動加速度的乘積，方向與剛體轉動角速度方向相同。即(1-67)三、角動量定理 采用角動量表達的轉動定律叫做角動量定理，即結果(1-68)這是角動量定理的微分形式，它告訴我們，剛體角動量的變化率等于該剛體所受到的合外力矩。我們定義在時間間隔內(nèi)的沖量矩為(1